[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编4.doc
考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二常微分方程-试卷4_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二（常微分方程）-试卷4(总分52, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.方程y′sinχ＝ylny，满足条件y()＝e的特解是SSS_SINGLE_SELABe sinχ．CD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：这是变量分离的方程．因此选D．2.设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是SSS_SINGLE_SEL Ay＝C1χ 2＋C2χ＋C3．Bχ 2＋y 2＝C．Cy＝ln(C1χ)＋ln(C1sinχ)．Dy＝C1 sin 2χ＋C2cos 2χ．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2. 填空题1.下列微分方程中(填序号)_______是线性微分方程．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：②、③．2.已知(χ－1)y〞－χy′＋y＝0的一个解是y1＝χ，又知＝e χ－(χ 2＋χ＋1)，y *＝－χ 2－1均是(χ－1)y〞－χy′＋y＝(χ－1) 2的解，则此方程的通解是y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝C1χ＋C2e χ－χ 2－1，其中C1，C2为任意常数．3.已知方程＝0的两个解y1＝e χ，y2＝χ，则该方程满足初值y(0)＝1，y′(0)＝2的解y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝e χ＋χ．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1.求下列方程的通解：(Ⅰ)(χ－2)dy＝[y＋2(χ－2) 3]dχ；(Ⅱ)y 2dχ＝(χ＋y 2)dy；(Ⅲ)(3y－7χ)dχ＋(7y－3χ)dy＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)原方程改写成＝2(χ－2) 2．(一阶线性方程) ，两边同乘μ＝＝2(χ－2)．积分得＝(χ－2) 2＋C．通解y＝(χ－2) 3＋C(χ－2)，其中C为任意常数．(Ⅱ)原方程改写成(以y为自变量，是一阶线性的) 两边同乘μ＝＝e y．积分得＝y y＋C 通解χ＝，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成分离变量得积分得通解为(χ－y) 2(χ＋y) 5＝C，其中C为任意常数．2.求下列方程的通解或特解：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ 2－4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y *＝aχ 2＋bχ＋c，代入方程得2a－4(aχ 2＋bχ＋c)＝4χ 2．－4a＝4，b＝0，2a－4c＝0 a＝－，c＝－．得y *＝－χ 2－．则通解为y＝C1 e 2χ＋C2e －2χ－χ 2－．由初值y(0)＝C1＋C2－，y′(0)＝2C1－2C2＝2，因此得特解y＝(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ 2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝－1，λ2＝－2．由于非齐次项是e －χcosχ；－1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y *＝e －χ(acosχ＋bsinχ)．代入原方程比较等式两端e －χcosχ与e －χsinχ的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C1 e －χ＋C2e －2χ＋ e －χ(sinχ－cosχ)，其中C1，C2为任意常数．3.求方程y〞＋2my′＋n 2 y＝0的通解；又设y＝y(χ)是满足初始条件y(0)＝a，y′(0)＝b的特解，求∫＋∞y(χ)dχ，其中，m＞n＞0，a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：特征方程λ 2＋2mλ＋n 2＝0，特征根λ＝－m± ，通解为y＝注意：指数均为负的将方程两边积分4.设y＝y(χ)在[0，＋∞)内可导，且在χ＞0处的增量△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)满足△y(1＋△y)＝＋α，其中当△χ→0时α是△χ的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△χ→0即得＋1．从而y＝y(χ)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘μ＝，两边积分得＝C＋ln(4＋χ)y＝C(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)．令χ＝0，y＝2可确定常数C＝－2ln2，故 y＝(－2ln2)(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)＝(4＋χ)[－2ln2＋ln(4＋χ)]．5.设函数f(χ)连续，且∫0χ f(t)dt＝sin 2χ＋∫χtf(χ－1)dt．求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将代入原方程即得∫0χ f(t)dt＝sin2χ＋χ∫χ f(u)du－∫χ uf(u)du．① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得f(χ)＝2sinχcosχ＋∫0χ f(u)du＝sin2χ＋∫χf(u)du．② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)．故求y＝f(χ)等价于求解初值问题的特解．解之可得 y＝f(χ)＝(e χ＋2sin2χ－cos2χ) ．6.设有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，试求：在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(χ)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：当χ＜1时，方程y′－2y＝2的两边同乘e -2χ得(ye -2χ)′＝2e -2χ，积分得通解y＝C1e 2χ－1；而当χ＞1时，方程y′－2y＝0的通解为y＝C2 e 2χ．为保持其在χ＝1处的连续性，应使C1e 2－1＝C2e2，即C2＝C1－e -2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为y＝7.设函数f(t)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝试求f(t)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得f(t)＝两边对t求导得f′(t)＝8πt ＋2π.f(1).2t.2，即f′(t)－8πtf(t)＝8πt ．① 在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．② 求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边同乘得＝8πt．积分得f(t)＝4πt 2＋C．由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt 2＋1) ．8.已知y1*＝χe χ＋e 2χ，y2*＝χe χ＋eχ －χ，y3*＝χe χ＋e 2χ－e －χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*－y3*＝e －χ，y2*－y3*＝2e －χ－e 2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e －χ，y2＝2(y1*－y3* )－(y2*－y3* )＝e 2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*＝y1*－y1＝χe χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C1e －χ＋C2e 2χ＋χeχ，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ1＝－1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ－2)=0，即λ 2－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y4*＝χe χ代入得(χ＋2)e χ－(χ＋1)e χ－2χe χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e χ因此方程为y〞－y′－2y ＝(1－2χ)e χ．9.求解初值问题SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是可降价类型的(方程不显含χ)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得p 2＝y -2＋C1．由初值得C1＝－1，积分得最后得y＝(0≤χ≤2)．10.设P(χ)在(a，b)连续，∫p(χ)dχ表示p(χ)的某个原函数，C为任意常数，证明：y＝是方程y′＋P(χ)y＝0的所有解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：因为对任意常数C，y＝Ce ∫p(χ)dχ是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 [ye ∫p(χ)dχ]′＝e ∫p(χ)dχ[y′＋p(χ)y]＝0 即存在常数C，使得ye ∫p(χ)dχ＝C，即y＝Ce －∫p(χ)dχ．11.设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ 3，求此凸弧的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设凸弧的方程为y＝f(χ)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(χ)]，故χ 3＝∫χ f(t)dt－[1＋f(χ)]．两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为χy′－y＝－6χ 2－1．其通解为y＝＝Cχ－6χ 2＋1．对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ 2＋1．12.在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，χ]上侧面积与体积分别为2π∫χy dt，∫0χπy 2 dt．按题意2π∫χ y(t) dt＝π∫χ y 2(t)dt，① y(0)＝2．② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(χ) ＝y 2 (χ) (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④，⑤相加得y＝13.设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为∫tf 2(χ)dχ／∫0t f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫tf(χ)dχ．见图6．2．按题意即∫0t f 2(χ)dχ＝2[∫t f(χ)dχ]2＋∫t f(χ)dχ(χ≥0)．① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①f 2 (t)＝4f(t)∫t f(χ)dχ＋f(t) f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)．f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得方程(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e －∫4dte -4t得[f(t)e -4t]′＝0，并由初条件得f(t)＝e 4t，即f(χ)＝e 4χ．