6.4二次函数的应用(2)导学案
九年级上册《二次函数的应用》导学案
九年级上册《二次函数的应用》导学案一、知识回顾在学习《二次函数》这一章节之前，我们已经学习了函数的概念、一次函数和二次函数的基本知识。
请回顾一下以下问题，并简要作答。
1.什么是函数？2.一次函数的一般形式是什么？具体怎么求解一次函数的值？3.二次函数的一般形式是什么？具体怎么绘制一条二次函数的图像？二、函数的意义和应用1. 函数的意义函数是实际问题和数学之间的一种桥梁，通过函数可以描述和分析现实生活中的各种变化规律。
例如，温度随时间的变化，人口随年份的变化等等。
2. 二次函数的应用场景二次函数在现实生活中有很多应用场景，下面列举几个常见的例子：a. 自由落体运动自由落体运动描述了物体在重力作用下从一定高度自由地落下，二次函数被用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。
例如，一个物体从离地面10米的高度自由落下，高度和时间的关系可以用二次函数ℎ(t)=−5t2+10来表示，其中ℎ(t)表示时间t时刻物体的高度。
b. 开放式水槽问题开放式水槽问题是指一个形状为矩形的开放水槽，在一端流入和流出一定量的水，通过二次函数可以描述水槽中水位随时间的变化规律。
例如，一个长方形水槽的底面积为100平方米，已知水进入水槽的速度为2立方米/分钟，出水的速度为1立方米/分钟，通过二次函数可以描述水位ℎ(t)与时间t之间的关系。
三、习题练习请根据以下问题，利用所学知识解答和计算。
1.自由落体运动中，一个物体从15米的高度自由落下，求其落地的时间。
2.某开放式水槽底面积为50平方米，已知水进入水槽的速度为4立方米/分钟，出水的速度为2立方米/分钟，求水槽中水位随时间的变化规律，绘制函数图像。
3.已知若干学生的学习成绩可以用函数y=3x2−5x+2表示，其中x为学生的学习时间（小时），y为学生的成绩（百分制），请问学习时间为几个小时时，学生成绩最高？四、思考与拓展1.除了自由落体运动和开放式水槽问题之外，你还能想到二次函数在哪些实际问题中有应用？尝试描述并给出一个例子。
二次函数的应用导学案
2012—2013年春季学期初三数学第27章《二次函数》导学案编号： 使用时间：小组__________ 姓名_________ 小组评价__________教师评价________________27.2《二次函数的应用》（第一课时）导学案一、学习目标1、熟练将二次函数一般式化为顶点式，确定二次函数的最值。
2、在实际问题中，能根据自变量取值范围确定最值。
二、教学重难点重点：利用二次函数的性质求最值。
难点: 根据实际情况，灵活确定最值。
三、自主学习1、复习引入：（1）将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式，结果是什么？（2）二次函数有最大值或最小值与什么有关？何时有最大值？何时有最小值？2、基础扫描二次函数2y ax bx c =++的图象是一条__________，它的对称轴是_______________，顶点坐标是______________. 当a>0时，抛物线开口向_____，有最____点，函数有最____值，是______；当 a<0时，抛物线开口向____，有最____点，函数有最____值，是_____。
四、合作探究例1. 求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴2241y x x =--+ (2) 2241(30)y x x x =--+-≤≤例2.已知二次函数24y x =-+，当23x -≤≤时，函数的最小值为__________知识点：求函数最大、最小值时，必须先看抛物线顶点的横坐标是否在所给自变量的取值范围内，再根据增减性求解；最好是画出取值范围内的图像，结合图像求解会更直观。
五、课堂检测1、分别在下列范围内求二次函数223y x x =--的最大值或最小值。
（1）03x << （2）10x -≤≤ （3）23x ≤≤2、2(1)1y x a x =+-+是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是13x ≤≤时，y 在1x =时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A. 5a =B. 5a ≥C. 3a =D. 3a ≥2012—2013年春季学期初三数学第27章《二次函数》导学案编号： 使用时间：小组__________ 姓名_________ 小组评价__________教师评价________________27.2《二次函数的应用——面积问题》（第二课时）导学案一、学习目标1、在实际应用中体会二次函数作为教学模型的作用，利用二次函数的性质求实际问题的最值。
二次函数的应用导学案
二次函数的应用【第二课时】【学习目标】1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2．会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。
3．发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
【学习重难点】重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。
难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。
【学习过程】一、复习：利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。
（2）在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。
例：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？二、例题讲解：例题1．B船位于A船正东26km处，现在A．B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？（1）两船的距离随着什么的变化而变化？x x x x x【答案】C ．13．把抛物线y =x +bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x －3x ＋5，则（ ）A ．B=3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =9，c =5 【答案】A ．14．若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x （x ，）可以由E （x ，）怎样平移得到？22--122+-x x 2x【答案】2． 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线P 的坐标为 。
【答案】或解答题1．已知二次函数112x -)2,6((y =答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元。
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分。
二次函数导学案(全章)
第1课时 二次函数的概念【进修目的】1．阅历摸索,剖析和树立两个变量之间的二次函数关系的进程,进一步体验若何用数学的办法描写变量之间的数目关系;2．摸索并归纳二次函数的界说;3．可以或许暗示简略变量之间的二次函数关系. 【进修重点】控制二次函数的概念并能应用概念解答相干的题型. 【课时类型】概念课 【进修进程】 一.进修预备1．函数的界说：在某个变更进程中,有两个变量x 和y,假如给定一个x 值,响应地就肯定了一个y 值,那么我们称是的函数,个中是自变量,是因变量.2．一次函数的关系式为y=(个中k.b 是常数,且k≠0);正比例函数的关系式为y ＝(个中k 是的常数);反比例函数的关系式为y=(k 是的常数).二.解读教材——数学常识源于生涯3．某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现预备多种一些橙子树以进步产量,但是假如多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接收的阳光就会削减.依据经验估量,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有棵橙子树,这时平均每棵树结个橙子,假如果园橙子的总产量为y 个,那么y=.4．假如你到银行存款100元,设人平易近币一年按期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利钱主动按一年按期储蓄转存.那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不斟酌利钱税)吗？. 5．可否依据适才推导出的式子y=5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100猜测出二次函数的界说及一般情势吗？一般地,形如y ＝ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.它就是二次函数的一般情势,例1 下列函数中,哪些是二次函数？(1)2321x y +-=(2)112+=x y(3)x y 222+= (4)251t t s ++=(5)22)3(x x y -+= (6)210r s π=即时演习：下列函数中,哪些是二次函数？(1)2x y =(2)252132+-=x x y (3))1(+=x x y (4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s 三.发掘教材6．对二次函数界说的深入懂得及应用 例2 若函数1232++=+-kx x y k k 是二次函数,求k 的值.剖析：x 的最高次数等于2,即k23k+2=2,求出k 的值即可.解：即时演习：若函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值为.四.反思小结1．我们经由过程不雅察.思虑.合作,交换,归纳出二次函数的概念,并从中领会函数的建模思惟.2．界说：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做x 的二次函数.3．二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的几种不合暗示情势：(1) y=ax² (a≠0); (2) y=ax²+c (a≠0且c≠0); (3) y=ax²+bx (a≠0且b≠0).4．二次函数界说的焦点是症结字“二”,即必须知足自变量最高次项的指数为_____,且______项系数不为_____的整式. 【达标测评】1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A ．y=(x －1)(x+2)B ．y=21(x+1)2 C ．y=2(x+3)2－2x2 D ．y=1－3x22．在边长为6 cm 的正方形中央剪去一个边长为x cm(x<6)的小正方形,剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 之间的函数关系是.3．