2.1矩阵序列及函数矩阵的极限
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
矩阵级数与矩阵函数
{ A } 收敛于 A, 记为
(k )
lim A( k ) = A 或 A( k ) → A
k →∝ k →∝
不收敛的矩阵序列则称为发散的，其中又分为有界和无界的情况。 对于矩阵序列 A
(k ) aij <M
{ } ，若存在常数 M > 0 ，使得对一切 k 都有
(k )
则称 A
{ } 为有界的。
(k )
k =1
N
{S } 收敛,且有极限 S , 则称该矩阵级数收敛,且有和 S . 记为
S = ∑ A(k )
k =1 ∞
不收敛的矩阵级数称为是发散的。
6
若矩阵级数 对收敛。
∑A
k =1
∝
(k )
的所有元素
∑a
k =1
∝
(k ) ij
均绝对收敛,则称该级数为绝
2. 绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收
k 0 k =0 k
∝
I ) 是绝对收敛的。 反之, 若 A 存
在落在 ϕ ( z ) 的收敛圆外的特征值, 则 ϕ ( A) 是发散的。 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A , ϕ ( A) 均收 敛。
11
四、 矩阵函数 如: e , sin A , cos A 以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)
三、 方阵的幂级数
A 为方阵 ,
Neumann 级数。
∑ c A ,( A
k =0 k
∝
= I ) 称为 A 的幂级数 .
∑A
k =0
∝
k
称为 A 的
1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A 为收敛矩阵,且在收敛时其和 为 ( I − A) 。 证明: [必要性]
矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
矩阵分析及矩阵函数
§3.1
基本概念
§ 3.2 函数矩阵的微分和积分 § 3.3 向量和矩阵的范数 § 3.4 矩阵函数
§3.1
基本概念
1.矩阵序列的极限
按照一定的顺序，将可数个n阶方阵排成一列： A1 , A2 , , Am , , 称这列有次序的矩阵为矩阵序列， 称Am为矩阵序列的一般项。
0 0 0
t t0
t t0
A t B t AB lim A t lim B t , 2 lim t t t t t t
0 0 0 0 0
kA t kA k lim A t 。 3 设k任意常数，则 lim t t t t
定义5 如果任意的i, j , 有1 i m,1 j n, lim aij t aij , 则称矩阵A t aij t t t0时极限为A aij
t t0 mn mn
在
。
性质3 设 lim A t A,lim B t B, 则 A t B t A B lim A t lim B t ; 1 lim t t t t t t
m
m 1, 2,
, 则 lim Am 存在，且 lim Am =A 。
m m
1
1
1
定义2 如果给定一个n阶矩阵序列 Am ： A1 , A2， ，Am， ，则由这些n阶矩阵序列 构成的表达式A1 A2
m 1
2.矩阵级数
Am
，叫做
n阶矩阵级数，记为 Am，即
定义6 设函数矩阵A t 中所有元素aij t 在t0处连续，则称A t 在t0处连续。 如果所有元素aij t 在 a,b 内每一点都 连续，则称A t 在 a,b 内连续。 如果A t 在 a,b 内连续，并且所有的aij t 在a点右连续，在b点左连续，则称A 为两个n阶矩阵序列, 如果
第4讲(1)矩阵序列与矩阵函数
1 4!
A4
+L+
(−1)k (2k )!
A2k
+L
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，且 AB = BA, 则 (1) d e − At = − e − At A dt (2) e AeB = eBe A = e A+B
(3) (e A )−1 = e − A
∑ Q e − At
=
∞ k=0
假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得
P −1AP
=
⎡λ1 ⎢
O
⎤ ⎥,
⎢⎣
λn ⎥⎦
则
f ( A)
=
⎡ P⎢
f
(λ1 )
O
⎤ ⎥ P −1.
⎢⎣
f (λn )⎥⎦
37
(d) Jordan标准型法
一般的，设A的Jordan标准型为J，即存在
非奇异矩阵P，使得
P −1 AP = J
⎡J1 =⎢
O
⎤ ⎥,
a
k
J
k i
收敛,
且
k=0
13
14
∞
∑ ak
J
k i
=
k=0
⎡ ⎢
f
(λi
)
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
f ′(λi ) O
1 2!
f ′′(λi )
O
L O
1 ( r −1)!
f
(r
M
−1)
(λi
)⎤ ⎥ ⎥
O
O
1 2!
