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01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版

第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。

1.1整数与整除的意义

1.1整数与整除的意义
基础题
1、和统称为自然数.
2、、和统称为整数.
3、3412=÷，我们可以说能被整除；也可以说能整除 .
4、如果一个正整数除以7，商是3，余数是4，那么这个正整数是 .
5、三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 .
6、已知23能被正整数a 整除，则a 可能是 .（写出所有的可能）
7、判断：
（1）没有最小的自然数. （）
（2）有最大的整数. （）
（3）所有的自然数都是整数. （）
（4）3=÷n m ，n 一定能整除m . （）
（5）0不能作除数. （）
8、从下列数中选择适当的数填入相应的圈内
6，-8，0，0.5，-17，6
5，98，-3.75 正整数负整数自然数整数
9、根据要求把下列算式分别填入框内
25和5，18和1，7和21，4和0.5，3和51，14和6
第一个数能被第二个数整除第一个数能整除第二个数
提高题
10、根据要求把下列算式分别填入框内： 213÷，714÷，1751÷，522÷，624÷，317÷
整除除尽。

第一节整除意义、特征和性质

第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质第1课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。

教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。

教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。

教学过程：一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。

三、例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24， 9|24∴3|47382， 9|47382（2）1548－764=784=7×112 7|784 ∴ 7|1548764（3）（4+5+9）―（2+5）=18―7=11∴11|42559（7+9+8+2）―（2+5+7）=26―14=12 11|12 ∴11|7295871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。

[生活]数的整除的概念和定义

第一章数的整除第一节整数和整除教学目标：1、理解整除的定义和自然数的意义。

知道整除的要素，掌握整除的两种表述方法。

2、理解因数与倍数的意义，会求一个整数的因数和倍数。

3、概括出能被2，5整除的数的特征。

知识要点：1.1：整数和整除的意义1、零和正整数统称为自然数。

2、正整数、零、负整数，统称为整数。

3、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

1.2：因数和倍数1、整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称约数）。

2、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

1.3：能被2、5整除的数1、个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除。

2、能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。

3、各位上是0或者5的整数都能被5整除。

第二节分解素因数教学目标：1、理解素数、合数的意义。

2、能用求因素的方法或查素数表的方法判断一个正整数是否为素数。

3、熟记20以内的全部素数。

4、理解素因数和分解素因数的意义，掌握分解素因数的方法。

5、掌握最大公因数和最小公倍数的算理和方法。

知识要点：1.4：素数、合数与分解素因数1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因素，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它的本身以外还有别的因素，这样的数叫做合数。

2、1既不是素数，也不是合数。

这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。

34、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。

把一个合数用素因素相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。

5、一般我们用短除法分解素因数，步骤如下：①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。

②得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。

③然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。

§1.1整除的概念及带余除法

第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。

本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的§1整除的概念及带余数除法一、整除的概念定义1 设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。

定理1 下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。

2) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q。

中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111nn -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 …….解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为，余数为。

m N +∈3某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t k k k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。

1.1整数和整除的意义

1.1 整数和整除的意义
一、引例：
小明家装修新房，客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有30×30、40×40、60×60、80×80（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种尺寸呢？
二、新授：
（一）整数：
整数和整除的意义：
三整一零
练习 2．下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ √ 10÷3； 48÷8； 6÷4． 24÷6．√ 51÷17． √ 2.6÷1.3．
3．下列说法对吗？为什么（2）51能整除17 × （1）3能被6整除 × （3）2.5能被5整除 × （4）51能整除17 × （5）10能被100整除 × （6）10能整除20 √
零既不是正整数，又不是负整数
自然数也叫做非负整数
2．自然数：
正整数自然数零
3．注意整除的条件：“三整一零”．
4．在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（）内打“√”，不能整除的打“×”． 72和36（√ ）； 20和5（ √ ）； 18和3（ √ ）；
×
17和34（）；
× ×
0.5和5（
0.2和4（
）.
17和3（
×
19和38（
×
）；）.
）.
三、小结： 1．整数分类：
正整数整数零负整数
自然数有时也叫做非负整数!
练习：
1．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内．
12，－7，0，0.4，－23，
12，91
3 4
，91，－8.75．
-7，-23
正整数
12，-7，0，-23，91