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系式是,它是函数.4．正方形的边长是5,若边长增长x,面积增长y,则y 与x 之间的函数表达式为.5．当m=时,22)2(--=m x m y 是二次函数;若函数m m x m y --=2)2(是二次函数,则m= .6．已知函数y=ax2＋bx ＋c （个中a,b,c 都是常数）：当a 时,它是二次函数;当a,b 时,它是一次函数;当a,b,c 时,它是正比例函数. 7．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数,则k.,【进修难点】可以或许应用描点法作出函数的图象,并能依据图象熟悉和懂得二次函数y ＝ax2的性质. 【进修进程】 一.进修预备1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是. 2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是. 3．反比列函数y=k x(k≠0)的图像是.4．当我们还不懂得一种函数图像的外形时,只能用描点法研讨,描点法的一般步调是：,,. 二.解读教材5．试作出二次函数y ＝x2的图象.（1）画出图象：①列表：（留意选择恰当的y值）②描点：（在右图坐标系中描点）③连线：（应留意用滑腻的曲线衔接各点） （2）依据图像,进行小结：①y＝x2的图像是,且启齿偏向是 .②它是对称图像,对称轴是轴.在对称轴的左侧（x>0）,y 随x 的增大而;在对称轴的右侧（x<0）,y 随x 的增大而.③图像与对称轴有交点,称为抛物线的极点,的最低点,此时,坐标为（,）.④因为图像有最低点,所以函数有最值,当x=0.小结：①y＝x2的图像是,且启齿向 .②对称轴是,在对称轴阁下的增减性分离是：在对称轴左侧,y 随x 的增大 ,在对称轴的右侧,y 随x 的增大.③极点坐标是：（,）,且从图像看出它有最点,所以函数有最值.当x=0时,.7．变式练习2作出y ＝2x2,y ＝0.5x2的图像.三.发掘教材8．依据上面的图象,从图象的启齿偏向.对称轴.增减性.极点坐标.最同时,a 决议图象在统一向角坐标系中的启齿偏向,|a|越小图象启齿. 9．例 已知：抛物线102-+=m m mx y ,当x>0时,y 随x 的增大而增大,求m 的值.10．已知抛物线y=ax2经由点A （2,8）,（1）求此抛物线的函数解析式;（2）断定点B （1, 4）是否在此抛物线上;（3）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标. 四.反思小结二次函数的y ＝ax2（a≠0）的图象与性质：五个方面懂得：,,,,. 【达标测评】1．抛物线y=2x2的极点坐标是,对称轴是,在侧,y 跟着x 的增大而增大;在侧,y 跟着x 的增大而减小.当x=时,函数y 的值最小,最小值是.抛物线y=2x2的图象在方（除极点外）.2．函数y ＝x2的极点坐标为,若点（a,4）在其图象上,则a 的值是. 3．函数y ＝x2与 y ＝x2的图象关于对称,也可以以为y ＝x2 是函数y＝x2的图象绕扭转得到的.4．求出函数y=x+2与函数y ＝x2的图象的交点坐标.5．若a>1,点（a1,y1）,（a,y2）,（a+1,y3）都在函数y ＝x2的图象上,断定y1,y2,y3的大小关系是.; 【进修难点】懂得二次函数y ＝ax2与y ＝ax2+k 的关系. .小结：①y＝2x2+1的图像是,且启齿向.②对称轴是,在对称轴阁下的增减性分离是：在对称轴左侧,y随x的增大而;在对称轴的右侧,y随x的增大而.③极点是：(,),且从图像看它有最点,则函数y有最值,即当x=时y有最值是.3．在统一向角坐标系中,作出二次函数y＝②对称轴是,当a>0时,在对称轴左侧,y随x侧,y随x的增大而. 且函数y当x=0时ymin=.当a<时,在对称轴左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x 的增大而.且函数y当x=0时ymax=.③极点坐标是（,）.④y＝x2的极点坐标是（ , ）,y＝x2+2的极点坐标是（ , ）所以y＝x2向平移个单位即可以得到y＝x2+2.y＝x22的极点坐标是（ , ）所以y＝x2+2向平移个单位即可以得到y＝x22.4．变式练习1二次函数y=54x2+3的图像是线,启齿向,极点坐标是,对称轴是;当x>0时,y随x的增大而.当x=时,y有最值为.三.发掘教材抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经由向上（k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位得到.5．函数y＝2x2的图像向下平移3个单位,就得到函数;函数y=4+32x2的图像可以看作函数y=3x2的图像向平移个单位而得到.2的图像有一个6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=kx公共点是（1,1）.（1）求二次函数及反比例函数解析式;（2）在统一坐标系中画出它们的图形,解释x取何值时,二次函数与反比例函数都随x的增大而减小.四.反思小结：1．填表回想2.抛物线y=ax2+k 可以由抛物线y=ax2经由向（k>0）或向 (k<0)平移个单位得到.【达标测评】1．抛物线y=x25可以看作是抛物线经由向平移个单位得到.2．抛物线y=x2+4 的启齿向,对称轴是,在对称轴左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而;极点坐标是,当x=时,y有最值为. 3．抛物线y=3x2上有两点A（x,27）,B（2,y）,则x=,y=.4．抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2,b）,则k=,b=.第4课时二次函数y=a(xh)2和y＝a(xh)2+k的图象与性质【进修目的】1．可以或许作出函数y=a(xh)2和y＝a(xh)2+k的图象,并能懂得它与y＝ax2的图象的关系,懂得a,h,k对二次函数图象的影响;2．可以或许准确说出二次函数的极点式y＝a(xh)2+k图象的启齿偏向.对称轴和极点坐标.【进修重点】可以或许作出函数y=a(xh)2和y说出y ＝a(xh)2+k 【进修进程】一.进修预备1．说出下列函数图象的启齿偏向,对称轴, （1）y=2x² （2）y=2x²+12．请说出二次函数y=ax²+c 与y=ax²的关系.3．我们已知y=ax²,y=ax²+c 的图像及性质,如今同窗们可能想探讨y=ax²+bx 的图像,那我们就着手绘图像.列表.描点.连线. 二.解读教材4．由进修预备可知,我们假如知道一条抛物线的极点坐标,那么绘图像就比较简略,所以我们可以先配成完整平方法构造.如今我们画二次函数y=3(x1)2+2不雅察后得到：二次函数y ＝3x2,y=3(x1)2,y=3(x1)2+2的图象都是抛物线．并且外形雷同,启齿偏向雷同,只是地位不合,极点不合,对称轴不合,将函数y ＝3x2的图象向右平移1个单位,就得到函数y=3(x1)2的图象;再向上平移2个单位,就得到函数y=3(x1)2+2的图象．三.发掘教材5．抛物线的极点式y＝a(xh)2+k在前面的进修中你发明二次函数y＝a(xh)2+k中的a,h,k 决议了图形什么？用本身的说话整顿得：即时演习：直接说出抛物线x+1）²,y=0.5（x+1）²1 的启齿偏向.对称轴.极点坐标.6．例已知：抛物线y=a(xh)2+kx=2时,函数有最大值3,求a,h,k的值.即时演习已知抛物线的极点坐标是（3,5）且经由点A（2,5）,请你求出此抛物线的解析式.7.例二次函数()2221y x=-+的极点坐标是,把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此时得到的抛物线极点坐标为,它的解析式为.四.反思小结1．一般地,平移二次函数y=ax2的图象即可得到二次函数为y=ax2+c,y ＝,右正左负）2y＝的图象是轴对称图形,对称轴为x=h,极点坐标为, a＞0时,启齿向上,有最小值k; a＜0时,启齿向下,有最大值k.【达标测评】y = axh )2= a( x–h )2 + ky1．指出下面函数的启齿偏向,对称轴,极点坐标,最值.(4) y=2(x2)2+5 (5) y=0.5(x+4)2+2 (6) y=0.75(x3)22．函数y= x2的图象向平移个单位得到y=x2+3的图象;再向平移个单位得到y ＝(x1)2+3的图象.,;【进修重点】会用公式求二次函数c bx ax y ++=2的极点坐标,对称轴. 【进修难点】懂得用配办法推导公式的进程. 【课时类型】公式轨则进修 一.进修预备2．二次函数25(3)2y x =--的极点坐标是,对称轴是. 二.解读教材3．公式推导——二次函数c bx ax y ++=2图象的极点坐标,对称轴公式.由上一节课,我们看到一个二次函数经由过程配方化成极点式k h x a y +-=2)(来研讨了二次函数中的a.h.k 对二次函数图象的影响.但我以为,如许的恒等变形运算量较大,并且轻易出错.那么这节课,我们就研讨一般情势的二次函数图象的作法和性质.例1 求二次函数c bx ax y ++=2图象的极点坐标,对称轴. 解：c bx ax y ++=2=2()b c a x x a a++ =222[2()()]222b b b c a x x a a a a++-+ =224()24b ac b a x a a-++二次函数c bx ax y ++=2的极点坐标是（24,24b ac b a a--）,对称轴是直线2bx a=-. 4．公式应用——用公式求函数c bx ax y ++=2的极点坐标,对称轴.(1)分离用配办法,公式法肯定下列二次函数的极点坐标,对称轴并比较其解值.①221213y x x =-++ ②2252y x x =-+ 5．现实操纵——画二次函数c bx ax y ++=2的图象 （2）已知：二次函数2463y x x =-+①指出函数图象的极点坐标,对称轴.②画出所给函数的草图,并研讨它的性质.三.发掘教材——二次函数c bx ax y ++=2的性质6．抛物线c bx ax y ++=2（0a ≠）经由过程配方可变形为y=224()24b ac b a x a a-++(1)启齿偏向：当0a >时,启齿向;当0a <时,启齿向. (2)对称轴是直线;极点坐标是.(3)最大（小）值：当0a >,2bx a=-时,ymin=244ac b a -;当0a <,2bx a =-时,ymax=. (4)增减性：当0a >时,对称轴左侧（2b x a<-）,y 随x 增大而;对称轴右侧（2bx a>-）,y 随x 增大而;当0a <时,对称轴左侧（2b x a<-）,y 随x 增大而;对称轴右侧（2bx a>-）,y 随x 增大而;【达标测评】依据公式法指出下列抛物线的启齿偏向.极点坐标,对称轴.最值和增减性.①422+-=x x y ②1422++-=x x y ③221y x x =-++④2516y x x =-+题.【进修进程】 一.进修预备1．已学二次函数的哪两种表达式？ 2．分化因式：x22x3;3．解方程：x2 2x3=0 二.解读教材4．