第五章 离散时间傅立叶变换.
离散时间序列的傅里叶变换
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e
z
j
200 150
100
p
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0
j
F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。
即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。
步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
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二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
快速离散傅里叶变换.wps
第5 章快速离散傅里叶变换 5 . 1 引言DFT 是离散时间信号分析和处理中的一种重要变换，应用广泛。
但因直接计算DFT 的计算量与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大，从而限制了DFT 在信号频谱分析和实时信号处理中的应用。
1965 年库利（J , W 。
Cooley ）和图基（J . W . Tukey ）在《 计算机数学》 （Math . computation , Vol . 19 , 1965 ）杂志上发表了著名的《 机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德（G . Sallde ）一图基等快速算法相继出现，又经人们进行改进，很快形成一套DFT 的高效算法，这就是快速傅里叶变换，简称FFT ( fast Fourier transform ）。
FFT 算法使DFT 的运算效率提高了很多，为数字信号处理技术应用于各种实时处理创造了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
DFT 快速算法的类型很多，但其基本数学原理是相似的。
本章主要介绍基2 时域抽取和基2 频域抽取FFT 快速算法原理，并在此基础上介绍基4 时域抽取FFT 算法。
还将介绍简称为IFFT ( inverse fast Fourier transform ）的离散傅里叶逆变换快速算法。
5 . 2 基2FFT 算法5.2.1 直接计算D 畔的运算量及减少运算量的基本途径长度为N 的有限长序列x （n),其DFT 和IDFT 分别定义为()10N-10(),01(5.2.1)1()X ,01(5.2.2)N N knN n knN k X x n W k N x n k W n N -=-==≤≤-=≤≤-∑∑ 考虑x(n)为复序列的一般情况，对每一个k 值，直接按（5.2.1）式计算X(k)值，需要N 次复数乘法,( N 一1 ）次复数加法。
因此，对所有N 个k 值，共需2N 次复数乘法和N ( N 一1 ）次复数加法运算。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
第5章离散时间傅里叶变换DTFT
2 W
1
复指数和的离散时间傅里叶变换（DTFT）
回顾连续时间的结果：xt e j0t X j 2 0 离散时间会怎样？ x n e j0n X e j ?
a）我们期待在 0 处有一个脉冲（面积为2π ）
b）但是X ej 必须是以2π 为周期的
1
1 ae
j
1
1 a cos
ja sin
X e j
1
1 2a cos a2
0 : X e j
1
1
1 2a a2 1 a
: X e j
1
1
1 2a a2 1 a
4）离散时间矩形脉冲
N1 2
e j
1
1e
j
1
1
e
j
：Y e j
A
1 e j
1
B
e j
A(1 e j ) B(1 e j ) (1 e j )(1 e j )
x[n] X e j
X e j x n e jn —分析方程
n
—DTFT
x[n] 1 X e j e jnd —综合方程
2 2
—DTFT逆变换
收敛问题
综合方程：没有，因为是有限区间上的积分 分析方程：需要条件，类推于连续时间傅里叶变换， 如：
X e j 和Re X e j 是偶函数
X e j 和Im X e j 是奇函数
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
离散时间傅里叶变换对
离散时间傅里叶变换对介绍离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是信号处理中常用的一种变换方法，它将时域中的离散信号转换到频域中，通过分析信号在频域上的特性，可以揭示信号中隐藏的信息。
离散时间傅里叶变换对作为傅里叶变换对的一种形式，在数字图像处理、通信系统等领域有着广泛的应用。
一级标题DFT的定义离散时间傅里叶变换对将离散时间域序列x[n]（n为整数）转换为离散频率域序列X[k]（k为整数）。
其数学定义如下：其中，N为序列的长度，k为频率序列的索引。
