《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案

《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。

第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。

2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。

非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。

3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。

有那些单质晶体分别属于以上三类。

答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。

常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。

面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。

常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。

六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。

常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。

4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。

答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。

ZnS：类似于金刚石。

作业2：1. 什么叫原胞？解：原胞是指晶格内重复排列的最小体积单元。

2. 简单立方晶格，体心立方晶格，面心立方晶格的基矢是什么？设对应的立方晶格的边长为a ，以上三种晶格的体积是多少？解： 简立方基矢： i a a=1j a a=2 3a V =k a a=3面心立方基矢：)(21j i a a+=)(22k j a a += 341a V =3()2aa i k =+体心立方基矢1(i j k)2aa =+- 2(i j k)2a a =-++ 321a V =;3(i j k)2aa =-+3.对于简单晶格和复式晶格，如何确定其中原子的位置？解：对于简单晶格每个原子的位置可以写成：=R++; ,,为晶格基矢；对于复式晶格位置可以写成：=R+++; 表示原胞内各种等价原子之间的相对位移。

4.如何确定某一晶列指数？（1）取一晶体微粒为坐标原点0，确定原胞的基矢,,;（2）将所考察的晶列平移过坐标原点，从原点沿着晶列方向，找出最近的一个微粒的矢量并表示为：=R++;（3）写出该晶列的晶向指数[321l l l ]。

5.如何确定某一晶面的密勒指数?（1）取一晶体微粒为坐标原点0，确定原胞的基矢,,; （2）找出考察的晶面在矢量,,;方向上的截距1a r,,;（3）将 r 、s 、t 倒数并整数化，从而得到该晶面的密勒指数（321h h h ）。

作业3：1.倒格子基矢如何利用正格子基矢求出？ 解：可以利用正格子基矢1α，2α，3α导出倒格子基矢1b ，2b，3b ，其关系为：)(2321321αααααπ⨯•⨯=b ；)(2321132αααααπ⨯•⨯=b ；)(2321213αααααπ ⨯•⨯=b2.倒格子有何特点？解：①设正格子基矢为1a ，2a ，3a，倒格子中微粒的位矢为332211G b h b h b h ++=， 1b ，2b，3b 是倒格子基矢，1h ，2h ，3h 是整数，则有：ijj i b a πδ2=•，当j i =时，1≠ij δ；当j i ≠时，=ij δ。

②倒格子原胞的体积*Ω与正格子原胞的体积Ω的乘积为()32π ，即()3*2π=Ω•Ω。

③倒格矢3322111321b h b h b h G h h h++=（1b 、2b 、3b 是倒格子基矢，1h 、2h 、3h 是整数）与密勒指数为)(321h h h 的晶面相互垂直。

作业4：1、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 213422()()4ab i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+- 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω3123,,222(),,2222,,222a a a a a a a a a a a a a-Ω=⋅⨯=-=-，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+- 213222()()2a b j k j k a aππ∴=⨯⨯+=+同理可得：232()2()b i k ab i j aππ=+=+即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

2、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：因为33121323,a a a a CA CB h h h h =-=-， 112233G h b h b h b =++容易证明12312300h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

作业51.在三维情况下，正交变换表示成什么形式？此时绕Z 轴转 θ角的正交矩阵和中心反演的正交矩阵各是什么？解：在三维情况下，正交变换可表示成：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''z y x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231222221131211a a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x其中矩阵{}ija 是正交矩阵（i ，j=1,2,3）绕Z 轴转θ角的正交矩阵是：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000cos sin 0sin cos θθθθ中心反演的正交矩阵为：100010001-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭2．简单立方晶格有哪些对称操作？ 答：（1）绕立方轴转动2π、π、23π，有三个立方轴，共有9个对称操作； （2）绕面对角线转动π，有六条不同的面对角线，共6个对称操作； （3）绕立方体对角线转32π、34π，有4条不同的立方体对角线，共8个对称操作； （4）正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001，即不动，也算一个对称操作； 将上述的4种可能加起来，一共是24个对称操作。

又因为中心反演定律可以使立方体保持不变，因此以上每一个转动加中心反演都是对称操作。

所以总共48个对称操作。

3.什么叫对称素？答：若某物体绕其一对称轴转α角后，其中的微粒分布仍然与原来的空间排列完全相同，那么该操作对应的对称素n 为：απ2=n ，α用弧度制。

作业61．试证明：晶体的宏观对称性只有哪几种对称素？ 证明：如下图 ，格点A 的位置可表示为 2211ααl l +围绕“过格点A 点且垂直纸面的轴”转动θ角后，设格点B 转到另一格点B ' 的位置。

由于格点A 与格点B 完全等价，因此围绕“过格点B 点且垂直纸面的轴”转动θ角，格点A 一定会转到另一格点'A 的位置。

又由于A 和B 都是晶体中的格点，晶体中的格点排列具有严格的周期性，所以有：AB A B ||''，AB n A B ==''∴1n α, n 为整数。

如图可得：)cos 21(θ-=''AB A B21cos cos 21nn -=⇒-=θθθcos 必须在1与-1之间。

∴n 只能有-1,0,1,2,3五个值，相应的πππππθ,32,2,3,2=，它的宏观对称素还能为：1,2,3,4,6；由于各个对称素的中心反演都是对称操作，故得：6,4,3,2,1也是对称素。

第二章作业7：1、三维NaCl 晶体对应的马德隆常数α的表达式是什么？在二维、一维情况下，马德隆常数α的表达式又分别是什么？∑∑∑∑---=--=+--=++-=+++nnnn n n n n n n n n n n n n a n n a n n n a )1(')()1(')()1(')('2122121212322212121321321)1(一维：二维：三维：2、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为a=2In2。

证：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子。

用r 表示相邻离子间的距离。

]4131211[2)1( +-+-=±=∴∑r r r r r r a sij 马德隆常数]4131211[2 +-+-=a +-+-=+432)1(432x x x x x In当x=1时有： +-+-=41312112In 即a=2In23、试由三维NaCl 晶体的内能表达式 ，r 表示相邻正负离子的距离，N 表示晶体中原胞的个数，（1）其中表示相互吸引的平均库仑能和重叠排斥能各是哪一项？（2）试求出该晶体处于平衡态时的晶格常数、体变模量和结合能。

解：（1）平均库仑能为)(RAN -，重叠排斥能为n r B N（2）令0|0==r r dr du ，由于⎪⎭⎫⎝⎛+-=n r r B r A N u )(，则有： ,0)(1020=-+n r Bn r A N 于是可得110)(-=n A Bn r ][n r B r A N U +-=体模变量：400222184)1(0r aq n dV u d V VdV dp K V ⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=πε 结合能：)()(000n r B r A N r u W +--=-=作业8：1、 共价结合有哪两个基本特性？它们的含义分别是什么？解：(1)饱和性：是指一个原子只能形成一定数目的共价键，一个电子只能和一个与自己自旋方向相反的电子形成一个共价键。