一元二次方程的两根x1,x2在哪里？在坐标系中画出二次函数y= x2 2x3的图象,,你发明了什么？再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧! 5．二次函数的两根式（交点式） 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的另一种表达式：叫做二次函数的两根式又称交点式. 演习：将下列二次函数化为两根式： （1）y=x2+2x15; （2）y= x2+x2;（3）y=2x2+2x12;（4）y=3(x1)23 （5）y=4x2+8x+4; （6）y=2(x3)2+8x 三.发掘教材6．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴是否有交点？例 你能应用 a.b.c 之间的某种关系断定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴何时有两个交点,何时一个交点,何时没有交点吗？即时练习：（1）已知二次函数y=mx22x+1的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值规模为.（2）抛物线y=x2(m4)xm 与x 轴的两个交点y 轴对称,则其极点坐标为. （3）抛物线y=x2(a+2)x+9与x 轴相切,则a=.7．弦长公式：抛物线与xAB ）.例 求抛物线y= x2 2x3与x 轴两个交点间的距离. 总结：已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x B （x2,0）,那么抛物线的对称轴x=,AB=21x x -=221)(x x -=.即时练习：抛物线y=2(x2)(x ＋5)的对称轴为,与x 轴两个交点的距离为.四.反思小结——二次函数与一元二次方程的关系常识点1．二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点有三种情形,,,交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx ＋c=0的.常识点2．二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图象与x 轴的弦长公式：. 【达标测评】1．抛物线y=9(x4)(x ＋6)与x 轴的交点坐标为.2．抛物线y=2x2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点,则m=.3．二次函数y=kx2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点,则k 的取值规模. 4．抛物线y=3x2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．与x 轴不订交的抛物线是（ ）A ．y=3x24 B ．y=2x26 C ．y=x26 D ．y=31(x+2)216．已知二次函数y=x2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数,抛物线总与x 轴有两个交点.7．抛物线y=mx2＋(3－2m)x ＋m －2（m≠0）与x 轴有两个不合的交点. （1）求m 的取值规模; （2）断定点P(1,1)是否在此抛物线上？ 8．二次函数y=x2－(m －3)x －m 的图象如图所示.（1）试求m 为何值时,抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时,方程x2－(m －3)x －m=0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的极点为M,与x 轴的交点P.Q,求当PQ 最短时△MPQ 的面积.第7课时 刷图练习【进修目的】据二次函数系数a.b.c 画出抛物线的须要前提：启齿偏向.对称轴.极点坐标与坐标轴的交点坐标.【进修重点】二次函数一般式与极点式.交点式的互化;找特别点的坐标.【候课朗读】 【进修进程】 一.进修预备1．二次函数的一般式为：y=（个中0a ≠,a.b.c 为常数）;极点式为：y=,它的极点坐标是,对称轴是;交点式为：（个中1x ,2x 是0y =时得到的一元二次方程20ax bx c ++=的根）.2．函数2y ax bx c =++(0a ≠)中,a 肯定抛物线的启齿偏向：当a ＞0时,当a ＜0时;a 和b 肯定抛物线的对称轴的地位：当a .b 同号时对称轴在y轴的侧;当a .b 异号时对称轴在x 轴的侧;（可记为“左同右异” ）c 肯定抛物线与的交点地位：当c ＞0时交于y 轴的半轴;当c ＜0时交于y 轴的负半轴. 二.浏览懂得3．界说：抛物线的草图：能大致表现抛物线的启齿偏向.对称轴.极点坐标.与y 轴的交点.x 轴上的两根为整根的抛物线叫抛物线的草图. 4．在抛物线的三种解析式的图象信息：教授教养跋文x一般式能直接表现启齿偏向.与y 轴的交点;极点式能直接表现启齿偏向.对称轴.极点坐标;两根式能直接表现启齿偏向.与x 轴的两个交点.是以,它们各有好坏,个中以极点式为最佳. 5①1,a b ==偶,例1 作出函数242y x x =-+解：242y x x =-+②1,a b ==奇,例2 作出函数253y x x =-+解：∴552212b a --=-=⨯③1a ≠（公式法） 例3 作出函数2241y x x =-+的大致图象.解：∵4124b a -=-=, 24816148ac b a --==-,∴则大致图象是：（在空白处绘图）即时演习：在右边空白处作出函数222y x x =-+-④两根式（先转化为一般式,再转换成极点式）例4 作出函数()()212y x x =-+的大致图象. 解：()()212y x x =-+219222x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 则大致图象是：6．含有参数的抛物线中的图象信息 例5作出函数22y x x m =-+-的大致图象.即时演习：在右边空白处画出函数y=－x2+n 的大致图象. 变式练习：画出函数y=－x2+mx+3的大致图象.x三.巩固练习：作出下列函数的大致图象 ①232y x x =-+- ②244y x x =-- ③221y x =+ ④()()1122y x x =-+：轴是__________,极点坐标是. 二.典例示范例 1 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示,1x =为该图象的对称轴,依据图象信息,你能得到关于系数a b c 、、解：由图可得：⑴a ＞0; ⑵1-＜c ＜0; ⑶123b a -=,即又2ba-＜1而a ＞0则得b -＜2a ,∴2a+b>0;⑷由⑴⑵⑶得abc ＞0;⑸斟酌1x =时y ＜0,所以有a b c ++＜0; ⑹斟酌1x =-时y ＞0,所以有a b c -+＞0;⑺斟酌2x =时y ＞0,所以有42a b c ++＞0,同理2x =-时,42a b c -+＞0; ⑻图象与x 轴有两个交点,所以24b ac -＞0.例2 如图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点A ()3,0-,对称轴1x =-,给出四个结论： ①2b ＞4ac ,②20a b +=,③0a b c -+=,④5a ＜b ,个中（ ）A.②④B.①④C.②③D.①③剖析：由图象可以知道a ＜0;抛物线与x 轴有两个交点,∴24b ac -＞0,即2b ＞4ac ;又对称轴1x =-,即12ba-=-,∴2a b =,b ＜0; ∴20a b -=,a 、b 均为负数,5a ＜b ;当1x =-时,∴a b c -+＞0;综上,准确的是①④,故选B.例3 如图所示的抛物线是二次函数223y ax x a =-+_____.剖析：由图象可知：a ＜0;当0x =时1y =,即21a =,∴1a =±,但是a ＜0,故1a =-.三.巩固练习1．抛物线2y ax bx c =++如图所示,则（ ）A.a ＞0,b ＞0,c ＞0B.a ＞0,b ＜0,c ＜0C.a ＞0,b ＞0,c ＜0D.a ＞0,b ＜0,c ＞02．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示,下列结论中准确的个数是（ ）①a b c ++＜0,②a b c -+＞0,③abc ＞0,④2b a =A.4个B.3个C.2个D.1个3x c +的部分图像如图所示,则c0,当x_____时,y 随x 4ax b +则关于抛物线23y ax bx =-+(1x =;③当a ＜0时,其极点的纵坐标的最小值为3, ） A.0 B.1 C.2 D.35．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示,当y ＜0时,x 的取值规模是（ ）A.－1＜x ＜3B.x ＞3C.x ＜1D.x ＞3或x ＜16．抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴的一个交点是()2,0-,极点是()1,3,下列说法中不准确的是（ ）A.抛物线的对称轴是1x =B.抛物线启齿向下C.抛物线与x 轴的另一个交点是()2,0D.当1x =时,y 有最大值是3 7．已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为（ ） A.223y x x =-+ B.223y x x =--223y x x =+-2第第第3题8．在直角坐标系中画一个二次函数y=ax2+bx+c的图象,且知足b<0,c<0..9．已知y=x2+ax+a1的图象如图所示,则a的取值规模是.10．据图抛物线y=ax2+bx+c肯定式子符号：①a0,②b0,③c0,④b24ac0,⑤a+b+c0,⑥ab+c0.11．若函数y=ax2+bx+c的对称轴x=1如图所示,则下列关系成立的是：（）A.abc>0B.a+b+c<0C.a2>abacD.4acb2>0;2．控制已知极点及一点或对称轴或函数的最值,用极点式求函数的表达式.3．控制已知两根及一点,用两根式求函数解析式.【进修重点】用一般式.极点式求函数的表达式.【进修难点】用极点式和两根式求函数的表达式.【进修进程】一.进修预备：1．已知一次函数经由点（1,2）,（1,0）,则一次函数的解析式为 . 2．二次函数的一般式为,二次函数的极点式,二次函数的两根式（或交点式）为.二.办法探讨（一）——已知三点,用一般式求函数的表达式.3．例1 二次函数的图象经由（0,2）,（1,1）,（3,5）三点,求二次函数的解析式.4．即时演习已知抛物线经由A（1,0）,B（1,0）,C（0,1）三点,求二次函数的解析式.三.办法探讨（二）——已知极点及一点或对称轴或函数的最值,用极第5题第6题第7题第点式求出函数的解析式.5．例2 已知抛物线的极点坐标为（2,3）,且经由点（1,7）,求函数的解析式.解：设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+.把极点（－2,3）,即h=2 , k=3 代入表达式为 再把（－1,7）代入上式为 解得4a =所以函数解析式为24(2)3y x =++ 即241619y x x =++6．