全国高中数学联赛精选模拟试题一

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全国高中数学联赛模拟试题及参考答案

全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中王全 710061 wangquan1978@。

全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc

全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第I卷(选择题共60分)参考公式1三角函数的积化和差公式1sina?cos 扌=n( a + 3 )+商9()], acos a1?sin 书=in( a a)], 2cos a 1 ?cos 书=os( a + 3 )+c©s()a21si a?sin B[=os( a +3)( a- 3 )].22 •球的体积公式4V球=—n R3( R为球的半径)。

3一、选择题(每小题5分，共60分)11. 设在xOy平面上，0<y < x2,0 < x所围成图形的面积为—。

则集合3M={(x,y)|x < |y|}, N={(x,y)|x > y2|的交集MAN所表示的图形面积为2 1 1A. B. C. 1 D.3 3 6r~―兀2.在四面体ABCD中，设AB=1 , CD= -.3，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。

3 则四面体ABCD的体积等于矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。

1143A . C . — D .23233. 有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。

A. 90B. 100C. 110D. 1204. 在△ ABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A . △ ABC是等腰三角形，但不-B . △ ABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C. △ ABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D . △ ABC既是等腰三角形，也是直角三角形5. 已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤。

A . 8B . 9C . 10D . 11a 2b 26.设0<x<1, a,b 为正常数。

高中数学联赛模拟卷(含答案)

高中数学联赛模拟卷姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.1.方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上的实根个数为_________________.解析：设2()log sin 2f x x x π=+-，则1()cos ln2f x x x π'=+，∵02x π<≤，∴0cos 1x ≤<，又0ln12π<<，∴()0f x '>，即在区间(0,]2π上单调递增，故方程2log sin 2x x π+=在区间(0,]2π上有且只有一个实根.2.设数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足不等式1|6|125n S -<的最小整数n 是_________________.解析：易知数列118()3n -⎧⎫⨯-⎨⎬⎩⎭是首项是8，公比是13-的等比数列，∴18[1()]1366()131()3nn n S --==----，于是1|6|125n S -<⇔112132503125n n --<⇔>， ∵53243250=<，63729250=>，故最小整数n 是7. 3.如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4}；（2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a ；（3）a 是a, b, c, d 中的最小数。

那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 解析：46个。

abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 24=6个不同的数。

abcd 中恰有3个不同数字时，能组成1212121213C C C C C +=16个不同数。

abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 44=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

全国高中数学联赛一试模拟试题

全国高中数学联赛一试模拟试题（1）
(考试时间：80分钟满分：120分)
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.函数的值域是___________
2.设a,b,c为RT△ACB的三边长,点(m,n)在直线ax+by+c=0上.则m2+n2的最小值是___________
3.若，且为正整数，则
(考试时间：80分钟满分：120分)
1、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.集合 , , ,则的取值范围是___________
2.某人投两次骰子,先后得到点数 ,用来作为一元二次方程的系数,则使方程有
实根的概率为______________
3.过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切
6．对于每个大于等于2的整数，令表示在区间上不同解的个数，
表示在区间上不同解的个数，则 =____________
7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x,y)到点A(1, 3),B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0≤x≤10, 0≤y≤10，
B队三名队员是B1,B2,B3,，且对的胜率为 (1≤i,j≤3)，A队得分期望的最大可能值是________.
7.△ABC的三边长分别为13, 14, 15,有4个半径同为的圆O,O1,O2,O3放在△ABC内，并且⊙O1与
边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1,O2,O3相切,
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

全国高中数学联赛模拟卷(一试+二试附详细解答)