f ′′(λi )
⎥ ⎥
O
f ′(λi ) ⎥
f (λi ) ⎥⎦
大三必修数学知识点
大三必修数学知识点数学作为一门基础学科，在大学阶段占据着重要的地位。
尤其对于理工科学生来说，大三是他们进一步深化和拓展数学知识的时期。
本文将介绍大三必修数学知识点，帮助同学们在学习中更好地掌握这些关键内容。
1. 高等代数知识点1.1 矩阵论：介绍矩阵的基本概念、运算和性质，矩阵的相似、对角化和特征值问题等。
1.2 线性方程组：研究线性方程组的解的存在唯一性、矩阵的秩和逆的性质。
1.3 特征值与特征向量：深入理解特征值与特征向量的概念及其在线性代数中的应用。
1.4 幂零矩阵和可逆矩阵：学习幂零矩阵和可逆矩阵的定义、性质及其在矩阵论中的重要性。
2. 微积分知识点2.1 多元函数微分学：学习多元函数的偏导数、全微分、最值及其在几何和物理问题中的应用。
2.2 多元函数积分学：研究重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法和应用。
2.3 级数与序列：掌握级数与序列的收敛性、数值判别法和级数收敛的应用。
2.4 常微分方程：学习一阶和二阶常微分方程的解法和一些特殊问题的求解。
3. 概率论与数理统计知识点3.1 随机变量：研究随机变量的概念、分布函数、概率密度函数及其性质。
3.2 大数定律与中心极限定理：理解大数定律和中心极限定理及其在实际问题中的应用。
3.3 参数估计与假设检验：学习参数估计的方法和假设检验的原理与步骤。
3.4 相关与回归分析：掌握相关与回归分析的基本概念、方法和模型。
4. 数学分析知识点4.1 数列与级数：研究数列和级数的性质、收敛性和发散性。
4.2 一元函数的极限和连续性：学习一元函数的极限概念、连续性和中值定理等。
4.3 导数与微分：深入理解导数和微分的概念、性质和计算方法。
4.4 不定积分与定积分：掌握不定积分和定积分的计算方法和应用。
总结：大三必修的数学知识点涵盖了高等代数、微积分、概率论与数理统计以及数学分析等方面。
掌握这些知识点对于理工科学生来说至关重要，不仅可以为他们的专业课提供必要的数学基础，还为他们未来的学习和研究奠定了坚实的数学基础。
附录-矩阵序列与级数
1
2
8 2 1 16 ( 5)( 3) 0 1
1 5 2 ( A) 。 1 ( A) ， 2 6
lim Ak 0
k
得 1 ( B) 5， 2 ( B) 3，进而得
5 ( A) 1 于是， 6
0 q 1
A k 0 根据定理1 即知 lim A k 0。 于是，lim k k
推论
设 A∈Cn×n， lim A k 0 的充分必要条件是
k
存在Cn×n上的某种范数 ，使得 A 1
( A) < 1
lim A k 0
k
A 1
判断一个矩阵序列是否收敛到零矩阵：
证 必要性 由定理1知 lim A k 0 的充分必要条件是对任意
A k 0。 因此对充分大的k, 必有 Ak 1 一种矩阵范数 均有lim k
k
k
因此得
(A)
k
(Ak ) Ak 1
利用矩阵谱半径的定义以及相容矩阵范数的性质有：
( A) < 1
Ak
其中 det Aij( k ) ( n 1)( n 1)
(k ) (k ) det( A ) det( A 12 22 ) det( A( k ) ) det( A( k ) ) 1n 2n i, j 1, 2, , n 为Ak的第ij个代数余子式。
mn 推论 设A k A C ， ，并且 k 1
lim A k A
k
Ak A 则 klim
此结论只是充分条件，反过来不一定成立。 给定矩阵序列 Ak 1
矩阵级数与矩阵函数
第七讲 矩阵级数与矩阵函数一、 矩阵序列1. 定义: 设有矩阵序列{}()k A , 其中()()()k k ij A a =, 且当k →∞时()k ij ij a a →, 则称{}()k A 收敛, 并把()ijA a =叫做{}()k A 的极限, 或称{}()k A 收敛于A , 记为()lim k k A A →∝= 或 ()k k A A →∝→不收敛的矩阵序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况.2. 收敛矩阵序列的性质:设{}()k A ,{}()k B 分别收敛于A ,B 则(1) ()()k k k A B A B αβαβ→∝+→+(2) ()()k k k A B AB →∝→(3) ()11()k k A A --→∝→，若()11(),k A A --存在(4) ()k k PA Q PAQ →∝→3 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时0k A →, 则称A 为收敛矩阵.[定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1.证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 1A PJP -= 其中J 为A 的Jordan 标准形12s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1010i iii J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1112k kk k k s J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11!...(1)!(1)!,i k m kk i i i i i ki k k m k m J λλλ-+-⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当i k m > 0k A →就等价于0(1,2,...,)k i J i s →=, 等价于0(1,2,...,)k i i s λ→=,而这只有1i λ<才可能也必能.[得证]二、 矩阵级数1.定义: 矩阵序列{}()k A 的无穷和(1)(2)()k A A A ++++叫做矩阵级数, 而()()1NN k k SA ==∑称为其部分和, 若矩阵序列{}()N S 收敛,且有极限S , 则称该级数收敛,且有和S . 记为()1k k A S ∝==∑ 不收敛的级数必为发散的.若矩阵级数()1k k A∝=∑的所有元素()1k ij k a ∝=∑均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.2. 