即时演习（1）抛物线经由点（0,－8）,当1x =-时,函数有最小值为－9,求抛物线的解析式.（2）已知二次函数2()y a x h k =-+,当2x =时,函数有最大值2,其过点(0,2),求这个二次函数的解析式.四.办法探讨（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值,用两根式求出函数的解析式.7．例3 已知抛物线经由（－1,0）,（3,0）,且过（2,6）三点,求二次函数的表达式.解：设抛物线的解析式为12()()y a x x x x =--把抛物线经由的（－1,0）,（3,0）两点代入上式为： 再把（2,6）带入上式为6(21)(3)a x =+- 解得2a =-所以函数的解析式为2(1)(3)y x x =-+- 即2246y x x =-++8．即时演习已知抛物线经由A （2,0）,B （4,0）,C(0,3),求二次函数的解析式.五.反思小结——求二次函数解析式的办法 1．已知三点,求二次函数解析式的步调是什么？2．用极点式求二次函数的解题思绪是：已知极点及一点或对称轴或函数的最值,用极点式求解析式比较简略.3．用两根式求二次函数的解题思绪是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值,用两根式求解析式比较简略. 【达标测评】求下列二次函数的解析式：1．图象过点（1,0）.（0,2）和（2,3）. 2．当x=2时,y 最大值=3,且过点（1,3）.3．图象与x 轴交点的横坐标分离为2和4,且过点(1,10)第10课时 求二次函数的解析式（二）【进修目的】1．懂得二次函数的三种暗示方法;2．会灵巧地应用恰当的办法求二次函数的解析式.【进修重点】灵巧地应用恰当的办法求二次函数的解析式. 【进修进程】 一.进修预备1．函数的暗示方法有三种：法,法,法. 2．二次函数的表达式有：.,.二.典范例题——用恰当的办法求出二次函数的表达式3．例1 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点的横坐标是－1,3,极点坐标是（1,－2）,求函数的解析式（用三种办法） 4．即时演习：用恰当的办法求出二次函数的解析式.一条抛物线的外形与2y x =雷同,且对称轴是直线12x =-,与y 轴交于点（0,1）,求抛物线的解析式.5．例 2 已知如图,抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(1,0),与y 轴的正半轴交于点C.⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标; ⑵当点CO=3时,求抛物线的解析式.6．即时演习：已知直线y=2x4与抛物线y=ax2+bx+c 的图象订交于A （2,m ）,B(n,2)两点,且抛物线以直线x=3为对称轴,求抛物线的解析式.三.反思小结——求二次函数解析式的办法1．已知三点或三对x.y 的对应值,通经常应用2(0)y ax bx c a =++≠. 2．已知图象的极点或对称轴,通经常应用2()(0)y a x h k a =-+≠. 3．已知图象与x 轴的交点坐标,通经常应用12()()(0)y a x x x x a =--≠. 四.巩固练习1．已知二次函数图象的极点坐标为C(1,0),该二次函数的图象与x 轴教授教养跋文交于A.B 两点,个中A 点的坐标为(4,0). （1）求B 点的坐标（2）求这个二次函数的关系式;2．如图,在平面直角坐标系中,直线y =-x交于点C ,抛物线2(0)y ax x c a =+≠经由A B C ，，（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出极点F （2）在抛物线上是否消失点P ,使ABP △出P 点坐标;若不消失,请解释来由.【进修重点】用“数形联合”的思惟懂得公式,并能应用公式解决现实问题.【进修难点】剖析和暗示现实问题中变量之间的二次函数关系. 【进修进程】一.进修预备1．二次函数y=ax2+bx+c 的图像是一条____________,它的对称轴是直线x=－ab2,极点是______________. 2．二次函数y=2x2+3x1的图象启齿______,所以函数有最_______值,即当x=时,ymax =_________. 二.解读教材3．例1某商经营T 恤衫,已知成批购置时的单价是5元.依据市场查询拜访,发卖量与发卖单价知足如下关系：在一段时光内,单价是15元时,发卖量是500件,而单价每下降1元,就可以多售200件.问发卖价是若干时,可以获利最多？剖析：若设发卖单价为x(x≤15)元,所获利润为y元,则：(1)发卖量可以暗示为______________________________;(2)发卖额可以暗示为____________________________;(3)发卖成本可以暗示为____________________________;(4)所获利润可暗示为y=_________________________.解：设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿依据题意得关系式：y=____________________,即y=.∵a=<0,∴y有最值.即当x=_______________=______________时,ymax=_________________=__________________.答：办法小结：解决此类问题的一般步调是：(1)设——设出问题中的两个变量（即设未知数）;(2)列——用含变量的代数式暗示出等量关系,列出函数解析式;(3)自——找出自变量的取值规模;(4)图——作出函数图像（留意自变量的取值规模）;(5)最——在自变量的取值规模内,取函数的最值;(6)答——依据请求作答.4．即时演习某市肆购置一批单价为20元的日用品,假如以单价30元发卖,那么半月内可以售出400件.据发卖经验,进步发卖单价会导致发卖量的削减,即发卖单价每进步一元,发卖量响应削减20件.若何进步发卖价,才干在半月内获得最大利润？三.发掘教材5．例2某商经营T恤衫,已知成批购置时的单价是5元.依据市场查询拜访,发卖量与发卖单价知足如下关系：在一段时光内,单价是15元时,发卖量是500件,而单价每下降1元,就可以多售于10元,问发卖价是若干时,可以获利最多？6．即时演习求二次函数y= x22x3在2≤x≤0时的最大.最小值.四.反思小结1．二次函数是解决现实问题中“最值”问题类较好的数学模子;2．留意解决此类问题的一般步调——“设”,“列”,“自”,“图”,“最”,“答”. 【达标测评】1．某市肆购置一批单价为8元的商品,假如以单价10元发卖,那么天天可以售出100件.据发卖经验,发卖单价每进步1元,发卖量响应削减10件.将发卖价定为若干,才干使天天获得最大利润？最大利润是若干？2．某观光社组团旅游,30人起组团,每人单价800元,每团乘坐一辆准载50人的大客车.观光社对超出30人的团赐与优惠,即每增长一人,每人的单价下降10元.你能帮忙盘算一下,当一个观光团的人数是若干时,观光社可以获得最大营业额？=ab ac 442-解决现实问题中的最大（小）值问题.【进修重点】 应用二次函数的有关常识解决现实问题. 【进修进程】一.进修预备1．函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,若a>0,则当x=ab2时,y( )=;若a<0,则当x=时,y( )=.2．在二次函数y=2x28x+9中当x=时,函数y 有最值等于.3．如图,在边BC 长为20cm,高AM 为16cm 的△ABC 它的一边FG 在△ABC 的边BC 上,E.F 分离在AB.AC 请用x 的代数式暗示EH.解：∵矩形EFGH, ∴EH∥BC∴ △AEH∽___________.x D E CBA 又∵BC 上的高AM 交EH 于T. ∴AMAT =_______,即1616x=________. ∴EH=.二.解读教材4．在上题图中,若要使矩形EFGH 获得最大面积,那么它的长和宽各是若干？最大面积是若干？解：设矩形面积为y,而EF=x,EH=,则y==.∵a=45<0 则y 有最_______值.∴当x=______时,则y 最大值=______________.此时EH=.答：.5．想一想：活动4经由过程设EH 为xcm 能解决问题吗？（试一试吧！）6．即时演习：（1）在Rt△的内部作内接矩形ABCD,个中AB 和AD 分离在两条直角边上,点C 在斜边上.①设矩形ABCD 的边AB ＝x m,那么AD 边的长度若何暗示？②设矩形的面积为y m2,当x 取何值时,y 的值最大？最大值是若干？ 解：（2）将（1）题变式：其它前提和图形都不变,设AD 边的长为x m,则问题又如何解决呢？ 三.发掘教材：7．在Rt△QMN 的内部作内接矩形ABCD,点A 和D 分离在两直角边上,BC 在斜边MN 上.①设矩形的边BC=xm,则AB 边的长度若何暗示？②设矩形的面积为ym2,当x 取何值时,y 的最大值是若干?8．即时演习 如图,某村修一条沟渠,横断面是等腰梯形,底角∠C=120°,两腰与下底AD 的和为4m.当沟渠深（x ）为何值时,横断面积（S ）最大？最大值为若干？ 解：四.反思小结：经由过程进修上节和本节解决问题的进程,你能总结一下解决此类问题的根本思绪吗？应用类似三角形性质和矩形面积公式列出二次函数,应用其性质解决.40m30m D N OABCM。
九年级上册《二次函数的应用》导学案.doc
九年级上册《二次函数的应用》导学案第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田．预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？二、例题讲评例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？例2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积．如果计划用一段长m的铝合金型材，制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框（如图），那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？例3 如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=cm，点p从点a出发，沿ab 边向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc边向点c以2cm/s 的速度移动，如果p、q两点同时出发，分别到达b、c两点后停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形apqcd的面积为s，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，s最小？最小值是多少？巩固练习：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
