平行线的特征4

合集下载

探索平行线和垂直线认识平行线和垂直线的特征

探索平行线和垂直线认识平行线和垂直线的特征平行线和垂直线是几何学中常见的概念，它们具有不同的特点和性质，对于我们理解和应用几何学具有重要意义。

本文将探索平行线和垂直线的认识，并介绍它们的特征。

一、平行线的特征平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

平行线具有以下特征：1. 方向相同：平行线的方向是相同的，在图形上可以用箭头表示。

2. 不会相交：由于平行线的定义，平行线永不相交，无论如何延长或缩短都不会交叉。

3. 等距离：平行线之间的距离在任意两点上都是相等的。

这意味着，沿着平行线上的任意两点到另一条线的垂直距离都相等。

4. 夹角相等：通过平行线与另一条线所形成的内角、外角相等。

5. 平行线的表示方法：在几何图形中，我们可以使用平行符号“||”来表示两条平行线。

二、垂直线的特征垂直线是指与另一条线段或直线之间的夹角为90度的直线。

垂直线具有以下特征：1. 方向互相垂直：垂直线与另一条线段或者直线之间的夹角为90度，形成直角。

2. 相交于一点：通过作图或观察我们可以发现，在同一个平面上，两条垂直线相交于一点。

这点被称为交点。

3. 垂直线的表示方法：在几何图形中，我们可以使用一个表示垂直的符号“⊥”来表示两条垂直线。

三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线之间存在一定的关系，这是几何学中的重要知识点。

1. 平行线和垂直线的关系：在同一个平面内，两条直线要么平行，要么相交于一点（垂直）。

2. 通过角度确定关系：平行线之间夹角为0度或180度，垂直线之间夹角为90度。

3. 平行线与垂直线之间不存在夹角关系：平行线和垂直线之间不存在倾斜夹角，它们的方向是互不相干的。

通过几何学的学习和实践，我们能够更深入地理解平行线和垂直线的特征和性质，将它们应用于解决实际问题中。

总结：本文探索了平行线和垂直线的认识。

平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线，具有方向相同、不会相交、等距离、夹角相等等特征。

而垂直线是与另一条线段或直线之间夹角为90度的直线，具有方向互相垂直、相交于一点的特征。

平行线的特征

8.3 平行线的特征
动手做一做实验:在准备好的横格本上任选两条平行线、实验在准备好的横格本上任选两条平行线a、在准备好的横格本上任选两条平行线 b 与平行线a、相交相交．（1）任意画一条直线与平行线、b相交．）任意画一条直线c与平行线（2）任选一对同位角，用量角器度量，看）任选一对同位角，用量角器度量，看这一对同位角有什么关系？看这一对同位角有什么关系？
问题讨论
请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、请大家想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系呢？如图，已知直线a//b，思考如图，已知直线， c ∠1与∠2、 ∠2与∠3之间有什么关与、与之间有什么关为什么？系？为什么？ 4 a 1 已知) （1） ∵ a//b (已知）已知 3 2 ∴∠2=∠ （两直线平行， ∴∠ ∠4（两直线平行，同位角相等） b 又∵∠1=∠4 （对顶角相等） ∵∠ ∠ ∴∠1=∠ ∴∠ ∠2
同旁内角互补）
平行线的三个特征：平行线的三个特征：
同位角相等内错角相等同旁内角互补
两直线平行
两直线平行的三个条件：两直线平行的三个条件：同位角相等内错角相等同旁内角互补两直线平行
例1：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，还剩下梯：小青不小心把家里的梯形玻璃块打碎了，形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃，）．要订造一块新的玻璃形上底的一部分（如图）．要订造一块新的玻璃，已经你想一想，量得 ∠A=1150，∠D=1000．你想一想，梯形另外两个角各是多少度？已知梯形的两底AD//BC) 各是多少度？(已知梯形的两底 ) 已知）解:∵ AD//BC （已知）. ∵ A＋ B＝ C＋ D＝ ∴ ∠A＋∠B＝1800；∠C＋∠D＝1800 两直线平行，同旁内角互补）（两直线平行，同旁内角互补）. 已知) 又∵ ∠A=1150；∠D=1000. (已知已知 ∴ ∠C＝1800－∠D＝1800－1000＝800. ＝＝？ B ？ C ∠B＝1800－∠A＝1800－1150＝650. ＝＝ A

