广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考文科数学试题
广东省海珠区2013届高三上学期综合测试(二)数学文答案
海珠区2012学年高三综合测试(二)文科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. 025.0,180 12. 34, 55 13. 9; 14. 22 15. 3 (第11题第一空2分,第二空3分)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)（本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数()()()()()ϕωϕω+=+=x A x f x A x f cos sin 或的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1）()cos 2cos 22sin cos 66f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6sin2sin 6cos 2cos ππx x -=+6sin2sin 6cos2cos ππx x +x x cos sin 2+…………2分x 2cos 232⨯=x 2sin + x 2cos 3=x 2sin + …………3分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 212cos 232 ks5u …………4分⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 2sin 3cos 2cos 3sin 2ππ …………5分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx …………6分∴()f x 的最小正周期为ππ==22T …………7分 (2)由(1)知()x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2πx , 由33ππ≤≤-x ,得πππ≤+≤-323x , …………8分∴当232ππ=+x ,即12π=x 时, ()f x 取得最大值2; …………10分 当332ππ-=+x ,即3π-=x 时, ()f x 取得最小值3-.…………12分17.( 本小题满分12分)（本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归,样本估计总体等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识） 解:(1)b a ,构成的基本事件()b a ,有:()()()()()()()89,67,80,67,75,67,89,62,80,62,75,62,67.62,(),80,75()()89,80,89,75共有10个． …………2分其中“b a ,均小于80分钟”的有()()()75,67,75,62,67.62共3个. …………3分∴事件 “b a ,均小于80分钟”的概率为103. ks5u …………4分 (2)()3040302031=++=x ， …………5分 ()1677580743y =++= …………6分 ()()()()()()()()()222304030303020748030407475303074673020-+-+--⨯-+-⨯-+-⨯-=∧b2013=. …………8分 13743054.520a y bx ∴=-=-⨯= …………9分∴y 关于x 的线性回归方程∧y 1354.520x =+ …………10分M OP D CBA （3）由(2)知y 关于x 的线性回归方程为∧y 1354.520x =+, 当70=x 时,1005.54702013=+⨯=y . …………11分 ∴预测加工70个零件需要100分钟的时间. …………12分18.（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:(1) 在PBD ∆中，O 、M 分别是BD 、PD 的中点, OM ∴是PBD ∆的中位线，PB OM //∴， …………1分 ⊄OM 平面PBD ，⊂PB 平面PBD ，……3分 //OM ∴平面PAB . …………4分 (2) 底面ABCD 是菱形,AC BD ⊥∴， ks5u ………5分PA ⊥平面ABCD ,⊂BD 平面ABCDPA BD ⊥∴. …………6分 ⊂AC 平面PAC ,⊂PA 平面PAC ,⋂AC A PA =,…………7分⊥∴BD 平面PAC , …………8分⊂BD 平面PBD , …………9分∴平面PBD ⊥平面PAC . …………10分(3) 底面ABCD 是菱形,,60,20=∠=BAD AB∴菱形ABCD的面积为32232260sin 2120=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=AD AB S ABCD 菱形,…………11分 四棱锥ABCD P -的高为PA ,∴33231=⨯⨯PA ,得23=PA …………12分PA ⊥平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴. …………13分 在PAB Rt ∆中,252232222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=AB PA PB . …………14分19.(本小题14分)（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）解:(1) 由已知()()0,,0,a B a A -,设()()a x y x P ±≠000,. …………1分则直线AP 的斜率ax y k AP +=00,直线BP 的斜率ax y k AP -=00.由1220220=+y ax ,得()2202202a x a y -=. …………2分∴⨯AP k APk a x y +=00()()2202222220200022a x a a x a a x y a x y -=---=-=-⨯ …………3分 2122-=-∴a,得42=a , …………4分 ∴214242=-=e . …………5分∴椭圆的离心率22=e . ks5u …………6分 (2) 由题意知直线l 的斜率存在. …………7分 设直线l 的斜率为k , 直线l 的方程为()1+=x k y …………8分 则有()k M ,0，设()()a x y x P ±≠000,，由于Q M P ,,= 根据题意，得()()0000,12,y x k y x +±=- …………9分解得⎩⎨⎧-=-=k y x 002或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=33200k y x …………11分又点P 在椭圆上，又由（1）知椭圆C 的方程为12422=+y x 所以()()124222=-+-k …………①或12343222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-k …………② 由①解得02=k ，即0=k ,此时点P 与椭圆左端点A 重合, 0=∴k 舍去; …………12分由②解得162=k ，即4±=k …………13分∴直线直线l 的斜率4±=k . …………14分20. (本小题满分14分)（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力） 解:(1)当1=a 时, (),1ln xx x f -= ()2'11xx x f +=. ……………… 1分 ()1.111ln 1-=-=f()2111112'=+=f∴曲线()x f y =在点()1,1-处的切线方程为()121-=+x y ,即32-=x y . ………3分(2) ()2'xa x x f+=. ……………… 4分①若1-≥a ,则0≥+a x ,即()0'≥x f在[]e ,1上恒成立,此时()x f 在[]e ,1上为增函数,……………… 5分()()231min =-==∴a f x f , 23-=∴a (舍去); ……………… 6分②若e a -≤,则0≤+a x ,即()0'≤x f在[]e ,1上恒成立,此时()x f 在[]e ,1上为减函数,……………… 7分()()231min =-==∴e a e f x f , 2ea -=∴(舍去); ……………… 8分③若1-<<-a e ,令()0'=x f得a x -=,当e x a <<-时,()0'>x f ,∴()x f 在()e a ,-上为增函数,当a x -<<1时,()0'<x f,∴()x f 在()a -,1上为减函数, ……………… 9分()()()231ln min =+-=-=∴a a f x f , e a -=∴.综上所述,e a -=. ……………… 10分 （3）(),ln ,22x xax x x f <-∴< 又.ln ,03x x x a x ->∴> ……………… 11分 令(),ln 3x x x x g -=则()(),3ln 12'x x x g x h -+==()xx x x x h 2'6161--=-=. …ks5u …… 12分当()+∞∈,1x 时,()0'<x h ,()x h ∴在()+∞,1上是减函数.()()021<-=<∴h x h ,即()0'<x g ,()x g ∴在()+∞,1上也是减函数.()()11-=<∴g x g , ……………… 13分 ∴当1-≥a 时,()2x x f < 在()+∞,1上恒成立. ……………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）解:（1）证明：数列{}n b 是等差数列，设公差为d ，则1n n b b d +-=对*n N ∈恒成立， ……………… 1分 依题意12log n n b a =，1()2n bn a =， ……………… 2分所以1111()()22n n b b d n n a a +-+==是定值， ……………… 3分 从而数列{}n a 是等比数列． ……………… 4分 （2）解：当1n =时，112a =，当2n ≥时，11()2nn n n a S S -=-=，1n =也适合此式，即数列{}n a 的通项公式是1()2nn a =． ……………… 5分 由12log n n b a =，数列{}n b 的通项公式是n b n =， ……………… 6分 所以1(,)2n n P n ，111(,1)2n n P n +++． 过这两点的直线方程是：11211(1)22n n nx y n n n +--=+--， 可得与坐标轴的交点是12(,0)2n n n A ++和(0,2)n B n +． ……………… 7分221(2)22n n n n n c OA OB ++=⨯⨯=，……………… 8分由于22221233(2)(3)2(2)(3)222n n n n n n n n n c c +++++++-+-=-=232102n n n ++-=>……………9分 即数列{}n c 的各项依次单调递减，所以198t c ≥=． ……………… 10分 （3）数列{}n d 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是121(12)(333)k k -+++++++()13322k k k +-=+ …ks5u …… 11分估算知，当7k =时，其和是73328112020082-+=<， ……………… 12分 当8k =时，其和是83336331520082-+=>， 又因为2008112088829-==⨯，是3的倍数，故存在这样的m ，使得2008m S =， ……………… 13分此时257(1333)296667m =++++++=． ……………… 14分。
广东珠海2013届高三5月综合试题(二)数学文试题