问：每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．如图，已知△abc，矩形gdef的de边在bc边上．g、f分别在ab、ac边上，bc=5cm，s△ab c为30cm2，ah为△abc在bc边上的高，求△abc 的内接长方形的最大面积。
智者加速：1．有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。
九年级上册《二次函数应用》导学案
九年级上册《二次函数应用》导学案《二次函数应用》导学案学习目标1．掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题2．将实际问题转化为数学问题，并运用二次函数的知识解决实际问题。
学习重点和难点运用二次函数的知识解决实际问题课前准备：学习过程：一、自主尝试1.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A． B． C． D．2．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的线路为抛物线，建立如图的平面直角坐标系，设篮球出手后离地的水平距离为xm，高度为ym，求y关于x的函数解析式。
二、互动探究例1 如图，某喷灌设备的喷头B高出地面1.2m，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+2.求：（1）二次函数的解析式（2）水流落地点D与喷头底部A的距离（精确到0.1）例2：某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？练习：小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度为2米，如果出手后铅球在空中飞行的水平距离与高度之间的关系式为，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离大约是多少？2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？三、反馈检测：评价手册四、课外作业：同步练习。
初中数学《二次函数的应用》导学案
二次函数的应用 第1课时
学习目标：
1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系；
2、会用二次函数知识求出实际问题的最值。
一、创意引入
问题1：如图，现有一块直角三角形废料，要想在它内部截一个面积最大的矩形，应该怎样截才符合要求？
问题2：生活中经常遇到“最大面积”“成本最低”“最划算”等问题，怎样用数学知识加以解决？这将是本节课我们一起探讨的问题。
二、知识生成
问题：求二次函数2422++=x x y 的最值。
追问（1）在上题中，如果增加一个条件：12≤≤-x ，其最值又是多少？
（2）如果取值范围变为25-≤≤-x 呢？
（3）如果取值范围变为4
171≤
≤x ，且x 为整数呢？
三、知识应用
例1、如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园，墙长32米，这个矩形的长、宽各位多少时，菜园的面积最大，
最大是多少？
变式训练：
1.引例
2.引例变式
四、反思感悟
五、当堂检测。
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ，求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点（0,4）经过点（3,217），求抛物线的关系式。
问题：（1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路（3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完成，之后组内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习：如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可）引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米，(1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。
二次函数导学案
二次函数导学案学习目标：1、理解并掌握二次函数的概念；2、能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；3、能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。
学习重难点：重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；难点：理解二次函数的概念。
导学流程：一、预习检测：预习二次函数二、情境引入：回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？三、探究新知：活动1： 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。
活动2： n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系?活动3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定，y 与x 之间的关系怎样表示?活动4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。
活动5：什么是二次函数？形如 。
活动6：函数y=ax²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 巩固1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值．注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。
巩固2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。
求这个二次函数的解析式．(待定系数法)四、拓展延伸：1．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式． 2．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式． 3．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠 墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ， 绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住 （如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的 面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出 自变量x 的取值范围．mm 221)x (m y --=五、达标测试：1．下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x －2+x ．2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
二次函数(2)导学案
二次函数（2）导学案一、学习目标1．使学生会用描点法画出二次函数c bx ax y ++=2的图象； 2．使学生能结合图象确定抛物线c bx ax y ++=2的对称轴与顶点坐标； 二、课前准备：（一） 自主学习： 下面通过画二次函数216212+-=x x y 的图像，讨论一般的怎样画二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像。
配方可得：216212+-=x x y ）（）（+=221x y由此可知，抛物线216212+-=x x y 开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是利用对称性画21612+-=x x y 的图像。
（二)交流合作：（1）列表时选值，应以 为中心，函数值y 可由对称性得到． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出 ，并用虚线画 ，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索:对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？配方可得：c bx ax y ++=2 ）（）（+=2xa y 由此可知，抛物线c bx ax y ++=2对称轴 ，顶点坐标 ．（三）尝试运用：1．二次函数x x y 22--=的对称轴是 ． 2.二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ， 当x 时，y 随x 的增大而减小．3.抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a = ．c= ．（四）性质归纳：（1）c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标（2）抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象上： ①当a>0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向 ．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ．对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 函数有最 值，最 值y= ．②当a<0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向 ．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 函数有最 值，最 值y= ． （五）尝试运用：1.抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求抛物线方程。
九年级数学上册《二次函数的应用》教案、教学设计
-通过动画展示二次函数图像的平移、伸缩等变换，使学生直观地感受图像的性质。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入地掌握二次函数的知识。
-从简单的二次函数图像识别，到求解实际问题中的二次函数，逐步提高问题的难度。
4.采用小组合作、讨论交流的学习方式，促进学生之间的思维碰撞，共同解决难题。
5.学会运用二次函数的知识，解决生活中的实际问题，提高数学应用能力。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解决问题的能力：
1.通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识和团队精神。