绝对收敛矩阵级数的性质(1)绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和.(2) ()1k k A ∝=∑绝对收敛,则()1k k PA Q ∝=∑也绝对收敛且等于()1k k P A Q ∝=∑(3) ()1k k A ∝=∑, ()1k k B ∝=∑均绝对收敛,且和分别为12,S S 则()(1)1211()ki k i k i AB S S ∝+-===∑∑三、 方阵的幂级数A 为方阵, 0,()kk k c A A I ∝==∑称为A 的幂级数. 0k k A ∝=∑称为A 的Neumann 级数.1. Neumann 级数收敛的充要条件[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为1()I A --. 证明: [必要性]级数0k k A ∝=∑收敛, 其元素为23()()()ij ij ij ij A A A δ++++显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故()0k ij k A →∝→，即0k k A →∝→也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, ()I A -的特征值为μ. 则由det(())det((1))(1)det((1))n I I A I A I A μμμ--=-+=---可见11μλμλ-=→=-故020μμ<<→≠, ()I A -的行列式不为零,1()I A --存在. 而21(...)()k k I A A A I A I A +++++-=- 右乘1()I A --得211...()()k k I A A A I A I A +-++++=--当k →∝时, 10k A +→, 故11()0k A I A +--→. 所以10lim ()kii k i i AA I A ∝-→∝====-∑∑即Neumann 级数收敛于1()I A --.2. 收敛圆[定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数0()k k k z c z ϕ∝==∑的收敛圆内, 则矩阵幂级数00(),()k k k A c A A I ϕ∝===∑是绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在()z ϕ的收敛圆外的特征值, 则()A ϕ是发散的. 证明略.[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A , ()A ϕ均收敛.四、 矩阵函数 如: A e , sin A , cos A以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)我们知道, 201112!!znn e z z z n ∝==+++=∑210(1)sin()(21)!n n n z z n ∝+=-=+∑20(1)cos()(2)!n nn z z n ∝=-=∑均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A01!Ann e A n ∝==∑210(1)sin()(21)!nn n A A n ∝+=-=+∑20(1)cos()(2)!n nn A A n ∝=-=∑均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。
序列极限的定义
序列极限的定义序列极限的定义序列是数学中一种重要的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的数列。
而序列极限则是序列理论中最为基础和重要的概念之一。
在本文中，我们将详细地介绍序列极限的定义、性质和相关定理。
一、序列极限的定义1.1 序列的定义在介绍序列极限之前，我们需要先了解什么是序列。
序列可以看作是一个数字集合，其中每个数字都有一个确定的位置。
通常用符号${a_n}$表示，其中$n$为自然数，$a_n$表示第$n$项。
例如：$\{1,2,3,4,5,...\}$就是一个自然数序列。
1.2 极限的定义在数学中，“极限”是一个非常重要的概念。
它描述了函数或者数值集合随着变量趋近于某个值时所达到的最终状态。
设${a_n}$为一个实数序列，$A$为实数，则当$n \rightarrow+\infty$时，如果对于任意给定的正实数$\varepsilon$（无论多小），总存在正整数$N(\varepsilon)$使得当$n>N(\varepsilon)$时，有：$$|a_n-A|<\varepsilon$$则称数列${a_n}$收敛于$A$，并称$A$为${a_n}$的极限，记作：$$\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = A$$如果数列${a_n}$不满足上述条件，则称其为发散序列。
二、序列极限的性质2.1 极限唯一性一个序列只有一个极限。
也就是说，如果一个序列收敛于某个实数$A$，那么这个实数是唯一的。
2.2 有界性如果一个序列收敛于某个实数$A$，那么这个序列一定是有界的。
也就是说，存在正实数$M>0$和$n_0 \in N^*$，使得当$n>n_0$时，有：$$|a_n| \leq M$$2.3 保号性如果一个序列收敛于某个实数$A>0$（或者小于零），那么从某一项开始这个序列的所有项都大于（或者小于）零。
三、常见极限定理3.1 夹逼定理夹逼定理是求解极限问题时常用的方法之一。
矩阵理论
个列向量线性无关，对任意 x ( x1 , x2 , xn )T C n , 规定：
x
Ax
n 则 x 是 C 中的向量范数。
x1 x2 证 （1） Ax ( A1 , A2 ,, An ) x1 A1 x2 A2 xn An 0 x n
kx
E
(kx )e
i 1 i
n
i E
( kxi ) k ( xi ) k x
2 2 i 1 i 1
n
1 2
n
1 2
E
（3）对 x xi ei , y yi ei V , 有
i 1 i 1
n
n
x y
E
( xi yi )ei
则
x y
p
( xi yi ) .