平行线的特征

平行线的特征平行线在几何学中具有重要的作用，它们是指在同一个平面上，永远不会相交的直线。

本文将探讨平行线的特征，以及与平行线相关的性质和定理。

一、平行线的定义平行线的定义是两条直线在同一个平面上，并且永远不会相交。

这意味着两条平行线之间的距离始终相等。

二、平行线的特征1. 方向相同：平行线在平面上具有相同的方向，它们始终在相同的方向上延伸。

2. 永不相交：平行线永远不会相交。

无论延长多远，它们仍然保持平行的形状。

3. 距离相等：平行线之间的任意两点到两条平行线的距离始终相等。

这是平行线的一个重要性质。

4. 平行四边形的对边平行性：在平行四边形中，对边是平行的。

这是平行线特征的一个重要应用。

三、平行线的判定1. 同位角判定：如果两条直线被一条截线所切，并且同位角相等，那么这两条直线平行。

2. 转换判定：如果一条线与两条平行线分别相交，形成相等的内错角或外错角，那么这条线与这两条平行线平行。

3. 斜率判定：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线平行。

斜率是直线在坐标系中的倾斜度量。

四、平行线的应用1. 平行线与横向交错线条：在道路规划和交通设计中，平行线经常用于构建车道和交通流线的布局。

2. 平行线与角度构造：在建筑设计中，平行线被广泛应用于角度构造。

通过平行线的布局，可以创建出各种角度和形状。

3. 平行线与等距关系：平行线之间的距离相等，这一性质在几何学和测量中具有重要的应用。

五、平行线的定理1. 交替内角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的交替内角是相等的。

2. 内错角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的内错角是补角。

3. 锐角和钝角定理：如果两条平行线被一条截线所切，那么两条平行线上的锐角和钝角的和是180度。

六、平行线的重要性平行线的研究对几何学和应用数学具有重要意义。

它们为解决实际问题提供了基础，而且在建筑、工程、地图制作等领域也有广泛的应用。

综上所述，平行线作为几何学中的一个重要概念，具有方向相同、永不相交和距离相等等特征。

平行线与垂直线的特征

平行线与垂直线的特征平行线和垂直线是几何学中非常重要的概念，它们在日常生活和许多领域都有广泛的应用。

本文将详细探讨平行线和垂直线的特征，以及它们在几何学中的应用。

一、平行线的特征平行线是指在同一个平面上两条直线永远不相交的情况。

接下来，我们将讨论平行线的特征。

1. 同向性：平行线的特征之一是它们被绘制在同一个平面上，并且在无限远处也是平行的。

2. 等距性：平行线之间的距离始终相等。

无论两条平行线远近，它们之间的距离始终保持一致。

3. 不相交性：平行线永远不会相交。

如果两条直线在某一点相交，那么它们不可能是平行线。

4. 相夹角：平行线之间的相夹角为零度。

无论平行线的长度如何，它们之间的夹角始终为零。

平行线在现实世界中有许多应用。

例如，铁路上的铁轨就是平行线，使得火车能够平稳地行驶。

此外，在建筑设计、道路规划和航空导航中，平行线的概念也得到广泛应用。

二、垂直线的特征垂直线是指在同一个平面上与另一条线段或直线始终成直角的线。

下面将介绍垂直线的特征。

1. 相交性：垂直线与另一条线段或直线相交，且相交处的角度为90度。

2. 垂直性：两条垂直线段之间的夹角始终为90度，无论线段的长度如何。

3. 极限性：两条垂直线段在无限延伸的情况下，始终可以彼此相交。

垂直线在几何学中也有广泛的应用。

在建筑设计中，垂直墙面使得建筑物能够稳定地立在地面上。

此外，在图形的绘制和测量中，垂直线被用于垂直方向的定位和校准。

三、平行线和垂直线的关系平行线和垂直线之间存在一定的关系。

具体而言，垂直线与平行线必然相交，并且相交处的角度为90度。

这意味着，如果我们有两条平行线，我们可以通过构造一条垂直线，将其与平行线相交，从而得到一个直角。

在几何学中，平行线和垂直线的概念是非常基础而重要的。