2.利用数形结合的方法，引导学生观察、分析二次函数的图像，培养学生直观想象和逻辑推理能力。
5.反思与总结：
-请同学们在作业本上写下本节课的学习心得，包括对二次函数的理解、学习过程中的困惑以及解题方法的总结。
-教师在批改作业时，应及时给予反馈，鼓励学生持续反思，不断提高。
4.通过小组合作，培养学生互相尊重、团结协作的品质，增强集体荣誉感。
5.引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养学生的社会责任感和使命感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程、不等式等知识，对于函数的概念也有初步的理解。在此基础上，学生对二次函数的学习将面临以下挑战：
-完成课后作业中的基础题，旨在让学生通过实际操作，加深对二次函数图像特征的理解。
2.提高作业：
-选做课本第chapter页的提高题，涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、面积计算等，以提升学生解决问题的能力。
-设计一道综合性的应用题，要求学生运用本节课所学知识，结合生活实际，解决实际问题。
2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。
二次函数的应用九年级数学导学案.doc
学习内容与过程：一、考点链接二次函数的解析式：(1) 一般式:(3)交点式：顶点式的儿种特殊形式・1.2. (1)二、合作释疑3. 二次函擞 y ax =对称，顶点坐标为( 当2―(WT 抛物线开口同<x= 时，y 有最 当a u 时，抛物线开口向■ x时，y 有最；(2)顶点式:9,有最 LX 或十 ',有最 (“大’或“小”(4)=+— + -----------------b 2 4ac b y a(x_ )).(填'高’或’低’)点当 值是 ；(填“高”或“低")点,当值是^4a例1用铝合金型材做一个形状如图 1所示的矩形窗框,设窗框的一边为课题：二备课人：赵沛沛 审核人：许曼•■ 4HB ■ • Mb ・ ■ MM ■-•学习目标：1.能根据条件选择合适的表达式确定二次函数的解析式;2.会利用二次函数的图象和性质解决相关问题;学习重点：会利用二次函数的图象和性质解决相关问题； e 君召初中九年级数学(下)册导学案(总第18) 课型：复习课吋间:，bx c， 2,其抛物线关于直xm,窗户的透光面三、问题点拨二次函数解析式确定的方法：1. 已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般是比较方便；2. 已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；3. 已知抛物线与x 轴两个交点的坐标(或横坐标x , X2)时，选用两点式;四、中考演练21. 二次函数y = x + 10x —5的最小值为2.某飞机着陆生滑行的路程 s 米与时间t 秒的关系式为:J 贝】J y 与x 之间函数关系 为 ・3.矩形周长为16cm,它的一边长为 xcm,面积为弓cm 苹果熟了，从树上落下所经过的路程 S 与下落的时间t 满足 125•将一张边长为30 cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x cm 的小正方形，然后折叠 成一个无盖的长方体•当X 取下面哪个数值时，长方体的体积最大()A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.下列函数关系中，是二次函数的是()A. 在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量x 之间的关系B. 当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度v 之间的关系C. 等边三角形的周长 C 与边长a 之间的关系D. 圆心角为120°的扇形面积 S 与半径R 之间的关系后滑行米才能停止・= 一 2s 60t1.5t ,试问飞机着陆4.0的常数)则s7•如图，用长为18 m的篱笆)(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃取值范围；⑵ 当X为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少?9•体育视飞式时\靳三一名高个学生推铅球，1 2y x x 2的一部分，根据关系式回答：12(1)该同学的出手最大高度是多少？(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？(3)该同学的成绩是多少？君召初中九年级(1)设矩形的一边为x m面积为y (m 2),求y关于x的函数关系罚'弹闻闽剧曲\\\$\愉已知鮎求所经过的路线为抛物线。
苏科版九年级数学第六章《二次函数》全章导学案
《6.1 二次函数》导学案学习目标：1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。
一、知识准备：1.设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中 的图像是直线， 的图像是双曲线。
我们得到它们图像的方法和步骤是：① ；② ；③ 。
3. 形如___________y =，（ ）的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数，图像是经过 的直线；形如k y x=，（ ）的函数是 函数，它的表达式还可以写成：① 、② 二、提出问题（展示交流）：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 。
2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是 。
三、归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？ 。
一般地，形如 ，（ ，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量， 函数。
四、例题精讲（小组讨论交流）： 例1 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m 的取值例2．下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系五、课堂训练1．下列函数中，二次函数是（ ） A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋12．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（ ） AS=2π（x ＋3）2B.S=9π＋xC.S=4πx 2＋12x ＋9 D S=4πx 2＋12πx ＋9π4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.5.已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系_________．6.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2，则___________y =，其中x 的取值范围是 。
初中数学九年级《二次函数的应用》公开课导学案
《二次函数的应用》导学案【学习目标】1、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，提高实践能力。
2、通过小组合作、展示质疑，体会二次函数是最优化问题的重要数学模型。
3、积极投入，全力以赴，感受数学的应用价值。
【重点】二次函数在最优化问题中的应用。
【难点】从现实问题中建立二次函数模型。
【使用说明与学法指导】1.用15分钟左右的时间仔细阅读P43-P46的例题，能建立每一个例题中的二次函数模型，列出二次函数解析式，进而利用二次函数的最值问题来解决实际问题中的最值问题。
2.然后用30分钟时间独立，迅速的完成导学案，书写认真、步骤规范，过程和结论表述清楚、明白。
合作探究探究点一：二次函数的最值问题在实际问题中的应用（通过探究二次函数求实际问题中的最值问题，提高建立二次函数数学建模能力）例1、要用总长为20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的矩形的花圃，怎样设计才能使围成的花圃的面积最大?最大面积是多少？【方法规律总结】_____________________________________________________________________探究点二：二次函数在实际问题中的应用（进一步提高建立二次函数数学建模能力）例2.一名运动员掷铅球，铅球刚出手时离地面的高度为2m，铅球运行时距离地面的最大高度是5m，此时铅球沿水平方向行进了6m，已知铅球运行的路线是抛物线，求铅球落地时运行的水平距离.【方法规律总结】_____________________________________________________________________例3.如图，某企业的大门呈抛物线形，大门底部的宽AB为4m，顶端C距离地面的高度为4.4m.一辆满载货物的汽车要通过大门，货物顶部距地面2.8m，装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门？为什么？【方法规律总结】_____________________________________________________________________巩固训练2.53.05 lx yO1.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）Ａ．3.5m Ｂ．4m Ｃ．4.5m Ｄ．4.6m2.2010年世界杯足球赛在南非举行．一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度(m)y 可以用二次函数24.919.6y x x =-+刻画，其中()x s 表示足球被踢出后经过的时间．（1）方程24.919.60x x -+=的根的实际意义是 ；（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？3.南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆．．汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润．．．．为y 万元．（销售利润=销售价-进货价） （1）求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周．．的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式； （3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？课堂小结（1） 知识方面：（2） 数学思想及方法方面：。
二次函数全章导学案(史上最全!)
