随机信号分析 课后答案(赵淑清 郑薇 著) 哈尔滨工业大学出版社

0 0 0 0 0 0
2 2
= 2A = 1
1 A= 2
π
∞
π
2
π
（2） f X ( x) =
=
1 1 12 ( , ) sin( ) sin cos f x y dy = x + y dy = x ydy + cosx sin ydy ∫ XY ∫ 2 2∫ 2∫ −∞ 0 0 0
2
1 (sin x + cos x ) 2 1 同理 fY ( x) = (sin y + cos y ) 2
∞
α+β x dx = β−α 2 α 1 x2 dx = (α 2 + 2β + β 2 ) β−α 3 α
1 (β − α) 2 12
β
β
E[ X 2 ] = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫
-∞
∞
D[ X ] = ∫ ( x − E[X ]) 2 f ( x)dx = E[X 2 ] − (E[ X ]) 2 =
0 ≤ x <1 其他
，求 Y=5X+1 的概率密度函
1.6 设随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 在[a , b] 上均匀分布，且互相独立。若 Y = ∑ X i ,求
i =1
n
（1）n=2 时，随机变量 Y 的概率密度。 （2）n=3 时，随机变量 Y 的概率密度。
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪b − a ⎪ 解： f i ( xi ) = ⎨ i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ⎪0 其它 ⎪ ⎩ n=2 时， f Y ( y ) = f X 1 ( y ) ∗ f X 2 ( y )
= 71 = 1.109 64
4
1.2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 x<0 ⎧0 ⎪ π F ( x) = ⎨0.5 + Αsin[ ( x − 1)] 0 ≤ x < 2 2 ⎪ 1 x≥2 ⎩ 求（1）系数 A； （2）X 取值在（0.5，1）内的概率 P (0.5 < x < 1) 。
P (0.5 < x < 1) = F(1) − F(0.5) =
x [u ( x) − u ( x − a )] a > 0 a x a−x （4） F ( x) = u ( x ) − u ( x − a) a>0 a a
（3） F ( x) =
x − ⎧ ⎪1 − e 2 x≥0 解： （1） F ( x) = ⎨ ⎪ x<0 ⎩0 当 x ≥ 0 时，对于 x2 ≥ x1 ，有 F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) ， F ( x ) 是单调非减函数； 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 成立； F ( x + ) = F ( x) 也成立。 所以， F ( x ) 是连续随机变量的概率分布函数。
π
2
]上均匀分布
⎧2 ⎪π ⎪ 和 f (Y ) = ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎩ 0≤ y≤
π
2
其它
0 ≤ x < b cos y x < b cos Y ⎫ ⎧ ⎪ π x < b cos Y ⎬⇒⎨ b cos y ≤ b < a ⎭ ⎪ 0 ≤ y ≤ 2 ⎩ p ( x < b cos y ) = p (0 ≤ x < b cos y,0 ≤ y ≤
a>0
x a−x u ( x) − u ( x − a) a>0 a a x = [u ( x ) + u ( x − a )] − u ( x − a ) a>0 a ⎧ ⎪0 x<0 ⎪ ⎪1 =⎨ x a>0 0≤ x<a ⎪a ⎪2 x −1 a ≤ x ⎪ ⎩a 当 a < x 时，不满足 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ，所以 F ( x ) 不是连续随机变量的概率分布函数。
第一次作业：练习一之 1、2、3 题 1.1 离散随机变量 X 由 0，1，2，3 四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四 个样本的取值概率顺序为 1/2，1/4，1/8，和 1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解： E[ X ] = ∑ xi P ( X = xi ) = 0 ×