它们在证明和推导几何定理时起着关键作用，并广泛应用于解决实际问题。

总结：本文详细地探讨了平行线和垂直线的特征以及它们在几何学中的应用。

平行线具有同向性、等距性、不相交性和零夹角等特征，而垂直线具有相交性、垂直性和极限性等特征。

多边形之对边平行

多边形之对边平行多边形是一个有多个边的几何图形，它们可以有不同的形状和大小。

在多边形中，平行线是指在同一个平面内永远不相交的线。

对边是指在多边形中相对的两条边。

当多边形的对边平行时，意味着这两条边在同一平面内平行且不相交。

对边平行的特点对于多边形的性质和特性具有重要的影响。

以下是多边形之对边平行的一些要点：1. 平行线的特征：两条平行线之间的距离始终相等，而且它们的方向相同。

当多边形的对边平行时，它们的方向和距离会满足这一特征。

平行线的特征：两条平行线之间的距离始终相等，而且它们的方向相同。

当多边形的对边平行时，它们的方向和距离会满足这一特征。

2. 同一平面内：多边形的对边平行意味着这两条边位于同一个平面内。

在几何学中，一个多边形被定义为一个平面图形，因此其内部的所有边和角均位于同一个平面。

同一平面内：多边形的对边平行意味着这两条边位于同一个平面内。

在几何学中，一个多边形被定义为一个平面图形，因此其内部的所有边和角均位于同一个平面。

3. 不相交：对边平行的另一个重要特征是它们不相交。

这意味着对边之间没有共同的交点或交叉部分。

不相交：对边平行的另一个重要特征是它们不相交。

这意味着对边之间没有共同的交点或交叉部分。

对于一个多边形来说，对边平行是一种常见的特征。

例如，正方形的两对边是平行的，矩形的两对边也是平行的。

其他多边形如平行四边形、梯形等同样具有这一性质。

理解多边形之对边平行的概念对于解决与多边形相关的几何问题非常重要。

通过观察和利用对边平行的性质，我们可以简化分析和计算多边形的特征和参数。

希望本文对你理解多边形之对边平行有所帮助！。

平行线与垂直线的性质与判断

平行线与垂直线的性质与判断在几何学中，平行线和垂直线是两种重要的线性关系。

它们有着特定的性质和判断方法，对于解决几何问题具有重要的作用。

本文将对平行线和垂直线的性质与判断进行详细阐述。

一、平行线的性质与判断平行线是指永不相交的两条直线，在平面几何中具有以下性质：1.1 平行线的定义定义：若直线l1和直线l2在平面P上，且在平面P上没有任何一点同时属于l1和l2，那么称直线l1与直线l2平行。

1.2 平行线的判断方法平行线的判断可以通过以下几种方法实现：1）欧几里得准则：若一条直线与另外两条直线分别相交，而这两条直线又不共线，则这两条直线平行。

2）等角定理：两条直线与一对平行线交叉，形成的内切角或外切角相等。

3）向量法：若两条直线上的向量平行，则这两条直线平行。

4）平行线的特征方程：若直线Ax + By + C1 = 0和直线Ax + By + C2 = 0中的C1与C2满足C1 / C2 = B1 / B2 = A1 / A2，则这两条直线平行。

二、垂直线的性质与判断垂直线是指两条直线之间的夹角为90度的直线，在几何学中也有着重要的性质：2.1 垂直线的定义定义：若直线l1和直线l2在平面P上交于点O，且在交点O的两条直线的夹角为90度，那么称直线l1与直线l2垂直。

2.2 垂直线的判断方法判断两条直线是否垂直，可以通过以下几种方法实现：1）欧几里得准则：两条直线斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。

2）垂直线的特征方程：若直线Ax + By + C1 = 0和直线Bx - Ay + C2 = 0中的C1与C2满足C1 * C2 = B2 - A2，则这两条直线垂直。

3）向量法：若两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直。

三、平行线与垂直线的性质之间的关系在平面几何中，平行线和垂直线之间存在以下关系：1. 平行线与平行线之间的关系平行线之间是相互平行的，即若有两条直线分别与其他直线平行，则这两条直线也是平行的。