14.设曲线y＝y(χ)上点(χ，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y ＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．曲线y＝y(χ)在点(χ，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为，按题意＝－1．(Ⅱ)解方程．将方程改写为ydy＋χdχ＝0，即d(χ 2＋y 2 )＝0．于是通解为χ＋y＝C(C＞0为常数)．15.求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由曲率半径公式知．曲线y＝yf(χ)满足解方程积分得由②和③式得(χ＋C1 ) 2＋(y＋C2) 2＝a 2，即曲线是圆周．若y〞＝，则同样可证．16.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)弹性恢复力f＝ks，由条件知g＝k. k＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度a＝(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得3 v＝3g－24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，v(s)｜s＝0＝0．(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g－8gs)ds ＝gs－4gs 2＋c．由v(0)＝0＝gs－4gs 2．(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解 gs－4gs 2＝0得 s＝0，s＝．因此，s＝为所求．17.5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg．任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量：抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝5．由1＝＝ln5．因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1kg肥皂．18.求微分方程χ(y 2－1)dχ＋y(χ 2－1)dy＝0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y 2－1｜＝ln｜χ 2－1｜＋C′．即(χ 2－1)(y 2－1)＝C，其中C为任意常数．19.求解下列方程：(Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；(Ⅱ)求yy〞＝2(y ′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C1χ，即y′＝．这样，原方程的通解即为y＝＋C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C3．(Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，，原方程可化为yp＝2(p 2－p)．当p≠0时，可改写为y ＝2(p－1)或，解为p－1＝C1 y 2．再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C1＝1．从而上述方程为变量可分离的方程y′＝1＋y 2其通解为y＝tan(χ＋C2)．再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C2＝．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋)．1。
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年] 微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C．y*=ax2+bx+c+AsinxD．y*=ax2+bx+c+Acosx正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对y’’+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．对y’’+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(λ=0，w=1)，因λ+iw=0+i·1=i 为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而知，y’’+y=x2+1+sinx 的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅A入选．知识模块：常微分方程2．[2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A．y’’’+y’’一4y’一4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’一y’’一4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案：D解析：由所给通解可知，其特征根为λ1=1，λ2，3=0+2i，故其特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λ2+4λ一4=0，故所求的微分方程为y’’’一y’’+4y’-4y=0．仅D入选．知识模块：常微分方程3．[2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解，则( )．A．a=一3，b=2，c=一1B．a=3，b=2，c=一1C．a=一3，b=2，c=1D．a=3，b=2，c=1正确答案：A解析：因为方程y’’+ay’+by=cex的特解，故为原方程对应的齐次方程的解，因而2，1为特征方程λ2+aλ+b=0的特征根，故a=一(2+1)=一3，b=1×2=2．再由所给原方程的特解易看出xex也为原方程的一个特解，将其代入原方程得c=一1．知识模块：常微分方程4．[2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．A．3x(1+x2)B．一3x(1+x2)C．D．正确答案：A解析：利用解的结构和性质，令y1*=(1+x2)2一，y2*=(1+x2)2+，为微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．可得到y1*—y2*为y’+p(x)y=0的解(因a=1，b=一1，a+b=0)，而将其代入(y1*-y2*)’+p(x)(y1*-y2*)=0，得到又为y’+p(x)y=q(x)的解(因，a+b=1)．易求得将其代入方程y’+p(x)y=q(x)得到即4x(1+x2)+(1+x2)2=q(x)故q(x)=4x(1+x2)一(1+x2)2=4x(1+x2)-x(1+x2)=3x(1+x2)．仅A入选．知识模块：常微分方程填空题5．[2006年] 微分方程y’=y(1一x)／x的通解是______．正确答案：y=Cxe-x (C为任意常数)解析：直接利用分离变量法求解．由原方程易得到即两边积分，得到ln｜y｜=ln｜x｜—x+C1，即=C1一x．故=eC1-x=e-xeC1，所以｜y｜=eC1｜x｜e-x，去掉绝对值符号，改写eC1为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x．由于y=0也是原方程的解．上式中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x (C为任意常数)．知识模块：常微分方程6．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解为______．正确答案：y=1／x解析：由初始条件y(1)=1知，只需考虑xy’+y=0在(0，+∞)内的非负解即可．由dy／(-y)=dx／x得到ln｜y｜=ln｜x｜+C1，即｜x｜｜y｜=eC1，即y=C／x(C=eC1)．又因y(1)=1，故C=1，所以y=1／x．知识模块：常微分方程7．[2014年] 微分方程xy’+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.正确答案：y=xe2x+1(x＞0)解析：在所给微分方程的两边除以x可得①令，则y=xu，y’=xu’+u，代入式①得到xu’+u=ulnu，即分离变量得即两边积分得到ln｜lnu一1｜=lnx+lnc，即lnu-1=cx，故则其通解为y=xecx+1．将y(1)=e3代入上式可得c=2，即得其特解为y=xe2x+1(x＞0)．知识模块：常微分方程8．[2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：y=e-xsinx解析：注意到y’+y=y’+(x)’y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到y’ex+exx’y=exe-xcosx=cosx，即(yex)’=cosx．两边积分得到yex=∫cosxdx+C=sinx+C，即y=e-xsinx+Ce-x．由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程9．[2005年] 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．正确答案：y=(x／3)(lnx一1／3)解析：用凑导数法求之．为此在原方程两边乘以x得到x2y’+2xy=x2lnx，即(x2y)’=x2lnx．两边积分得到x2y=∫x2lnxdx=代入初始条件y(1)=一1／9，可得C=0，于是所求的特解为y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)．知识模块：常微分方程10．[2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．正确答案：y= c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数解析：先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程解的性质知，y1一y3=e3x，y2一y3=ex是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．因而该齐次微分方程的通解为Y=c1e3x+c2ex．又y3*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数微分方程解的结构知，所求的通解为y=Y+y*=c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数．知识模块：常微分方程11．[2002年] 微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=1／2的特解是______．正确答案：解析：将y’=p，代入原方程，得到．因而p=0(因不满足初始条件，舍去)，．积分后得到，将初始条件代入得到C1=.再对即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得C2=1，从而y2=x+1，再由y｜x=0=1＞0，得微分方程的特解. 知识模块：常微分方程12．[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的通解为______．正确答案：y= C1ex+C2e2x-2e2x解析：其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1e*+C2e3x.又设非齐次微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x-2e2x．知识模块：常微分方程13．[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．正确答案：f(x)=ex解析：方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r1=一2，r2=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x，则f’(x)=C1ex-2C2e-2x，f’’(x)=C1ex+4C2e-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2ex，得到C1ex+4C2e-2x+C1ex+C2e-2x=2C1ex+5C2e-2x=2ex，故C1=1，C2=0，于是所求f(x)=ex．