导学案之迟辟智美创作26.1.1二次函数（第一课时）一．预习检测案一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数.其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．二．合作探究案：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,概况积为y,写出y与x的关系.问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?提示：多边形有n条边，则有几个极点？从一个极点动身，可以连几条对角线？问题3: 某工厂一种产物现在的年产量是20x倍,那么两年后这种产物的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样暗示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式.问题5：什么是二次函数？形如.问题6：函数y=ax²+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？例1: 关于x的函数mmxmy-+=2)1(是二次函数, 求m的值.注意:二次函数的二次项系数必需是的数.三．达标测评案：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2;(4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x);(6)y=x-2+x.2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )A.a＝1B.a＝±≠≠－13.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.5．一个圆柱的高即是底面半径，写出它的概况积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式.6、n支球队介入角逐，每两支之间进行一场角逐.写出角逐的场数m与球队数n之间的关系式.7、已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.26.1.2 二次函数y＝ax2的图象与性质（第二课时）一．预习检测案：画二次函数y ＝x 2的图象．【提示：画图象的一般步伐：①列表；②描点；③连线（用平滑曲线）．】由图象可得二次函数y ＝x 2的性质：1．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y ＝x 2中，二次函数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口__________．3．自变量x 的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝x 2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ．二．合作探究案：例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．归纳：抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0；极点都是__________；对称轴是_________；极点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．例 2 请在同一直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2， y ＝－2x 2的图象．x…－3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……x… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝12x 2 ……x … －2 －1 0 1 2 … y ＝2x 2……归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－12x 2， y ＝－2x 2的二次项系数a______0，极点都是________， 对称轴是___________，极点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ．总结：抛物线y ＝ax 2的性质1．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______对称，开口年夜小_______________．2．当a ＞0时，a 越年夜，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，｜a ｜ 越年夜，抛物线的开口越_________；因此，｜a ｜ 越年夜，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________． 三．达标测评案：1．填表：2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图，① y ＝ax 2② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比力a 、b 、c 、d 的年夜小，用“＞”连接．___________________________________5．函数y ＝37x 2的图象开口向_______，极点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 6．二次函数y ＝mx 22m 有最低点，则m ＝___________．7．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．8．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质(第三课时)一．预习检测案：x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y ＝-x 2… … y=－12x 2… … y ＝－2x 2……图象(草图) 开口方向 极点 对称轴 有最高或最低点 最值a ＞0当x ＝____时,y 有最___值,是______. a ＜0当x ＝____时,y 有最____值,是______.开口方向 极点 对称轴 有最高或低点 最值y ＝23x 2当x ＝____时,y 有最_____值,是______. y ＝－8x 2在同一直角坐标系中,画出二次函数y＝x2＋1,y＝x2－1的图象.解:先列表描点并画图2.抛物线y＝2x2向上平移3个单元,就获得抛物线__________________;抛物线y＝2x2向下平移4个单元,就获得抛物线__________________.因此,把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单元,就获得抛物线_______________;把抛物线y＝ax2向下平移m(m＞0)个单元,就获得抛物线_______________.3.抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移获得的,从而它们的形状2.将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单元后所获得的抛物线解析式为教学目标:会画二次函数y＝a(x-h)2的图象，掌握二次函数y＝a(x-h)2的性质,并要会灵活应用.一．预习检测案：画出二次函数y＝－12(x＋1)2,y－12(x－1)2的图象,并考虑它们的开口方向.对称轴.极点以及最值.增减性.x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y＝－12(x＋1)2……y＝－12(x－1)2……先列表:描点并画图. 请在图上把抛物线y＝－12x2也画上去(草图).①抛物线y＝－12(x＋1)2,y＝－12x2,y＝－12(x－1)2的形状年夜小____________.②把抛物线y＝－12x2向左平移_______个单元,就获得抛物线y＝－12(x＋1)2 ;把抛物线y＝－12x2向右平移_______个单元,就获得抛物线y＝－12(x ＋1)2 .总结知识点：1. y＝ax2y＝ax2＋k y＝a (x-h)2开口方向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)3.对二次函数的图象,只要｜a｜相等,则它们的形状_________,只是_________分歧.三．达标测评案：1.抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.2.把抛物线y＝3x2向右平移4个单元后,获得的抛物线的表达式为____________________.3.将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单元后,获得的抛物线解析式为函数开口方向极点对称轴最值增减性y＝－12(x＋1)2y＝－12(x－1)2函数关系式图象(草图) 开口方向极点对称轴最值对称轴右侧的增减性y＝1 2 x2y＝－5 (x＋3)2 y＝3 (x－3)2____________.4.抛物线y＝2 (x＋3)2的开口___________;极点坐标为____________;对称轴是_________;当x＞－3时,y______________;当x＝－3时,y有_______值是_________.26.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质（第五课时）一．预习检测案：画出函数y＝－12(x＋1)2－1的图象,指出它的开口方向.对称轴及极点.最值.增减性.列表二．合作探究案2.把抛物线y＝－12x2向____平移_____个单元,再向____平移_______个单元,就获得抛物线y＝－12(x＋1)2－1.总结知识点：1、填表（a>0)2.抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________,位置________________.三．达标测评案：1、填表6x22.y＝＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同,而____________分歧.3.极点坐标为(－2,3),开口方向和年夜小与抛物线y＝12x2相同的解析式为( )A.y＝12(x－2)2＋3B.y＝12(x＋2)2－3 C.y＝12(x＋2)2＋3D.y＝－12(x＋2)2＋3x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 …y＝－12(x＋1)2－1 ……函数开口方向极点对称轴最值增减性y＝－12(x＋1)2－1y＝ax2y＝ax2＋k y＝a (x-h)2y＝a (x－h)2＋k开口方向极点对称轴最值增减性(对称轴右侧)性质y＝3x2y＝－x2＋1 y＝12(x＋2)2y＝－4 (x－5)2－3草图开口方向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)4.二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为________.5.将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单元,再向下平移4个单元后,获得抛物线解析式为_____ .6.若抛物线y＝ax2＋k的极点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a.k 的值.7.若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为（）.8.将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单元,再向上平移3个单元,得抛物线表达式______________.26.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（第六课时）一．预习检测案：1.画二次函数y＝12x2－6x＋21的图象.(解:y＝12x2－6x＋21配成极点式为_______________________.)2.用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的极点与对称轴.二．课堂探究案：(a>0)y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)三.知识点应用例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标.△＝b2－4ac对图象的影响.(1)a决定:开口方向.形状 (2)c决定与y轴的交点为(0,c)(3)a与－b2a共同决定b的正负性 (4)△＝b2－4ac⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx例3 如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9.①当k为何值时,对称轴为y轴；②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点；③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.四．达标测评案：1. 用极点坐标公式和配方法求二次函数y＝12x2－2－1的极点坐标.2.二次函数y＝2x2＋bx＋c的极点坐标是(1,－2),则b＝________,c＝_________.3.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增年夜而增x … 3 4 5 6 7 8 9 …y＝12x2－6x＋21 ……年夜;当x＝________时,y有______值是_____.4.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最年夜,求其最年夜值.5.