平行线的定义

5.2.1平行线
一.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线有什么特征？
1、在同一平面内 2、不相交 3、两条直线
二、平行线的表示法：
我们通常用“//”表示平行。
A· B·
C· D·
m∥n （或者n//m）
AB ∥ CD （或者CD//AB）
读作： “AB 平行于 CD”
（或者CD平行于AB）
m
n
读作： “ m平行于n ” （或者n平行于m）
讨论与探究
1.平行线要求在同一平面内，那么在同一平面内两直线的位置关系一共有几种呢？（小组先讨论再实践）
结论：在同一平面内，两直线的位置关系有平行与相交两种。
2、平行线的画法：
（1）放
（2）靠
·
（3）推
（4）画
动手实践
A
假设AB与CD相交，设AB与CD相交于P C
B
P D
E
F
因为AB//EF，CD//EF
于是过点P就有两条直线AB
CD都与EF平行。
根据平行公理，这是不可能的
也就是说，AB与CD不能相交，
只能平行。
平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何语言表达：
a//c , c//b(已知）
2、下列推理正确的是（ C ）
A、因为a // d,b // c，所以c // d； B、因为a // c,b // d，所以c // d； C、因为a // b,a // c，所以b // c； D、因为a // b,c // d，所以a // c。
3.
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

平行线的判定及性质

授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。

平行线的特征

平行线的判定
条件
结论
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线的特征
条件
结论
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补
五、作业
作业
教材：习题2.4 知识技能：第 1、2 题。
思维拓广
B
A D C
A
D
B
C
E
F
图(1)
F
E
图(2)
∴∠3+∠5=180° 同理： ∠4+∠6=180°
两直线平行，同旁内角互补。
1. 平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
2. 注意：特征与判定的区别
试一试
1、如果AD//BC，可得∠B=∠1，根据_两__直__线_平__行_，__同_位__角_相等
当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角会是什么关系呢？试探究下列问题：
（1）如图（1）所示， AB∥ED， BC∥EF，那么 ∠B与∠E的
关系是_相__等___
（2）如图（2），AB∥ED， BC∥EF，那么∠B与∠E的关系是
__互___补____
当一个角的两边与另一个角的两边分
总结上面的结论是__别_平__行__时_，__这__两_个__角__相_等__或__互_补_________
2
（两直线平行，内错角相等） E
13
F
∠3＝ 1＿8＿0°－∠1＝＿6＿0°＿
（两直线平行，）同旁内角互补
B
D
做做一一做做
如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。

平行线的特征

平行线的特征教学目的：1、通过学习认识到两直线平行，同位角相等；并以两直线平行，同位角相等进一步引出其他的有关的特征；2、能够结合平行线，对图形进行简单的平移；3、通过学习使学生能对平行线的三个主要特征有较深的认识。

教学分析：重点：灵活地利用平行线的三个特征解决问题；难点：如何对图形进行平移与旋转。

教学设想：教学中以渗透逻辑推理为主要学习方法。

教学过程：一、知识导向：在本节中，教材通过测量两条平行线被第三条直线所截得的同位角，得出两直线平行，同位角相等，然后通过说理，使学生了解两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

在教学中应淡化平行线的三个特征的逻辑关系，使学生能灵活地利用平行线的三个特征解决问题。

在教学中应加强对学生进行初步的数学语言的训练，使学生能用数学语言叙述直线的平行关系，注意渗透逻辑推理的思想。

另外，在教学中应注意渗透平移的思想。

二、新课拆析：1、知识思索：从上节课中所学习的“平行线的识别”，我们已经知道，如何根据角与角之间的等量关系来说明两条直线是否平行，知道了：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

也就是说，我们利用角的等量关系来得到直线的位置关系（平行）。

反之，我们能否两直线平行的位置关系来等到一些特殊角的特殊的等量关系？2、知识形成：如果我们让直线EF 分别与一对平行线AB 、CD 相交，交点分别是P 、Q ，并由此得到一对同位角：1∠、2∠。

这时，借助量角器，我们将很容易得知：21∠=∠即：由CD ∥AB 得21∠=∠也就是说：两直线平行，同位角相等。

A B C D E F Q P 12概括：（1）两直线平行，同位角相等；（两条平行线被第三条直线所截，同位角相等）；运用相同的方法，我们也将能得到：概括：（2）两直线平行，内错角相等；（两条平行线被第三条直线所截，内错角相等）；（3）两直线平行，同旁内角互补；（两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补）；应用：如下图示，a ∥b ，则（1） ∵ a ∥b （已知）∴ 21∠=∠ （两直线平行，同位角相等）（2） ∵ a ∥b （已知）∴ 32∠=∠ （两直线平行，内错角相等）（3） ∵ a ∥b （已知） ∴ ︒=∠+∠18042（两直线平行，同旁内角互补）3、例题讲解：例：1、如上图，已知直线a ∥b ，︒=∠501，求2∠的度数。