§2初等数论--整除

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5. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。
6. 证明T 1 1 1 1 (n 1)不是整数.
23
n
7. 求自然数n，使得28 211 2n是一个整数的平方。
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定理2 在上面的表达式( * )中，有 (a,b) rn , (rn1 0).
证明：令 (a,b) d , 则 d a ,d b.
a bq1 r1 b r1q2 r2
由r1 a bq1 d r1 ; 由r2 b r1q2 d r2 ;
4
§1.1 整除的概念带余数除法一、整除的概念
定义1：设a,b是整数，b 0,如果存在整数q,使得 a bq成立，则称b整除a,或a能被b整除.记作：b a .
相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
rn2 rn1 qn (余rn )
b r1q2 r2 , 0 r2 r1 (*)
rn2 rn1qn rn , 0 rn rn1
rn1 rn qn1 ,(rn1 0) rn1 rnqn1 rn1 , rn1 0.
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二、辗转相除法
定义：设有整数 a,b(b 0)，在a b 的带余数除法中，每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算方法称为辗转相除法。即有
a b q1 (余r1 )

数的整除知识梳理

第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。

2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。

除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。

2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。

☆整除是除尽的一种特殊情况。

1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。

a叫做b的因数。

☆倍数和因数是相互依存的。

1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。

素数：除1与本身外没有其他因数的数。

合数：除1与本身外有其他因数的数。

分解素因数用短除法。

（用等式些写结论，分解的书写在最前。

）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。

☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。

1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。

☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。

总结：一个整数正整数零负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。

1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。

2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大）最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数）偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。

（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。

数的整除的概念和定义

第一章数的整除第一节整数和整除‎教学目标：1、理解整除的‎定义和自然‎数的意义。

知道整除的‎要素，掌握整除的‎两种表述方‎法。

2、理解因数与‎倍数的意义‎，会求一个整‎数的因数和‎倍数。

3、概括出能被‎2，5整除的数‎的特征。

知识要点：1.1：整数和整除‎的意义1、零和正整数‎统称为自然‎数。

2、正整数、零、负整数，统称为整数‎。

3、整数a除以‎整数b，如果除得的‎商是整数而‎余数为零，我们就说a‎能被b整除‎；或者说b能‎整除a.注意整除的‎条件：1、除数、被除数都是‎整数；2、被除数除以‎除数，商是整数而‎且余数为零‎。

1.2：因数和倍数‎1、整数a能被‎整数b整除‎，a就叫做b‎的倍数，b就叫做a‎的因数（也称约数）。

2、一个整数的‎因数中最小‎的因数是1‎，最大的因数‎是它本身。

1.3：能被2、5整除的数‎1、个位上是0‎，2，4，6，8的整数都‎能被2整除‎。

2、能被2整除‎的整数叫做‎偶数，不能被2整‎除的整数叫‎做奇数。

3、各位上是0‎或者5的整‎数都能被5‎整除。

第二节分解素因数‎教学目标：1、理解素数、合数的意义‎。

2、能用求因素‎的方法或查‎素数表的方‎法判断一个‎正整数是否‎为素数。

3、熟记20以‎内的全部素‎数。

4、理解素因数‎和分解素因‎数的意义，掌握分解素‎因数的方法‎。

5、掌握最大公‎因数和最小‎公倍数的算‎理和方法。

知识要点：1.4：素数、合数与分解‎素因数1、一个正整数‎，如果只有1‎和它本身两‎个因素，这样的数叫‎做素数，也叫做质数‎；如果除了1‎和它的本身‎以外还有别‎的因素，这样的数叫‎做合数。

2、1既不是素‎数，也不是合数‎。

这样，正整数又可‎以分为1、素数和合数‎三类。

34、每个合数都‎可以写成几‎个素数相乘‎的形式，其中每个素‎数都是这个‎合数的因数‎，叫做这个合‎数的素因数‎。

把一个合数‎用素因素相‎乘的形式表‎示出来，叫做分解素‎因数。

5、一般我们用‎短除法分解‎素因数，步骤如下：①先用一个能‎整除这个合‎数的素数（通常从最小‎的开始）去除。

讲义6——整数与整除

讲义课题整数与整除教学目标重点：整数和整除的意义、因数和倍数、能被2、5整除的数的特征难点：熟练运用知识解题教学关键：讲练结合，巩固基础，提高能力教学内容教学过程：【知识点1】1、整数和整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。