p i 1
n
1 p
由于
( xi yi ) . ( xi ) ( yi )
i 1 i 1 i 1
n
1 p p
n
1 p p
n
1 p p
（闵可夫斯基不等式 Minkowski） 其中 1 p ，从而得到： x y 故 x
x y
A( x y) Ax Ay Ax Ay x y ,
n 故 x 是 C 中的向量范数。
此例说明 C 中可以定义无穷多种向量范数。
n
e1, e2 ,, en 是 V 的一组基，则对 例5 设 V 是 n 维线性空间，
x V , x 有唯一表示式： x x1e1 x2e2 xnen
§3.2 函数矩阵的微分和积分
极限与序列的概念及计算方法
极限与序列的概念及计算方法引言：在数学领域中，极限和序列是非常重要的概念。
它们不仅在微积分、数学分析等学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
本文将深入探讨极限和序列的概念，并介绍一些常用的计算方法。
一、极限的概念1.1 极限的基本定义极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种趋于无穷大或无穷小的过程。
在数学中，我们通常用符号lim来表示极限。
如果一个数列a1, a2, a3, ...在n趋于无穷大时，其值趋于一个常数L，那么我们就称L为该数列的极限，记作lim(n→∞)an = L。
1.2 极限的性质极限具有一些重要的性质，包括唯一性、保序性和四则运算性质等。
唯一性指的是一个数列的极限是唯一的，即不存在两个不同的极限。
保序性指的是如果一个数列的每一项都大于等于另一个数列的对应项，那么它们的极限也满足这个关系。
四则运算性质指的是如果两个数列分别收敛于L1和L2，那么它们的和、差、积和商的极限分别为L1 + L2、L1 - L2、L1L2和L1/L2。
二、序列的概念2.1 序列的定义序列是数学中一个重要的概念，它是由一系列有序的数所组成的集合。
通常用{an}或(an)来表示序列，其中an表示序列的第n个数。
序列可以是有限的，也可以是无限的。
2.2 序列的分类根据序列的性质，我们可以将序列分为有界序列和无界序列。
有界序列指的是序列的值都在某个范围内，而无界序列指的是序列的值没有上界或下界。
三、极限的计算方法3.1 数列极限的计算方法计算数列的极限是数学中的一个重要问题。
常见的计算方法包括直接计算法、夹逼准则和单调有界原理等。
直接计算法是一种简单直接的计算方法，适用于一些简单的数列。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过直接计算得到lim(n→∞)1/n = 0。
夹逼准则是一种常用的计算数列极限的方法。
它的基本思想是通过夹逼定理来确定数列的极限。
例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们可以通过夹逼准则得到lim(n→∞)sin(nπ/4) = 0。
矩阵理论 向量与矩阵的极限
(i, j = 1,2,
n)
lim A ( m ) = A 。 则称方阵序列 { A ( m ) } 收敛于方阵 A = (aij ) n×n ，记为 m →∞
Ax = λx ⇒ A m x = λ m x ，即 λm 是 A m 的特征值，
∴ ρ m ( A) 是 A m 的谱半径，即 ρ m ( A) = ρ ( A m ) , 故 ρ ( A) < 1 .
四、函数矩阵的极限及连续性 Df5.设 x ∈ [a, b] ，称 A( x) = (aij ( x)) m×n 为函数矩阵（与矩阵函数的区别）
ε
2
∃N 2 > 0 ,当 m > N 2 时， B ( m ) − B <
ε
2
取 N = max { N1 , N 2 } > 0 ，当 m > N 时，
A(m) + B (m) − ( A + B) ≤ A(m) − A + B (m) − B < ε
∴ A ( m) + B ( m) − ( A + B) → 0
2 m m
lim x ( m ) = (0, 1, e, e) 解： m →∞
Th1.： C n 中向量序列 {x ( m) } → 向量 x0 = ( x1 , x 2 , x n ) ⇔ 对任意一种向量 范数 ⋅ ，有 x ( m ) − x0 → 0 。 说明，本定理的关键在于应用，它对任何范数都成立，至于证明主要 是取 ⋅ ∞ ，结合极限的 "ε − N " 定义来证明的。
矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
Matrix Analysis and Computations
矩 阵 分 析 与 计 算 ——矩阵极限与矩阵级数 Matrix Limit & Series
λ J ( )= 1 λ
k J2
P -1 k Js
考虑一个一般的Jordan块，
1 λ C r r 1 λ
记
0 U=
0 1 0
1 0
1 0
C r r 1 0
矩阵序列Cauchy收敛准则 定理4： 矩阵序列{Ak}收敛的充要条件是：对于 任给的正数ε,总存在一个自然数N, 使得 n,m>N时，都有 ||An - Am||<ε
二 矩阵级数
1.矩阵级数的定义
定义 4 矩阵序列 Ak 的无穷和 A 1 + A2 +
n
+ Ak +
叫做矩阵级数, 而 Sn =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
J ( )=( E i k i C k U U i i 0 i 0 i ! d k k
2、幂级数
定义 5
A 为方阵, ck Ak ， A0 E 称为 A 的幂级数.
k=0
k A 称为 k=0
A 的 Neumann 级数.