平行线的判定及性质

授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1．下列说法正确的是()A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

探索小学数学中的平行和垂直认识平行线和垂直线的特征和判断方法

探索小学数学中的平行和垂直认识平行线和垂直线的特征和判断方法探索小学数学中的平行和垂直——认识平行线和垂直线的特征和判断方法在小学数学学习中，平行线和垂直线是一个重要的概念。

了解平行线和垂直线的特征和判断方法，对于数学的学习和实际生活中的问题解决具有重要意义。

本文将探索小学数学中的平行和垂直，帮助大家更好地理解这两个概念。

一、平行线的特征和判断方法平行线是指在同一个平面内，永远也不会相交的两条直线。

那么如何判断两条线是否平行呢？下面介绍一些判断方法。

1. 线段与对应线段的长度比较如果两条线段的长度相等，且它们之间没有任何交点，那么就可以判断它们是平行线。

例如，在平面上，有两条线段AB和CD，如果AB的长度等于CD的长度，并且AB和CD之间没有任何交点，那么可以得出结论：AB与CD平行。

2. 角度的性质比较如果在同一平面上，两直线被一条截线所交，而且交线所产生的相邻内角相等（或互补、补角），那么可以判断这两条直线是平行的。

这个方法通常会用到平行线与横线、纵线的关系判断中。

二、垂直线的特征和判断方法垂直线是指两条线段或两条直线，在同一个平面内相交且所形成的交角为直角的线。

如何判断两条线段或直线是否垂直呢？以下是一些判断方法。

1. 角度的性质比较如果两条线段或直线所形成的交角是直角，那么可以判断它们是垂直线。

例如，在平面上，有两条线段AB和CD，如果∠ABC为90度，那么可以得出结论：AB与CD垂直。

2. 斜率的性质比较对于两条直线，如果它们的斜率互为相反数（即一个为正数，一个为负数），那么可以判断这两条直线是垂直的。

通常，我们通过计算斜率来判断垂直关系。

三、平行线和垂直线的应用了解平行线和垂直线的特征和判断方法，对于解决实际生活中的问题具有重要意义。

1. 建筑设计在建筑设计中，平行线和垂直线的运用非常广泛。

例如，在画室内设计图纸时，我们需要合理运用平行线绘制墙体、家具等元素，使整个设计更加协调。

同时，垂直线的运用可以保证建筑结构的稳定性，使得设计更加符合工程要求。

小学数学重点认识平行线与横线的关系

小学数学重点认识平行线与横线的关系数学是学生们必修的重要学科，而数学中的几何部分更是让很多学生望而生畏。

平行线与横线的关系是几何学中一个重要的概念，它们是密切相关的。

本文将从基本概念、性质以及实际问题等方面，全面解析平行线与横线的关系。

1. 基本概念在介绍平行线与横线的关系前，我们先来了解一下它们的基本概念。

平行线指的是在同一个平面内，永不相交的两条直线。

而横线则是指与地面平行的直线。

我们可以将横线看作是特殊的平行线，即与地面平行的水平线。

2. 平行线与横线的性质平行线与横线有许多有趣的性质，我们接下来将一一介绍。

性质一：平行线的特征（以下文字和符号标识在排版中为了展示方便使用了等号的符号，所以一定不能直接写等号。

）两条平行线的对应的内角相等（∠A = ∠E，∠B = ∠F，∠C = ∠G，∠D = ∠H）。

性质二：平行线与横线的关系横线是两条平行线的特殊情况，横线与平行线之间的角度是直角（90°）。

性质三：平行线的重要性质之一对于两条平行线，如果有一条与其中一条线的一边相交，那么与另一条线的对应边也将相交，并且这两条相交的线段比例相等。

性质四：平行线的重要性质之二如果在两条平行线之间插入一条横线，那么所产生的交角就是相等的。

3. 实际问题平行线与横线的关系在我们日常生活中有许多实际应用，下面我们以一些例子来说明。

例子一：建筑设计在建筑设计中，平行线与横线的关系被广泛应用。

比如，在设计一幢建筑物时，设计师需要考虑建筑物的横平竖直，这时就需要运用到平行线与横线的知识。

例子二：城市规划在城市规划中，平行线与横线的关系也是非常重要的。

比如，在规划街道时，需要考虑街道之间的平行与垂直关系，以确保交通流畅和规整性。