易错点： (1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

12÷6=2 18÷2=9 25÷5=5 125÷5=25 144÷12=12 .........2、自然数和整数零和正整数统称为自然数． 0 1 2 3 4 .........正整数．零和负整数统称为整数. ....-3 -2 -1 0 1 2 3 .....★★★除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。

【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。

分析：三个连续的正整数，怎样表示呢？什么是整除呢？解：我们设中间数为a，a为大于1的正整数，紧邻它而比它小的正整数可以表示为a-1，紧邻它而比它大的正整数可以表示为a+1，因为a+(a-1）+（a+1)=3a, 3a÷3=a.所以三个连续的正整数之和能被3整除。

【变式】试证明“三个连续的偶数之和能被3整除”。

【基本习题限时训练1】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝32、下列各组数中，均为自然数的是（）（A） 1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）23，34，45（D） 2，4，63、下列说法正确的是……………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；÷=，则4能被32整除；（3）3248（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。

第一讲数的整除(1—3)

第一讲数的整除知识清单：1.1整数与整除的意义1、整数整数：正整数、零、负正整统称为整数。

零和正整数统称为自然数。

最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。

2、整除的意义整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。

确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。

除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。

1.2 因数与倍数1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。

倍数和因数是相互依存的。

2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

1.3 能被2、5整除的数1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数．2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数．3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数2、能被2、5 、3、9整除的数的特征（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。