珠海市2013年5月高三综合试题（二）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1. 复数z 满足i z i 21-=⋅，则=zA ．i -2B ．i --2C ．i 21+D ．i 21- 2. 已知集合22{1},{log 0}A x x B x x =>=>，则A B =A ．{1}x x <-B ．{0}x x >C ．{1}x x >D ．{}1x 1>-< x x3. 已知平面向量()1,2a=, ()2,bm =-, 且//a b , 则b =B. 4. 下列函数在其定义域是增函数地是A ．tan y x =B ．3xy =-C ．3y x = D ．ln y x =5. 已知数列}{n a 是公差为2地等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则}{n a 地前5项和5S A ．20B.30C ．25D ．406.将函数sin(6)4y x π=+地图像上各点向右平移8π个单位，则得到新函数地解析式为 A.sin(6)2y x π=-B.sin(6)4y x π=+ ks5u C.5sin(6)8y x π=+ D.sin(6)8y x π=+7．设,αβ是两个不同地平面，l 是一条直线，以下命题正确地是A ．若,,l ααβ⊥⊥则l β⊂B ．若//,//,l ααβ则l β⊂C ．若,//,l ααβ⊥则l β⊥D ．若//,,l ααβ⊥则l β⊥ 9. 右图是一个几何体地三视图，根据图中数据，可得该几何体地表面积是A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．如果实数y x,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4地最大值为 A.2B.3C.27 D ．410．已知函数)1(-x f 是定义在R 上地奇函数，若对于任意给定地不等实数1x 、2x ，不等式[]0)()()(2121>--x f x f x x 恒成立，则不等式0)2(<+x f 地解集为 A ．()1,+∞B ．()3,-∞-C ．()0,+∞ D ．(),1-∞二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.程序框图（如图）地运算结果为.12．已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-1,1,1)1()(1x a x x a x f x 若21)1(=f ，则=)3(f ．13．已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”地是． ①1+=x y ②2=y ③3+-=x y ④32+-=x y（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题） 如图，圆内地两条弦AB ， CD 相交于圆内一点P ，已知4=PA ，2=PB ，PD PC =4，则CD 地长为.15．（坐标系与参数方程选做题） 已知在极坐标系下，点)6,2(πA ，)32,4(πB ，O 是极点，则AOB ∆地面积等于． 16．（本小题满分12分）已知函()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><地部分图象如图所示： (1)求,ωϕ地值;(2)设g()()()1228x x x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 地值域．17．（本小题满分12分）通过随机询问某校100名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下地列联表： （1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5地样本，问样本中看与不看营养说明地女生各有多少名?(2)从（1）中地5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明地女生各一名地概率；（3）根据以下列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名统计量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．概率表18．（本题满分14分）如图：C 、D 是以AB 为直径地圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 地射影E 在BD 上，已知2=CE .（1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -地体积． 19．（本小题满分14分）已知各项均不相等地等差数列{}n a 地前5项和355=S ，又1,1,1731+++a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 地通项公式； （2）设n T 为数列}1{n S 地前n 项和，问是否存在常数m ，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅=)2(21n n n n m T n ，若存在，求m 地值；若不存在，说明理由．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点)21,515(a a P 在椭圆上． （1）求椭圆地离心率；（2）设A 为椭圆地右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足AQ AO =求直线OQ 地斜率地值．21.（本小题满分14分）已知函数()21,,442,x x ax ax x a f x x a -⎧-+⎪=⎨-⨯<⎪⎩≥ ks5u (1) 若x a <时，()1f x <恒成立，求a 地取值范围；(2) 已知4-≥a ，若函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 地取值范围．珠海市2013年5月高三综合测试（二） 文科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地．1. （复数地计算）复数z 满足i z i 21-=⋅，则=z i A -2.i B --2.i C 21.+i D 21.- 【解析】()1212221i i i iz i i i i -⋅-+====--⋅-；2. （解不等式）已知集合2{log 0}A x x =>，则A B =A ．{1}x x <-B ．{x x >．{}1x 1>-< x x 【解析】{11A x x x =<->或，}1B x x =>，所以AB ={}1x x >；3. （平面向量）已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则b =【解析】因为//a b ，所以12(2)m ⨯=⨯-，解得：4m =-，所以(2,4)b =--，2(2)b =-=；ks5u4. （单调性）下列函数在其定义域是增函数地是A ．tan y x =B ．3xy =-C ．3y x = D ．ln y x =【解析】tan y x =只在其周期内单调递增，3x y =-在R 上单调递减，3y x =在R 上单调递增，ln y x =在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；5. （通项与求和）已知数列}{n a 是公差为2地等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则}{n a 地前5项和5SA ．20B.30C ．25D ．40【解析】由数列}{n a 是公差为2地等差数列可设首项为1a ，则1(1)2n a a n =+-⋅；又因为521,,a a a 成等比数列，所以2152a a a ⋅=，即()2111(8)2a a a ⋅+=+，解得11a =；所以 515(51)55120252S a d ⨯-=+⋅=⨯+=； 6.（图像平移）将函数sin(6)4y x π=+地图像上各点向右平移8π个单位，则得到新函数地sin(6)4y x π=+ C.5sin(6)8y x π=+ D. sin(6)8y x π=+【解析】sin(6)4y x π=+地图像向右平移8π个单位后变为sin 6()84y x ππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦sin(6)2x π=-；7．（线面关系）设,αβ是两个不同地平面，l 是一条直线，以下命题正确地是A ．若,,l ααβ⊥⊥则l β⊂B ．若//,//,l ααβ则l β⊂C ．若,//,l ααβ⊥则l β⊥D ．若//,,l ααβ⊥则l β⊥【解析】A 选项中，还可能//l β；B 选项中，也可能//l β；D 中，也可能//l β； 8. （三视图与直观图）右图是一个几何体地三视图，根据图中数据，可得该几何体地表面积是 A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【解析】由三视图可判断出该几何体为球和圆柱体地组合，其中，圆柱体地表面积221212238S r d h πππππ=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=；球地表面积2224414S r πππ==⋅⋅=；所以几何体地总表面积1216S S S π=+=;9．（线性规划）如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4地最大值为 A.2B.D.4【解析】通过作图可知可行域为一个三角形，三角形三个顶点坐标分别是(1,0),(1,3)--和13(,)22，代入可知y x z +=4地最大值为72；10．（抽象函数）已知函数)1(-x f 是定义在R 上地奇函数，若对于任意给定地不等实数1x 、2x ，不等式[]0)()()(2121>--x f x f x x 恒成立，则不等式0)2(<+x f 地解集为A ．()1,+∞B ．()3,-∞-C ．()0,+∞ D ．(),1-∞【解析】由[]0)()()(2121>--x f x f x x 可知()f x 在R 上也为单调递增函数，)1(-x f 是由()f x 向右平移一个单位得到地，平移不改变()f x 在R 上地单调递增，又因为)1(-x f为奇函数，所以(1)0f x -<地解集为(,0)-∞，又因为(2)f x +可以由(1)f x -向左平移3三个单位得到，所以(2)0f x +<地解集为(,3)-∞-；二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.程序框图（如图）地运算结果为. 24【解析】由分析可知，本程序是计算4!地值，即4!432124=⨯⨯⨯=；12．（分段函数指数对数）已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-1,1,1)1()(1x a x x a x f x 若21)1(=f ，则=)3(f 【解析】因为1(1)(1)112f a =-⨯+=，所以12a =；则3111(3)24f -⎛⎫==⎪⎝⎭； 13．（ 圆锥曲线地定义）已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”地是．①1+=x y ②2=y ③3+-=x y ④32+-=x y ①④（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆内地两条弦， CD 相交于圆内一点P ，已知4=PA ，2=PB ，PD PC =4，则CD 地长为【解析】根据相交线定理：PA PB PC PD ⋅=⋅，设P C x =，则4P D x =，所以2244x ⨯=，解得x =5CD PC PD x =+==15．（坐标系与参数方程选做题） 已知在极坐标系下，点)6,2(πA ，)32,4(πB ，O 是极点，则AOB ∆地面积等于．4 【解析】1224sin 4236S AOB ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭；16．