DFT的计算复杂度较高，通常采用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速计算。
DFT的性质DFT具有一些重要的性质，它们对于理解和应用DFT至关重要。
1.线性性质：DFT是线性的，即对信号的线性组合的DFT等于DFT的线性组合。
2.循环移位性质：对于输入信号x[n]，将其向右循环移位m个单位，得到新的信号x_m[n]=x[(n-m) mod N]，则x_m[n]的DFT等于x[n]的DFT乘以旋转因子的m次幂。
3.对称性质：当输入信号x[n]是实数序列时，其DFT具有共轭对称性，即X[k]=X^*[N-k]。
4.周期性质：对于周期为N的信号，其DFT为离散频率域上的周期函数，频率分辨率为1/N。
DFT的应用DFT在信号处理中有着广泛的应用，如下所示：1.频谱分析：通过计算信号的DFT，可以将信号转换到频域中，从而分析信号中各个频率成分的强度和相位，揭示信号的频域特性。
2.信号压缩：DFT可以将时域信号转换为频域信号，在频域中进行处理，然后再通过逆变换将频域信号转换为时域信号，实现信号的压缩。
3.滤波器设计：DFT可以用来设计滤波器，通过将滤波器的频率响应转换为时域响应，从而得到滤波器的系数。
4.信号恢复：通过对信号的部分采样数据进行DFT，可以恢复出信号的完整信息，实现信号的恢复。
《信号与系统》第五章
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
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又
（当 ω0＝0 时， 里叶变换）
所以
，故可由
的傅里叶变换得到１的傅
区间－π≤ω＜π 上，有
5.4 利用傅里叶变换的综合公式求下列逆变换：
解：（a）为了方便起见，在迚行傅里叶逆变换时，取积分区间为－π＜ω≤π。 由定义有
令上式两端的 ω＝0，有
即 A 的值为 2。
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可知
，其中
对于
，当 n＜－1 时，该和式等于 0；当 n＝－１时，该和式等于１；当 n＝0
时，该和式等于 2；当 n≥１时，该和式等于 3。故
于是得
由于
，所以也可将 x[n]表示为
5.9 对某一特殊的 x[n]，其傅里叶变换为 X（#），已知下面四个条件： （1） （2） （3） （4） 求 x[n]。 解：要确定 x[n]，一开始无法从条件（1）、（2）、（4）入手，只能考虑从条件（3）入 手。 对于实信号 x[n]来说，有
，丌难看出，F（ejω）是一个实奇函数。一般
我们知道，一个实偶函数 x[n]的傅里叶变换 X（ejω）也是实偶函数，而一个实奇函数 x[n]
的傅里叶变换 X（ejω）则是纯虚且奇的函数。若假设 f[n]是纯虚且奇的函数，则可将其表
示为 f[n]＝jp[n]。
式中，p[n]是一个实奇函数。那么，p（ejω）就是一个纯虚且奇的函数，从而 F（ejω）
由条件（3），可得
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于是由傅里叶变换的时秱性质，对上式求逆变换，有
对比上式左右两边，并注意到条件（1），可以得到
离散傅里叶变换及快速算法
序列分解为N个谐波相关的复指数之和。将
j 2N nk
X (k ) x(n)e
, k 0,1,2,
（5-3）
称之为离散傅里叶级数DFS的k次谐波系数。是一个基波周 期为N的周期序列。
X (k ) X ( k N )
§5．离散傅里叶变换及快速算法
在DFS变换中引入复数
k
X ( jk0 )e jk0t
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp
时域信号 连续的 周期的
频域信号
非周期的
离散的
3.离散时间、连续频率的傅立叶变换 – DTFT（离散时间傅立叶 变换） X e 或 X (e ) x(nT) T
j jT
---T 0 T 2T
正 : X (e
WN e
j 2N
将DFS正反变换描述为
nk 正 : X (k ) DFSx (n) X (k ) x (n)WN n 0
N 1
1 N 1 反 : x (n) IDFS X (k ) x (n) X (k )WN nk N k 0
（5-5）
WN
的性质: 1 N 1 ( nm) k 1 n m lN 正交性: WN 0 n m lN N k 0
周期性:
W
k mN N
W
k N
l , m, N / 2, k / 2均为整数
共轭对称性（偶序列）: 可约性：
k N (WN )* WN k
k mk k 2 WN WmN WN // 2
§5．离散傅里叶变换及快速算法
2.离散傅里叶变换（DFT）