20XX 年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y =的最大值是 _______2．青蛙在正六边形ABCDEF 上A 点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃方式有____________种. 3．设2()f x ax bx c =++,(0)1,(1)1,(1)1,f f f ≤≤-≤则(2)f 的最大值为 ___________ 4．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ______5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线1x y +=交于M , N 两点, 且OM ON ⊥(O 为原点), 当椭圆的离心率e ∈[33, 22]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________6．对于每个大于等于2的整数n ，令)(n f 表示x nx sin sin =在区间],0[π上不同解的个数，)(n g 表示x nx cos cos =在区间],0[π上不同解的个数，则∑=-20072))()((n n f n g =____________7．在平面直角坐标系中，定义点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)之间的“直角距离”为d (P , Q )=|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|若C (x , y )到点A (1, 3), B (6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x , y 满足0≤x ≤10, 0≤y ≤10，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 _________8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知,,a b c 是实数, 二次函数2()f x ax bx c =++满足()02a b c f a--=，求证：－1与1中至少有一个是()0f x =的根.10．设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．11．已知椭圆1222=+y x ，过定点)0,1(C 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于Q P ,两点。

全国高中数学联赛模拟试题1及答案

全国高中数学联赛模拟试题1及答案全国高中数学联赛模拟试题1及答案全国高中数学联赛模拟试题（一）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1 （B）3 （C）4 （D）5x22、函数y （x∈R，x≠1）的递增区间是x 1（A）x≥2 （C）x≤0（B）x≤0或x≥2 （D）x≤1 2或x≥23、过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝04、若方程cos2x＋3sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则参2数a的取值范围是（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A）42 （B）45 （C）48 （D）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是（A）8 （B）10 （C）14 （D）16二、填空题：（每小题9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程1×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x2是．2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝．3、数799被2550除所得的余数是．54、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝．3135、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数5 242n（n∈N）的个位数字是三、（20分）已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a ＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的.实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2 ＋xcos ＋y≥0}之中．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．a2 b a c z求证： 1的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．ac b二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；（2） AK AP AQ2S△ABC，其中S△ABC表BC示△ABC的面积．三、（50分）给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：ai4(j 1,2,3, ,n)． i j2j 1i 1n确定和式Si 1nai的值（写成关于n的最简式子）． 2i 1参考答案第一试二、填空题：18115871、或；38383、343；2、7×2n-1－n2－2n－3； 4、53 12； 265、{ | ＝2n ＋或2n －，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 21 1 1x z y z 1 x y三、证略，等号成立的条件是x y z 或 2或 2或 2．3 z 0 y 0 z 0四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝42．第二试a c a c 4b i一、证略（提示：直接解出z ，通过变形即得充分性成22立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）．三、S12S△ABC＝AR＞AT＞BC2n 121．。

全国高中数学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟题一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是。

2. 在ABC ∆中，若2AB =，3AC =，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且AO AB BC λμ=+，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第一卷〔选择题共60分〕参考公式1．三角函数的积化和差公式sin α•cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)], cos α•sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cos α•cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sin α•sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式 V 球=34πR 3〔R 为球的半径〕。

一、选择题〔每题5分，共60分〕1．设在xOy 平面上，0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为31。

那么集合 M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2| 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A ．32 B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 及直线CD 的距离为2，夹角为3。

那么四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21D ．33 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

假设取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，假设(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，那么 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。