（本小题满分12分）已知函()sin()(0,||)fx x ωϕωϕπ=+><地部分图象如图所示： (1)求,ωϕ地值;(2)设g()()()1228x x x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 地值域.解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…2分 由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：2()2k k z πϕπ=-∈，………4分∵||ϕπ< ∴2πϕ=-. ………………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22fx x x π=-=-，……………………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xxx f x x ππ=--=---- 2sin )]12cos 2sin cos 1x x x x x x =+-=+- cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[4x π+∈， ∴()g x 地值域为[-.………………………………………………12分17．（本小题满分14分）通过随机询问某校100名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下地列联表： （1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5地样本，问样本中看与不看营养说明地女生各有多少名?(2)从（1）中地5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明地女生各一名地概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名统计量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．概率表解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明地女生有305350⨯=名，样本中不看营养说明地女生有205250⨯=名；…………………………2分（2）记样本中看营养说明地3名女生为123,,a a a ，不看营养说明地2名女生为12,b b ，从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能地基本事件为：12,a a ；13,a a ；11,a b ；12,a b ；23,a a ；21,a b ；22,a b ；31,a b ；32,a b ；12,b b .………………5分其中事件A “选到看与不看营养说明地女生各一名”包含了6个地基本事件： 11,a b ；12,a b ；21,a b ；22,a b ；31,a b ；32,a b .………………………7分所以所求地概率为63().105==P A ………………………………………9分 (3) 假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2K 应该很小.根据题中地列联表得2100(40203010)1004.7627030505021k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯………11分 由2( 3.841)0.05P K ≥=可知有95%地把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关？………………………………………………………………………………………13分18．（本题满分14分）如图：C 、D 是以AB 为直径地圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 地射影E 在BD 上，已知2=CE .（1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -地体积．18解：（1）证明：依题意：⊥AD BD …………………………2分⊥CE 平面ABD ∴⊥CE AD ……………2分 BD E CE =∴⊥AD 平面BCE ．……………………………5分 （2）证明：BCE Rt ∆中，2=CE ，6=BC∴2=BE ………………………………6分ABD Rt ∆中，32=AB ，3=AD∴3=BD ．……………………………………………………………………7分 ∴32==BD BE BA BF ．…………………………………………………………8分 ∴EF AD //AD在平面CEF 外∴//AD 平面CEF ．…………………………………………………………10分（3）解：由题设知13AF AB ==，AD =3BAD π∠=……………11分 ∴11sin sin 223S FAD AF AD BAD π=⋅⋅∠==12分⊥CE 平面ABD∴662233131=⋅⋅=⋅⋅==∆--CE S V V FAD AFD C CFD A ．……………14分 19、（本小题满分14分）已知各项均不相等地等差数列{}n a 地前5项和355=S ，又1,1,1731+++a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 地通项公式； （2）设n T 为数列}1{n S 地前n 项和，问是否存在常数m ，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅=)2(21n n n n m T n ，若存在，求m 地值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 地公差为d ，由已知得721=+d a ， …………………………2分又1,1,1731+++a a a 成等比数列，所以 )16)(1()17(112+++=+d a a………………………………4分解得：2,31==d a所以12)1(1+=-+=n d n a a n …………………………… 6分 （2）)2(2)(1+=+=n n a a n S n n …………………………… 8分 )211(21)2(11+-=+=∴n n n n S n ……………………………10分 所以11111111111()2132435112n T n n n n =-+-+-+-+--++ )21112111(21+-+-+=n n ……………………………12分 1212(2)n n n n ⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦……………………………13分故存在常数21=m ……………………………14分 20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点)21,515(a a P 在椭圆上． （1）求椭圆地离心率；（2）设A 为椭圆地右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足AQ AO =求直线OQ 地斜率地值．解：(1) 点)21,515(a a P 在椭圆上14125152222=+⇔baa a （2分） 468318522222=⇔=-=⇔=⇔e ab e a b （5分）(2) 法一：由(Ⅰ)得,)0,(a A ，椭圆方程为：1582222=+ay a x ，（6分） 设),(00y x Q 满足条件，则：15822220=+ay a x ……………① （7分）由AQ AO =得：a y a x =+-2020)(……………②（8分） 由①②得：051632020=+-a ax x ，（10分） 解得：a x 50=（舍），,310a x =故,350a y ±=（13分） 直线OQ 地斜率50±==x y k OQ （14分）法二：设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；（6分） 则(,0)A a 22222sin )cos 1(a b a AO AQ =+-⇔=θθ（8分）05cos 16cos 32=+-θθ（10分）， 31cos =θ （12分）直线OQ 地斜率sin cos OQ b k a θθ==14分）21.（本小题满分14分）已知函数()21,,442,x x ax ax x a f x x a-⎧-+≥⎪=⎨-⨯<⎪⎩ (1) 若x a <时，()1f x <恒成立，求a 地取值范围；ks5u(2) 若4a ≥-时，函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 地取值范围．ks5u 解：(1) 因为x a <时，()442x x a f x -=-⨯，所以令2xt =，则有02a t <<，ks5u()1f x <当x a <时恒成立，转化为2412a tt -⨯<， 即412at t>-在()0,2at ∈上恒成立， ……………………ks5u …………………2分 令p (t )＝t －1t，()0,2a t ∈，则()2110p t t'=+>，所以p (t )＝t －1t在()0,2a 上单调递增，所以41222aa a≥-，所以2a ≤2log a ≤ …………………6分 (2) 当x a ≥时，()21f x x ax =-+，即()22124a a f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，………7分当2aa ≤时，即0a ≥时，()min ()1f x f a ==； 当2aa >时，即40a -≤<，2min ()()124a a f x f ==-；…………………8分当x a <时，()442xx af x -=-⨯，令2x t =，()0,2a t ∈，则()22424224a a a h t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，…………10分当222a a <，即12a >时，min 24()()24a ah t h ==-； 当222aa ≥，即12a ≤时，()h t 在开区间()0,2a t ∈上单调递减，()(44,0)a h t ∈-， 无最小值；……………………………………………………12分 综合x a ≥与x a <，所以当12a >时，即414a >-，函数()min 44a f x =-； 当102a ≤≤时，4401a -<<，函数()f x 无最小值； 当40a -≤<时，244314aa -<-≤-，函数()f x 无最小值．…………………13分综上所述，当12a >时，函数()f x 有最小值为44a -；当142a -≤≤时，函数()f x 无最小值……………14分．ks5u版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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珠海市2013-2014 学年度第二学期高三学生学业质量监测(珠海二模)
试卷类型：B 珠海市2013-2014 学年度第二学期高三学生学业质量监测语文试题本试卷共8 页，包括六个部分24 小题，满分150 分。
考试用时150 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的答案无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
一、本大题4 小题，每小题3 分，共12 分。
1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同．．．的一项是（）(3分)A．耿．直/梗．概勘．探/桑葚．当．政/安步当．车B．邋遢．/趿．拉呵．责/沉疴．咀嚼．/咬文嚼．字C．孝悌．/醍．醐顷．刻/倾．情集结．/开花结．果D．储．蓄/贮．备烘焙．/陪．衬解．救/解．甲归田2．下面语段中画线的词语，使用不恰当．．．的一项是（）(3 分)有些词语不带光环光晕，在颂扬赞美时往往可以不动声色、不着痕迹，效果较之正统颂词过犹不及。
