第五章 离散时间傅立叶变换.

x[n]
1
X (e j )
2 N
2N N 0 N 2N n
4 2 0 2 4
N
N
NN
比较:与连续时间均匀冲激串的情况一致.
周期信号的傅立叶变换
Байду номын сангаас
周期信号
x[n] ak e jk0 k
其傅立叶变换为：
X (e j ) 2 ak ( k0 ) k
结论：对于周期信号求傅立叶变换，首先展开为傅立叶级 数的形式，然后求傅立叶变换。
5.3 离散时间傅氏变换的性质
离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时间信 号与系统分析的历史短。但由于模拟器件的制造技术 发展的更早、更快，以致在很长一段时间里，离散时 间信号与系统的分析发展得比较缓慢，主要限于数值 分析和对时间序列的分析。
20世纪四、五十年代，数字技术和计算机的出现极大地 推动了离散时间信号与系统的研究。但由于缺乏快速算法， 其发展仍受到很大制约。六十年代中期，Cooley和Tukey 提出FFT算法后，这一领域得到了飞速的发展。
ak
1 N
N2
x[n]e jk(2 / N )n
n N1
1 N
x[n]e jk(2 / N )n
n
定义：
X (e j )
x[n]e jn
n
则
ak
1 N
X (e jk0 )
~x[n]
k N
1 N
X (e jk0 )e jk0n
1
2
X
(e
jk0
)e
jk0n 0
k N
当 N ,
DFS ( the Discrete-time Fourier Series ): 离散时间 傅立叶级数
CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离 散时间傅立叶变换
k
X (e j )
2 02 2 0 0 0 0
2 02 2 0
sin0n
j
k
(
0
2
k)
k
(
0
2
k)
例
x[n] [n kN]
k
ak
1 N
x[n]e jk0n
nN
1 N
N 1
[n]e jk0n
n0
1 N
X (e j ) 2 ( 2 k )
N k
N
j
2 N
kN1
j
2 N
(
N1 1) k
j 2 k N
1 N
sin
N
k (2 N1
sin k
1)
k 0, N, 2N,
N
ak
2N1 1 N
k rN 时
N1 2 N 10
N1 2 N 20
周期性方波序列的频谱
k
(2) 傅氏变换 (非周期信号)
x[n] ~x[n]
N1 n N2
5.1 非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换
一 、离散时间傅立叶变换的导出
(1) 傅氏级数(周期信号)
~x[n]
a e jk(2 / N )n k
k N
ak
1 N
~x[n]e jk(2 / N )n
n N
傅氏级数 (周期信号)
N1
j 2 kn
1 1 e e N
a e k
N N 1 e n N1
对连续时间信号，有 2（ 0） e j0t , 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况。
但由于DTFT一定是以 2 为周期的，因此，频
域的冲激应该是周期性的冲激串:
2（ 0 2 k）
k
2 0
(2 )
0 0 2 0
对其做反变换有：
x[n] 1
X (e j )e jnd e j0n
(1)
4 2
2 4
6. 理想低通滤波器：
H (e j )
h[n] 1 H (e jn )e jnd sinWn
2
n
7. 符号函数:
1 sgn[n] 0
1
n0 n0 n0
sgn(n)
1
n
-1
s
gn[n]
1
1 e
j
1
1 e
j
j sin 1 cos
实、奇序列
虚、奇频谱
5.2 周期信号的DTFT
X (e j )
N1
e jn
n N1
s in( N1
1 )
2
sin
2
有同样的结论: 实偶序列
实偶函数
当 N1 2 时,
4.单位冲击信号
[n]
1
如图所示:
X (e j )
0
n
X (e j ) x[n]e jn 1
n
1
0
5. 频域均匀冲激串:
1 2 ( 2k) k
X (e j )
第五章 离散时间傅立叶变换
重点： 1、掌握傅立叶变换定义及其基本性质； 2、牢记常用典型信号的傅立叶变换； 3、掌握运用傅立叶变换分析LTI系统的方法
难点： 运用傅立叶变换及相关性质分析LTI系统
5.0 引言：( introduction ) CFS ( the Continuous-time Fourier Series ): 连续时 间傅立叶级数
2 2
可见：
2（ 0 2 k） e j0n
k
对于任一周期的离散信号，其可以表示为傅立叶级数的形式：
x[n]
a e jk (2 / N )n k
k N
则其傅立叶变换为：
X (e j )
2
k
ak (
2
N
k)
例
x[n] cos0n
不一定是周期的，当
0
2
N
k
时才是周期的。
X (e j ) ( 0 2k) ( 0 2k)
~x[n] N x[n]
0
2
N
N d
k0 N
x[n] lim (~x[n]) 1 X (e j )e jndw
N
2 2
离散时间傅立叶变换对：
x[n]
1
2
X (e j )e jnd
2
X (e j ) x[n]e jn
N
傅氏变换 (非周期信号)
二、 DTFT的收敛问题：
当序列是无限长序列时，由于 X（e j )表达式是无
穷项级数，当然会存在收敛问题。
收敛条件有两组：
1. | x[n] | N
2.
| x[n] |2
N
三. 常用信号的离散时间傅立叶变换:
1.单边指数信号
x[n]
anu[n]
X
(e
j
)
1
1 ae
j
通常X (e j )是复函数，它的模和相位:
| X (e j ) |
1
1 a2 2a cos
X (e j ) arctan a sin 1 a cos
由图可以看到: 0 a 1 时，低通特性, x[n]单调指数衰减
1 a 0 时，高通特性,x[n]摆动指数衰减
2.双边指数信号
x[n] a|n|u[n] X (e j )
1 a2
1 2a cos a2
可以得出结论: 实偶序列
实偶函数
3. 矩形脉冲: x[n] 10
| n | N1; | n | N1;