）。

A。

-x+9x-12B。

x+9x-12C。

-x-9x+12D。

x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。

）。

A。

①B。

②C。

①和③D。

②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。

）。

A。

B。

C。

1D。

44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。

）。

A。

36πB。

32πC。

20πD。

16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。

）。

A。

9B。

12C。

15D。

186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。

）。

A。

807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。

）。

A。

(-2-1,2)B。

(-2,2-1)C。

[,2-1)D。

(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。

）。

A。

B。

C。

D。

9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。

）。

A。

x<y<zB。

y<z<xC。

z<x<yD。

z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。

全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）

全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。

全国高中数学联赛一试模拟试题

6.若实数a,b,x,y满足，，，则 ________
7.设对于任意满足的自然数，有不等式恒成立，则的最大值为__________
8.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设a,b是两个正整数,它们的最小公倍数是24·33·72·11,那么这样的有序正整数对(a,b)有_组.
2.方程16sinπxcosπx＝16x＋的解集合为
3.三棱锥是三条侧棱两两垂直的三棱锥，是底面内的一点，
那么的最小值是___是.
5．一个盒中有个正品和个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望 =_________________．
6．若非负实数满足，则 .
7．正整数使得是完全平方数,则的个位数字是．
8．在平面直角坐标系内，将适合x＜y,|x|＜3, |y|＜3,且使关于t的方程＝0没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为_______.
9．已知正实数，设， .（1）当时，求的取值范围；
（2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围.
10.已知数列{an}：， ⑴证明：
⑵求出所有的正整数，使得为完全平方数.
11.设为正实数，且．证明：．
全国高中数学联赛一试模拟试题（3）
(考试时间：80分钟满分：120分)
__________
8.设向量满足对任意和θ∈[0, ],
恒成立.则实数a的取值范围是________________.

全国高中数学联赛一试模拟试题一

全国高中数学联赛一试模拟试题一一、填空题1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为． 6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝． 9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．二、解答题11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCD ABCDAPQ R2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1，∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z )．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝．填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．填14．解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy )≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝．填－252．解：设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R ．则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2．一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，Σk ＝12009a n＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋2．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．BCDAP QR BMNR Q PA DC B填0，3－12，3－1．解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12；a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)． 12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立．当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． ∴ k ∈[62，＋∞)．解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y ．令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值．s (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立．当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．∴ k ∈[62，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．EBCDA解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；②若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除．⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．。

全国高中数学联赛一试试题

全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---12(2)2x x ≥⋅--2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ D ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根21424a a x =+22424a a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即24224a a +≥-且24424a a +，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（ B ） A. 24181 B. 26681 C. 27481D. 670243[解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为（ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B. 51(0,)2C. 5151()-+D. 51()-+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 解得1551,225151.22q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或 5151q -+<<，因此所求的取值范围是5151(-+．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += 5 . [解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =23-+[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得23a =-+23a =-舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a =112(1)n n n -+． [解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a n n ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++10031413(0)41f +-=⋅+-200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则222211(3)22PP PO OP r r r=--=．答13图答12图 2 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF ，如答12图2．记正四面体的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 226PM PP MPP r r =⋅==，故小三角形的边长1226PE PA PM a r =-=-．小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB P EF S S ∆∆-223(26))a a r =--23263ar r =-．又1r =，46a =124363183PAB PEF S S ∆∆-= 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->， 221515()(022x x ----->． …15分所以215x -+>，即152x -+<-152x -+> 故原不等式解集为5151(,)(,)22---∞-+∞． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． (5)分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x+<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分题15图令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于2211x x <+， …15分即222()10x x +->，解得251x ->(251x +<舍去)，故原不等式解集为5151(,)(,)22---∞-+∞． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y by b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++-- 2448≥=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,22x y ==±．因此PBC S 的最小值为8． …20分。

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题1

全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)], cosα•sinβ=21[sin(α+β)sin(αβ)],cosα•cosβ=21[cos(α+β)+cos(αβ)],sinα•sinβ=21[cos(α+β)cos(αβ)].2．球的体积公式 V 球=34πR3（R 为球的半径）。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy 平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为31。

则集合 M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2| 的交集M∩N 所表示的图形面积为 A ．32 B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与直线CD 的距离为2，夹角为3π。

则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21D ．33 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，则 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。