不过，条件是恰如其分，一旦言过其实，颂词就会变为谀词，甚至沦为笑料。
从颂词到谀词，或许是一个滑行的过程，难以做到泾渭分明；但两者的根本区别还是不难厘定的，那就是颂在实处为颂，颂到虚处则为谀。
切记笔下生花之时莫离事实这个谱，是避免从颂词到谀词到笑料这条堕落路径的要诀。
A.过犹不及B.恰如其分C.泾渭分明D.厘定3．下列句子中，没有语病．．．．的一项是（）(3分)A．4 月17 日，广州恒大客场以一种令人意想不到的方式负于墨尔本胜利队，他们所欠缺的：一是战术不当，二是心理状态不稳。
2012-2013学年广东省珠海一中等六校高三(上)第二次联考数学试卷(文科)
2012-2013学年广东省珠海一中等六校高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）函数f（x）=的定义域为（），2．（5分）复数1﹣（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（）﹣=14．（5分）（2012•台州一模）tan330°=（）．B C D5．（5分）图为函数f 1（x）=a1x，f2（x）=a2x，f3（x）=log x在同一直角坐标系下的部分图象，则下列结论正确的是（）=2=03，解得，，，时取得极大值，且x=时取得极小值，且9．（5分）（2012•怀柔区二模）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）．B C D利用平行四边形法则做出向量，由和10．（5分）如图，将等比数列{a n}的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{a n}的前2013项和S2013=4026，则满足n的n的值为（）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）已知函数f（x）=，则f（0）=1．，12．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，cosB=，则sinA=．=即可求得b=cosB=，，=得：=1×=故答案为：13．（5分）已知||=1，||=2，（+）⊥，则与夹角为．与夹角为+）=0，即解：设向量与+•，即cos故答案为：14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x均有f（x+2）=﹣f（x），且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=﹣x2+2x，则函数f（x）在区间[﹣3，﹣2]上的表达式为f（x）f（x）=﹣4（x+2）（x+4）．﹣﹣三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知函数f（x）=cos2x+sin2x（1）求f（x）的最大值和最小正周期；（2）设α，β，f（）=，f（）=，求sin（α+β）的值．=cos2x+sin2x=（sin2x sin2x+2x+，T==+）sin[2+）]=），]==+sin[2（]sin+2）），∈[，+，即，）cos sin=16．（12分）已知=（sinθ，cosθ）、=（，1）（1）若，求tanθ的值；（2）若f（θ）=|+|，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a、b、c，且a=f（0），b=f（﹣），c=f（），求．），=、（…）∵=，=|+…（﹣）），（﹣=（cosA===||||cosA=bccosA=．17．（14分）在等比数列{a n}中，公比q＞1，且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2与a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=log2，且数列{b n}的前n的和为S n，求数列{}的前n项的和T n．{q=2=n+5={为首项，=18．（14分）已知数列{a n}，{b n）满足a1=2，b1=1，且（n≥2），数列{c n}满足c n=a n+b n（1）求c1和c2的值；（2）求证：数列{c n}为等差数列，并求出数列{c n}的通项公式；（3）设数列{c n}的前n和为S n，求证：+++…+＜1．}=，，）证明：因为（（=n=++=]＜19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2tx+1，g（x）=blnx，其中b，t为实数（1）若f（x）在区间[3，4]为单调函数，求实数t的取值范围；（2）当t=1时，讨论函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域内的单调性．2+时，则＜时，）∪（解集为（；单调减区间为（解集为（，时，函数＜（，）的单调增区间为（，20．（14分）已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）为奇函数，且在点（1，f（1））的切线方程为y=3x﹣2（1）求函数f（x）的表达式．（2）已知数列{a n}的各项都是正数，且对于∀n∈N*，都有（）2=，求数列{a n}的首项a1和通项公式．（3）在（2）的条件下，若数列{b n}满足b n=4n﹣m•2（m∈R，n∈N*），求数列{b n}的最小值．（，即为=并化简可得）易求得（，=式可得时，可得：=﹣可得：﹣•，∴，∴时，（时，。
广东省六校联考2024届高三第二次联考数学试卷及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},02|{},1log |{22≤--=<∈=x x x B x Z x A 则=B A （）A.｝，｛10B.｝｛1 C.｝｛1,0,1- D.}2101{，，，-2.已知21)sin(=+πα，则=+)2cos(πα()A.21B.21-C.23 D.23-3.“1>x 且1>y ”是“1>xy 且2>+y x ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，B A 、两点在河的同侧，且B A 、两点均不可到达.现需测B A 、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点D C 、，测得km CD 23=，同时在D C 、两点分别测得CDB ADB ∠=∠︒=30,,45,60︒=∠︒=∠ACB ACD 则B A 、两点间的距离为()A.23B.43C.36 D.466．已知函数)2cos(sin )6cos(4)(x x x x f ωπωω-++=，其中0>ω.若函数)(x f 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为()A.310 B.21 C.23 D.2多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知ABC ∆中角B A ,的对边分别为,,b a 则可作为“b a >”的充要条件的是（)A.B A sin sin >B．B A cos cos <C．BA tan tan >D．BA 2sin 2sin >11.已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论中正确结论为()A.若0k =，则()f x 有两个零点B.0k ∃<，使得()f x 有一个零点C.0k ∃<，使得()f x 有三个零点D.0k ∃>，使得()f x 有三个零点13.已知)(x f 定义域为]1,1[-,值域为]1,0[,且0)()(=--x f x f ,写出一个满足条件的)(x f 的解析式是14.已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为______四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 满足.cos 3cos cos C C abB a c =+（1）求C sin 的值；（2）若23,2=+=c b a ，求ABC ∆的面积．18.(本小题12分)如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，现对这块地进行改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60︒角的线段DE 和DF （60,EDF ∠=︒F E ,分别在边AC AB ,上），与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上花草进行绿化改造，设BDE α∠=．（1）当︒=60α时，求花草绿化区域AEDF 的面积；（2）求花草绿化区域AEDF 的面积()S α的取值范围．已知函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.21.(本小题12分)已知函数()ln(1)xf x e x =+（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设)(')(x f x g =，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()().f s t f s f t +>+22．(本小题12分)已知函数()axf x xe =.（1）求()f x 在[]0,2上的最大值；（2）已知()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，若存在12,x x R ∈，12x x <，使得()()12f x f x =，证明：21x x ee >.东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第二次六校联考试题标准答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题123456789101112B A A D D ACCABBCDABDACD三、填空题：（每小题5分，共20分）13.]1,1[|,|)(-∈=x x x f 或者]1,1[,2cos)(-∈=x xx f π或者21)(x x f -=或者...14.)62sin(2)(π+=x x f 15.2,1416.()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题17.【解析】（1）解法一：c cos B+bcosC ＝3a cos C ．由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，....2分所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，..........3分由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13...........4分因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223...........5分解法二：因为c cos B+bcosC ＝3a cos C ．所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab 2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.（2）由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，.......7分及23,2=+=c b a ，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝18，即(a －b )2＋43ab ＝18.所以ab ＝12.......8分所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×12×223＝4 2........10分18．