知识模块：常微分方程14．[2017年] 微分方程y’’+2y’+3y=0的通解为y=______．正确答案：y=e-x解析：特征方程为r2+2r+3=0，特征值为λ1，2=，其通解为y=e-x 知识模块：常微分方程15．微分方程xy’’+3y’=0的通解为______．正确答案：y=C1+C2／x2解析：y=C1+C2／x2在所给方程两边乘以x得欧拉方程x2y’’+3xy’=0(a=1，b=3，c=0)．可知，令x=et，可化为常系数线性微分方程，其特征方程为r2+2r=r(r+2)=0，其通解为y=C1e0t+C2e-2t=C1+C2e-2t=C1+C2／x2．知识模块：常微分方程16．[2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．正确答案：y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数解析：作变量代换x=et，其中a=1，b=4，c=2，则此为二阶常系数的线性齐次微分方程．其特征方程为r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0，其特征根为r1=一1，r2=一2，故其通解为y=C1e-t+C2e-2t．代入原变量x，得到原方程的通解为y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程17．[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为______．正确答案：y=一xex+x+2解析：由所给通解知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征根是r1=r2=1．因而特征方程为(r一1)2=r2一2r+1=0．故二阶常系数线性齐次微分方程为y’’一2y’+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y’’-2y’+y=x．下面求非齐次方程y’’-2y’+y=x ①的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+ B．代入方程①，得到(y*)’’=0，(y*)’=A，于是有一2A+Ax+B=x，即(A 一1)x一2A+B=0，所以A一1=0，B一2A=0，从而A=1，B=2，故一特解为y*=x+2．非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2．②将y(0)=2，y’(0)=2，代入方程②得C1=0，C2=一1，满足初始条件的解为y=一xex+x+2．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编4.doc
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7 (15年)设函数f(u，v)满足 依次是
8 (15年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x， 围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续．则 f(x，y)dxdy=
9 (16年)已知函数f(x，）I1＞0．
（B）I2＞0．
（C）I3＞0．
（D）I4＞0．
6 (14年)设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足
（A）u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．
（B）u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．
（C）u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得．
二、填空题
12 (12年)设 其中函数f(u)可微，则
13 (14年)设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则
14 (15年)若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0,0)=______．
15 (17年)设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_____．
[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11年)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
（B）fx'+fy'=0．
1990-2012考研数学二历年真题word版
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一． 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。
考研数学二(常微分方程)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷16(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是A．y=C1x2+C2x+C3．B．x2+y2=C．C．y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．D．y=C1sin2x+C2cos2x．正确答案：D解析：仅有D含有两个独立的任意常数C1与C2，选D．知识模块：常微分方程2．设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A．y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．B．y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)≠0．C．y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0．D．y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0．正确答案：B解析：根据题目的要求，y1(x)与y2(x)应该线性无关，即≠λ(常数)．反之，若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，那么y1’(x)=λy2’(x)，利用线性代数的知识，就有y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．所以，B成立时，y1(x)，y2(x)一定线性无关，应选B．知识模块：常微分方程填空题3．已知(x－1)y”－xy’+y=0的一个解是y1=x，又知y=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y”－xy’+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=________．正确答案：C1x+C2ex－x2－1解析：由非齐次方程(x－1)y”－xy’+y=(x－1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解－y*=ex－x，事实上y 2=(ex－x)+x=ex也是该齐次方程的解，又ex与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程4．微分方程y”+6y’+9y=0的通解y=________．正确答案：(C1+C2)e－3x解析：特征方程λ2+6λ+9=0，即(λ+3)2=0．通解为y=(C1+C2)e－3x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(常微分方程)-试卷3
考研数学二（常微分方程）-试卷3(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.微分方程y""-4y=e 2x +x的特解形式为( )．（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c √解析：解析：y""-4y=0的特征方程为λ2 -4=0，特征值为λ1 =-2，λ2 =2． y""-4y=e 2x的特解形式为y=axe 2x， y""-4y=x的特解形式为y 2 =bx+C，故原方程特解形式为axe 2x +bx+c，选(D)．3.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y 1 =e x，y 2 =2xe x，y 3 =3e -x，则该微分方程为 ( )．（分数：2.00）A.y"""-y""-y"+y=0 √B.y"""+y""-y"-y=0C.y"""+2y""-y"-2y=0D.y"""-2y"-y"+2y=0解析：解析：由y 1 =e x，y 2 =2xe -x，y 3 =3e -x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1 =λ2 =1，λ3 =-1，其特征方程为(λ-1) 2 (λ+1)=0，即λ3 -λ2 -λ+1=0，所求的微分方程为y"""-y""-y"+y=0，选(A)．4.设φ1 (x)，φ2 (x)为一阶非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C[φ1 (x)+φ2 (x)]B.C[φ1 (x)-φ2 (x)]C.C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x) √D.[φ1 (x)-φ2 (x)]+Cφ2 (x)解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)为方程y"+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1 (x)-φ2 (x)为方程y"+P(x)y=0的一个解，于是方程y"+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1 (x)-φ2 (x)]+φ2 (x)，选(C)．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.yy""=1+y" 2满足初始条件y(0)=1，y"(0)=0的解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±x）解析：解析：令y"=p，则，解得In(1+p 2)=lny 2+lnC 1，则1+p 2=C 1y 2，由y(0)=1，y"(0)=0得y"= +C 2=±x，由y(0)=1得C 2 =0，所以特解为6.微分方程y""+4y=4x-8的通解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C 1 cosx+C 2 sin2x+x-2．）解析：解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C 1cosx+C 2sin2x+x-2．7.设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y""-6y"+9y=e 3x，则y(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题意得y(0)=0，y"(0)=2， y""-6y"+9y=e 3x的特征方程为λ2 -6λ+9=0，特征值为λ1=λ2 =3，令y""-6y"+9y=e 3x的特解为y 0 (x)=ax 2 e 3x，代人得a= 故通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x+ 由y(0)=0，y"(0)=2得C 1 =0，C 2 =2，则y(x)=2xe 3x8.微分方程2y""=3y 2满足初始条件y(-2)=1，y"(-2)=1的特解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y"=p，则y""= ，解得p 2 =y 3 +C 1，由y(-2)=1，y"(-2)=1，得C 1 =0，所以y"= ，再由y(-2)=1，得C 2 =0，所求特解为9.微分方程 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜x｜+C）解析：解析：由10.