第五章 正弦稳态电路分析

5.3.2 复数的概念 复数运算是正弦稳态电路分析法的数学工具，掌握复数运算和如何将正弦信号与复 数建立关系是关键。 1. 正弦信号与复数之间的关系 欧拉公式
e jx = cos x + j sin x
根据欧拉公式有
U me j(ωt+θi ) = U m cos(ωt + θi ) + jU m sin(ωt + θi )
n•
∑ ∑ I km = 0 或
Ik =0
k =1
k =1
KVL 相量形式（对于回路）
∑n • U km = 0
或
k =1
3. 电路元件的相量表示
•
•
电阻元件：U = R I
∑n • Uk =0
k =1
•
•
电感元件：U = jωL I
•
电容元件：U =
1
•
I =−j
1
•
I
jωC
ωC
4. 相量模型 所谓相量模型，就是将电路中正弦电压源和电流源用相量形式表示，电压变量和电 流变量用相量形式表示，电阻、电感和电容用阻抗形式表示。
电阻阻抗形式： Z R = R
电感阻抗形式： Z L = jωL
电容阻抗形式： ZC
=
1 jωC
=−j 1 ωC
5.3.4 电路谐振
•
•
谐振条件，对于二端口网络，端口电压U 与端口电流 I 同相位。根据这一条件
第五章 正弦稳态电路分析 •55•
可知，只有当阻抗的虚部为零才能满足这个条件。使虚部为 0 的频率为谐振频率。 谐振分为串联谐振和并联谐振。 串联谐振常用于无线接收设备中，并联谐振常用于带通滤波、选频电路等。
于是得
⎪⎧G ⎨ ⎪B ⎩
= =
R R2 + X 2
−X R2 + X 2
≠ ≠
1
R 1
X
因此
Y
=
32
3 + 42
−
j 32
4 + 42
=
3− 25
j4 25
5-6 在某一频率时，测得若干线性时不变无源电路的阻抗如下：
RC 电路： Z=5+j2
RL 电路： Z=5–j7
RLC 电路： Z=2–j3
LC 电路： Z=2+j3
显然虚部即为正弦信号的表示形式，所以我们必须先熟悉复数运算。 2. 复数运算 ①复数表示形式
A = a1 + ja2 = ae jθ = a∠θ
②各种形式转换关系
a=
a12
+
a
2 2
⎫ ⎪
θ = arctan a2
⎬ ⎪
a1 ⎭
a1 a2
= =
Re[ A] Im[ A]
= =
a a
cosθ sin θ
A B
=
a b
e j(θA −θB )
=
a b
∠θ A
−θB
5.3.3 基本定理和电路元件相量形式 1. 正弦信号相量表示 以电压相量为例，电流相量形式相同
·54· 第一篇 电路分析基础
u(t) = U m sin(ωt + θu )
=
Im[U
m
e
j
(ωt +θ u
)
]
=
•
Im[U
m
e
jωt
]
其中
·58· 第一篇 电路分析基础
路，故稳态电流为零。
5-5 若某电路的阻抗为 Z=3+j4，则导纳 Y = 1 + j 1 。对吗？为什么？ 34
解：导纳 Y 定义为 Y = 1 ，而 Y = G + jB, Z = R + jZ Z
故有
Y
=G+
jB =
1 R + jX
=
R2
R +X2
−
j
R2
X +X2
R + jωL
•
式 Im
=
Um R + ωL
，或改为 I m
=
Um R2 + (ωL源自2•，或改为 I m
=
Um R + jωL
•
式U R
•
=U
R R + ωL
•
应改为U R
•
=U
R R + jωL
i(t) 1Ω
+
cosωt
1H
1F
–
•
I 1Ω
+
1∠0 o
jω
–
−j1 ω
(a)
(b)
图 5-2 习题 5-4 电路图及相量图
这些结果合理吗？为什么？
分析：利用相量分析法分析正弦稳态电路时，我们借助复数作为数学工具进行分析，
实部表示消耗能量的电阻，虚部表示存储能量的电容和电感，根据电容和电感中的电压、
电流的相位差，定义了电容虚部量为负，电感的虚部量为正。
解：
（1）此结果不合理。因为 RC 电路阻抗 Z 的虚部应为负值。 （2）此结果不合理。因为 RL 电路阻抗 Z 的虚部应为正值。 （3）此结果合理。 （4）此结果不合理。因为 LC 电路阻抗 Z 的实部应为零。 5-7 指出并改正下列表达式中的错误 （1） i(t) = 2 sin(ωt − 15o ) = 2e− j15o A