【解析】（1）当60α= 时，//DE AC ，//DF AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则BDE ∆和CDF ∆均为边长为1km 的等边三角形又)2122sin 602ABC S km ∆=⨯⨯⨯= ，)2111sin 602BDE CDF S S km∆∆==⨯⨯⨯=∴)22km =................3分（2）方法一：由题意知：3090α<< ,BD=CD=1()())1sin 602ABC BDE CDF S S S S BE CF BE CF α∆∆∆∴=--=+=+ ......4分在BDE ∆中，120BED α∠=- ，由正弦定理得：()sin sin 120BE αα=-............5分在CDF ∆中，120CDF α∠=︒-，CFD α∠=由正弦定理得：()sin 120sin CF αα-=.............6分()()sin 120s sin sin sin 120BE CF αααα-∴+=+=- ....................7分令21tan 23sin sin 21cos 23sin )120sin(+=+=-︒=ααααααt 3090α<< ⎪⎭⎫⎝⎛∈∴+∞∈∴2,21),33(tan t α.................10分)(1t f t t CF BE =+=+()上单调递增．，在上单调递减；在21)(1,21)(11)('2t f t f t t f ⎪⎭⎫⎝⎛∴-= 25,2[)(∈∴t f 即52,2BE CF ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()Sα∴)4BE CF +∈⎝⎦即花草地块面积()S α的取值范围为⎝⎦..................12分方法二：由已知得++,++,BED B EDF FDC απαπ∠∠=∠∠=又,3B EDF π∠=∠=所以BED FDC ∴∠=∠，在BED ∆和CDF ∆中有：60,B C BED FDC ︒∠=∠=∠=∠，BED CDF ∴∆∆ ，得CFBDDC BE =又D 是BC 的中点，11DC BD BE FC ∴==∴⋅=,且当E 在点A 时，12CF =，所以122CF <<，所以111211)222S BE CF BE CF =⨯⨯-⨯=+，设CF x =，1BE x=，且122x <<，令1y x x =+，则()()2222+11111x x x y x x x '--=-==，112x ∴<<时，10,y y x x '<=+在112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，12x <<时，10,y y x x '>=+在(1,2)上单调递增，1x ∴=时，1y x x =+有最小值2，当12x =或2x =时，152y x x =+=，所以面积S的取值范围是82⎛ ⎝⎦.19.【解析】（1）()3()cos()sin()sin sin cos cos sin 2f x x A x x A x A x π=+⋅-=-..........2分2sin cos sin cos sin x x A A x=-()sin 21cos 211sin cos cos cos 22222x x A A A x A -=⨯-⨯=-+-，...........4分故()max111cos 224f x A =-+=，故1cos 2A =.因为()0,A π∈，故3A π=...............5分（2）1111()cos cos 2cos 22323234f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故1()2(())cos 243g x f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，令()s g x =，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的图象如图所示：可得[]1,1s ∈-，............6分方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解又[]1,1s ∈-，下面考虑2410s ms -+=在[]1,1-上的解的情况.若2160m ∆=-=，则4m =-或4m =（舍）当4m =-时，方程的解为12s =-，此时1cos 232x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭仅有一解，故方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有一个解，舍...........8分若2160m ∆=->，则4m <-或4m >,此时2410s ms -+=在R 有两个不同的实数根)(,2121s s s s <，当4m <-时，则120,0s s <<，要使得方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，则1210,10s s -≤<-≤<.令()241h s s ms =-+，则()()41010800m h m h <-⎧⎪-≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪>⎪⎩，解得54m -≤<-............12分综上，m 的取值范围为：[)5,4--.20.【解析】（1）()f x 的定义域为()0,,+∞()22(0)xaf x e x x'=->.....1分当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；......2分.当0a >时，因为2xe 单调递增，ax-单调递增，所以()f x '在()0,+∞单调递增，...3分当b 满足0＜b＜4a 且b＜14时，即若41,1<≥b a 时，04242)41(')('<-≤-=<e a e f b f;若414,10<<<<a b a 时，04242)4(')('2<-<-=<e e a f b f a;则()0f b '<...5分另法：0→x 时),0( ,022>-∞→-→a xa e x所以-∞→→)(',0x f x 且)('x f 在)0(∞+，上是连续的,所以必存在b 使得()0f b '<,又()0f a '>即有0)(')('<b f a f ,故当0a >时()f x '存在唯一零点.……6分（2）当0a >时由（1），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0...........7分故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ......8分由于=)('0x f 02020x ae x -=，............9分所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+......11分故当0a >时，()221f x a a na≥+.……12分21．【解析】（1）因为)1ln()(x e x f x+=,所以0)0(=f ，即切点坐标为)0,0(，..1分又]11)1[ln()(xx e x f x+++=',∴切线斜率1)0(='=f k ∴切线方程为x y =.....3分（2）令11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=则)1(112)1[ln()(2x x x e x g x+-+++='.......................4分令2)1(112)1ln()(x x x x h +-+++=,则0)1(1)1(2)1(211)(3232>++=+++-+='x x x x x x h ,∴)(x h 在),0[+∞上单调递增，.........6分∴01)0()(>=≥h x h ∴0)(>'x g 在),0[+∞上恒成立∴)(x g 在),0[+∞上单调递增..7分（3）解：待证不等式等价于)0()()()(f t f s f t s f ->-+，令)0,()()()(>-+=t x x f t x f x m ，只需证)0()(m x m >..........8分∵)1ln()1ln()()()(x e t x ex f t x f x m x tx +-++=-+=+)()(1)1ln(1)1ln()(x g t x g xe x e t x e t x e x m x x t x tx -+=+-+-+++++='++.........10分由（2）知11)1[ln()()(xx e x f x g x+++='=在),0[+∞上单调递增，∴)()(x g t x g >+...........11分∴0)(>'x m ∴)(x m 在),0(+∞上单调递增，又因为0,>t x ∴)0()(m x m >，所以命题得证.....12分22.【解析】（1）()()()1ax ax f x xe ax e ''==+，.............1分当0a ≥时，则10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立.所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；.........2分当0a <时，令10ax +=，即1x a=-当()10,2a -∈，即12a <-时，当10,x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时()0f x ¢>，()f x 在10,a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增.当1,2x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，()max11f x f a ea ⎛⎫=-=-⎪⎝∴ ⎭.3分当[)12,a -∈+∞即102a -≤<时，10ax +≥对任意[]0,2x ∈恒成立，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[]0,2x ∈单调递增.则()f x 的最大值为()()2max 22a f x f e ==；........4分综上所述：当12a ≥-时()()2max 22a f x f e ==；当12a <-时()max11f a ea f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭...5分（2）因为()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，所以()()110a f a e '=+=，则1a =-，即()()1x f x x e -'=-.当1x <时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1∞-上单调递增当1x >时，()0f x '<，则()f x 在()1,+∞上单调递减.又因为0x <时有()0f x <；0x >时有()0f x >，根据图象可知，若()()12f x f x =，则有1201x x <<<；......7分要证21x x e e >，只需证211ln x x >-；...............8分又因为101x <<，所以11ln 1x ->；因为()f x 在()1,+∞上单调递减，从而只需证明()()()1211ln f x f x f x =<-，只需证()()()1111ln 1ln 11111ln 1ln 1ln x x x x x x e e x e eex ---<--==.只需证()1111ln 1,01x e x x -+<<<.......................10分设()()()1ln ,0,1th t e t t -=+∈，则()11tte h t t--'=.由()f x 的单调性可知,()()11f t f e≤=.则1t te e -≤，即110t te --≥.所以()0h t '>，即()h t 在()0,1t ∈上单调递增.所以()()11h t h <=.从而不等式21x x e e >得证............12分。