例子三：地图绘制地图绘制中，平行线和横线的关系被广泛运用。

地图上的经纬线就是平行线和横线的组合，通过这些线可以方便地确定地理位置。

4. 总结平行线与横线是数学中的重要概念，它们的关系紧密相连。

高中数学中的平行线与角平分线性质

高中数学中的平行线与角平分线性质在高中数学中，平行线与角平分线是两个重要的概念。

它们在几何学中具有许多有趣的性质和应用。

本文将探讨平行线与角平分线的性质，以及它们在解决几何问题中的应用。

一、平行线的性质平行线是指在同一平面内永远不相交的直线。

平行线具有以下几个重要的性质：1. 平行线的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么对应的内角和对应的外角相等。

2. 平行线的同位角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么同位角相等。

3. 平行线的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所切，那么内错角互补，即相加等于180度。

这些性质是解决平行线相关问题时非常有用的工具。

通过应用这些性质，我们可以证明两条线平行，或者求解未知角度的值。

二、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线与角的两边相等：角平分线将一个角分成两个相等的角，因此它与角的两边相等。

2. 角平分线的交点在角的内部：角平分线的交点必定在角的内部，而不在角的边上或外部。

3. 角平分线的交点到角的两边的距离相等：角平分线的交点到角的两边的距离相等，这个性质被称为角平分线的垂直性。

这些性质使得角平分线成为解决角相关问题的重要工具。

通过利用角平分线的性质，我们可以证明两个角相等，或者求解未知角度的值。

三、平行线与角平分线的应用平行线与角平分线的性质在几何问题的解决中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的证明：通过利用平行线的性质，我们可以证明两条线平行。

例如，当两条线的对应角相等或同位角相等时，我们可以得出这两条线是平行的结论。

2. 角的平分线的应用：角平分线的性质可以帮助我们解决一些与角有关的问题。

例如，当我们需要求解一个角的大小时，可以利用角平分线将角分成两个相等的角，从而简化计算。

3. 平行线与角平分线的复合应用：在实际问题中，我们常常需要综合运用平行线与角平分线的性质。

平行线与垂直线的认识帮助孩子认识平行线与垂直线的特征

平行线与垂直线的认识帮助孩子认识平行线与垂直线的特征在日常生活中，平行线与垂直线是我们经常遇到的几何概念。

正确地理解并区分平行线和垂直线对于孩子的几何学习至关重要。

本文将帮助孩子认识平行线与垂直线的特征，并通过实际生活中的例子进行解释。

一、平行线的认识平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。

它们可以说是沿着不同的路径无限延伸，但始终保持相同的远离程度。

举个例子，当我们观察火车轨道时，我们会发现轨道之间始终保持相同的距离，这就是平行线的特征。

另外，平行线之间的夹角也具有特殊的性质。

当一条直线与两条平行线相交时，交点两侧被称为同旁内角和同旁外角。

同旁内角互相补角，也就是说它们的和为180度。

而同旁外角互相补角，也就是说它们的和为180度。

孩子可以通过折纸实验或使用直尺和量角器来观察和验证这些特征。

二、垂直线的认识垂直线是指在同一个平面内与另一条直线相交时形成的等角。

更直观地说，垂直线是相互间呈现出直角（90度）的两条直线。

将一张纸对折时，对折线与纸平面的交线即为垂直线。

此外，人们建造房屋时，墙壁与地面的交线也是垂直线的例子。

要帮助孩子更好地理解垂直线，我们可以进行一些实际操作。

例如使用两根直线，将其相互交叉成直角。

提供给孩子一些可拼接的积木或其他物体，在孩子操作中让他们直观地感受垂直线的特征。

三、平行线与垂直线在生活中的应用平行线与垂直线不仅仅是几何学中的概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。