则xb x a -+122的最小值是A ．4abB ．(a+b)2C ．(ab)2D ．2(a2+b2) 7．设a,b>0，且a+b=a+b 。

全国高中数学联赛模拟试题一

全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题(共36分)1. 在复平面上，非零复数z 1，z 2在以z=i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z 的实部为零，argz 1＝π6，则z 2＝ ( )A.－32＋32i B.32－32i C.－32＋32iD.32－32i 2. 已知函数f(x)＝log a (ax 2－x ＋12)在[1，2]上恒正，则实数a 的取值范围是( )A.(12，58)B.(32，＋∞)C.(12，58)∪(32，＋∞)D.(12，＋∞) 3. 已知双曲线过点M(－2，4)和N(4，4)，它的一个焦点为F 1(1，0)，则另一个焦点F 2的轨迹方程是 ( )A.(x －1)225＋(y －4)216＝1(y ≠0)或x ＝1(y ≠0)B.(x －1)216＋(y －4)225＝1(x ≠0)或x ＝1(y ≠0)C.(x －4)225＋(y －1)216＝1(y ≠0)或y ＝1(x ≠0)D.(x －4)216＋(y －1)225＝1(x ≠0)或y ＝1(x ≠0)4. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则M ＝1＋a 2＋1＋2b 的整数部分是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.45. 一条笔直的大街宽度为40米，一条人行横道穿过这条街，并与街道成一定的角度，人行横道长度为50米，与大街边缘结合部的宽度为15米，则人行横道的宽度为( ) A.9米 B.10米 C.12米 D.15米6. 一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n(n ＞1)个车站，结果客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票)，那么原有车站的个数为 A.12 B.13 C.14 D.15 ( )二、填空题(共54分)7. 长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的23倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合，折痕线EF ，GH 分别交原来长方形对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是_____.8. 在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且满足a 2＋b 2＝2c 2，则角C 的最大值是_____.9.从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器中倒出1升，然后加水填满，在倒出1升混合溶液后又加水填满，如此继续下去，则第n次操作后溶液的浓度为__________________. 10.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为非负实数集，对任意的x≥0，规定f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝2x＋5，则f(x)*g(x)的最大值是_________.11.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_______种不同的取法.12.若实数a＞0，则满足a5－a3＋a＝2的a值属于区间:①(0，63)；②(62，63)，③(63，＋∞)；④(0，32).其中正确的是_________________.三、解答题(共计60分)13.(20分)求证：经过正方体中心的任意截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.14.(20分)直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)与椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，求证：a2b2c2＝a2＋b2A2＋B2.15.(20分)某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场的日营业额(每日卖出商品所收到的总金额)为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额需要售货员人数及每1万元营业额所得利润情况如表所示，商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c万元，且19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的营业额均为整数万元，第二试一、(50分)矩形ABCD 的边AD ＝λ·AB ，以AB 为直径在矩形外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE 2＋BF 2＝AB 2，求正实数λ的值.