1 1 1 7 1 + 1 × + 2 × + 3 × = = 0.875 2 4 8 8 8 i =1 4 7 1 7 1 7 1 7 1 D[ X ] = ∑ ( xi − E[ X ]) 2 Pi = (0 − ) 2 × + (1 − ) 2 × + ( 2 − ) 2 × + (3 − ) 2 × 8 2 8 4 8 8 8 8 i =1
π
π
=
π π
2
16
2
+ 2∫(y −
0
2
π
4
)d sin( y +
π
4
)
π
2
= =
16
+ 2( y − +
π
4
) sin( y +
π π
) 2 − 2 ∫ sin( y + )d y 4 0 4 0
π
π2
16
π
2
−2
π π
2 2
π π
2 2 1 π （4）相关矩 RXY = E[ XY ] = ∫ ∫ xyf XY ( x, y )dxdy = ∫ ∫ xy sin( x + y )dxdy = − 1 2 2 0 0 0 0
−∞
A=
1 π 1 π 2 sin[ (1 − 1)] − sin[ (0.5 − 1)] = = 0.35 2 2 2 2 4 1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求 其概率密度。 x − ⎧ ⎪1 − e 2 x≥0 （1） F ( x) = ⎨ ⎪ x<0 ⎩0 x<0 ⎧0 ⎪ 2 0 ≤ x <1 （2） F ( x) = ⎨Αx ⎪1 x ≥1 ⎩
π /2
π
2
)
=
∫
0 0
b cos y
dy
∫ f ( x, y)dxdy
0
π /2
=
∫
0
b cos y
dy
∫ f ( x) f ( y)dxdy
0
因为 rv. X 和 Y 相互独立
π /2
=
∫
0
b cos y
dy
∫
0
1 2 ⋅ dxdy a π
π /2
=
=
∫
2b ⋅ cos ydy aπ
2b πa
命题得证 1.10 已知二维随机变量 （ X1, X 2 ） 的联合概率密度为 f X 1 X 2 ( x1 , x 2 ) ， 随机变量 （ X1, X 2 ） 与随机变量（ Y1 , Y2 ）的关系由下式唯一确定
⎧ X 1 = a1Y1 + b1Y2 ⎨ ⎩ X 2 = c1Y1 + d1Y2
证明： （ Y1 , Y2 ）的联合概率密度为
⎧Y1 = aX 1 + bX 2 ⎨ ⎩Y2 = cX 1 + dX 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
（4） F ( x) =
第二次作业：练习一之 4、5、6、7 题 1.4 随机变量 X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X 在[α，β]上均匀分布 ⎧ 1 α≤下≤β ⎪ f ( x) = ⎨ β − α ⎪ 其他 ⎩0
E[ X ] = ∫ xf ( x)dx = ∫
-∞ ∞
∞
f Y ( y) =
=∫
=
−∞ b
∫f
X1
( x1 ) f X 2 ( y − x1 )dx1
1 1 dx1 ⋅ b−a b−a a
1 b−a
同理，n=3 时， f Y ( y ) =
1 b−a
1.7 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 m 和 σ ， 求随机变量 Y = −3 X − 2 的数学期 望、方差及 X 和 Y 的相关矩。 解：数学期望： E[Y ] = −3m − 2 方差： D[Y ] = (−3) 2 σ − 0 = 9σ R XY = E[ XY ] = E[ X (−3 X − 2)] = E[−3 X 2 − 2 X ] E[ X 2 ] = D[ X ] + ( E[ X ]) 2 = σ + m 2 R XY = −3σ − 3m 2 − 2m
∂y1 a b ∂x 2 = = ad − bc ∂y 2 c d ∂x 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
2 求： （1）系数 A； （2）X,Y 的数学期望； （3）X,Y 的方差； （4）X,Y 的相关矩及相关 系数。
π π dF ( x) ⎧ ⎪ A cos[ ( x − 1)] = ⎨2 2 dx ⎪ 0 ⎩ 0≤ x<2 其他
解： f ( x) =
∞
由 得
−∞ ∞
