第六章 代数系统2：-3rd-li

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• 例6.12.1 在例 在例6.11.2群<S3，◇>中，取H = {p1，p4}， 群 中 ， 由运算表6.11.1可知，H ⊆ S3，而且 ，◇>是群，因 可知， 而且<H， 是群， 由运算表 可知 是群 为幺元是p 的子群。 为幺元是 1，p4-1=p4。故<H，◇>是<S3，◇>的子群。 ， 是 的子群
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关于子群的充要条件的定理
定理6.12.2 给定群 ，⊙>及非空 ⊆G，则 给定群<G， 及非空H⊆ ， 定理 及非空 <H，⊙>是<G，⊙>的子群⇔ 的子群⇔ ， 是 ， 的子群 (∀a)(∀b)(a，b∈H→ ∀ ∀ ， ∈ a⊙b∈H)∧(∀a)(a∈H→a-1∈H) ⊙ ∈ ∧∀ ∈
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• 现在，讨论一下置换与群的运算表的联系。 现在，讨论一下置换与群的运算表的联系。 • 众所周知，群保持独异点的性质， 众所周知，群保持独异点的性质， • 故在群<G，⊙>的运算表中，任两行或任两列 的运算表中， 故在群 ， 的运算表中 均不相同。不仅如此，可以证明每行或每列都 均不相同。不仅如此，可以证明每行或每列都 中元素的置换。 是G中元素的置换。 中元素的置换
第六章 代数系统
李豪杰 副教授 大连理工大学软件学院 数字媒体技术系 Email: hjli@dlut.edu.cn
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回顾
• 群
给定代数系统Ｖ＝ ， 给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G，⊙>是独异点且 Ｖ＝ ， ， 是独异点且 每个元素存在逆元， 每个元素存在逆元，或者 是可结合的， ① ⊙是可结合的， 关于⊙存在幺元， ② 关于⊙存在幺元， 中每个元素关于⊙ 是群。 ③ G中每个元素关于⊙是可逆的，则称 ，⊙>是群。 中每个元素关于 是可逆的，则称<G， 是群
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接下来讨论子群的陪集。 接下来讨论子群的陪集。
• 定义 定义6.12.3 令<H，⊙>是群 ，⊙>的子群且 ∈G， 是群<G， 的子群且a∈ ， ， 是群 的子群且 则把下面集合： 则把下面集合： • a⊙H = {a⊙h | h∈H} ⊙ ⊙ ∈ • 称为由元素 所确定的群 ，⊙>中的 的左陪集，或 称为由元素a所确定的群 所确定的群<G， 中的H的左陪集 中的 的左陪集， 简称为左陪集并简记aH。此外， 是左陪集aH的代 简称为左陪集并简记 。此外，称a是左陪集 的代 是左陪集 表元素。 表元素。 • 类似地可定义由 所确定群 ，⊙>中的 的右陪集 。 类似地可定义由a所确定群 所确定群<G， 中的H的右陪集 中的 的右陪集Ha。 • 显然，若<G，⊙>是Abel群，并且 ，⊙>是其子群， 显然， 是其子群， ， 是 群 并且<H， 是其子群 则aH = Ha，即循环群的任意元素的左陪集等于其右 ， 陪集。 陪集。
• （置换：即每行或每列中的元素都不相同） 置换：即每行或每列中的元素都不相同）
• 定理 定理6.11.3 在有限群 ，⊙>中，每行或每列 在有限群<G， 中 都是G中元素的置换 中元素的置换。 都是 中元素的置换。
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• 现在，应用该定理来考察一、二、三和四阶的群。 现在，应用该定理来考察一、 三和四阶的群。 • 一阶群仅有幺元，即<{e}，⊙>。 一阶群仅有幺元， ， 。 • 二阶群除幺元 外，还有一个元素，比如a，则有 二阶群除幺元e外 还有一个元素，比如 ， <{e，a}，⊙>，其运算表如表 ， ， ，其运算表如表6.11.2。由定理 。 6.11.3可知，不可能再有其他运算表。在此预先 可知， 可知 不可能再有其他运算表。 指出，所有的二阶群都与该群<{e，a}，⊙>同构。 同构。 指出，所有的二阶群都与该群 ， ， 同构 • 三阶群，可令<{e，a，b}，⊙>，其运算表如表 三阶群，可令 ， ， ， ， 6.11.3。由定理 。由定理6.11.3知，不可能再有别的运算 知 同样，任何三阶群都与它同构。 表。同样，任何三阶群都与它同构。 5/36