例如，建筑设计师在设计建筑物时需要使用这些几何概念。

墙壁的垂直性和平行性能够确保房屋的结构稳定。

此外，在交通规划中，平行线也被广泛应用于道路和铁路的设计与布局。

除此之外，平行线和垂直线也在我们日常生活中的方方面面发挥着作用。

孩子们可以观察到车道或停车位之间平行线的存在，以及家里书架上的垂直线。

综上所述，平行线和垂直线是几何学中重要的概念，对于孩子几何学习的推进有着重要的作用。

通过生动的实例和日常生活中的应用，孩子们能够更好地理解和认识平行线与垂直线的特征。

平行线的特征

结论：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
想一想
能用符号语言模仿书写平行线的特征吗？
A
C
l 3 1
2
4
B
D
1.如果AB∥CD，那么 ∠1＝∠2
2.如果AB∥CD，那么 ∠2＝∠4 3.如果AB∥CD，那么∠2＋∠3＝180°
牛刀小试
在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲、乙两同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的走向是什么？
北
西
乙
东
30°
甲
南
答：西偏南30°
我来做一做
如图，已知D是AB上的一点，E是AC上一点， ∠ADE＝60°，∠B＝ 60°，∠ADE＝40°
问：∠C是多少度？为什么？
A
D
E
B
C
这节课我们学习了哪些知识？印象最深的是什么？
作业：课后练习题
生活中的平行线
空中的电线给我们以平行线的形象
生活中的平行线
铁路上的伸向远方的铁轨也给我们以平行线的形象
平行线的概念
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
a b
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行线具有传递性。例如直线 a平行直线b,直线b平行直线c，那么直线a也平行于直线c。
另外，垂直于同一条直线的两条直线平行。
a b
表示为：a∥b
三线八角
4 6
3 52
1 c
两条平行直线被第三条直 a 线所截，形成了一些什么
角呢？
b
• 同位角、内错角、同旁内角
• 做一做从实际问题中抽出模型，请大家画出一
条直线和两条平行直线相交图形，找出其中的同位角，