（2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。

（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。

（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

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第1 节比和比例第六章一次方程（组）和六年级第一册3.1 比的意义一次不等式（组）第一章数的整除第1 节方程与方程的解3.2 比的基本性质第1 节整数和整除3.3 比例 6.1 列方程1.1 整数和整除的意义第2 节百分比6.2 方程的解1.2 因数和倍数第2 节一元一次方程3.1 百分比的意义1.3 能被2，5 整除的数3.2 百分比的应用 6.3 一元一次方程及其解第2 节分解素因数3.3 等可能事件法1.4 素数、合数与分解素因第四章圆和扇形 6.4 一元一次方程的应用数第1 节圆的周长和弧长第 3 节一元一次不等式1.5 公因数与最大公因数4.1 圆的周长（组）1.6 倍数与最小公倍数4.2 弧长 6.5 不等式及其性质拓展求三个整数的最小第2 节圆和扇形的面积6.6 一元一次不等式的解公倍数4.3 圆的面积法第二章分数4.4 扇形的面积 6.7 一元一次不等式组第1 节分数的意义和性质第4 节一次方程组六年级第二册2.1 分数与除法6.8 二元一次方程2.2 分数的基本性质第五章有理数6.9 二元一次方程组及其第1 节有理数2.3 分数的大小比较解法第2 节分数的运算5.1 有理数的意义6.10 三元一次方程组及其2.4 分数的加减法 5.2 数轴解法2.5 分数的乘法 5.3 绝对值6.11 一次方程组的应用第2 节有理数的运算2.6 分数的除法精品文摘第七章线段与角的画法2.7 分数与小数的互化 5.4 有理数的加法第1 节线段的相等与和、拓展无限循环小数与分 5.5 有理数的减法差、倍数的互化 5.6 有理数的乘法7.1 线段的大小比较2.8 分数、小数的四则混合 5.7 有理数的除法7.2 画线段的和、差、倍运算 5.8 有理数的乘方第2 节角2.9 分数运算的应用 5.9 有理数的混合运算7.3 角的概念与表示第三章比和比例 5.10 科学记数法7.4 角的大小比较、画相等精品文摘的角9.11 平方差公式11.5 翻折与轴对称图形7.5 画角的和、差、倍9.12 完全平方公式11.6 轴对称第5 节因式分解7.6 余角、补角七年级第二册第八章长方体的再认识9.13 提取公因式发第十二章实数第1 节长方体的元素9.14 公式法第1 节实数的概念第2 节长方体直观图的画9.15 十字相乘法12.1 实数的概念法9.16 分组分解法第2 节数的开方第3 节长方体的棱与棱位第6 节整式的除法12.2 平方根和开平方置关系的认识9.17 同底数幂的除法12.3 立方根和开立方第4 节长方体中棱与平面9.18 单项式处以单项式12.4 n次方根位置关系的认识9.19 多项式除以单项式第3 节实数的运算第5 节长方体中平面与平12.5 用数轴上的点表示实第十章分式面位置关系的认识数第1 节分式10.1 分式的意义七年级第一册12.6 实数的运算10.2 分式的基本性质第九章整式第4 节分数指数幂第2 节分式的运算第1 节整式的概念12.7 分数指数幂10.3 分式的乘除9.1 字母表示数第十三章相交线平行10.4 分式的加减9.2 代数式线10.5 可化为一元一次方程第1 节相交线9.3 代数式的值的分式方程9.4 整式13.1 邻补角、对顶角10.6 整数指数幂及其运算第2 节整式的加减13.2 垂线第十一章图形的运动精品文摘9.5 合并同类项13.3 同位角、内错角、同第1 节图形的运动9.6 整式的加减旁内角11.1 图形的平移第3 节整式的乘法第2 节平行线第2 节图形的旋转9.7 同底数幂的乘法13.4 平行线的判定11.2 旋转9.8 幂的乘方13.5 平行线的性质11.3 旋转对称图形与中心9.9 积的乘方第十四章三角形对称图形第 1 节三角形的有关概念9.10 整式的乘法11.4 中心对称第4 节乘法公式与性质第3 节图形的翻折精品文摘14.1 三角形的有关概念19.7 直角三角形全等的判念14.2 三角形的内角和17.1 一元二次方程的概念定第2 节全等三角形第2 节一元二次方程的解19.8 直角三角形的性质14.3 全等三角形的概念与19.9 勾股定理法性质17.2 一元二次方程的解法19.10 两点的距离公式14.4 全等三角形的判定17.3 一元二次方程根的判八年级第二册第3 节等腰三角形别式第二十章一次函数第3 节一元二次方程的应14.5 等腰三角形的性质第1 节一次函数的概念14.6 等腰三角形的判定20.1 一次函数的概念用14.7 等边三角形17.4 一元二次方程的应用第 2 节一次函数的图像与第十五章平面直角坐标第十八章正比例函数和性质系反比例函数20.2 一次函数的图像第1 节平面直角坐标系第1 节正比例函数20.3 一次函数的性质15.1 平面直角坐标系18.1 函数的概念第3 节一次函数的应用第2 节直角坐标平面内点18.2 正比例函数20.4 一次函数的应用的运动第2 节反比例函数第二十一章代数方程15.2 直角坐标平面内点的18.3 反比例函数第1 节整式方程运动第3 节函数的表示法21.1 一元整式方程18.4 函数的表示法八年级第一册21.2 特殊的高次方程的解第十九章几何证明第十六章二次根式法第1 节几何证明第1 节二次根式的概念和第2 节分式方程19.1 命题和证明精品文摘性质21.3 可化为一元二次方程19.2 证明举例16.1 二次根式的分式方程第2 节线段的垂直平分与第3 节无理方程16.2 最简二次根式和同类角的平分线二次根式21.4 无理方程19.3 逆命题和逆定理第2 节二次根式的运算第4 节二元二次方程组19.4 线段的垂直平分线16.3 