二、(50分)若a i ∈R ＋(i ＝1，2，……，n)，S ＝∑=n1i ia，且2≤n ∈N ，求证：∑∑==-≥-n 1k 2k n1k k3ka 1n 1a S a .三、(50分)无穷数列{c n }由下列法则定义：c n ＋1＝|1－|1－2c n ||，而0≤c 1≤1(1)证明：仅当c 1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列； (2)存在多少个不同的c 1值，使得数列自某项之后以T 为周期(对于每个T ＝2，3，……)?全国高中数学联赛模拟试题(一)参考答案第一试一、选择题 1. A如图所示，设复数z 1对应的点为Z 1，则|OZ 1|＝2sin π6＝1，∴ z 1＝32＋12i再设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)由|z 2－i|＝1得x 2＋(y －1)2＝1 …………① ∵ (32－12i)(x ＋yi)的实部等于0， ∴ 3x ＋y ＝0 …………②联立①②解得⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=0y 0x 23y 23x 或(舍去) 故z 2＝－32＋32i 2. C设g(x)＝ax 2－x ＋12，首先由g(x)＞0得a ＞x －12x 2＝－12x 2＋1x当1≤x ≤2时，(－12x 2＋1x )max ＝12从而a ＞12，在此前提下，易知函数g(x)＝ax 2－x ＋12的对称轴x ＝12a在区间[1，2]的左边，从而g(x)在[1，2]上是增函数.当a ＞1时，f(x)在[1，2]上是增函数，有f(1)＝log a (a －1＋12)＞0，⇒ a ＞32当12＜a ＜1时，f(x)在[1，2]上是减函数，有yf(2)＝log a (4a －2＋12)＞0，⇒ 12＜a ＜58综上：12＜a ＜58或a ＞323. A易知|MF 1|＝|NF 1|＝5而||MF 1|－|MF 2||＝||NF 1|－|NF 2|| 即|5－|MF 2||＝|5－|NF 2||当5－|MF 2|＝5－|NF 2|时，即|MF 2|＝|NF 2|时，点F 2的轨迹是线段MN 的中垂线，其方程为x ＝1(y ≠0)当5－|MF 2|＝|NF 2|－5时，即|MF 2|＋|NF 2|＝10时，点F 2的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为(x －1)225＋(y －4)216＝1(y ≠0)4. B一方面，M ＞1＋0＋1＋0＝2另一方面，M ＜1＋2a ＋a 2＋1＋2b ＋b 2＝1＋a ＋1＋b ＝2＋(a ＋b)＝3所以，2＜M ＜3 5. C如图，人行横道的面积S ＝15×14＝600∴ S ＝50x ＝600 ⇒ x ＝12 6. C新增的n 个车站之间需要P n 2种车票，新增的n 个车站与原来的m 个车站之间需要2mn种车票，从而P n 2＋2mn ＝58，即n(n －1＋2m)＝58注意到n 和n －1＋2m 都是整数，而58只能分解为1×58和2×29两种情况，又n ＞1 所以n ＝2，n －1＋2m ＝29，或n ＝29，n －1＋2m ＝2，或n ＝58，n －1＋2m ＝1 只有第一组有满足题意的解：n ＝2，m ＝14 二、填空题 7.π6；折叠后，仍然有AF ＝FH ＝HB(或HA ，折叠后A 点和B 点重合)AM ＝MN ＝NC ，且它们的长度没有变，仍然等于折叠前的长度，但对角线AC 由直线段变成了折线段，A 、M 、N 三点由原来共线变成了A 、M 、N 三点构成三角形.设AD ＝a ，则AB ＝23a ，图(1)为折叠前的长方形，有AC ＝13a ，AM ＝MN ＝133a ，AF ＝FH ＝HB ＝233a ，MF ＝a 3，HN ＝2a 3. 15A B C D F H (1)E G M N (2) AD FH E GMN P设平面AMN 与平面AFH 的夹角为θ(图(2))，由S △AFH ＝12×233a ×233a ×sin60º＝33a 2.在Rt △NHA 中，AN ＝(233a)2＋(23a)2＝4a3取AN 的中点P ，∵ AM ＝MN ⇒ MP ⊥AN 在Rt △MPA 中，MP ＝(133a)2－(23a)2＝a ∴ S △AMN ＝a 2×4a 3＝2a23∴ cos θ＝S ×AFH S △AMN ＝32，∴ θ＝π68.π3； ∵ a 2＋b 2＝2c 2，∴ cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2＋b222ab ＝a 2＋b 24ab∴ a 2－4abcos θ＋b 2＝0 即(a b )2－(4cosC)ab ＋1＝0(∵ b ≠0) 因为ab是正实数，所以4cosC ＞0且△≥0解得：cosC ≥12，所以C ≤π39.