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点例3 已知抛物线与x轴的两交点为(－1,0)和(3,0),且过点(2,－3).求抛物线的解析式.归纳:用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:1.已知抛物线过三点,设一般式为y＝ax2＋bx＋c.2.已知抛物线极点坐标及一点,设极点式y＝a(x－h)2＋k.3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),设两根式:y＝a(x－x1)(x－x2) .(其中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)实际问题中求二次函数解析式：例4 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直装置一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处到达最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？三．达标检测案：1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.2.已知二次函数的图象的极点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的极点坐标.4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开始沿边AB 向B 以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P.Q分别从A.B同时动身,那么△PBQ的面积S随动身时间t如何变动？写出函数关系式及t的取值范围.26.2 用函数的观点看一元二次方程（第八课时）教学目标:2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数.一．预习检测案：1.问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与空中成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单元:m)与飞行时间t(单元:s)之间具有关系h＝20t－5t2.考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否到达15m？如能,需要几多飞行时间？(2)球的飞行高度能否到达20m？如能,需要几多飞行时间？(3)球的飞行高度能否到达20.5m？为什么？(4)球从飞出到落地要用几多时间？2.观察图象:(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点,则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0;(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有_ __个交点,则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_____0;(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点,则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0.二．合作探究案：1.已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值.一般地:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m.反之,解一元二次方程ax2＋bx ＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x 的值.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系:一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的根的判别式△＝b2－4ac.(1)当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(2)当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点;(3)当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.1.已知抛物线y＝x2－2kx＋9的极点在x轴上,则k＝____________.2.已知抛物线y＝kx2＋2x－1与x轴有两个交点,则k的取值范围用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变动而变动，当l是几多时，场地的面积S最年夜？三．达标测评案：1．已知直角三角形两条直角边的和即是8，两条直角边各为几多时，这个直角三角形的面积最年夜，最年夜值是几多？2．从空中竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单元：m）与小球运动时间t（单元：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是几多时，小球最高？小球运动中的最年夜高度是几多？每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何订价才华使利润最年夜？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、达标测评案：1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何订价才华使利润最年夜？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份）1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）9 6 3这种蔬菜每千克的种植本钱y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中暗示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的一次函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最年夜？最年夜值为几多？（收益＝市场售价－种植本钱）3. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的订价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的订价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的订价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的订价为几多元时，w有最年夜值？最年夜值是几多？。
九年级上册《二次函数的应用》导学案
九年级上册《二次函数的应用》导学案二次函数是高中数学大家都不陌生的一个章节，而在九年级上册中也有一定的涉及。
通过本导学案的学习，可以使学生们更好的掌握二次函数的应用。
1.二次函数的特点二次函数一般式为y=ax²+bx+c，其中a不等于0。
二次函数的图像都是一个开口向上或者向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
其次，二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f（-b/2a））。
其中，-b/2a是坐标轴的对称轴，也就是说，抛物线两侧的图像是相似的；f(-b/2a)是抛物线的最值，当a>0时，二次函数的最小值是f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值是f(-b/2a)。
2.二次函数在现实生活中的应用2.1 飞行员起飞问题假设一架飞机以加速a起飞，加速后的速度为v，飞行员需要提前计算起飞距离。
假设起飞距离是x，此时的二次函数为y=ax²/v²。
根据牛顿第二定律F=ma可以得出，a=v²/2x，将其代入二次函数中可以得出x=v²/2a。
2.2 投掷运动问题当一个球沿着一定角度进行抛射运动时，其最高点的高度和最远点的位置可以通过二次函数进行计算。
在没有阻力的情况下，其最高点可以表示为y=(v*sinθ)²/(2g)，最远点可以表示为x=(v²*sin2θ)/g。
2.3 建造悬索桥问题在建造悬索桥时，需要考虑悬索的形状，而悬索的形状可以通过二次函数进行计算。
假设悬索的形状为y=(x²/2c)*(1+√(1-(4h²/c²)))，其中c为两端柱子的距离，h为悬索的最低点到水平线的垂直距离。
3.实例分析某班级每个人交了5元钱作为班级活动费用，活动结束后发现还缺少223元。
老师决定按照身高不同的组员交的钱数差异，来补齐这223元的差额。
其中身高较高的同学交了6元钱，身高较低的同学交了4元钱，则需要多少个身高较高的同学来出一名身高较低的同学的差价？思路：在这里，我们将身高较高的同学交的钱数与身高较低的同学交的钱数之差记作x。
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二次函数的应用(2）(学案)
学习目标:
1、能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题
2、能根据揭示实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。
学习过程：
一、情景创设
如图所示的是某防空部队进行射击时导弹的轨迹的平面直角坐标系中的示意图。
位于地面Ｏ处正上方35km 的Ａ处直升机向目标C 发射防空导弹,已知点C 的高度为4
9k ｍ，距离OA 的水平距离为7km. 导弹到达最高点时距地面高度为３ｋm 。
相应的水平距离为４k ｍ(即图中点Ｄ),如果导弹的运行轨迹为抛物线,那么按轨迹运行的导弹能否击中目标C?你能说出理由吗？
二、探索活动
问题1 如图所示，某喷灌设备的喷头B 高出地面1.４ｍ，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m ）之间的关系为二次函数y=a(ｘ-4）2+3.求水流落地点D 与喷头底部A 的距离（精确到0.1m ）.
问题2 如图所示，在一次足球训练中，球员小王从球门正前方10ｍ处起脚射门，球的运行路线恰是一条抛物线。
当球飞行的水平距离是6m 时,球到达最高点,此时球高约3m 。
已知球门高2.44m 。
问此球能否射进球门？
B A y O 三、典型例题
例1 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池．在水池中央垂直于水面处安装一个柱子O Ａ,Ｏ恰在水面中心,OA=1.25m ．由柱子顶端Ａ处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离O Ａ距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？
(2）若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为３．5m ，要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)?
例2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮如图所示，已知球出手时离地面
9
20m ，与篮筐中心的水平距离是７m,当球运行的水平距离是4ｍ时，达到最大高度4ｍ。
设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m 。
⑴问此球能否投中？
⑵此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?
四、课堂小结
五、巩固练习
1、如图是某公园一圆形喷水池,水流在各方向沿形
状相同的抛物线落下。
建立如图所示的坐标系，如果喷
头所在处A(0,1.２５),水流路线最高处B （１，２.25)，
则该抛物线的表达式为 。
如果不考虑
其他因素，那么水池的半径至少要__＿_米，才能使喷
出的水流不致落到池外。
A
２、小明是学校田径队的运动员,根据测试资料分析,他掷铅球的出手高度（铅球脱手时离地面的高度)为２m 。
如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x(m)与高度y(m ）之间的关系为二次函数ｙ＝ａ（x-４）2+3,那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离是多少（精确到0.１ｍ)?
六、课堂作业
1、在距离地面2ｍ高的某处把一物体以初速度v 0(m/s ）竖直向上抛出,在不计空阻力
的情况下，其上升高度s(m ）与抛出时间t(ｓ)满足s= ｖ0ｔ-2
1ｇｔ2(其中g 是常数,通常取10m/ｓ2），若v 0＝10ｍ／ｓ,则该物体在运动至最高点时距离地面 m.
2、如图所示，小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出院满意的成绩，函数h=3．51-4．9t 2+0.５(ｔ的单位:s,h 的单位:ｍ)可以描述他跳远时重心高度的变化,则他起跳后到重心最高所用的时间大约是
A.0．71ｓﻩ ﻩＢ．0.7０s
C ．0.６3s ﻩﻩ Ｄ．０.6ｓ
3、某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个装饰柱OA ，O 恰在水面中心,柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，形状如图①。
在如图②的直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的
关系式满足y =－x ２＋2ｘ+4
5． ⑴求ＯA 的高度;
⑵求喷出的水流距水平面的最大高度；如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？。