二次根式的运算21.5 二元二次方程和方程19.5 角的平分线第十七章一元二次方程组19.6 轨迹第1 节一元二次方程的概21.6 二元二次方程组的解第3 节直角三角形精品文摘法九年级第一册九年级第二册第5 节列方程（组）解应第二十四章相似三角形第二十七章圆与多边形用题第1 节相似形第1 节圆的基本性质21.7 列方程（组）解应用24.1 放缩与相似形27.1 圆的确定题第2 节比例线段27.2 圆心角、弧、弦、弦第二十二章四边形24.2 比例线段心距之间的关系第1 节多边形24.3 三角形一边的平行线27.3 垂径定理22.1 多边形第3 节相似三角形第2 节直线与圆、圆与圆第2 节平行四边形24.4 相似三角形的判定的位置关系22.2 平行四边形24.5 相似三角形的性质27.4 直线与圆的位置关系22.3 特殊的平行四边形第4 节平面向量的线性运27.5 圆与圆的位置关系第3 节梯形算第3 节正多边形与圆22.4 梯形24.6 实数与向量相乘27.6 正多边形与圆22.5 等腰梯形24.7 向量的线性运算第二十八章统计初步22.6 三角形、梯形的中位第二十五章锐角的三角第1 节统计的意义线比28.1 数据整理与表示第4 节平面向量及其加减第1 节锐角的三角比28.2 统计的意义运算第2 节基本的统计量25.1 锐角的三角比的意义22.7 平面向量25.2 求锐角的三角比的值28.3 表示一组数据平均水22.8 平面向量的加法第2 节解直角三角形平的量22.9 平面向量的减法25.3 解直角三角形28.4 表示一组数据波动程第二十三章概率初步25.4 解直角三角形的应用度的量第1 节事件及其发生的肯第二十六章二次函数28.5 表示一组数据分布的能性精品文摘第1 节二次函数的概念量23.1 确定事件和随机事件26.1 二次函数的概念28.6 统计实习23.2 事件发生的可能性第2 节事件的概率23.3 事件的概率23.4 概率计算举例第2 节二次函数的图像26.2 特殊二次函数的图像26.3 二次函数y 2a(x m) k 的图像九年级拓展第一章一元二次方程与二次函数第 1 节一元二次方程的根精品文摘5.6 正弦定理、余弦定理和与系数关系第三章函数的基本解斜三角形1.1 一元二次方程的根与性质3.1 函数的概念第六章三角函数系数关系3.2 函数关系的建立一三角函数的图像及性第2 节二次函数的解析式3.3 函数的运算质3.4 函数的基本性质 6.1 正弦函数和余弦函数的1.2 二次函数与一元二次图像与性质方程第四章幂函数、指数 6.2 正切函数的图像与性质1.3 二次函数解析式的确函数和对数函数（上）6.3 函数y A sin x定一幂函数的图像与性质4.1 幂函数的性质与图像二反三角函数与最简三第二章直线与圆二指数函数角方程第1 节圆的切线4.2 指数函数的性质与图像 6.4 反三角函数*4.3 借助计算器观察函数 6.5 最简三角方程2.1 圆的切线递增的快慢第2 节与圆有关的角及线段高一下高二上第七章数列与数学2.2 与圆有关的角第四章幂函数、指数归纳法函数和对数函数（下）一数列2.3 与圆有关的线段三对数7.1 数列第3 节圆内接四边形4.4 对数的概念及其运算7.2 等差数列四反函数7.3 等比数列2.4 圆内接四边形4.5 反函数的概念二数学归纳法高一上五对数函数7.4 数学归纳法第一章集合与命题一集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5 充分条件、必要条件1.6 子集与推出关系4.6 对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比二三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳—猜想—证明三数列的极限7.7 数列的极限7.8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算8.2 向量的数量积精品文摘第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明导公式5.4 两角和与差的正弦、余弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形8.3 平面向量的分解定理8.4 向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵精品文摘9.1矩阵的概念平面9.2矩阵的运算14.1平面及其基本性质二行列式14.2空间直线与直线的位9.3二阶行列式置关系9.4三阶行列式14.3空间直线与平面的位置关系第十章算法初步14.4空间平面与平面的位10.1算法的概念置关系10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程第十五章简单集合体序一多面体15.1多面体的概念高二下15.2多面体的直观图二旋转体第十一章坐标平面上15.3旋转体的概念的直线三几何体的表面积、体积11.1直线的方程和球面距离11.2直线的倾斜角和斜率15.4几何体的表面积11.3两条直线的位置关系15.5几何体的体积11.4点到直线的距离15.6球面距离第十二章圆锥曲线第十六章排列组合与12.1曲线和方程二项式定理12.2圆的方程16.1计数原理Ⅰ——乘法12.3椭圆的标准方程原理12.4椭圆的性质16.2排列12.5双曲线的标准方程16.3计数原理Ⅱ——加法12.6双曲线的性质原理12.7抛物线的标准方程16.4组合12.8抛物线的性质16.5二项式定理第十三章复数高三下13.1复试的概念13.2复数的坐标表示第十七章概率论初步13.3复数的加法和减法17.1古典概型13.4复数的乘法和除法17.2频率与概率13.5复数的平方根和立方根第十八章基本统计方13.6实系数的一元二次方法程18.1总体和样本精品文摘18.2抽样技术高三上18.3统计估计18.4实例分析第十四章空间直线与*18.5概率统计实验精品文摘。