矩阵论 黄有度43
(3) 设k为常数，则 lim[ kA(t )] = kA = k lim A(t ). 为常数，则
t →t0 t →t0
定义 设函数矩阵A(t )中所有元素aij (t )在t0处连续，则称 A(t )在t0处连续。如果所有元素aij (t )在(a, b)内每一点都连 续，则称A(t )在(a, b)内连续。如果A(t )在(a, b)内连续，并且 所有的aij (t )在a点右连续，在b点左连续，则称A(t )在[a, b]上 连续。
3.3 向量和矩阵的范数
向量范数
定义 设V 是数域P上的线性空间，若∀x ∈V , 都有一个数 x ∈ P 与之对应，且满足条件：
(1)正定性：x ≥ 0，且 x = 0 ⇔ x = 0； (2)齐次性： = k x , k ∈ P; kx (3)三角不等式：对 ∀x,y ∈ V,有 x+ y ≤ x + y ,
t →t 0 t →t0
(1) 如果A(t ), B(t )都是m × n阶矩阵，则 lim[ A(t ) + B (t )] = A + B = lim A(t ) + lim B (t );
t →t0 t →t0 t →t0
(2) 如果A(t ), B (t )分别为m × n阶及n × r阶矩阵，则 lim[ A(t ) B(t )] = AB = lim A(t ) lim B(t );
m→∞
lim a
(m) ij
= aij , i, j =1,2,Ln, 则称矩阵序列 Am}收敛于矩阵 {
m→∞
A = (aij )n×n , 记为lim Am = A;否则, 称矩阵序列 Am}为发散的。 {
矩阵序列与矩阵级数
⎡1⎤
⎢ 例：二维向量 x(k) = ⎢
2k
⎥ ⎥
⎢sin k ⎥
⎢⎣ k ⎥⎦
⎡1⎤
二维向量
x(k)
=
⎢ ⎢
2k
⎥ ⎥
⎣sin k ⎦
2，按向量范数收敛
量范数为 || x || .如果存在向量
α ∈Cn ，当 k → ∞ 时，|| x(k) − α ||→ 0 ，则称向量序列按向量范数收敛于α 。
第十五讲 矩阵序列与矩阵级数
[回顾]
1，数列 {ak
} k= 1,2,......
ai
∈C
数列收敛：
lim
k
ak
=
a
一、向量序列的两种收敛
1，按分量收敛；
{ } C n 中向量序列 x(k ) k=1,2,...... , x(k ) = (x(k )1,..., x(k )n ) ∈ C n
如果向量序列的每一个分量序列（为数列）都收敛，即
k→∝
(2) A(k)B(k) → AB k→∝
(3) (A(k))-1 → A-1，若(A(k))-1， A-1同时存在 k→∝
注意：如果不是同时，比如仅有(A(k))-1存在时，可能收敛矩阵并不可逆，（3）
的结论不成立，如
A(k )
=
⎡⎢1 + ⎢
1 k
⎢ ⎢⎣
1
1
⎤ ⎥
⎥
1+
1 k
⎥ ⎥⎦
(4) PA(k)Q → PAQ k→∝
3. 按矩阵范数收敛
两种矩阵收敛的等价性(P118,定理 5.5.)
特殊的矩阵序列，由方阵的幂构成的矩阵序列：
4. 收敛矩阵: 设 A 为方阵,且当k →∝ 时 Ak → 0 , 则称 A 为收敛矩阵.
2.1矩阵序列的极限ljg
由范数之间的等价性质知结论成立.
6
“ ”设 || X k X 0 || 0 (k )
则
max | x x | 0
(k ) 1 i n i i
（ 于是 | x x | 0 k ,i 1,2,, n）
(k) i i
从而 A A (k )
A
12
定义 若 lim a ( z ) a ( z )( i 1, 2, , m; j 1, 2,, n) 则称 A( z ) 在 z 连续. 又若 A( z )在复平面的一个
z z0 ij ij 0
0
区域 D的每一点连续, 则称 A( z )在区域 D上连
续.
定义 若 n阶方阵 A( z )在区域 D中每一点
k
8
Ak , Bk C nn , lim Ak A, lim Bk B ② k
k
a , b C,
k k
lim a a ,
k k
lim b b
k k
(均存在)
则 lim(a A b B ) aA bB
k k k k k
③ A , B C , lim A A, lim B B
矩阵分析方法
函数的极限运算、微分运算、积分 运算、幂级数运算 矩阵理论中.
§1.
矩阵序列的极限 与函数矩阵的极限
一、矩阵序列的极限 二、函数矩阵的极限
一、矩阵序列的极限
1. 定义
1 2 k
A C
k
m n
, A (a ) ,( k 1,2,)
(k ) k ij mn
A , A ,, A ,, 记作 {A } 为矩阵序列.