广东省珠海市2013届高三数学9月摸底试题(2013珠海一模) 文 新人教A版
珠海市2012年9月高三摸底考试文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2． 已知实数,x y 满足10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么2x-y 的最大值为A ．—3B ．—2C ．1D ．23．函数()1xxf x a a-=++，()x x g x a a -=-，其中01a a >≠，，则A ．()()f x g x 、均为偶函数B ．()()f x g x 、均为奇函数C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数D ． ()f x 为奇函数 ，()g x 为偶函数4． 如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108 C ．72D ．1805．已知,αβ为不重合的两个平面，直线,m α⊂那么“m β⊥”是“αβ⊥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且||||PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是A. 270x y +-=B. 50x y +-=C. 240y x --=D. 210x y --=7.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|3|a b +等于 A. 7B.10C.13D. 48． 要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位 C ．向左平移8π单位D ．向右平移8π单位9．对１００只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表由22() 5.56()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++ 附表：则下列说法正确的是： A ．在犯错误的概率不超过000.1的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；B ．在犯错误的概率不超过000.1的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；C ．有0095以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；D ．有0095以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；10．设U 为全集，对集合X Y 、，定义运算“⊕”，满足()U X Y C X Y ⊕=，则对于任意集合X Y Z 、、，则()X Y Z ⊕⊕= A ．()()U XY C Z B ．()()U X Y C ZC ．[()()]U U C X C Y ZD ．()()U U C X C Y Z二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11．在△ABC 中，7,6,5===c b a ，则=C cos .12. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. 13. 不等式0322<--x x 的解集是 .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________.15．（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则=FC BF.A BCD E FACD图2BACD图1三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1sin 2()cos xf x x-=.(1)求()f x 的定义域；(2)设α是第二象限的角，且tan α=34-，求()f α的值. 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．18.（本小题满分14分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,2,1AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(1) 求证:BC ⊥平面ACD ；(2) 求几何体D ABC -的体积.19.（本小题满分14分）已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.20.（本小题满分14分）对于函数12)(+-=xb a x f )10,(≠>∈b b R a 且 (1)判断函数的单调性并证明； (2)是否存在实数a 使函数f (x )为奇函数？并说明理由。
珠海市2013届高三上学期期末学业质量监测数学文(4份)
珠海市2012--2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高三文科数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合),1(+∞-=M ，集合{}0)2(|≤+=x x x N ，则N M ⋂=A ．]2,0[B ． ),0(+∞C ． ]0,1(-D ． )0,1(-2．已知a ，b 是实数，则“⎩⎨⎧>>32b a ”是“5>+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．4B ．5C ．6D ．74. 已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 A ．若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α B ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m C ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α D ．若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m 5．已知是虚数单位，复数ii+3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8381+- D ．i 8381--6． 函数y ＝sin (2x ＋π4)的图象可由函数y ＝sin 2x 的图象 A ．向左平移π8个单位长度而得到 B ．向右平移π8个单位长度而得到 C ．向左平移π4个单位长度而得到 D ．向右平移π4个单位长度而得到7．已知a 、b 均为单位向量,)2()2(b a b a -⋅+=233-，a与b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°8．在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝ A ．-1 B ．1 C ．2 D ．21 9．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则2x ＋4y 的最小值是A ．6B ．4C ．2-D ．6-n ＝12, i ＝1n ＝3n ＋1开 始 n 是奇数?输出i 结 束 是 否 n ＝ n ＝5?是 否n 2i ＝i ＋1 (第3题图)ODCBAP(第15题图）10．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”： ‖AB ‖=1212x x y y -+-，给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖； ②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D.3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11-13题）11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________.12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C＝3π，3=b ，若△ABC 的面积为233 ，则c = ． 13．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212 , (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设向量a ＝)sin ,2(θ，b ＝)cos ,1(θ，θ为锐角．（1）若a ·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；（2）若a ∥b ，求sin(2θ＋π3)的值．合唱社 粤曲社 武术社 高一 45 30 a高二 15 10 20xy OA BF 1F 2 (第13题图)某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 2 3 45 频率 0.05 m 0.15 0.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：N B C BC 11//平面；（2）求证：BN 11C B N ⊥平面； （3）求此几何体的体积.19．(本题满分14分)已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ∆为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）O 为坐标原点，直线A F 1上有一动点P ，求||||2PO PF +的最小值．84主视图 侧视图俯视图44已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0>a . （1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线121+=x y 垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为21，求a 的值.21.（本题满分14分）在数列{}n a 中，*)(1,111N n a a a a n n n ∈+==+.（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设nn n a b ⋅=21，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（3）设∑=+++=201312121i i i a a P ，求不超过P 的最大整数的值.M B 1C 1NCB ACABDA AACDB11、150 12、 7 13、13 14、 4 15、 6 16．（本小题满分14分）解：（1） 因为a ·b ＝2＋sin θcos θ＝136，所以sin θcos θ＝16． ……………… 3分所以 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2 sin θcos θ＝43．又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233． ……………… 6分（2） 解法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分所以 sin2θ＝2 sin θcos θ＝ 2 sin θcos θ sin 2θ＋cos 2θ＝ 2 tan θ tan 2θ＋1＝45，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ tan 2θ＋1＝－35．……………… 10分 所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310……………… 12分解法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2． ……………… 8分所以 sin θ＝255，cos θ＝55．因此 sin2θ＝2 sin θcos θ＝45， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35．………… 10分所以sin(2θ＋π3 )＝12sin2θ＋32cos2θ＝12×45＋32×(－35 )＝4－3310．…………… 12分17．（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.351m n ++++=，即 0.45m n +=. ………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得 1.0202==n . ………………4分 所以0.450.10.35m =-=. ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，记作12,y y .从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y 共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分故所求概率为 4()0.410P A ==.…………12分 18.解：（1）证明： 该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴1,,BB BC BA 两两互相垂直。