整数和整除的意义

1.1 整数和整除的意义教学目标1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义．2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念．3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。

重点、难点理解和掌握整除的概念。

一、建立整数和自然数的概念：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。

在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。

零和正整数统称为自然数。

正整数、零和负整数，统称为整数。

2、把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9 正整数自然数整数归纳：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除10÷3 48÷8 6÷43、一展身手：（1）有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？为什么？1.2 因数和倍数教学设计因数和倍数是在整除基础上的进一步研究，因此在学生原有知识的基础上建立因数和倍数的概念，关键是使学生理解因数和倍数之间的相互依存关系，同时也是对整除概念的进一步巩固。

在教学设计中通过一些辨析题是学生更透彻的理解概念。

在求一个数的因数和倍数的过程中培养学生的观察和归纳问题的能力，在学生学和解决问题的同时培养良好的学习习惯。

教学目标1、理解和掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系。

会根据因数和倍数的意义描述两个数之间的关系。

2、知道一个数的因数和倍数的求法．3．知道一个数的因数是有限个，一个数的倍数是无限个．4、渗透初步的辩证唯物主义思想教育。

初等数论

• ⑷性质：定理1.3.3推论1(裴蜀恒等式)
• 如果两个数a，b的最大公约数是d，那么存在两
个整数x与y，使得等式ax+by＝d成立．(可以推广到n个数的情况) • 推论2：两个数a，b互质的必要且充分条件是存在整数x与y,使ax＋by＝1成立。推论1的推广设 a1 ,a2 , …, an ∈N+ (n≥2) ，则一定存在整数 s1, s2, …, sn，使 a1s1＋a2s2 ＋ … ＋ ansn＝ (a1 ,a2 , …,an ) .
第一章整数的整除性
主要内容
整除的定义、性质，奇数和偶数，带余除法定理、余数，最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理
1.1整除 1、整除的概念：
• 定义1.1 设 a，b ∈Z ，b≠0，如果存在 q ∈Z ，使得等式 a＝bq成立．我们就说，a 能被b整除或b整除a ，记作b | a． • 如果整数 q 不存在( 即对任何整数 q，恒有 bq ≠a ),那么就说a不能被 b 整除 (或者说b 不能整除a)，记作 b ｜a。
σ( a )表示正整数 a 的所有正约数的和，如 σ(2) = 3, σ( 4 ) = 7，等等。 σ1( a)表示正整数 a 的所有正约数的乘积．如 σ1( 4 ) = 8 , σ1( 10 ) = 100，等等．
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• 定理1. 26 如果自然数a的标准分解式为
a p1 p2
1
2
特别地，n 个偶数的积是 2n 的倍数（ n∈N+）.
性质2 (关于奇数)
(1) 双数个奇数的和是偶数；
(2) 单数个奇数的和是奇数；
(3) 任意个奇数的积还是奇数。
性质3 奇数与偶数的和是奇数. 性质4 任一奇数与任一偶数不相等.