设二阶常系数非齐次线性微分方程y""+y"+qy=Q(x)有特解y=3e -4x +x 2 +3x+2，则Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-12x 2 -34x-19，C 1 e -4x +C 2 e 2 +x2+3x+2）解析：解析：显然λ=-4是特征方程λ2 +λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2 +λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x 2+3x+2为特征方程y""+y"-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19，且通解为y=C1 e -4x +C2 e2 +x2+3x+2(其中C1，C 2为任意常数)．11.以y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-sinx-3cosx，y""+y"-2y=-sinx-3cosx．）解析：解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y""+y"-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y""+y"-2y=-sinx-3cosx．12.设y""-3y"+ay=-5e -x的特解形式为Axe -x，则其通解为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x）解析：解析：因为方程有特解Axe -x，所以-1为特征值，即(-1) 2 -3×(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为λ2 -3λλ1 =-1，λ2 =4，齐次方程y""-3y"+ay=0的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e 4x，再把Axe -x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x13.设f(x)，则f(x)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e -x）解析：解析：由整理得，两边对x求导得f"(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce -x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e -x三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(常微分方程)模拟试卷24(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷24(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设线性无关的函数y1．y2，y3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C1、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3B．C1y2+C2y2一(C1+C2)y3C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3正确答案：D 涉及知识点：常微分方程填空题2．微分方程=y(xy—x+y—1)的通解为_______．正确答案：涉及知识点：常微分方程3．微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解为______．正确答案：y2=x(ln|x|+C) 涉及知识点：常微分方程4．微分方程的通解为_______．正确答案：涉及知识点：常微分方程5．方程y”一3y’+2y=2ex的通解为________．正确答案：y=C1ex+C2e2x一2xex 涉及知识点：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6．求微分方程的通解．正确答案：涉及知识点：常微分方程7．求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xex+y．2)3)y’+ytanx=cosx4)(1+x)y”+y’=05)yy”一(y’)2=y4，y(0)=1．y’(0)=06)y”+4y’+1=07)y”+9y=cos(2x+5)8)y”‘一3y”+9y’+13y=e2xsin2x正确答案：2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C3)y=(x+C)cosx4)y=C1ln|1+x|+C2 涉及知识点：常微分方程8．已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．正确答案：所求方程为(2x一x2)y”+(x2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x)．通解为：y=C1x2+C2ex+3 涉及知识点：常微分方程9．已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=cex 的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C1e2x+C2ex+xex 涉及知识点：常微分方程10．设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．正确答案：涉及知识点：常微分方程11．已知y”+(x+e2y)y’3=0。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B解析：=[(x一2)．1一(2x一2)．1]×[一6(x一2)一(一1)(x一7)]=(一x)×(一5x+5)=5x．(x—1)，故f(x)=x．(5x一5)=0有两个根x1=0，x2=1，故应选B。
2．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=( )A．kA*。
B．kn－1A*。
C．knA*。
D．k－1A*。
正确答案：B解析：对任何n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的n阶矩阵自然也要成立。
那么，当A可逆时，由A*=｜A｜A－1，有(kA)*=｜kA｜(kA)－1=kn｜A｜．A －1=kn－1｜A｜A－1=kn－1A*。
故应选B。
一般地，若A=(aij)m×n，有kA=(kaij)m×n，那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为即｜kA｜中每个元素的代数余子式恰好是｜A｜相应元素的代数余子式的kn－1倍，因此，按伴随矩阵的定义知(kA)*的元素是A*对应元素的kn－1倍。
3．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加至到第2列得C，记P=，则( )A．C=P－1AP。
B．C=PAP－1。
C．C=PTAP。
D．C=PAPT。
正确答案：B解析：由题设可得B=A，则C=，而P－1=，则有C=PAP－1。
故应选B。
4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示。
下列命题正确的是( )A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s。
B．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s。
C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s。
考研数学(二)题库(高等数学)-第八章 常微分方程【圣才出品】
2．设 y＝f（x）是 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，若 f（x0）＞0 且 f′（x0）＝0，则 f（x） 在点 x0 处（ ）。
A．取得极大值 B．某邻域内单调递增 C．某邻域内单调递减 D．取得极小值 【答案】A 【解析】因为 y＝f（x）是微分方程 y″－2y′＋4y＝0 的一个解，故对于 x＝x0，有 f″ （x0）－2f′（x0）＋4f（x0）＝0。又因为 f′（x0）＝0，f（x0）＞0，可得 f″（x0）＜0， 故函数在 x＝x0 处取极大值。故应选（A）。
11．设 y1＝excos2x，y2＝exsin2x 都是方程 y″＋py′＋qy＝0 的解，则（ ）。 A．p＝2，q＝5 B．p＝－2，q＝5 C．p＝－3，q＝2 D．p＝2，q＝2
B．1/β＋1/α ＝1
C．1/α －1/β＝1
D．1/β＋1/α ＝－1
【答案】A
【解析】将 y＝zm 代入微分方程，则有 mzm－1dz/dx＝axα＋bzmβ，
dz ax bzm a+ bzm x
dx
mz m1
mzm1 x
根据题意 dz/dx＝f（z/x），因此可得到 mβ＝α，m－1＝α，即 1/β－1/α＝1 故应选
8．一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【解析】由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得 y2/2＝－x2＋c，即曲线为椭 圆。
9．微分方程 xdy－ydx＝y2eydy 的通解为（ ）。
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【解析】由题意可得－1＋i 为特征方程 λ2＋aλ＋b＝0 的根，故（i－1）2＋a（i－1） ＋b＝0。可得 a＝2，b＝2，故应选（D）。
考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为【】A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．正确答案：A解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχy*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ) 故应选A．知识模块：常微分方程2．(2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是【】A．y〞－y′－2y＝3χeχ．B．y〞－y′－2y＝3eχ．C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．D．y〞＋y′－2y＝3eχ．正确答案：D解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知其满足该方程，则应选D．知识模块：常微分方程3．(2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是【】A．＋y〞－4y′－4y＝0．B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．C．－y〞－4y′＋4y＝0．D．－y〞＋4y′－4y＝0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i 则其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0 故应选D．知识模块：常微分方程4．(2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝g(χ) 即λ(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μ(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)′＋p(χ)(λy1－μy2)＝0 λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：常微分方程5．(2011年)微分方程y〞－λ2y＝eλχ＋e－λχ(λ＞0)的特解形式为【】A．aχ(eλχ＋e－λχ)．B．aχ(eλχ＋e－λχ)．C．χ′〞(aeλχ＋be－λχ)．D．χ2(aeλχ＋be－λχ)．正确答案：C解析：方程y〞－λ2y＝0的特征方程为r2－λ2＝1 r1＝λ，r2＝－λ方程y〞－λ2y＝eλχ的特解形式为aχeλχ方程y〞－λ2y＝e－λχ的特解形式为bχe－λe 则原方程的特解形式为y＝χ(aχeλχ＋bχe－λχ) 故应选C．知识模块：常微分方程填空题6．(2006年)微分方程y′＝的通解是_______．正确答案：y＝Cχe－χ．解析：则ln｜y｜＝ln｜χ｜－χ＝ln｜χ｜＋lne－χ＝ln(｜χ｜e－χ) y＝Cχe－χ．知识模块：常微分方程7．(2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－4y′＋3y＝2e2χ的通解为y＝_______．正确答案：y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ．解析：齐次方程特征方程为ρ2－4ρ＋3＝0 解得ρ1＝1，ρ2＝3，则齐次方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ设非齐方程特解为＝Ae2χ，代入原方程得A＝－2，则原方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ知识模块：常微分方程8．(2008年)微分方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0的通解是y＝_______．正确答案：y＝χ(C－e－χ)．解析：方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0可改写为知识模块：常微分方程9．(2010年)3阶常系数线性齐次微分方程－2y〞＋y′－2y＝0的通解为y ＝________．正确答案：y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．解析：方程y″′＝2y〞＋y′－2y＝0的特征方程为r3－2r2＋r－2＝0 即r2(r－2)＋(r－2)＝0 (r－2)(r2＋1)＝0 r1＝2，r2，3＝±l′则原方程通解为y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．知识模块：常微分方程10．(2011年)微分方程y′＋y＝e－χcosχ满足条件y(0)＝0的解为y＝_______．正确答案：e－χsinχ．解析：由一阶线性方程的通解公式得y＝＝e－χ[∫cosχdχ＋c]＝e－χ[sinχ＋C] 由y(0)＝0知，C＝0，则y＝e－χsinχ知识模块：常微分方程11．(2012年)微分方程ydχ＋(χ－3y2)dy＝0满足条件y｜χ＝1＝1的解为y＝_______．正确答案：解析：由ydχ＋(χ－3y2)dy＝0 得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y＝1时，χ＝1，解得C＝0，故χ＝y2．y＝知识模块：常微分方程12．(2013年)已知y1＝e3χ－χe2χ，y2＝eχ－χe2χ，y3＝－χe2χ是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜χ＝0＝0，y′｜χ＝0＝1的解为y＝_______．正确答案：C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．解析：由题设知y1－y3＝e3χ，y2－y3＝eχ为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．知识模块：常微分方程13．(2015年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．正确答案：2eχ＋e－2χ．解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝2 原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ由y(0)＝3，y′(0)＝0得则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b 为常数) 【】A．aeχ＋bB．aχeχ＋bC．aeχ＋bχD．aχeχ＋bχ正确答案：B解析：y〞－y＝eχ＋1的特解应为方程y〞－y＝eχ和y〞－y＝1的特解之和，而特征方程为r2－1＝0，解得r＝±1 因此y－y＝eχ的特解应为y1*＝aχeχ，y〞－y＝1的特解应为y2*＝b 则原方程特解应具有形式y＝aχeχ＋b 知识模块：常微分方程2．(1998年)已知函数y＝f(χ)在任意点χ处的增量△y＝＋α，其中α是比△χ(△χ→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)＝【】A．B．2πC．πD．正确答案：A解析：由于△y与△χ＋α，其α是比△χ(△χ→0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得y＝Cearctanχ，再由y(0)＝π得C＝π故y＝兀earctanχ，y(1)＝π知识模块：常微分方程3．(2000年)具有特解y1＝e－χ，y2＝2χe－χ，y3＝3eχ的三阶常系数齐次线性微分方程是【】A．y〞′－y〞－y′＋y＝0B．y〞′＋y〞－y′－y＝0C．y〞′－6y〞＋11y′－6y＝0D．y〞′－2y〞－y′＋2y＝0正确答案：B解析：由本题所给三个特解可知，所求方程的特征方程的根为λ1＝1，λ2＝－1(二重)，故特征方程是(λ－1)(λ＋1)2＝0，展开得λ3＋λ2－λ－1＝0 从而，微分方程应为y′〞＋y′－y＝0，则应选B．知识模块：常微分方程4．(2002年)设y＝y(χ)是二阶常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，则当χ→0时，函数的极限．【】A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正确答案：C解析：由于y(χ)是方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，在方程y〞＋py′＋qy＝e3χ中，令χ＝0 得y〞(0)＋Py′(0)＋qy(0)＝e0＝1 即y〞(0)＝1 所以应选C．知识模块：常微分方程5．(2003年)已知y＝是微分方程y′＝的解，则φ()的表达式为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：将y＝代入方程y′＝得故应选A．知识模块：常微分方程填空题6．(1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解为_______．正确答案：(χ－4)y4＝Cχ．解析：该方程是一个变量可分离方程，即(χ－4)y4＝Cχ知识模块：常微分方程7．(1995年)微分方程y〞＋y＝－2χ的通解为_______．正确答案：y＝－2χ＋C1cosχ＋C2sinχ．解析：特征方程为r2＋1＝0，解得r1＝i，r2＝－I 齐次通解为＝C1cos χ＋C2sinχ易观察出非齐次一个特解为y*＝－2χ则原方程通解为y＝C1>cosχ＋C2sinχ－2χ知识模块：常微分方程8．(1996年)微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解为_______．正确答案：y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)．解析：特征方程为r2＋2r＋5＝0，r1，2＝－1±2i 故通解为y＝C1e－χcos2χ＋C2e－χsin2χ．知识模块：常微分方程9．(1999年)微分方程y〞－4y＝e2χ的通解为________．正确答案：y＝C1e－2χ＋(C2＋χ)e2χ(C1，C2为任意常数)．解析：特征方程为r2－4＝0，r1，2＝±2 齐次通解为＝1e－2χ＋C2e2χ设非齐次方程特解为y*Aχe2χ代入原方程得A＝，故原方程通解为知识模块：常微分方程10．(2001年)过点(，0)且满足关系式y′arcsinχ＋＝1的曲线方程为_______·正确答案：yarcsinχ＝χ－．解析：由y′arcsinχ＋＝1 知(yarcsinχ)′＝1 则yarcsinχ＝χ＋C 由因此yarcsinχ＝χ－知识模块：常微分方程11．(2002年)微分方程yy〞＋y′2＝0满足初始条件的特解是_______．正确答案：y2＝χ＋1或y＝解析：令y′＝P，则，y〞＝，代入原方程得则所求的特解为y2＝χ＋1．知识模块：常微分方程12．(2004年)微分方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0满足的特解为_______．正确答案：解析：方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0可改写为设方程为一阶线性方程，则其通解为由知C＝1，则所求特解为y＝知识模块：常微分方程13．(2005年)微分方程χy′＋2y＝χlnχ满足y(1)＝－的解为_______．正确答案：解析：方程χy＋2y＝χlnχ是一阶线性方程，方程两端同除以χ得：y′＋＝lnχ，则通解为由y(1)＝－得，C＝0，则知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(常微分方程)-试卷1.doc
考研数学二（常微分方程）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2 =1的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。
B.xy=4。
C.x 2 y=4。
D.一xy=4。
3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )（分数：2.00）4.已知y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。
B.y=Cy 2 (x)。
C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。
D.y=c[y 1 (x)一y 2 (x)]。
5.设y 1，y 2是一阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）6.设线性无关的函数y 1，y 2，y 3都是二阶非齐次线性方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C 1，C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3。
B.C 1 y 1 +C 1 y 2一(C 1 +C 2 )y 3。
C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3。
D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3。
2023数二考研真题试卷
2023数二考研真题试卷2023年数学二考研真题试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求导后得到的导数函数为：A. \( 6x - 2 \)B. \( 3x^2 - 2 \)C. \( 6x + 1 \)D. \( 3x - 2 \)2. 根据题目所给的微分方程\( y'' - 3y' + 2y = 0 \)，其特征方程为：A. \( r^2 - 3r + 2 = 0 \)B. \( r^2 + 3r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 3r - 2 = 0 \)D. \( r^2 - 3r - 2 = 0 \)3. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为：A. \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \)B. \( P(X=k) = \frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!} \)C. \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k} \)D. \( P(X=k) = \frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k} \)4. 已知矩阵A和B满足\( AB = BA \)，且\( A \)和\( B \)都不是零矩阵，那么\( A \)和\( B \)是：A. 可交换矩阵B. 正交矩阵C. 正定矩阵D. 相似矩阵5. 设函数\( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求\( g(\pi/4) \)的值为：A. \( \sqrt{2} \)B. \( \sqrt{3} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)6. 根据题目所给的级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)，其收敛性为：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛7. 设\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)的值为：A. 1B. 2C. 4D. 88. 已知函数\( h(t) = t^3 - 3t^2 + 2t \)，求其在\( t = 2 \)处的高阶导数\( h^{(4)}(t) \)的值为：A. 0B. 6C. 12D. 249. 设随机变量X和Y的联合概率密度函数为\( f(x, y) \)，求X和Y的协方差为：A. \( \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \)B. \( \text{Cov}(X, Y) = E[X]E[Y] - E[XY] \)C. \( \text{Cov}(X, Y) = E[X] - E[Y] \)D. \( \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] \)10. 根据题目所给的曲线\( y = x^2 \)和直线\( y = 4x \)，求它们在第一象限内的交点坐标：A. \( (1, 4) \)B. \( (2, 8) \)C. \( (4, 16) \)D. \( (0, 0) \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据题目所给的函数\( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)，求其在\( x =。