(1－1a)n；开始浓度为1，操作一次后溶液浓度为a 1＝1－1a，设操作n 此后的溶液浓度为a n ，则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1a)∴ {a n }是首项、公比均为1－1a 的等比数列，∴ a n ＝a 1q n －1＝(1－1a )n10.23－1；∵ x ≥0，令3－x ＞2x ＋5，解得0≤x ≤4－2 3 所以f(x)*g(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-≥--<≤+324x x3324x 05x 2∵ 3－x 在R 上单调递减，故当x ≥4－23时，f(x)*g(x)≤f(4－23)*g(4－23)＝3－(4－23)＝23－1 当0≤x ＜4－23时，2x ＋5单调递增，故当x ∈[0，4－23)时， f(x)*g(x)＜2·(4－23＋5)＝23－1 综上所知，f(x)*g(x)的最大值为23－111.2500；以1为被加数，则1＋100＞100，有1种取法，以2为被加数，则2＋100＞100，2＋99＞100，有2种取法，依次可得，被加数为n(n ∈N ，n ≤50)时，有n 种取法，但51为被加数时，要扣除前面已取过的情况，只能取52，53，……，100，有49种取法，同理，被加数为52时，有48种取法，依次可得，当被加数为n(n ∈N ，51≤n ≤100)时，分别有100－n 种取法，所以，不同的取法共有(1＋2＋3＋……＋50)＋(49＋48＋……＋1)＝2500种 12.③④∵ a 6＋1＝(a 2＋1)(a 4－a 2＋1)＝a 2＋1a (a 5－a 3＋a)＝2(a ＋1a)，(a ≠0)∵ a ＞0且a ≠1，∴ a 6＋1＞4，∴ a 6＞3，即a ＞63 又a 5－a 3＋a ＝2，∴ 2a 3＋1＝a 2＋1a 2＞2∴ a 3＜2，即a ＜32，综合可知，应填③④三、13．显然，所作截面是一个中心对称的凸多边形，它是一个四边形或六边形.如果截面是一个四边形，那么它一定没有截到立方体的某一组对面，其面积不小于这组对面中的一个，命题成立. 如果截面是一个六边形，那么它一定截到了正方体的六个面，将立方体展开在一个平面上，如图，设界面的周长为l ，正方体的棱长为a ，则 l ≥|AB|＝(3a)2＋(3a)2＝32a由于正方体的中心是内切球的球心，所以截面内含有半径为a2的圆，从而有S 截面≥12·a 2l ≥324a 2＞a 214．将Ax ＋By ＋C ＝0变形为1＝－Ax ＋ByC，代入椭圆方程，得b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(－Ax ＋By C)2整理得：(a 2b 2B 2－a 2C 2)y 2＋2ABa 2b 2xy ＋(a 2b 2A 2－b 2C 2)x 2＝0 当x ＝0时，显然成立；当x ≠0时，同除以x 2得：(a 2b 2B 2－a 2C 2)(y x )2＋2ABa 2b 2(y x)＋(a 2b 2A 2－b 2C 2)＝0该方程的两根为OP ，OQ 的斜率，∵ OP ⊥OQ ，所以－1＝a 2b 2A 2－b 2C 2a 2b 2B 2－a 2C 2，即a 2b 2c 2＝a 2＋b2A 2＋B215．设分配给百货、服装、家电营业额分别为x ，y ，z(万元)，(x ，y ，z 是正整数)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++==++=++2x 25z x 2335y 7.19c 19z 2.0y 5.0x 3.0c 190z 2y 4x 560z y x 由①②得④③②①所以c ＝0.3＋0.5(35－3x 2)＋0.2(25＋x2)＝22.5－0.35x代入④得8≤x ≤10，∵ x ，y ，z 必为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===∴60z 280y 450x 558z 292y 440x 530z 20y 10x 29z 23y 8x 或或第二试一、如图，过P 点作PG⊥AB，垂足为G ，不失一般性，设AB ＝2，则AD ＝2λ再设PG ＝h ，∠PDA＝α，PCB ＝β，则AE ＝AB －BE ＝2－2λtan β BF ＝AB －AF ＝2－2λtan α∵ (2λ＋h)tan α＋(2λ＋h)tan β＝2∴ tan α＋tan β＝22λ＋h……① 又(2λ＋h)tan α(2λ＋h)tan β＝h 2∴ tan αtan β＝h2(2λ＋h)2 ……② ∵ AE 2＋BF 2＝(2－2λtan α)2＋(2－2λtan β)2＝AB 2∴ 8－8λ(tan α＋tan β)＋4λ2(tan 2α＋tan 2β)＝4即 λ2(tan α＋tan β)2－2λ2tan αtan β－2λ(tan