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cent G的概念
• 定义 定义6.12.2 群<G，⊙>的中心为一集合，记作 的中心为一集合， ， 的中心为一集合 记作cent G， ， cent G：= {a | a∈G ∧(∀x)(x∈G → a⊙x = x⊙a)}。 ： ∈ ∀ ∈ ⊙ ⊙ 。 • 可见，cent G包含了所有与G中的每个元素皆可交换 可见， 包含了所有 中的每个元素 包含了所有与 中的每个元素皆可交换 的元素。 的元素。 • 显然若 ，⊙>为群，则<G，⊙>是Abel群，当且仅 显然若<G， 为群， 为群 ， 是 群 当cent G = G。 （即每一个元素跟其他元素都可交换） 。 • 定理 定理6.12.5 <cent G，⊙>是群 ，⊙>的子群 是群<G， ， 是群 的子群
• Abel群 群
给定群<G，Leabharlann Baidu是可交换的，则称<G， 给定群 ，⊙>，若⊙是可交换的，则称 ，⊙>是 ， 是 可交换群或<G， 可交换群或 ，⊙>是Abel群。 是 群 < Z，+>是Abel群。 ， 是 群
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• 对称群和置换群
– 置换： 置换： – 一个集合X上的置换的集合 X ，对复合置换◇满足 性 上的置换的集合P 对复合置换◇满足4性 一个集合 上的置换的集合 称作对称群 记作<S 对称群。 质，< PX , ◇ > 称作对称群。记作 |X|，◇>。 。 – 若Q ⊆ PX = S|X|，则称由 和◇构成的群 ，◇>为置 则称由Q和 构成的群<Q， 为 换群。 换群。 – 置换群 ，◇>诱导的 上的二元关系是一个等价关系。 置换群<Q， 诱导的X上的二元关系是一个等价关系 诱导的 上的二元关系是一个等价关系。
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• 若aCHb且bCHc，则b-1⊙a∈H和 且 ， ∈ 和 • c-1⊙b∈H，所以 -1⊙a = ∈ ，所以c • (c-1⊙b) ⊙(b-1⊙a)∈H，故有 Hc，因而满足传递性。 传递性。 ∈ ，故有aC ，因而满足传递性 • 显然，左陪集关系能把集合G划分成等价类。若a∈G， 显然，左陪集关系能把集合 划分成等价类。 ∈ ， 划分成等价类 则 • [a]= {b | bCHa} = {b | <b，a>∈CH} ， ∈ • = {b | a-1⊙b∈H} = {b | a-1⊙b=h, h∈H} = {b | b = ∈ ∈ a⊙h，h∈H} ⊙ ， ∈ • = {a⊙h | h∈H} = aH ⊙ ∈ • 其中 = a-1⊙b。 其中h 。 • 也就是说，a的等价类等于 确定的 的左陪集 也就是说， 的等价类等于 确定的H的左陪集 的等价类等于a确定的
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• 6.12 子群与陪集
• 子群概念，类似于子半群和子独异点。 子群概念 类似于子半群和子独异点。 概念，
• 定义 定义6.12.1 给定群 ，⊙>及非空集合 ⊆G，若<H， 给定群<G， 及非空集合H⊆ ， 及非空集合 ， 是群， 为群<G， 的子群。 ⊙>是群，则称 ，⊙>为群 ，⊙>的子群。 是群 则称<H， 为群 的子群 • 显然，<{e}，⊙>和<G，⊙>都是 ，⊙>的子群，并 显然， 都是<G， 的子群， ， 和 ， 都是 的子群 最大”的子群， 且分别是<G，⊙>的“最小”和“最大”的子群，这对 且分别是 ， 的 最小” 任何群来说，都有这样的子群，因此称为平凡子群 平凡子群， 任何群来说，都有这样的子群，因此称为平凡子群，而 其余子群称为真子群 真子群。 其余子群称为真子群。 • 子群要满足以下三点要求（群的定义）： 子群要满足以下三点要求（群的定义）： – 封闭性 – 每个元素都有逆元 – 含么元
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• 群与其子群有如下的明显性质： 群与其子群有如下的明显性质：
• 定理 定理6.12.1 <H，⊙>是群 ，⊙>的子群 ⇒ eH 是群<G， ， 是群 的子群 = eG，其中 H和eG分别是 ，⊙>和<G，⊙>的 其中e 分别是<H， 和 ， 的 幺元， 群与其子群具有相同幺元。 幺元，即群与其子群具有相同幺元。 • 下面给出关于子群的充要条件的定理。 下面给出关于子群的充要条件的定理。