矩阵分析
附录I 矩阵分析介绍一、内容提要本章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基本内容, 包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理, 矩阵幂级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等. 由于采用相似的极限理论为基础, 因此本章内容与通常的(函)数列, (函)数项级数, 幂级数具有许多类似的结果, 建议读者在学习本章时, 与高等数学中相应的内容进行对照, 比较异同, 加深理解.(一) 矩阵序列于矩阵级数 1．矩阵序列定义 设{}1k k ∞=A 为m n ⨯C 中的矩阵序列， 其中()()k k ij a =A ．如果ij k ijk a a =∞→)(lim 对i=1,2,…,m, j=1,2,…,n 均成立，则称矩阵序列{}1k k ∞=A 收敛，而()ij a =A 称为矩阵序列{}1k k ∞=A 的极限，记为limk k →∞=A A .不收敛的矩阵序列称为发散的.从定义可知, 判断矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的n m ⨯个数列同时收敛. 下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛(一个数列)来判断矩阵序列的收敛.定理 设{}1k k ∞=A 为m n ⨯C 中的矩阵序列，⋅为m n ⨯C 中的一种矩阵范数，则矩阵序列{}1k k ∞=A 收敛于矩阵A 的充要条件是k -A A 收敛于零．从线性空间的观点来看, 一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点”，因此一个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）来描述收敛。
矩阵序列收敛有如下性质:（1） 设{}1k k ∞=A 和{}1k k ∞=B 为m n ⨯C 中的矩阵序列，并且lim k k →∞=A A ，lim k k →∞=B B ，则()lim ,,k k k αβαβαβ→∞+=+∀∈A B A B C ．（2） 设{}1k k ∞=A 和{}1k k ∞=B 分别为m n⨯C和n l⨯C中的矩阵序列，并且l i m k k →∞=A A ，lim k k →∞=B B ，则 lim k k k →∞=A B AB ．（3） 设{}1k k ∞=A ，A ∈n n⨯C中的矩阵序列，lim k k →∞=A A 并且(1,2,)k k =A 和A 均为可逆的，则 11lim k k --→∞=A A．（4） 设n n⨯∈A C，lim 0k k →∞=A 的充分必要条件是<1ρ(A)．若对m n⨯C 上的某种范数⋅，有1<A ，则lim 0kk →∞=A .（5） 设{}1k k ∞=A ，∈A m n ⨯C ，并且lim k k →∞=A A，则A A k k =∞→lim .2. 矩阵级数定义2设{}1k k ∞=A 为m n ⨯C 中的矩阵序列, 称12++++k A A A 为由矩阵序列{}1k k ∞=A 构成的矩阵级数，记为1k k ∞=∑A ．定义3 记1kk i i ==∑S A ，称之为矩阵级数1k k ∞=∑A 的前k 项部分和.若矩阵序列{}1k k ∞=S 收敛且lim k k →∞=S S ，则称矩阵级数1kk ∞=∑A收敛，而矩阵S 称为矩阵级数的和矩阵，记为1kk ∞=∑S =A．不收敛的矩阵级数称为发散的.定义4 设1k k ∞=∑A 为m n⨯C中的矩阵级数，其中()()k k ija=A ．如果∑∞=1)(k k ija对任意的1≤i≤m,1≤j≤n 均为绝对收敛的，则称矩阵级数1k k ∞=∑A 绝对收敛.对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩阵级数收敛的一些性质.（1）若矩阵级数1k k ∞=∑A 是绝对收敛，则它一定是收敛的，并且任意调换各项的顺序所得到的级数还是收敛的，且级数和不变.（2）矩阵级数1k k ∞=∑A为绝对收敛的充分必要条件是正项级数1k k ∞=∑A 收敛.（3）设1k k ∞=∑A 为m n⨯C中的绝对收敛的级数，1k k ∞=∑B 为n l⨯C中的绝对收敛的级数，并且1kk ∞==∑A A, 1kk ∞==∑B B, 则1k k ∞=∑A ·1k k ∞=∑B 按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛的，且和均为A B ． （4）设p m⨯∈P C和n q⨯∈Q C为给定矩阵，如果n m ⨯型矩阵级数0k k ∞=∑A 收敛（或绝对收敛），则q p ⨯矩阵级数kk ∞=∑P AQ 也收敛（或绝对收敛），且有等式 00k k k k ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑P A Q P A Q ．(二) 矩阵幂级数定理 设∑∞=0k k k t a 为收敛半径为r 的幂级数，A 为n 阶方阵，则（１） ()r ρ<A 时，矩阵幂级数0k k k a ∞=∑A 绝对收敛；（２） ()r ρ>A 时，矩阵幂级数0k k k a ∞=∑A 发散.推论 设∑∞=-00)(k k k z z a 为收敛半径为r 的幂级数，A 为n 阶方阵，如果A 的特征值均落在收敛圆内，即r z <-0λ，其中λ为A 的任意特征值，则矩阵幂级数∑∞=-00)(k kk z a I A 绝对收敛；若有某个0i λ使得r z i >-00λ，则幂级数∑∞=-00)(k k k z a I A 发散．根据幂级数性质，幂级数的和函数是收敛圆内的解析函数（任意次可微，在任一点处均可展成Taylor 级数），而一个圆内解析的函数可以展开成收敛的幂级数．