考研数学二(常微分方程)-试卷1
考研数学二（常微分方程）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2 =1的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。
B.xy=4。
C.x 2 y=4。
√D.一xy=4。
解析：解析：原微分方程分离变量得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x 2 y=C，将y｜x=2 =1代入得C=4，故所求特解为x 2 y=4。
应选C。
3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )（分数：2.00）√解析：解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx 2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为4.已知y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )（分数：2.00）A.y=Cy 1 (x)。
B.y=Cy 2 (x)。
C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)。
D.y=c[y 1 (x)一y 2 (x)]。
√解析：解析：由于y 1 (x)和y 2 (x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则y 1 (x)一y 2 (x)为该方程的一个非零解，则y=C[y 1 (x)一y 2 (x)]为该方程的解。
5.设y 1，y 2是一阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy 1 +μy 2是该方程的解，λy 1一μy 2是该方程对应的齐次方程的解，则( )（分数：2.00）√解析：解析：由已知条件可得由λy 1+μy 2仍是该方程的解，得(λy 1"+μy 2")+p(x)(λy 1+μy 2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1；由λy 1一μy 2是所对应齐次方程的解，得(λy 1"一μy 2")+ρ(x)(λy1一μy 2 )=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。
考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛．B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛．C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛．D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛．正确答案：B解析：若{xn)单调，则{f(xn)}单调，又f(x)在(－∞，＋∞)内有界，可见{f(xn)}单调有界，从而{f(xn)}收敛．故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续2．设an＞0(n＝1，2，3，…)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件．B．充分非必要条件．C．必要非充分条件．D．既非允分也非必要条件．正确答案：B解析：由an＞0(n＝1，2，3，…)，数列{Sn}单凋增加，若{Sn}有界，则{Sn}收敛，且即{an}收敛，故充分性成立．但必要性不一定成立，即若an＞0(n＝1，2，3，…)，且数列{an2}收敛，则数列{Sn}不一定有界．例如，an＝1(n＝1，2，3，…)，则数列{an}收敛于1，但数列{Sn}＝{n}无界．故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续3．设x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小，则n为A．1．B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为知，n＝3．故应选(C)．知识模块：函数、极限、连续4．设当x→0时，(1－cosx)ln(1＋x2)是比xsinxn高阶的无穷小，xsinxn是比(ex2－1)高阶的无穷小，则正整数，n等于A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 直接按无穷小量的定义进行讨论．[详解] 由题设，有知，n ≤2；又由知n≥2．故n＝2．故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续5．把x→0＋时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．B．α，γ，βC．β，α，γ．D．β，γ，α．正确答案：B解析：[分析] 先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x的阶数，再进行比较．[详解1]，可排除(C)，(D)选项，又可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B)．[详解2] 由存在且不为零，知n＝1；存在且不为零，知n＝3；存在且不为零，知n＝2；故应选(B)．知识模块：函数、极限、连续6．当x→0＋时，与等价的无穷小量是A．B．C．D．正确答案：B解析：[分析] 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案．[详解] 当x→0＋时，有；利用排除法知应选(B)．[评注] 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案．事实上，知识模块：函数、极限、连续7．当x→0时，f(x)＝x—sinax与g(x)＝x2ln(1－bx)是等价无穷小，则A．a＝1，B．n＝1，C．a＝－1，D．a＝－1，正确答案：A解析：[详解] f(x)＝x—sinax，g(x)＝x2ln(1－bx)为等价无穷小，则由洛必塔法则只需因为，从而a＝1再由，故应选(A)．[评注]本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论：知识模块：函数、极限、连续8．已知当x＝0时，函数f(x)－3sinx＝sin3x与cxk是等价无穷小，则A．k＝1，c＝4．B．k＝1，C＝－4．C．k＝3，c＝4．D．k＝3，C＝－4．正确答案：C解析：[分析] 由等价无穷小的定义及泰勒公式或洛必塔法则可得，属基本题型．[详解1]用泰勒公式由题意所以k＝3，c＝4．故应选(C)．[详解2]欲使，由洛必塔法则，只需，和差化积得所以k＝3，c＝4．故应选(C)．知识模块：函数、极限、连续9．设cosx－1＝xsina(x)，其中，则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小．B．比x低阶的无穷小．C．与x同阶但不等价的无穷小．D．与x等价的无穷小．正确答案：C解析：由cosx—1＝xsina(x)，有因此sina(x)是与x同阶但不等价无穷小，又sina(x)与a(x)是等价无穷小，所以，a(x)是与x同阶但不等价的无穷小．故选(C)．知识模块：函数、极限、连续10．设函数在(－∞，＋∞)内连续，且，则常数a，b满足A．a＜0，b＜0．B．a>＞0，b＞0．C．a≤0，b＜0．D．a≥0，b＜0．正确答案：D解析：[分析] 根据f(x)的连续性和条件确定常数．[详解] 由题设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，因此对任意的x∈(－∞，＋∞)，有a＋ebr≠0，这只需a≥0即可；另外，由，所以必有b＜0．故应选(D)．[评注] 事实上，本题由a≥0即可选择正确答案为(D)．知识模块：函数、极限、连续11．设函数，则A．x＝0，x＝1都是f(x)的第一类间断点．B．x＝0，x＝1都是f(x)的第二类间断点．C．x＝0是f(x)的第一类间断点，x＝1是f(x)的第二类间断点．D．x＝0是f(x)的第二类间断点，x＝1是f(x)的第一类间断点．正确答案：D解析：[分析] 显然x＝0，x＝1为间断点，其分类主要考虑左、右极限．[详解] 由于函数f(x)在x＝0，x＝1点处无定义，因此是间断点．且，所以x＝0为第二类间断点．，所以x＝1为第一类间断点，故应选(D)．[评注] 应特别注意：。
考研数学二(微分中值定理及其应用)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是A．若f(x)在(a，b)单调增加且可导，则f’(x)＞0(x∈(a，b))．B．若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f”(x0)=0．C．若f’(x0)=0，f”(x0)=0，f”‘(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点．D．若f(x)在x=x0处取极值，则f’(x0)=0．正确答案：C解析：A，B，D涉及到一些基本事实．若f(x)在(a，b)可导且单调增加=>f’(x)≥0(x∈(a，b))．若(x，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，则f”(x0)可能不存在．若x=x0是f(x)的极值点，则f’(x0)可能不存在．因此A，B，D均不正确(如图4．1所示)．选C．知识模块：微分中值定理及其应用2．曲线y=渐近线的条数是A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：A解析：令f(x)=，f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，1)∪(1，+∞)，因｜f(x)｜＜，从而x=1与x=－2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故y=是曲线y=f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选A．知识模块：微分中值定理及其应用填空题3．曲线y=3x++1的渐近线方程为________．正确答案：y=3x+1解析：只有间断点x=0，=∞=>x=0为垂直渐近线．又=>有斜渐近线y=3x+1．知识模块：微分中值定理及其应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4．证明函数恒等式arctanx=，x∈(－1，1)．正确答案：令f(x)=arctanx，g(x)=，要证f(x)=g(x)当x∈(－1，1)时成立，只需证明：1°f(x)，g(x)在(－1，1)可导且当x∈(－1，1)时f’(x)=g’(x)；2°x0∈(－1，1)使得f(x0)=g(x0)．由初等函数的性质知f(x)与g(x)都在(－1，1)内可导，计算可得即当x∈(－1，1)时f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此当x∈(－1，1)时f(x)=g(x)，即恒等式成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用5．设f(x)在(a，b)内可导，证明：x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单凋减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x－x0)＞f(x)．(*)正确答案：必要性：设(*)成立，x1，x2∈((a，b)且x1＜x2=> f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2－x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1－x2)．两式相加=> [f’(x1)－f’(x2)](x2－x1)＞0 =>f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)单调减少．