α＋tan β)＋1＝0 将①②代入上式，得 4λ2－2λ2h 2(2λ＋h)2－4λ2λ＋4＋1＝∴ h 2(1－2λ2)＝0∵ h≠0，∴ 1－2λ2＝0，即λ＝22解法二：仍如上图，不失一般性，设AB ＝2，则AD ＝2λ，令AF ＝x ，BE ＝y ，因为△PGE ∽△CBE ，于是PG BC ＝GE BE ，即PG 2λ＝GEy所以，GE ＝PG ·y2λ ……………………①同理，GF ＝PG ·x2λ……………………②①＋②得：EF ＝(x ＋y)PG2λ即PG ＝EF ·2λx ＋y ＝2λ(2－x －y)x ＋y……………………③由①②③得：GE ＝PG ·y 2λ＝2λ(2－x －y)x ＋y ·y ·12λ＝2－x －yx ＋y·yGF ＝PG ·x 2λ＝2－x －y x ＋y·x∴ BG ＝GE ＋y ＝2yx ＋y ……………………④同理AG ＝2xx ＋y ……………………⑤又PG 2＝AG ·BG ，综合③④⑤得4λ2(2－x －y x ＋y )2＝4xy (x ＋y)2化简得：λ2(2－x －y)2＝xy ……………………⑥又∵ AE 2＋BF 2＝AB 2∴ (2－x)2＋(2－y)2＝4即 4－4(x ＋y)＋x 2＋y 2＝0∴ 2－2(x ＋y)＋(x ＋y)2＝2xy ……………………⑦ 将⑥代入⑦得：4－4(x ＋y)＋(x ＋y)2＝2λ2(2－x －y)2即(2－x －y)2＝2λ2(2－x －y)2∵ x ＋y ≠2，∴ 2λ2＝1，∴ λ＝22二、由柯西不等式，得(S －a k )2≤(n－1)()a a2k n1k 2k -∑=∑∑∑∑∑∑∑=======-=---≥-∈---=-+--≥-----≥----≥-∴-=---≥--+-+-n 1k 2k 2n1k 2kn 1k 2kn1k k3k 2n1k 2k2k22kn1k 2k2kk3k22kn1k 2k 2k32k 2kk 3k 2k332k 2k 3k 32k k 3k k 3k a 1n 1)1n (2a n a )2n 3(a S a )N k ()1n (2aa )2n 3()1n (2aa a )1n (3a S a)1n (a a1n a3)1n ()a S (1n a 3a S a 21n a 3)1n ()a S ()a S a (3)1n ()a S (a S a a S a 则即原不等式得证.三、易知，题中的递推关系式即为c n ＋1＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤1c 21c 2221c 0c 2n n n n 若若 …………①(1)若C 1为有理数，即c 1＝pq ，其中(p ，q)＝1时，对一切n ，均有c n ＝p nq，其中p n ∈{0，1，2，……，q}故有n 1＜n 2，使得p n1＝p n2，从而c n1＝c n2，于是由①式可知{c n }从第n 1项之后呈周期变化.假设数列自第n 1项之后呈周期为T 的变化，我们记： c n1＝∑∞=-⋅1k k k2a，即用二进制表示c n1，其中a k ＝0或1.并记k a ＝1－a k ，k∈N ……② 于是由①式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡+⋅≡+⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=∑∑∑∑∞=-+∞=-++∞=-+∞=-++)2(mod 1a a 2a )2(mod 0a a 2a c 1a 2a 0a 2a c 211k k 2k 211k k 2k 2n 11k k 1k 11k k 1k 1n 11若若若若由此并结合归纳法，即知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅=++⋅=∑∑∞=-+∞=-++)2(mod 1a a 2a )2(mod 0a a 2a c T 11k k T k T 11k k T k T n 1 若若由于c n1＋T ＝c n1，故当a 1＋……＋a T ≡0(mod2)时，立即可得a k ＝a k ＋T ，k∈N 由此表明c n1为二进制循环小数，故为有理数.当a 1＋……＋a T ≡1(mod2)时，由于c n1＋T ＝c n1，得a k ＝T k a +＝1－a k ＋T ，k∈N ……③ 由于③式也表明a k ＋T ＝T 2k a +，k∈N，所以a k ＝1－a k ＋T ＝1－T 2k a +＝1－(1－a k ＋2T )＝a k ＋2T ，k ∈N故c n1也为有理数再由递推式①知，c n1是由c 1经过n 1－1步有理运算得出的，所以，c 1也必为有理数.(2)如果分别取c 1＝(0.∙∙0101)2，c 1＝(0.个└───┘1m 0111-∙∙ )2， ……④ 则可使{c n }分别以T ＝2和T ＝m ，m ≥3为周期，又易见，只要将c 1取为④中的12k ，k ∈N ，都可使数列最终以相应的T 为周期，从而，对每个T ＝2，3，……都有无穷多个c 1使得数列自某项之后以T 为周期变化.。

