全国高中数学联赛精选模拟试题一

最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 1、函数的最大值是（）

A、2

B、

C、

D、3

2. 已知，定义，则

（）

A． B．C． D．

3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（）

A．B．C．D．

4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（）

A、B、3 C、D、2

5. 已知（R），且

则a的值有（）

（A）个（B）个（C）个（D）无数个

6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。

若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（）

A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7. 不等式的解集为，那么的值等于__________.

8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.

9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等

差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为

_______________的数列也是等比数列．

10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是

11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．

12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围

三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）

13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量

(1) 求的取值范围;

（2）若试确定实数的取值范围.

14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC

把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM

是否平行面PCD.

15. 设椭圆的方程为, 线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点, 使为正三角形, 求椭圆的离心率的取值范围, 并用表示直线的斜率.

16. 在数列中，

（Ⅰ）试比较与的大小；

（Ⅱ）证明：当时，.

参考答案：

1.B

2. 解：计算

可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C.

3.B

4.B

5.D解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有

．

所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式

的解集为．因此当时，恒有

. 故选（D）．

6.B解：因为，所以。将区间[0，1]分成[]，

三段，则中至少有两个值落在同一个小区间内（抽屉原理）。所以满足的好点对（）至少有一个。所以选B.

7.

8. ＝2005

9.

10. 36π

11. 390

12. 简解：设Ｂ点坐标为（y21–4,y1），Ｃ点坐标为(y2–4,y)

显然y21–4≠０，故k AB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC，所以k BC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x，注意到y≠y1得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得：y≤0或y≥4.

当y=0时，点Ｂ的坐标为(–3,–1)；当y=4时，点Ｂ的坐标为(5,–3)，均满足题意。故点Ｃ的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.

13.【标准答案】

解：因为

所以，由正弦定理，得，

即又所以即

.

(1)=

因此的取值范围是

(2)若则,

由正弦定理，得

设=,则,

所以

即

所以实数的取值范围为

14. （I）证明：依题意知：

（II）由（I）知

平面ABCD

∴平面PAB⊥平面ABCD.

在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，

设MN=h

则

要使

即M为PB的中点.

（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（0，2，0），

C（1，1，0），D（1，0，0），

P（0，0，1），M（0，1，）

由（I）知平面，则

的法向量。

又为等腰

因为

所以AM与平面PCD不平行.

15. 解：如图, 设线段的中点为．过点、、分别作准线的垂线, 垂足分别为、、, 则

．假设存在点，则，且，即

，

所以，．

于是，，故

．

若 (如图)，则

.

当时, 过点作斜率为的焦点弦, 它的中垂线交左准线

于, 由上述运算知, ．故为正三角形.

若，则由对称性得

．

又, 所以，椭圆的离心率的取值范围是，

直线的斜率为．

16. 解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有

，

（Ⅱ）证法1：由已知得，

又.

当时，