充分性：设f’(x)在(a，b)单调减少．对于x，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得f(x)－[f(x0)+f’(x0)(x－x0)]=[f’(ξ)－f’(x0)](x－x0)＜0，其中ξ在x与x0之间，即(*)成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用6．在椭圆=1内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积．正确答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S’(x)：令S’(x)=0解得x=，因S(0)=S(a)=0，=2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即内接矩形最大面积为2ab．涉及知识点：微分中值定理及其应用7．设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，f(x)≥0，f(x)≥f’(x)(x＞0)，求证：f(x)≡0．正确答案：由f’(x)－f(x)≤0，得e－x[f’(x)－f(x)]=[e－xf(x)]’≤0．又f(x)e －x｜x=0=0，则f(x)e－x≤f(x)e－x｜x=0=0．进而f(x)≤0(x∈[0，+∞))，因此f(x)≡0(x∈[0，+∞))．涉及知识点：微分中值定理及其应用8．设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f”(x0)=f”‘(x0)=0，又设f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．正确答案：由f(4)(x)＞0(x∈(a，b))，知f”‘(x)在(a，b)单调上升．又因f”‘(x0)=0，故从而f(x)在(a，x0]单调下降，在[x0，b)单调上升．又f”(x0)=0，故f”(x)＞0(x ∈(a，b)，x≠x0)，因此f(x)在(a，b)为凹函数．涉及知识点：微分中值定理及其应用9．求函数y=(x∈(0，+∞))的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．正确答案：函数y=在定义域(0，+∞)上处处连续，先求y’，y”和它们的零点及不存在的点．由y’=0得x=1；x=时y’不存在；x=时y”不存在；无y”=0的点．现列下表：因此得y=单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+∞)，x=1是极小值点，凹区间是，凸区间是是拐点．最后求渐近线．因y=在(0，+∞)连续，且=0，所以无垂直渐近线．由于因此只有斜渐近线y=x．涉及知识点：微分中值定理及其应用10．在椭圆=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．正确答案：过椭圆上任意点(x0，y0)的切线的斜率y’(x0)满足切线方程为y－y0=(x－x0)．分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为问题是求：S(x)=(0＜x＜a)的最小值点，其中y=，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x2(a2－x2)在闭区间[0，a]上的最大值点．由f’(x)=2x(a2－2x2)=0(x∈(0，a))得a2－2x2=0，x=x0=．注意f(0)=f(a)=0，f(x0)＞0，故x0=是f(x)在[0，a]的最大值点．因此为所求点．涉及知识点：微分中值定理及其应用11．证明：当x＞1时正确答案：对x≥1引入函数f(x)=lnx+－2，则f(x)在[1，+∞)可导，且当x ＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即lnx+－2＞0．令g(x)=lnx+，则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即lnx+当x＞1时成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用12．求证：x∈(0，1)时正确答案：令g(x)=，则当x＞0时有故g(x)在(0，1)内单调下降．又g(x)在(0，1]连续，且g(1)=－1，g(x)在x=0无定义，但若补充定义g(0)=，则g(x)在[0，1]上连续．又g’(x)＜0，0＜x＜1，因此g(x)在[0，1]单调下降．所以，当0＜x ＜1时g(1)＜g(x)＜g(0)，即成立．涉及知识点：微分中值定理及其应用13．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有正确答案：联系f(x1)－f(x2)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x1≤x2≤1．分两种情形：1)若x2－x1＜，直接用拉格朗日中值定理得｜f(x1)－f(x2)｜=｜f’(ξ)(x2－x1)｜=｜f’(ξ)｜｜x2－x1｜＜．2)若x2－x1≥，当0＜x1＜x2＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x1]与[x2，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x1)，η∈(x2，1)使得｜f(x1)－f(x2)｜=｜[f(x1)－f(0)]－[f(x2)－f(1)]｜≤｜f(x1)－f(0)｜+｜f(1)－f(x2)｜=｜f’(ξ)x1+｜f’(η)(1－x2)｜＜x1+(1－x2)=1－(x2－x1)≤，①当x1=0且x2≥时，有｜f(x1)－f(x2)｜=｜f(0)－f(x2)｜=｜f(1)－f(x2)｜=｜f’(η)(1－x2)｜＜．②当x1≤且x2=1时，同样有｜f(x1)－f(x2)｜=｜f(x1)－f(1)｜=｜f(x1)－f(0)｜=｜f’(ξ)(x1－0)＜．因此对于任何x1，x2∈[0，1]总有涉及知识点：微分中值定理及其应用14．设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则(Ⅰ)若f”(x)＞0(x∈(a，b))，有f[tx1+(1－t)x2]＜tf(x1)+(1－t)f(x2)，特别有(Ⅱ)若f”(x)＜0(x∈(a，b))，有f[tx1+(1－t)x2]＞tf(x1)+(1－t)f(x2)，特别有正确答案：(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f”(x)＞0(x∈(a，b)) => f(x)在(a，b)为凹的．注意tx1+(1－t)x2∈(a，b) => f(x1)＞f[tx1+(1－t)x2]+f’[tx1+(1－t)x2][x1－(tx1+(1－t)x2)] =f[tx1+(1－t)x2]+f’[tx1+(1－t)x2](1－t)(x1－x2)，f(x2)＞f[tx1+(1－t)x2]+f’[tx1+(1－t)x2][x2－(tx1+(1－t)x2)] =f[tx1+(1－t)x2]－f’[tx1+(1－t)x2]t(x1－x2)，两式分别乘t与(1－t)后相加得tf(x1)+(1－t)f(x2)＞f[tx1+(1－t)x2]．涉及知识点：微分中值定理及其应用15．设f(x)在[0，b]上可导，且f’+(a)与f’－(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=0．正确答案：由极限的不等式性质和题设知，存在δ＞0使得a+δ＜b－δ，且于是f(a+δ)＞f(a)，f(b－δ)＞f(b)．这表明f(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在ξ∈(a，b)使得f(ξ)=．由费马定理知f’(ξ)=0．涉及知识点：微分中值定理及其应用16．设f(x)在[0，1]三阶可导，且f(0)=f(1)=0．设F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在c，使得F”‘(c)=0．正确答案：由于F(0)=F(1)=0，F(x)在[0，1]可导，则ξ1∈(0，1)，F’(ξ1)=0．又F’(x)=x2f’(x)+2xf(x)，及由F’(0)=0，F’(ξ1)=0，F’(x)在[0，1]可导，则ξ2∈(0，ξ1)使得F”(ξ2)=0．又F”(x)=x2f”(x)+4xf’(x)+2f(x)，及由F”(0)=F”(ξ2)=0，F”(x)在[0，1]可导，则c∈(0，ξ2)使得F”‘(c)=0．涉及知识点：微分中值定理及其应用17．设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，G(x)=∫0xF(s)ds，显然G(x)在[0，1]可导，G(0)=0，又G(1)=∫01F(s)dssF(s)｜01－∫01sdF(s)=F(1)－∫01sf(s)ds=0－0=0，对G(x)在[0，1]上用罗尔定理知，c∈(0，1)使得G’(c)=F(c)=0．现由F(x)在[0，1]可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在[0，c]，[c，1]对F(x)用罗尔定理知，ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得F’(ξ1)=f(ξ1)=0，F’(ξ2)=f(ξ2)=0，即f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用18．设f(x)在(a，b)内可导，且x0∈(a，b)使得f’(x)又f(x0)＞0(＜0)，(如图4．13)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点．正确答案：由x1∈(a，x0)使f(x1)＜0，x2∈(x0，b)使f(x2)＜0，则f(x)在(x1，x0)与(x0，x2)内各存在一个零点．因f’(x)＞0(x∈(a，x0))，从而f(x)在(a，x1)单调增加；f’(x)＜0(x∈(x0，b))，从而f(x)在(x0，b)单调减少．因此，f(x)在(a，x0)，(x0，b)内分别存在唯一零点，即在(a，b)内恰有两个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用19．设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，又b＞a＞0，求证：ξ，η∈(a，b)使得正确答案：把所证的结论改写成f’(ξ)=．由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理=>ξ，η∈(a，b)使得．代入上式即得结论．涉及知识点：微分中值定理及其应用20．设f(x)=讨论f(x)与g(x)的极值．正确答案：(Ⅰ)对于f(x)：当x＞0时f’(x)=ex＞0，从而f(x)在(0，+∞)内无极值．当x＜0时f’(x)=(x+1)ex，令f’(x)=0，得x=－1．当x＜－1时f’(x)＜0，当－1＜x＜0时f’(x)＞0，故f(－1)=一e－1为极小值．再看间断点x=0处，当x＜0时f(x)=xex＜0=f(0)；当x＞0且x充分小时，f(x)=ex－2＜0，故f(0)=0为极大值．涉及知识点：微分中值定理及其应用21．设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且．证明：存在常数c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．正确答案：因为涉及知识点：微分中值定理及其应用22．设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对x(a≤x ≤b)满足f”(x)+g(x)f’(x)－f(x)=0．求证：f(x)≡0 (x∈[a，b])．正确答案：若f(x)在[a，b]上不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值．不妨设f(x0)=＞0，则x0∈(a，b)且f’(x0)=0，f”(x0)≤0 => f”(x0)+g(x0)f’(x0)－f(x0)＜0与已知条件矛盾．同理，若f(x1)=＜0，同样得矛盾．因此f(x)≡0 (x∈[a，b])．涉及知识点：微分中值定理及其应用23．求证：ex+e－x+2cosx=5恰有两个根．正确答案：即证f(x)=ex+e－x+2cosx－5在(－∞，+∞)恰有两个零点．由于f’(x)=ex－e－x－2sinx，f”(x)=ex+e－x－2cosx＞2－2cosx≥0 (x≠0)，=>f’(x)在(－∞，+∞)↑．又因f’(0)=0=>f’(x))=>f(x)在(－∞，0]单调下降，在[0，+∞)单调上升．又f(0)=－1＜0，=+∞，因此f(x)在(－∞，0)与(0，+∞)各唯一零点，即在(－∞，+∞)恰有两个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用24．