于是，如果)(z f 是 r z z <-0内的解析函数，其展成绝对收敛的幂级数为∑∞=-=0)()(k kkz z az f ，则当矩阵n n⨯∈A C的特征值落在收敛圆r z z <-0内时，定义∑∞=∆-=00)()(k kk z a f I A A并称之为A 关于解析函数)(z f 的矩阵函数.常用的一些矩阵函数有:232!3!e=++++AAAI A ；24cos 2!4!=-+-AAA I ；35sin 3!5!=-+-AAA A ;123()--=++++I A I A A A ;23ln()23+=-+-A A I A A .对于一般的矩阵函数()f A ,可以利用矩阵的Jordan 分解写出其具体表达式.定理 设∑∞=-=0)()(k kk z z a z f 为收敛半径为r 的幂级数，A 为n 阶方阵，1-=A TJT为其Jordan 分解，()s J J J J ,,,2 1diag =．当A 的特征值均落在收敛圆内时，即r z <-0λ，其中λ为A 的任意特征值，则矩阵幂级数∑∞=-00)(k k k z a I A 绝对收敛， 并且和矩阵为()()()()()-12,,,T J J J T A f s f f f 1diag=其中()i f J 的定义为(1)''()()()(1)!()()()()n ff f n f f f f λλλλλλ-⎛⎫⎪-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭J. 另外，还可以通过待定系数的方法来求矩阵函数，避免求矩阵的Jordan 分解。
1.序列与函数的极限
xlim Xn
nimT=E
n :.
[噎后学4^(当xn《yn时)
4.常用序列的极限
1n ..1n.1 ..1n
lim (1 —)=lim (1 —)=lim (1 ——)=e=2.7182818284 59045
n—nn)二nn—.‘n 1 lim=e
n以n!
111、
lim(1+1+ —，--，...，—)=e
就称数E（或符号8）为已知序列｛Xn｝的部分极限（或聚点）.
任何序列｛Xn｝，不论是有界的或无界的，都有部分极限存在 .
［上极限与下极限］序列｛Xn｝的最大的部分极限（有穷或无穷）称为序列｛Xn｝的上极限，记作
nim：Xn
而它的最小的部分极限（有穷或无穷）称为序列｛Xn｝的下极限，记作
limxnn—■
1
极限lim ex= 0
5.不定式的定值法一洛比达法则
洛比达法则是用来计算0，三，08,g,0°,*0,1正等七种不定式的极限的法0
［洛比达第一法则(0 )］设(i)函数f(x)和g(x)是在区间(a,b］内定义的，(ii)limf(x)=0,limg(x)=0,(iii)在区间(a,b］内存在有限导数f「(x)及g「(x),而且g「(x)丰0, (iv)存在极限x伊
［局部极限］若对某序列xnTa有等式
则称数B(或符号8 )为函数f(x)在点a的局部极限(有穷的或无穷的).
［上极限与下极限］局部极限中最小的和最大的分别用
lim f (x)和lim f (x)
jax】a
来表示，它们分别称为函数f(x)在点a的下极限和上极限.
2.函数极限存在的判别法
［柯西准则］函数f(x)在点a的极限存在的充分必要条件是：对任意小的®>0 ,都存在数
函数序列与函数极限的关系讨论
函数序列与函数极限的关系讨论函数序列与函数极限是数学分析中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
函数序列的极限是函数序列中各个函数的极限，而函数的极限是函数本身的极限。
1. 函数序列的概念函数序列是指定义在同一个定义域上的函数的集合。
函数序列可以是有限的，也可以是无限的。
有限函数序列是指由有限个函数组成的函数序列，无限函数序列是指由无限个函数组成的函数序列。
2. 函数序列的极限函数序列的极限是指函数序列中各个函数的极限。
函数序列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
有限函数序列的极限是指函数序列中各个函数的极限存在且相等，无限函数序列的极限是指函数序列中各个函数的极限存在且无穷大或无穷小。
3. 函数极限的概念函数的极限是指函数在自变量趋于某一点时函数值趋于某一点。
函数的极限可以是有限的，也可以是无限的。
有限函数的极限是指函数在自变量趋于某一点时函数值趋于某一点，无限函数的极限是指函数在自变量趋于某一点时函数值趋于无穷大或无穷小。
4. 函数序列与函数极限的关系函数序列与函数极限之间存在着密切的关系。
函数序列的极限是函数序列中各个函数的极限，而函数的极限是函数本身的极限。
如果函数序列的极限存在，那么函数的极限也存在，并且函数的极限等于函数序列的极限。
反之，如果函数的极限存在，那么函数序列的极限也存在，并且函数序列的极限等于函数的极限。
5. 函数序列与函数极限的应用函数序列与函数极限在数学分析中有广泛的应用。
它们被用于研究函数的连续性、可导性、微积分等问题。
在物理学、工程学等领域，函数序列与函数极限也被用于研究各种物理现象和工程问题。
6. 结论函数序列与函数极限是数学分析中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系。
函数序列的极限是函数序列中各个函数的极限，而函数的极限是函数本身的极限。
函数序列与函数极限在数学分析中有广泛的应用，它们被用于研究函数的连续性、可导性、微积分等问题。
在物理学、工程学等领域，函数序列与函数极限也被用于研究各种物理现象和工程问题。
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“ ”设 || X k X 0 || 0 (k ) 则
max | x x | 0
(k ) 1 i n i i
(k) (k) (k) k 1 2 n
k k 0
lim x
k
(k ) i
x , i 1,2, , n
i
从而 max | x x | 0
(k ) i i i
即|| X X || 0(k )
k 0
由范数之间的等价性质知结论成立.