•
•
•
式U m = U Lm + U rm 应改为U m = U Lm + U rm 。
5-4 电路如图 5-2(a)所示，问频率ω为多大时，稳态电流 i(t)为零？ 分析：阻抗的值不仅取决于电路参数，还取决于电路的信号频率，利用相量分析法
求出电流表达式，求出电流为 0 时的电路工作频率即可。 解：画出原电路的相量模型如图 5-2(b)所示，根据欧姆定律有
•
•
U abm + U bcm = 36.6 + j36.6
uac = 51.7 sin(314t + 45o ) V
分析：利用相量分析法分析正弦稳态电路，既可以用 sin 函数表示正弦信号，也可 以用 cos 表示正弦信号，但在分析过程中只能采用同一标准，否则必然导致错误。
解：方法（一）、（三）是正确的，方法（二）、（四）是错误的，它们的错误在于：
•
I=
1∠0o
= ω 2 −1 = (ω 2 −1)(ω 2 −1 + jω) = (ω 2 −1)2 + jω(ω 2 −1)
jω(− j 1 ) ω 2 −1− jω
(ω 2 −1)2 + ω 2
(ω 2 −1)2 + ω 2
1+
ω
jω − j 1
ω
•
令 I = 0 ，则有
⎧ (ω 2 −1)2 = 0 (实部） ⎩⎨ω(ω 2 −1) = 0 （虚部） 解之得，ω=±1 时，实部和虚部均为 0，舍去负值后得ω=1 故当ω=1rad/s 时，LC 并联电路发生谐振，其阻抗为无穷大，此时的电路相当于开
⎫ ⎬ ⎭
③复数运算 设 A = a1 + ja2 = ae jθA , B = b1 + jb2 = be jθB ，则：
A ± B = (a1 + ja2 ) ± (b1 + jb2 ) = (a1 ± b1 ) + j(a2 ± b2 )
A • B = abe j(θA +θB ) = ab∠θ A +θ B
在同一问题中采用了两种不同的标准来表示正弦量，方法（二）中，
•
U
abm
是用1∠0o
代
表
cosωt
•
写出的，而 U
bcm
则是用1∠0o
代表
sin ωt
写出的，其结果显然是不正确的。方法
•
（四）中， U
abm
是用 1∠0 o
代表
sin ωt
•
写出的， U
bcm
则是用 1∠0 o
代表
cos ωt
写出的，其
•
（2）U = 5∠90o = 5 2 sin(ωt + 90o )V
（3） i(t) = 2 cos(ωt −15o ) = 2∠ −15o A
第五章 正弦稳态电路分析 •59•
（4）U = 220∠38o V 分析：相量分析法只是为了简化正弦稳态电路分析引入的分析方法，在使用相量分 析法时，我们只关注了正弦信号三要素中的振幅和初相角，而正弦信号的频率在分析的 过程中并不关注，这是因为对于正弦稳态电路，电路中的频率处处是相等的缘故，所以 实际的信号与相量是对应关系，而不是相等关系。 答：
·56· 第一篇 电路分析基础
•
U abm = −50 + j86.6
•
U abm = −50 + j86.6
•
U bcm = 50 + j86.6
•
•
U abm + U bcm = 0 + j173.2
uac = 173.2sin(314t + 90o ) V
•
U bcm = 86.6 − j50
•• •
I = I1+ I2
将 i2(t)转换为余弦，有
•
I1
= 1∠0o
=1
•
I2 =
3∠90o = j 3
所以
•
I = 1 + j 3 = 2∠60o
•
与相量 I 相对应的正弦电流 i(t)为
i(t) = i1(t) + i2 (t) = 2 cos(ωt + 60o ) (A)
注：所谓正弦量既可以用正弦表示也可以是余弦表示，仅差 900 相位差。
·52· 第一篇 电路分析基础
第五章 正弦稳态电路分析
5.1 教学目标
正弦交流电不仅容易产生、便于控制和变换，而且能够远距离传输，故在电力和信 息处理领域都有广泛的应用。所以，正弦稳态电路分析，在理论和技术领域中都占有十 分重要的地位。
如果直接用三角函数的运算规则去分析电路，理论上是没有问题的，但是计算的工 作量会很大，而且还要熟练运用三角函数各种变换规则和变换技巧，这就增加了电路分 析的难度，是否能够找到一种更有效的、将正弦稳态电路的分析与我们已熟知的直流电 路分析对应起来的方法？