但对于数字系统，无论是Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存 在一些问题，重要是因为频率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频 谱），不便于数字运算和储存。 参考DFS，可以采用类似DFS的分析方法解决以上问题。可以把有限 长非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主值周期，即对有限长非 周期序列进行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS进行处理，即 采用复指数基频序列和此有限长时间序列取相关，得出每个主值在各频 率上的频谱分量以表示出这个“主值周期”的频谱信息。 由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时 又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带 有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所 以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样， 此时采样频率等于序列延拓后的 周期N，即主值序列的个数。
u[n]的离散时间傅里叶变换
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u[n]的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是信号处理中一项重要的数学工具，它可以将一个离散时间序列转换为频域表示。
傅里叶变换提供了一种分析信号频谱的方法，能够帮助我们更好地理解信号的特性和结构。
首先，让我们来了解一下什么是离散时间序列。
离散时间序列是由一系列离散时间点上的采样值组成的，例如我们可以通过在每个时间点上记录某个信号的幅值来获取离散时间序列。
离散时间傅里叶变换作为信号处理中的关键工具之一，通过将离散时间序列表示为一系列复数的和，将时间域的信息转换到频域。
这个变换过程可以将信号分解为不同频率的成分，进而揭示信号中隐藏的频谱分布。
离散时间傅里叶变换的数学表达式为：\[X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) \cdot e^{-i2\pi\frac{kn}{N}}\]其中，X(k)表示在频率k处的频率域采样值，x(n)是时间域的离散序列，N是序列的长度，e是自然对数的底数，i是虚数单位。
通过离散时间傅里叶变换，我们可以得到一个大小为N的频率域序列，其中每个频率点代表了原始离散序列中某个频率对应的振幅和相位信息。
这使得我们能够清楚地看到信号在不同频率上的能量分布情况。
离散时间傅里叶变换的应用范围非常广泛。
它可以用于语音信号处理、音频信号分析、图像处理、通信系统等领域。
在语音信号处理中，我们可以通过对声音信号进行离散时间傅里叶变换，分析不同频率成分对声音质量的影响；在图像处理中，我们可以将图像转换到频域，进而实现滤波、边缘检测等处理。
此外，离散时间傅里叶变换还有一种高效的计算方法，称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。
FFT算法利用了离散时间傅里叶变换的对称性质，将计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大加快了计算速度，因此广泛应用于实时信号处理和大规模数据处理。
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(1)
4 2
2 4
6. 理想低通滤波器：
H (e j )
h[n] 1 H (e jn )e jnd sinWn
2
n
7. 符号函数:
1 sgn[n] 0
1
n0 n0 n0
sgn(n)
1
n
-1
s
gn[n]
1
1 e
j
1
1 e
j
j sin 1 cos
实、奇序列
虚、奇频谱
5.2 周期信号的DTFT
第五章 离散时间傅立叶变换
重点： 1、掌握傅立叶变换定义及其基本性质； 2、牢记常用典型信号的傅立叶变换； 3、掌握运用傅立叶变换分析LTI系统的方法
难点： 运用傅立叶变换及相关性质分析LTI系统
5.0 引言：( introduction ) CFS ( the Continuous-time Fourier Series ): 连续时 间傅立叶级数
X (e j )
N1
e jn
n N1
s in( N1
1 )
2
sin
2
有同样的结论: 实偶序列
实偶函数
当 N1 2 时,
4.单位冲击信号
[n]
1
如图所示:
X (e j )
0
n
X (e j ) x[n]e jn 1
n
1
0
5. 频域均匀冲激串:
1 2 ( 2k) k
X (e j )
ak
1 N
N2
x[n]e jk( jk(2 / N )n
n
定义：
X (e j )
x[n]e jn
n
则
ak
1 N
X (e jk0 )
~x[n]
k N
1 N
X (e jk0 )e jk0n
1
2
X
(e
jk0
)e
jk0n 0
k N
当 N ,
k
X (e j )
2 02 2 0 0 0 0
2 02 2 0
sin0n
j
k
(
0
2
k)
k
(
0
2
k)
例
x[n] [n kN]
k
ak
1 N
x[n]e jk0n
nN
1 N
N 1
[n]e jk0n
n0
1 N
X (e j ) 2 ( 2 k )
N k
N
穷项级数，当然会存在收敛问题。
收敛条件有两组：
1. | x[n] | N
2.