第一讲,整数和整除

第一讲整数和整除主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数&1.3能被2、3、5整除的数教学目标：1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握能被2、3、5整除的数的特征,掌握能同时被2、5整除的数的特征5、掌握偶数、奇数的特征，以及它们的运算性质教学重点：1、自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数4、掌握奇数偶数的运算性质，会求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数教学难点：1.掌握整数最小和最大的因数，整数最小的倍数2.奇数偶数运算性质的应用3.求能同时被2、3、5其中的两个或者三个数整除的数考点及考试要求：1.自然数、整数、正整数、负整数的分类2.给出算式判断是否为整除3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数4.会运用奇数偶数的运算性质5.会求能被2、3、5整除的数以及能同时被其中的两个或者三个数整除的数★知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（n a tur a l num b er）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。

整数知识点2：整除（1）整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a. （2）整除的条件（两个必须同时满足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

知识点3：除尽与整除的异同点相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。

知识点4：因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。

六年级数学上册第1章数的整除 1.1 整数和整除的意义课件鲁教版五四制

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例题解析
1、0能被任何不为0的整数整除吗？
2、m÷n=3，n一定能整除m?
1、√ 0个东西n个人分，每个人是0个。 2、X 三整一零，m和n都不知道是不是整数。
本节小结
复习概念 1、我们经常要计算物体的个数，在数的时候，用来表示物体个数的数1，2， 3，4，5，· · · · · ·叫做正整数。 2、在正整数1,2,3,4,5…,前面添上“-”得到-1,-2,本课新概念 3,-4,-5…,叫作负整数。 1、零和正整数统称为自然数。 3、零既不是正整数，也不是负整数。 2、正整数、零和负整数统称为整数。
a b c
（a、b、c都是整数，且b≠0）
a能被b整除，b能整除a. 被除数能被除数整除，除数能整除被除数。
例子：
32能被2整除， 2能整除32。 32能被4整除， 4能整除32。不能说6能被1.4整除，因为此时 1.4不是整数。同样也不能说5.6能被2.8整除，也不能说2.8整除5.6 这里是除不尽的，同样不可以说除数整除被除数。
可以分成2组吗？ 4组呢？5组呢？
下面几组运算有什么异同?
32 ÷2=16 32 ÷4=8
除尽
除不尽
整除非整除
6÷0.2=30 5÷2=2.5 32÷5=6……2 32÷7=4……4
请你试着说说看：什么是“整除”？
整除
整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b 整除；或者说b能整除a.
• 中国是世界上最早认识和应用负数的国家，负数最早记载于中国的《九章算术》（成书于公元一世纪）中,比国外早一千多年。
负整数
在正整数前加上负号“—”，得到的数叫做负整数。
整数

1.1 整数和整除的意义

1.1 整数和整除的意义第一组1-11、下列算式属于整除的是（）A、3.9÷1.3=3B、51÷3=17C、7÷2=3.5D、5÷3=1 (2)2、下列说法中，正确的是（）A、整数一定比小数大B、没有最小的自然数C、所有的自然数都是整数D、最小的正整数是03、下列各题中，第一个数能被第二个数整除的有（）个①34，17；②3，6；③5，2；④1.5，0.5；⑤18，1A、1B、2C、3D、44、下列说法正确的是（）A、整数包括正整数和负整数B、非负整数是自然数C、若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除D、若m÷n余数为0，则n一定能整除m5、整数包括，其中称为自然数。

6、把下列各数填入相应的圈内：1.5，0整数自然数正整数负整数7、12÷3=4，我们可以说能被整除；也可以说能整除。

8、根据要求把下列算式填入相应的圈内：①15÷2；②36÷6；③68÷4；④9÷4除尽9、比10小的自然数有；其中最小的整数是，最大的整数是。

10、写出两个以13为除数的满足整除条件的算式。

11、已知29能被正整数a整除，则a可能是（写出所有的可能值）。

12、若一个自然数为a(a>0)，则与它相邻的两个自然数可以表示为；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是。

13、是否存在最大的正整数、负整数、自然数？如果有请你写出是哪个数。

14、正整数24能被正整数a整除，写出所有满足条件的a的值。

15、若两个整数a、b都能被不等于0的整数c整除，商分别为m、n。

（1）写出以上的两个整除算式；（2）它们的和与差也能被整数c整除吗？请你说明理由，并举例说明。

16、阅读理解：有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：（）—1=（）÷5=（）+ 2.解：设（）—1=（）÷5=（）+ 2=a，则这三个自然数分别为a+1、5a、a−2。