U abm + U bcm = 173.2 + j0
uac = 173.2cos314t V
方法三：
•
U abm = 86.6 + j50
•
U bcm = 50 + j86.6
•
•
U abm + U bcm = 136.6 + j136.6
uac = 193.4cos(314t + 45o ) V
方法四：
结果仍然是不正确的。因此在分析正弦稳态电路时，虽然既可以用正弦表示也可以用余
弦表示，但在分析过程中只能选其中一种，不可混用，否则导致错误。
5-3 （1）指出图 5-1 所示相量模型是否有错？
（2）指出下列各式是否有错？
•
•
I=
U
；
R + ωL
Im
=
Um ； R + ωL
•
UL
•
=U
jωL ； R + jωL
•
•
U
R UR
U
R UR
–
–
–
(a)
(b)
图 5-1 习题 5-3 电路相量图
•
（2）式U L
•
=U
jωL
•
；U
R + jωL
•
•
=U L+U R；
u
=
uL
+ uR 是正确的，其余各式均有错。
第五章 正弦稳态电路分析 •57•
•
•
•
式I =
U
•
应改为 I =
U
（欧姆定理在正弦稳态电路中的形式）
R + ωL
5-2 已知 uab = 100cos(314t + 30o ) V，ubc = 100sin(314t + 60o ) V ，在用相量法求
uac 时，下列四种算法得答案哪些是正确的？不正确的，错在何处？
方法一：
方法二：
•
U abm = 86.6 + j50
•
U bcm = 86.6 − j50
•
•
本章教学目的就是要掌握正弦稳态电路的分析方法—相量分析法。先介绍正弦信号 概念以及正弦信号的相量表示，然后再介绍电路分析定理的相量形式和电路元件的相量 模型，最后介绍正弦电路的应用—电路谐振。
5.2 教学内容
1. 正弦信号的基本概念 2. 基本定理和基本元件的相量形式 3. 相量法分析 4. 电路谐振
•
UR
•
=U
R R + ωL
••
•
U = U L + U R ； u = uL + uR； U m = U Lm + U rm
解：（1）图 5-1(a)所示的相量模型有错误，因为电流应用相量表示，电感需用感抗
表示，故应改为图 5-1(b)所示的相量模型。
•
i
UL
•
•
I + UL –
+
L
+
jωL
+
•
•
相量分析法就是巧妙地利用了正弦稳态电路特点（稳态后处处频率相等），借助数 学中的复数运算工具分析正弦稳态电路的方法。
在直流稳态电路分析时，电感和电容被视为短路和开路，但若正弦信号作用在电感 和电容上，电感和电容的就不能被视为短路和开路了。相量分析法中将电感和电容等效 为阻抗，在对正弦稳态电路分析时，可将电感和电容视为与电阻相同，这样，前面学习 的直流分析方法就可以完全适合正弦稳态电路。正弦稳态分析方法也是实现系统频率域 分析的基础。
5.3 重点、难点指导
5.3.1 正弦信号基本概念
电压正弦信号表达式（电流的正弦信号表达式形式相同）
u(t) = U m sin(ωt + θ ) 正弦信号三要素是幅值 Um、频率ω和初相角θ。其中
U m = 2U
ω = 2πf θ
U 为有效值
f 为频率 可以是角度，也可以是弧度
第五章 正弦稳态电路分析 •53•
5.4 习题选解
5-1 若 i1 (t) = cosωt A，i2 (t) = 3 sin ωt A，求i1 (t) + i2 (t)。
分析：如果直接将 i1(t)、i2(t)相加，要将其和化成正弦信号的标准形式，就必须进行 三角函数变化，计算较为复杂，所以我们采用相量分析法。
解：设 i(t)=i1(t)+i2(t)，由于 i1(t)、i2(t)是同频率的正弦信号，以相量表示后得
•
U m = U me jθu 称为正弦信号 u(t) = U m sin(ωt +θu ) 的相量形式，即电压相量只
考虑了正弦信号三要素中的幅值 Um 和初相θ，而忽略了角频率ω，这是考虑到正弦电 路达到稳态以后，电路中个处的频率是相等的。
2. 基尔霍夫定律相量形式 KCL 相量形式（对于节点）
n•