〖人教版〗高三数学复习试卷全国高中数学联赛一试模拟试题一

百里灵明创编 2021.04.01〖人教版〗高三数学复习试卷全国高中数学联赛一试模拟试题一一、填空题1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝． 4．已知＝，则实数x ＝．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为． 6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a ＝2，则此数列的前项的和为．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．二、解答题11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆＋＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．一、填空题(每小题7分，共70分)1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．填0．解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1，∴α＝2k π＋，β＝2l π或α＝2k π－，β＝2l π＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋(k ，l ∈Z )． ∴cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2． a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝．填－1＋52．解：由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52． 4．已知＝，则实数x ＝．填1．解：即＝⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．填14．解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝V APQD ＝×13V APCD ＝×13×13V ABCD ＝V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点．由Menelaus 定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点．由Menelaus 定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝14．∴A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，BCDAPQ RBCDAPQ R M NR Q PA DCB4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm 3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy )≥30(1200＋260x×20y ＋300)＝30(1500＋1200) ＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝．填－．解：设|AO →|＝|BO →|＝|OC →|＝R ．则BC →·AO →＝(BO →＋OC →)·AO →＝BO →·AO →＋OC →·AO →＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝(2R sin B )2－(2R sin C )2＝(122－132)＝－．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a ＝2，则此数列的前项的和为．填＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－，故a ＝2－2，a ＝2－＝－2，a ＝2＋2，a ＝2．一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－，则a n －1＝an ＋1－2an ＋1－1，a n －2＝，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n ．于是，))a n ＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a ＝502(a ＋a ＋a ＋a )＋a ＝＋2． 10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．填0，3－12，3－1．解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2． a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆＋＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝．即得B (0，2)，A (－，)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．得，S ＝×2×＋×5×＝(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝×4×2－×(4－5)×＝(72＋75)．也可以这样计算面积：所求面积＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－5)×＋(－5)×0－0×0)＝(＋5)＝(72＋75)．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：＝⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴cos A ＝＝＝＝．∴BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·＝72·9⇒BC ＝21． 13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y)2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立．当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝时，f (t )取得最小值－＋k 2－1＝＝．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． ∴k ∈[62，＋∞)．解法二：显然k ＞0，故k 2≥＝．令t ＝xy＞0，则k 2≥＝(1＋)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝的最大值．s (u )＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝32．∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s (t )＝，则s '(t )＝＝，t ＞0时有驻点t ＝．且在0＜t ＜时，s '(t )＞0，在t ＞时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝时取得最大值2，此时有k 2≥(1＋s ())＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y)2≤(＋1)(2x ＋y )．即(x ＋y)≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立． BE B CD A当k＜62时，取x＝14，y＝1，有x＋y＝32，而k2x＋y＝k62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立．而当k≥62时，由于对一切正实数x，y，都有x＋y≤622x＋y≤k2x＋y，故不等式恒成立．∴k∈[62，＋∞)．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．设a，b是两个不同的自然数，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此时，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数；②若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab(mod 4)且a与b均不能被4整除．⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．百里灵明创编 2021.04.01。