∫ f ( x)dx = 1 ∫ 2 A cos[ 2 ( x − 1)]dx = Asin[ 2 ( x − 1)] 0 = 2A
1 2
π
π
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
1 1 1 1 12 mX = mY = ∫ y (sin y + cos y )dy = ∫ y sin ydy + ∫ y cos ydy = − ∫ yd cos y + ∫ yd sin y 2 20 20 20 20 0
π 12 π 12 1 1 = − y cos y 2 + ∫ cos ydy + y sin y 2 − ∫ sin ydy 2 2 0 20 0 20 π
=
π
π
4
π π
2
（3） D[ X ] = D[Y ] = ∫ ( y −
0
π
1 22 π π ) 2 (sin y + cos y )dy = − ( y − ) 2 d cos( y + ) ∫ 4 2 2 0 4 4
π π π π π 2 22 =− ( y − ) 2 cos( y + ) 2 + 2( y − ) cos( y + )dy ∫ 2 4 4 0 2 0 4 4
1.11 随机变量 X,Y 的联合概率密度为 f XY ( x, y ) = A sin( x + y )
0 ≤ x, y ≤
π
解：
π π
∞ ∞
π
2
π
2
π
2
π
2
Βιβλιοθήκη Baidu（1）
−∞ −∞
∫∫
f XY ( x, y )dxdy = ∫ ∫ A sin( x + y )dxdy =A ∫ sin xdx ∫ cos ydy + A∫ cos xdx ∫ sin ydy
∞
欲满足
−∞
∫ f ( x)dx = 1 ，也必须使 A=1。
1> x ≥ 0 x<0
⎧2 x 所以， f ( x) == ⎨ ⎩0
（3） F ( x) =
x [u ( x ) − u ( x − a )] a > 0 a ⎧x ⎪ [u ( x) − u ( x − a)] 0 ≤ x < a 上式可改写为 F ( x) = ⎨ a ⎪ 其他 ⎩0 对于 x 2 > a > x1 ， F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) 不成立。 所以， F ( x ) 不是连续随机变量的概率分布函数。
-∞
⎧1 1.5 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) = ⎨ ⎩0 数。 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 h′(y) = 1/5 1≤y≤6 fY (y) = fX (h(y))｜h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5 1≤ y ≤ 6 ⎧1 / 5 f Y ( y) = ⎨ 于是有 其他 ⎩ 0
证：做由 f Y1Y2 ( y1 , y2 ) 到 f X 1 X 2 ( x1 , x 2 ) 的二维变换
f X 1 X 2 ( x1 , x 2 ) = J fY1Y2 ( y1 , y2 ) fY1Y2 ( y1 , y2 ) =
1 f X 1 X 2 ( x1 , x 2 ) J
∂y1 ∂x J= 1 ∂y 2 ∂x1
⎧ −x dF ( x) ⎪ 1 e 2 = ⎨2 求得， f ( x) = dx ⎪ ⎩0
⎧0 ⎪ （2） F ( x) = ⎨Αx 2 ⎪1 ⎩ x<0 0 ≤ x <1 x ≥1
x≥0 x<0
在 A>0 时，对于 x2 ≥ x1 ，有 F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) ， F ( x ) 是单调非减函数； 欲使 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 和 F ( x + ) = F ( x) 成立，必须使 A=1。 所以，在 A=1 时， F ( x ) 是连续随机变量的概率分布函数。 dF ( x) ⎧2 Ax 1 > x ≥ 0 =⎨ 同理， f ( x) = x<0 dx ⎩0
相关矩：
第三次作业：练习一之 9、10、11 题 1.9 随机变量 X 和 Y 分别在[0,a]和[0,
π
2
]上均匀分布，且互相独立。对于 b < a ，证明：
2b πa
P ( x < b cos Y ) =
证：rv. X 和 Y 分别在[0,a]和[0,
⎧1 ⎪a ⎪ 有 f (X ) = ⎨ ⎪0 ⎪ ⎩ 0≤ x≤a 其它