平行线的判定方法有哪些

平行线的判定方法有哪些平行线是指在同一平面上没有交点且始终保持相同间距的直线。

在几何学中，有几种常见的方法可以用来判定两条直线是否平行。

本文将介绍这些方法。

一、同位角定理同位角定理是判定平行线的基本定理之一。

当两条直线被一条横截线所切割时，同位角相等的话，则这两条直线是平行的。

二、平行线的特征角平行线的特征角是指平行线与横截线所形成的角。

具体包括同位角、内错角、同旁内角等特征角。

利用这些特征角是否相等可以判断两条直线是否平行。

三、等幅小角定理等幅小角定理指的是，当一直线与两个平行线相交时，所形成的对应小角相等。

因此，如果两条直线与另一直线形成的小角相等，则这两条直线也是平行的。

四、向量法向量法是用向量的方法来判断平行线。

当两个向量的方向相同或相反时，它们所代表的直线也是平行的。

因此，可以通过计算两条直线的方向向量来判断它们是否平行。

五、斜率法斜率法是通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。

如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。

六、垂直线法垂直线法在判定平行线时也是常用的方法之一。

两条直线是平行线的充分必要条件是，两条直线中的一条直线与另一条直线的垂线相互垂直。

七、轴线法轴线法是一种通过观察两条直线的旋转对称性来判断它们是否平行的方法。

如果两条直线关于某条轴线旋转对称，则它们是平行线。

综上所述，判定平行线的方法包括同位角定理、平行线的特征角、等幅小角定理、向量法、斜率法、垂直线法和轴线法等。

根据不同的情况和要求，可以选择合适的方法进行判定。

小学四年级数学上册教案认识平行线与垂直线的特征与关系

小学四年级数学上册教案认识平行线与垂直线的特征与关系认识平行线与垂直线的特征与关系1. 引言在小学四年级的数学上册中，学生们将开始认识平行线和垂直线的概念。

平行线和垂直线是几何学中常见的基本概念，对于学生正确理解其特征与关系非常重要。

本文将探讨小学四年级数学上册的教案，重点介绍平行线和垂直线的特征与关系，以帮助学生更好地理解和应用这些概念。

2. 平行线的特征与关系所谓平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。

小学四年级的学生在数学上册中，将了解到平行线的特征与关系。

首先，平行线具有相同的斜率。

斜率是指直线上两个点之间的纵向距离与横向距离的比值。

当两条直线具有相同的斜率时，它们将永远平行而不会相交。

其次，平行线之间的距离恒定不变。

无论平行线有多长，其间的距离始终保持相等。

这是平行线的另一个重要特征。

此外，平行线可以通过符号来表示。

常用的表示平行线的符号是“||”。

当两个直线之间有该符号时，可以判断它们是平行关系。

通过教案的设计，老师可以通过简单的几何图形和实际例子演示平行线的特征与关系，帮助学生更好地理解这一概念。

3. 垂直线的特征与关系垂直线是两条直线相交时，所形成的两个角度相互垂直的直线。

小学四年级的学生在数学上册中，将学习垂直线的特征与关系。

首先，垂直线之间的角度是90度。

当两条直线相交时，所形成的两个角度分别为直角，即90度。

学生应该学会通过观察角的大小和形状来确定两条直线是否垂直。

其次，垂直线可以通过符号来表示。

表示垂直线的符号是“⊥”。

当两条直线之间有该符号时，可以判断它们是垂直关系。

教案的设计可以通过示意图和实际生活例子来展示垂直线的特征与关系，帮助学生更好地理解这一概念。

4. 平行线与垂直线的关系在小学四年级的数学上册中，学生还将学习平行线与垂直线之间的关系。

首先，互相垂直的直线可以相互交叉，形成四个90度的角。

通过示意图和实例，学生可以观察到两条垂直线之间形成的四个角都是直角。

平行线的判定及性质

授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3.掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交,三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等,两直线平行判定方法2：内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等,两直线平行判定方法3：同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补,两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行,同位角相等；性质2：两直线平行,内错角相等；性质3：两直线平行,同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句,叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……,那么…….”,也可写成：“若……,则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．要点六、平移1.定义：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说：1平移后,对应线段平行且相等；2平移后,对应角相等；3平移后,对应点所连线段平行且相等；4平移后,新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内,下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行;其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.2两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截,同位角相等.4在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行．A．1个个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3.如图,给出下列四个条件：1AC＝BD；2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有.A．12B．34C．24D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°,第二次向左拐130°例4.如图所示,已知∠B＝25°,∠BCD＝45°,∠CDE＝30°,∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM＝25°,在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°,∠E＝10°已知,∴∠B＝∠BCM,∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM,EF∥DN内错角相等,两直线平行．又∵∠BCD＝45°,∠CDE＝30°已知,∴∠DCM＝20°,∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等,两直线平行．∵AB∥CM,EF∥DN已证,∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°,∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°,∴∠CNB ＝180°-∠NCB-∠B ＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE ＝30°,∴∠EDM ＝150°．又∵∠E ＝10°,∴∠EMD ＝180°-∠EDM-∠E ＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB ＝∠EMD 等量代换．所以AB ∥EF 内错角相等,两直线平行．变式3已知,如图,BE 平分ABD,DE 平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB 、CD 的位置关系,请说明理由．解：AB ∥CD,理由如下：∵BE 平分∠ABD,DE 平分∠CDB,∴∠ABD ＝2∠1,∠CDB ＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°,∴∠ABD+∠CDB ＝180°．∴AB ∥CD 同旁内角互补,两直线平行．变式4已知,如图,ABBD 于B,CDBD 于D,1+2=180°,求证：CD 1234//,//l l l l 答案48°,132°,48°变式6如图所示,直线l 1∥l 2,点A 、B 在直线l 2上,点C 、D 在直线l 1上,若△ABC 的面积为S 1,△ABD 的面积为S 2,则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B 类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交,有几个交点；③若a ∥b,b ∥c,则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式．1两直线平行,同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行,那么同位角相等.2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示,将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB ＝50°,∠ABC ＝100°,则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9上海静安区一模如图所示,三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB,∵CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行,同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行,同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b,c∥d,所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图,能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB,GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°,第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°,第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°,第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°,第二次向左拐40°．5．如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图,1—4:从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等．②两直线平行,内错角相等．③同位角相等,两直线平行．④内错角相等,两直线平行．A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空题7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________．8．如图,DF平分∠CDE,∠CDF＝55°,∠C＝70°,则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行,则A、B、C 三点,其依据是12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图,∠1＝60°,∠2＝60°,∠3＝100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示,她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗15．如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB＝20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD16．如图所示,由∠1＝∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1.答案A解析只有④正确,其它均错．2.答案D3.答案B解析内错角相等,两直线平行．4.答案B5.答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6.答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7.答案0或1或2或3个；8.答案BC,DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°,而∠FDE＝∠CDF＝55°,所以∠CFD＝∠FDE．9.答案a1∥a100；解析为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线,平行公理；解析此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用．12.答案AB∥CD,GP∥HQ；。