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定义 设m n 的复变量z 的一元函数矩
阵 A( z ) (a ( z )) 在 z 的一个邻域内有定义,
ij mn
0
即 A( z )中 a ( z ) (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 都有定义,
1 0 E. 0 1
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二、函数矩阵的极限
设 a z 是一元复变函数,
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一、矩阵序列的极限
1. 定义
1 2 k
A C
k
m n
, A (a ) ,( k 1,2,)
(k ) k ij mn
A , A ,, A ,, 记作 {A } 为矩阵序列.
k
若 lim a a (有限) (i 1,2,, m, j 1,2,, n)
k
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k
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nn A , B C , lim Ak A, lim Bk B ② k k k
0
区域 D的每一点连续, 则称 A( z )在区域 D上连
续.
定义 若 n阶方阵 A( z )在区域 D中每一点
都可逆, 称 A( z ) 在 D 上可逆, 记
为A
1
A( z ) 的逆矩阵
(z)
. 显然满足:
1 1
z D 有 A( z ) A ( z ) A ( z ) A( z ) E
k k k
k k
1 lim(1 ) e 1 k , ( 1) 1 0 lim k
k k
lim( 1) 不存在， lim B
k
(k )
不存在.
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例1：求如下矩阵序列的极限
1 (1 ) (k ) k A 1
ij
称
a z a z a z a z A( z ) a z a z
11 12 21 22 m1 m2
a z a z a z
1n 2n mn
为函数矩阵.
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1 A ( z ) ②若 为连续可逆方阵, 则 A ( z )也连续.
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例3
求 lim A( t ) .
k
1 k 1 (1 ) 1 (k ) k k , B ( 1) ( 1)k k
k k k
1 1 k ( 1) k
k
解：
1 lim(1 ) (k ) k lim A lim 1
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矩阵分析方法
高等数学中函数的极限运算、微分运
算、积分运算、幂级数运算 矩阵理
论中.
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k k k
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证明 对任何一种范数 || ||
k k k k k
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|| A B AB |||| A B A B+A B AB ||
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m n
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也即
lim A lim(a )
(k ) k k k ij (k) k ij
(lim a )
(a )
ij m n
m n
特别:
m n－方阵序列收敛;
n 1 －列矩阵(向量)序列收敛; m 1 －行矩阵(向量)序列收敛;
（ k ,i 1,2,, n） 于是 | x x | 0
(k) i i
从而 A A (k )
k
证毕.
②考虑方阵 A 的F-范数似①可证.
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n k k k 0 1 2 n
对任意一种n维向量范数 || || , 有
|| X X || 0, (k )
k 0
② { A } C , lim A A 对任意一种
nn k k k
方阵范数|| || , 有 || A A || 0,(k ).
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注 范数序列实际上是数列. 向量序列的收敛性, 方阵序列的收敛性可
通过向量范数序列, 方阵范数序列的收敛
性来讨论!
3. 方阵序列收敛的性质 ① { A } C ,lim A A
nn k k k
任一方阵范数 || || , {|| A ||} 有界.
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2. 向量序列、方阵序列收敛的判定条件
定理1 ①{ X } C , lim X X ( x , x ,, x )
A
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z z0 ij ij
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定义 若 lim a ( z ) a ( z )( i 1, 2, , m; j 1, 2,, n) 则称 A( z ) 在 z 连续. 又若 A( z )在复平面的一个
k
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证明 “ ” 设 X ( x , x ,, x ) , 由 lim X X 知
k
|| A B A B || || A B AB ||
k k k k
|| A || || B B || || B || || A A ||
k k k
联系性质①可证! ④ 若
lim A A ,且 Ak1 , A1都存在
k k
lim A =A
1 k k
2 t t 2 t 2
2
1 0 e e E. 0 1
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t