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• 定义 定义6.12.4 给定群 ，⊙>，子群 ，⊙>的左陪集 给定群<G， ，子群<H， 的 关系，记作C 其定义为： 关系，记作 H，其定义为： • CH ：= {<a，b＞| a，b∈G∧b-1⊙a∈H}。 ， ＞ ， ∈ ∧ ∈ 。 • 由此定义不难得到： 由此定义不难得到： • a CHb ⇔ a，b∈G∧b-1⊙a∈H，可以指出，子群 ， ， ∈ ∧ ∈ ，可以指出，子群<H， 的左陪集关系是群<G， 中的一种等价关系。 ⊙>的左陪集关系是群 ，⊙>中的一种等价关系。其 的左陪集关系是群 中的一种等价关系 证明如下： 证明如下： • 由于 -1⊙a = e∈H，则aCHa，即有自反性。 由于a 自反性。 ∈ ， ，即有自反性 • 若aCHb，则b-1⊙a∈H， ， ∈ ， • 于是 -1⊙b=((a-1⊙b) -1) -1=(b-1 ⊙ a)-1∈H，故bCHa， 于是a ， ， 因而满足对称性 对称性。 因而满足对称性。
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• 因而，可证<TX，○>构成群，在代数中称为变 因而，可证 构成群， 构成群 换群，显然，置换群是变换群的特例。 换群，显然，置换群是变换群的特例。 • 请注意，由TX中的一些变换与运算○构成的群， 请注意， 构成的群， 都称为变换群 变换群， 都称为变换群，而<TX，○> 只不过是个特殊情 形而己。 形而己。
• 本定理表明<H，⊙>为<G，⊙>的子群的充要条件是 对于⊙ 的子群的充要条件是H 本定理表明 ， 为 ， 的子群的充要条件是 对于⊙ 封闭及 中每个元素存在逆元。 封闭及H中每个元素存在逆元。
– 蕴含了“交换律”和“含幺元” 蕴含了“交换律” 含幺元”
• 定理 定理6.12.3 给定群 ，⊙>及非空 ⊆G，则 给定群<G， 及非空H⊆ ， 及非空 • <H，⊙>是<G，⊙>的子群⇔ 的子群⇔ ， 是 ， 的子群 • (∀a)(∀b)(a，b∈H→a⊙b-1∈H) ∀ ∀ ， ∈ ⊙
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• 定理 定理6.12.6 若<G1，⊙>和<G2，⊙>都是群 ，⊙>的 都是群<G， 和 都是群 的 子群， 也是群<G， 的子群。 子群，则<G1∩G2，⊙>也是群 ，⊙>的子群。 也是群 的子群
• 定理 定理6.12.7 循环群 ，⊙>的任何子群都是循环群。 循环群<G， 的任何子群都是循环群。 的任何子群都是循环群
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• 上面讲了由有限集合X到X的双射即置换，以及置换群； 上面讲了由有限集合 到 的双射即置换 以及置换群； 的双射即置换， 有限集合 无限集。 下面不再限于X是有限集 换言之，它可以是个无限集 是有限集， 下面不再限于 是有限集，换言之，它可以是个无限集。 这时从集合X到 的双射 称之为一一变换或变换 的双射， 变换。 这时从集合 到X的双射，称之为一一变换或变换。如 果令T 表示所有从集合X到 的变换的集合 的变换的集合， 果令 X表示所有从集合 到X的变换的集合，则显然有 TX ⊆ XX，并且 X类似 X所具有的四条性质，具体如下： 并且T 类似P 所具有的四条性质，具体如下： • (1)(∀f)(∀g)(f，g∈TX →f ○ g，g○f ∈TX) ∀ ∀ ， ∈ ， • (2)(∀f)(∀g)(∀h)(f，g，h∈TX →(f ○ g)○h = f ∀ ∀ ∀ ， ， ∈ ○(g○h)) • (3)(∃idA)(idA∈TX∧(∀f)(f ∈TX →idA○f = f ○idA = ∃ ∈ ∀ f )) • (4)(∀f )(f ∈TX →(∃f -1)(f -1∈TX∧f○f -1=f -1○f = idA)) ∀ ∃
• 从运算表可以看出，所有二阶群和三阶群都是 从运算表可以看出， Abel群。事实上，四、五阶群也是 五阶群也是Abel群，但 群 事实上， 群 六阶群未必都是Abel群。 六阶群未必都是 群 • 表6.11. 2 表6.11. 3 • ⊙e a ⊙e a b • e e a e e a b • a a e a a b e • b b e a