珠海市2013—2014学年度第二学期高三(文科)数学学生学业质量监测
珠海市2013—2014学年度第二学期高三学生学业质量监测数学（文）试题【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等核心数学能力，重点考察了数形结合、简单的分类讨论、化归等数学基本思想方法试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。
总之本次考前模拟训练数学试题遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查.一、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，满分 50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．已知集合 A={0,1, 2,3} ，集合 {|||2}B x N x =∈≤ ，则A B =A ．{ 3 }B ．{0，1，2}C ．{ 1，2}D ．{0，1，2，3}【知识点】集合的表示方法 ；交集. 【答案解析】B 解析：解：{}0,1,2B ={}0,1,2A B ∴⋂=【思路点拨】可以把B 集合中描述法表示了元素用列举法表示出来，然后按交集的定义进行求解即可. 2．设复数z 1=1+i ，z 2=2+xi （x R ∈），若 12.z z R ∈，则x = A ．－2 B ．－1C ．1D ．2【知识点】复数代数形式的运算【答案解析】A 解析 ：解：因为()()1212z z i xi ⋅=++()()22x x i =-++R ∈,所以20,x +=即x 2=-.故选A.【思路点拨】把复数乘积展开，化简为a+bi （a 、b ∈R ）的形式，可以判断所在象限．3．不等式2230x x -++<的解集是A ．{}|1x x <-B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．3|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】一元二次不等式的解法.【答案解析】D 解析 ：解：原不等式为：()()22302310x x x x -->-+>即，解得：312x x <->或，所以选:D.【思路点拨】先利用不等式的性质，把原不等式化为二次项系数大于零的一元二次不等式， 再利用三个二次的关系求解.4．通过随机询问100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22100(10302040) 4.76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 参照右上附表，得到的正确结论A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．有97．5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【知识点】独立性检验的应用， 【答案解析】A 解析 ：解：∵K 2= 100(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762＞3.841，P （K 2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选：A ． 【思路点拨】根据P （K 2＞3.841）=0.05，即可得出结论．【典型总结】本题考查独立性检验的应用，考查学生分析解决问题的能力. 5．右上图是一个几何体的三视图，由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是A ．6B ．C ．5D【知识点】三视图；三视图与原图的关系.【答案解析】 C 解析 ：解：由三视图知：几何体为三棱锥，如图：ACBS其中SA ⊥平面ABC ，AC ⊥平面SAB ，SA=2，AB=4，AC=3，∴BC=5，SC ==∴最长棱为5BC = 故选：C ．【思路点拨】可根据三视图找到原图的线面关系，根据图中所给数据进行计算. 6．执行如右图所示的程序框图，则输出的 y =A ．12B ．1C ．－1D ．2【知识点】循环结构的程序框图【答案解析】D 解析 ：解：第1次循环，y=2,i=1 第2次循环，y= y=2,i=1,i=2 第3次循环，y=-1,i=3 第4次循环，y=2,i=4 ...........框图的作用是求周期为3的数列，输出y 的值，满足2014≥2014，退出循环，循环次数是2014次，即输出的结果为2， 故答案为：2．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算循环变量y ，i 的值，并输出满足i ≥2014的值． 7.“(1)(1)0a b -->”是“a>1 且b>1”的 A ．充要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件、充要条件.【答案解析】 C 解析 ：解：因为命题：若a>1 且b>1则(1)(1)0a b -->是真命题， 若(1)(1)0a b -->则>1 且b>1是假命题，所以选C.【思路点拨】如果命题“若A 则B ”成立，那么A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件. 8.将函数 cos(2)6y x π=-的图像向右平移12π个单位后所得的图像的一个对称轴是A ．x=6π B ．4x π=C ．3x π=D ．2x π=【知识点】平移变换，三角函数的对称性. 【答案解析】 A 解析 ：解：函数 cos(2)6y x π=-的图像向右平移12π个单位后为函数： cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知它一条对称轴为：x=6π.【思路点拨】利用平移变换得到函数 cos(2)6y x π=-的图像向右平移12π个单位后的函数解析式cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后确定正确选项. 9．变量 x y 、 满足线性约束条件32021x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩，则目标函数 z =k x －y ，仅在点（0 , 2）取得最小值，则k 的取值范围是 A ．k <－3 B ．k>1 C ．－3<k<1 D ．—1<k<1【知识点】线性规划；不等式表示平面区域.【答案解析】C 解析：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx-y 得y=kx-z，要使目标函数y=kx-z 仅在点A （0，2）处取得最小值， 则阴影部分区域在直线y=kx-z 的下方， ∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1， 故选：C ．【思路点拨】可由数形结合的方法找出目标函数取最小值的位置，进而求出k 的值.10．设函数()y f x =在R 上有定义，对于任一给定的正数P ，定义函数(),()(),()p f x f x pf x p f x p ≤⎧=⎨>⎩，则称函数()p f x 为 ()f x 的“P 界函数”．若给定函数2()21,2f x x x p =--=，则下列结论不成立的是A ．[(0)][(0)]p p f f f f =B ．[(1)][(1)]p p f f f f =C ．[(2)][(2)]p p f f f f =D ．[(3)][(3)]p p f f f f =【知识点】新定义函数；分段函数求值.【答案解析】B 解析 ：解：因为2()21,2f x x x p =--=，所以()()2[(0)]11=2p f f f f =-=-，()[(0)]=[(0)]=1=2p f f f f f -.故A 正确. ()2[(1)](2)22p p f f f f =-=-=，()[(1)]=[(1)]=27p f f f f f -=故B 不正确.()[(2)]12f f f =-=，222[(2)][(2)](1)2p p f f f f f ==-=故C 正确.[(3)](2)1,f f f ==-222[(3)][(3)](2)1p p f f f f f ===-故D 正确.综上：选项B 不正确.【思路点拨】结合“P 界函数”的定义计算即可.二、填空题：本大题共5小题，考生做答 4小题，每小题 5 分，满分 20 分．其中第 14～15 题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． 11．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，a 2+a 4+a 6=15，则S 10= ． 【知识点】等差数列的通项公式、前n 项和公式，等差数列的性质.【答案解析】 65 解析 ：解：由a 2+a 4+a 6=15得45a =，又a 1=2，则公差1d =，所以1011021091652s =⨯+⨯⨯⨯=【思路点拨】利用等差数列的通项公式、前n 项和公式，等差数列的性质求解. 12．函数3()2f x x x =- 在x=1处的切线方程为 ． 【知识点】导数的几何意义.直线的点斜式方程. 【答案解析】2y x =-解析 ：解：()232f x x '=-，()11f '∴=所以切线方程为：()()()111y f x '--=-，即：2y x =-【思路点拨】利用导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程.13．已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ∠DAB=60°，2EC DE =，则 .AE DB 的值为 ．12,,3EC DE DE DC =∴=因为菱形 ABCD 的边长为a, ∠DAB=60°21,cos1202DA DC a DA DC DA DC a ∴==⋅==-,,DB DA DC =+AE DB ∴⋅=1()()()()3AD DE DA DC AD DC DA DC ++=++221233DA DC DA DC =-+-⋅222211333a a a a =-++=-.【思路点拨】利用菱形的性质、向量的三角形法则及其平行四边形法则、数量积运算、向量共线定理即可得出．