| x[n] |2
N
三. 常用信号的离散时间傅立叶变换:
1.单边指数信号
x[n]
anu[n]
X
(e
j
)
1
1 ae
j
通常X (e j )是复函数，它的模和相位:
| X (e j ) |
1
1 a2 2a cos
X (e j ) arctan a sin 1 a cos
j
2 N
kN1
j
2 N
(
N1 1) k
j 2 k N
1 N
sin
N
k (2 N1
sin k
1)
k 0, N, 2N,
N
ak
2N1 1 N
k rN 时
N1 2 N 10
N1 2 N 20
周期性方波序列的频谱
k
(2) 傅氏变换 (非周期信号)
x[n] ~x[n]
N1 n N2
~x[n] N x[n]
0
2
N
N d
k0 N
x[n] lim (~x[n]) 1 X (e j )e jndw
N
2 2
离散时间傅立叶变换对：
x[n]
1
2
X (e j )e jnd
2
X (e j ) x[n]e jn
N
傅氏变换 (非周期信号)
二、 DTFT的收敛问题：
当序列是无限长序列时，由于 X（e j )表达式是无
由图可以看到: 0 a 1 时，低通特性, x[n]单调指数衰减
1 a 0 时，高通特性,x[n]摆动指数衰减
2.双边指数信号
x[n] a|n|u[n] X (e j )
1 a2
1 2a cos a2
可以得出结论: 实偶序列
实偶函数
3. 矩形脉冲: x[n] 10
| n | N1; | n | N1;
离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时间信 号与系统分析的历史短。但由于模拟器件的制造技术 发展的更早、更快，以致在很长一段时间里，离散时 间信号与系统的分析发展得比较缓慢，主要限于数值 分析和对时间序列的分析。
20世纪四、五十年代，数字技术和计算机的出现极大地 推动了离散时间信号与系统的研究。但由于缺乏快速算法， 其发展仍受到很大制约。六十年代中期，Cooley和Tukey 提出FFT算法后，这一领域得到了飞速的发展。
2 2
可见：
2（ 0 2 k） e j0n
k
对于任一周期的离散信号，其可以表示为傅立叶级数的形式：
x[n]
a e jk (2 / N )n k
k N
则其傅立叶变换为：
X (e j )
2
k
ak (
2
N
k)
例
x[n] cos0n
不一定是周期的，当
0
2
N
k
时才是周期的。
X (e j ) ( 0 2k) ( 0 2k)
x[n]
1
X (e j )
2 N
2N N 0 N 2N n
4 2 0 2 4
N
N
NN
比较:与连续时间均匀冲激串的情况一致.
周期信号的傅立叶变换
周期信号
x[n] ak e jk0 k
其傅立叶变换为：
X (e j ) 2 ak ( k0 ) k
结论：对于周期信号求傅立叶变换，首先展开为傅立叶级 数的形式，然后求傅立叶变换。
对连续时间信号，有 2（ 0） e j0t , 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况。
但由于DTFT一定是以 2 为周期的，因此，频
域的冲激应该是周期性的冲激串:
2（ 0 2 k）
k
2 0
(2 )
0 0 2 0
对其做反变换有：
x[n] 1
X (e j )e jnd e j0n
DFS ( the Discrete-time Fourier Series ): 离散时间 傅立叶级数
CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离 散时间傅立叶变换
5.3 离散时间傅氏变换的性质
5.1 非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换
一 、离散时间傅立叶变换的导出
(1) 傅氏级数(周期信号)
~x[n]
a e jk(2 / N )n k
k N
ak
1 N
~x[n]e jk(2 / N )n
n N
傅氏级数 (周期信号)
N1
j 2 kn
1 1 e e N
a e k
N N 1 e n N1