证明：x－x2＜ln(1+x)＜x (x＞0)．正确答案：(Ⅰ)令F(x)=x－ln(1+x)=>F’(x)=1－＞0(x＞0)．又F(0)=0，F(x)在[0，+∞)连续=>F(x)在[0，+∞)↑=>F(x)＞F(0)=0(x＞0)．(Ⅱ)令G(x)=ln(1+x)－，则故G(x)在[0，+∞)↑，即有G(x)＞G(0)=0．涉及知识点：微分中值定理及其应用25．设0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可导，证明：在(x1，x2)内至少一个c，使得正确答案：记k=要证f’(x)－f(x)+k在(x1，x2)零点e－x[f’(x)－f(x)+k]=[e －x(f(x)－k)]’在(x1，x2)零点．令F(x)=e－x[f(x)－k]，则F(x)在[x1，x2]可导．考察因此，由罗尔定理=>c∈(x1，x2)，F’(c)=0．涉及知识点：微分中值定理及其应用26．设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得正确答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使①令g(x)=x2，由柯西中值定理知，η∈(a，b)，使②将②式代入①式，即得涉及知识点：微分中值定理及其应用27．设f(x)=nx(1－x)n(n为自然数)，正确答案：(Ⅰ)先求f’(x)=n(1－x)n－1[1－(n+1)x]0，得唯一驻点x=xn=．又f(0)=f(1)=0，f(xn)=＞0．因此(Ⅱ)注意单调下降极限为e=> 涉及知识点：微分中值定理及其应用28．证明奇次方程a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1=0一定有实根，其中常数a0≠0．正确答案：不妨设a0＞0．令f(x)=a0x2n+1+a1x2n+…+a2nx+a2n+1，则又f(x)在(－∞，+∞)连续，因此在(－∞，+∞)内f(x)至少存在一个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用29．求函数f(x)=(x∈(－∞，+∞))的最小值．正确答案：先求导数并得驻点．再求由于f(x)在(－∞，+∞)内可导，且有唯一的极小值点x=，因而必是最小值点，f(x)的最小值为．涉及知识点：微分中值定理及其应用30．求圆x2+y2=1的一条切线，使此切线与抛物线y=x2－2所围面积取最小值，并求此最小值．正确答案：如图4．5，圆周的参数方程为x=cosθ，y=sinθ．圆周上点(cos θ，sinθ)处切线的斜率是=－cotθ，于是切线方程是它与y=x2－2交点的横坐标较小者为α，较大者为β，则α，β是方程x2+xcotθ－2－=0的根，并且切线与抛物线所围面积为为求(β－α)3最小值，只要求(β－α)2最小值，由一元二次方程根与系数关系得所以，当+2=0时取最小值3．由涉及知识点：微分中值定理及其应用。
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[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．
（A）不存在
（B）等于1
（C）等于2
（D）等于3
2 (03年)已知是微分方程的表达式为
3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为
（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．
（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．
（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．
（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．
4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是
（A）y"一y’一2y=3xe x．
（B）y"-y’一2y=3e x．
（C）y”+y’一2y=3xe x．
（D）y"+y'-2y=3e x．
5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
（A）y"'+y"-4y’-4y=0．
（B）y"'+y"+4y’+4y=0．
（C）y"'一y”一4y’+4y=0．
（D）y"'-y"+4y’一4y=0．
6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则
7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为
（A）a(eλx+e-λx)．
（B）ax(eλx+e-λx)．
（C）x(aeλx+be-λx)．
（D）x2(aeλx+be-λx)．
8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=
（A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．
（B）Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．
（C）Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．
（D）Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．
二、填空题
9 (04年)微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_______．
10 (05年)微分方程xy’+2y=3xlnx满足y(1)=的解为______．
11 (06年)微分方程的通解是_______．
12 (07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y"一4y’+3y=2e2x的通解为
y=________．
13 (08年)微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=______．
14 (10年)3阶常系数线性齐次微分方程y"'一2y"+y’一2y=0的通解为y=_______．
15 (11年)微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=________．
16 (12年)微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=______．
17 (13年)已知y1=e3x一xe3x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y'|x=0=1的解为y=______．
18 (15年)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______．
19 (16年)以y=x2一e x和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为__________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20 (01年)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距
离．恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点 (1)试求曲线L的方程； (2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．
21 (01年)一个半球体状的雪堆．其体积融化的速率与半球面面积S成正比．比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开
始融化的3小时内．融化了其体积的．问雪堆全部融化需要多少小时?
22 (02年)求微分方程xdy+(x一2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．
23 (03年)设函数y=y(x)在(一∞．+∞)内具有二阶导数，且y'≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的解．
24 (03年)设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． (1)求曲线y=f(x)的方程： (2)已知曲线y=sinx在[0，π]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．
25 ((13年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设汁要求．当以3 m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3/mjn的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器
内无液体)(1)根据t时刻液面的面积．写出t与φ(y)之间的关系式：(2)求曲线x=φ(y)的方程．
26 (04年)某种飞机在机场降落时．为了减少滑行距离．在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?
27 (05年)用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y"一xy’+y=0，并求其满足y|x=0=1，y’|x=0=2的特解．
28 (07年)求微分方程y"(x+y'2)=y’满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解．
29 (08年)设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体．若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
30 (09年)设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy”一y'+2=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2．求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
31 (09年)设y=y(x)在区间(一π．π)内过点的光滑曲线．当一π＜x＜0时．曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"+y+x=0．求函数y(x)的表达式．
32 (10年)设函数y=f(x)由参数方程(t＞一1)所确定，其中ψ(t)具有2阶导数，且．ψ’(1)=6，已知,求函数ψ(t)．
33 (11年)设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点．记a 为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若求y(x)的表达式．
34 (12年)已知函数f(x)满足方程f”(x)+f'(x)一2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e x． (I)求f(x)的表达式； (Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x f(一t2)dt的拐点．
35 (14年)设函数f(u)具有2阶连续导数,z=f(e x cosy)满足
若f(0)=0，f’(0)=0，求f(u)的表达式．
36 (15年)已知高温物体置于低温介质中。
任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比．现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时问?
37 (16年)已知y1(x)=e x，y2(x)=u(x)e x是二阶微分方程(2x一1)y"一(2x+1)y'+2y=0的两个解．若u(-1)=e．u(0)=一1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
38 (17年)设y(x)是区间内的可导函数．且y(1)=0．点P是曲线l：y=y(x)上的任意一点，l在点P处的切线与y轴相交于点(0，Y p)．法线与x轴相交于点
(X P,0)．若X P=Y P，求l上点的坐标(x，y)满足的方程．
39 (18年)已知连续函数f(x)满足∫0x f(t)dt+∫0x tf(x一t)dt=ax2． (1)求f(x)； (2)若f(x)在区间[0，1]上的平均值为1．求a的值．。