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为（2,2π），半径为 2，直线 (0,)2R πθααρ=≤≤∈被圆C 截得的弦长为2 则α的值等于 ． 【知识点】极坐标方程的意义. 【答案解析】3π 解析 ：解：圆C 的普通方程为：()2224x y +-=，直线的方程为：tan y x α=⋅.圆心C （0,2）到直线的距离为11=2tan 3α=，所以tan α=因为02πα≤≤所以tan α=3πα=.【思路点拨】把极坐标方程化为直角坐标方程求解.15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点 B 在圆O 上，BCD=60°，则圆O 的面积为________． 【知识点】弦切角.【答案解析】4π 解析 ：解：因为弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，,所以圆的半径为2,所以圆的面积为：4π【思路点拨】通过弦切角转化为，圆周角，然后求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积．三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12 分）已知函数 ()sin 2cos cos 2sin ,,0,()4f x x x x R f πϕϕϕπ=+∈<<= （1）求()f x 的表达式；（2）若5(),(,)23132f αππαπ-=∈，求cos α的值. 【知识点】两角和的正弦公式；两角差的余弦公式.【答案解析】（1）()5sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2解析 ：解：（1）4f π⎛⎫=⎪⎝⎭可得sin cos cos sin 22ππφφ+=所以cos φ=。
2013年高考全国Ⅱ文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，文1，5分】已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N {2,1,0}=--，故选C ． （2）【2013年全国Ⅱ，文2，5分】21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C【解析】22(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)2--===-+-+，所以21i=+C ． （3）【2013年全国Ⅱ，文3，5分】设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由23z x y =-得32y x z =-，即233z y x =-．作出可行域如图，平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ，代入直线23z x y =-得32346z =⨯-⨯=-，故选B ．（4）【2013年全国Ⅱ，文4，5分】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1【答案】B【解析】因为,64B C ππ==，所以712A π=．由正弦定理得sin sin 64b c =，解得c =．所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯．因为7231s i n s i n (()1232222πππ=++，所以13s i n ()312b c A =++，故选B ． （5）【2013年全国Ⅱ，文5，5分】设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）（A（B ）13（C ）12 （D【答案】D【解析】因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=，所以212tan 30,PF c PF ===．又122PF PF a +==，所以c a ==，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，文6，5分】已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）23【答案】A【解析】因为21cos2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A ．（7）【2013年全国Ⅱ，文7，5分】执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B ． （8）【2013年全国Ⅱ，文8，5分】设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】因为321lo g 21lo g 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大．又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，文9，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分)，故选A ．（10）【2013年全国Ⅱ，文10，5分】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ） （A ）1y x =-或1y x =-+ （B）1)y x =-或1)y x =- （C）1)y x -或1)y x =- （D）1)y x =-或1)y x =-【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为10（,），准线方程为1x =-，设11A x y （，），22B x y （，），则因为3AF BF =，所以12131x x +=+（），所以1232x x =+，因为123y y =，129x x =，所以13x =，213x =，当13x =时，2112y =，所以此时1y ==±，若1y =1(,3A B ，此时AB k =线方程为1)y x -．若1y =-，则1(3,),()3A B -，此时AB k =，此时直线方程为1)y x =-．所以l 的方程是1)y x -或1)y x =-，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，文11，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，文12，5分】若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞【答案】D【解析】解法一：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数 (),()2xf x x ag x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D ．解法二：由题意可得，()102xa x x ⎛⎫>-> ⎪⎝⎭．令()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，该函数在(0)∞，＋上为增函数，可知()f x 的值域为()1∞－，＋，故1a >-时，存在正数x 使原不等式成立，故选D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 （13）【2013年全国Ⅱ，文13，5分】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【答案】15【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有2510C =种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为21105=．（14）【2013年全国Ⅱ，文14，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__ ____． 【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+ ，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．（15）【2013年全国Ⅱ，文15，5分】已知正四棱锥O ABCD -则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为_______．【答案】24π【解析】设正四棱锥的高为h ，则213h ⨯=，解得高h =．所以OA =2424ππ=． （16）【2013年全国Ⅱ，文16，5分】函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_______．【答案】56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，文17，12分】已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且11113,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由题意，211113a a a =，即2111()1012()a d a a d ＋＝＋．于是1225(0)d a d ＋＝．又125a ＝，所以0d ＝ (舍去)，2d =-．故227n a n =-+．（2）令14732n n S a a a a -=+++⋯+．由（1）知32631n a n -=-+，故32{}n a -是首项为25，公差为6-的等差数列．从而()()2132656328n n S a a n n n -=+=-+=-+．（18）【2013年全国Ⅱ，文18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥．由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥．又1AA AB A = ，于是CD ⊥平面11ABB A ．由12AA AC CB ===，AB =得90ACB ∠=︒，CD1A D =DE =13A E =，故22211A D DE A E +=，即1D E A D ⊥．所以111132C A DE V -⨯=．（19）【2013年全国Ⅱ，文19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．1解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（20）【2013年全国Ⅱ，文20，12分】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为．（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =P 的方程． 解：（1）设()P x y ，，圆P 的半径为r ．由题设222y r +=，223x r +=．从而2223y x +=+．故P 点的轨迹方程为221y x -=． （2）设00()P x y ，=．又P 点在双曲线221y x -=上，从而得002210||11x y y x -=⎧⎨-=⎩ 由00220011x y y x -=⎧⎨-=⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时，圆P 的半径r =3．由00220011x y y x -=-⎧⎨-=⎩得001x y =⎧⎨=⎩，此时，圆P的半径r =．故圆P 的方程为()2213x y +-=或()2213x y ++=．（21）【2013年全国Ⅱ，文21，12分】已知函数2()x f x x e -=．（1）求()f x 的极小值和极大值；（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为()-∞+∞，，()()2x f x e x x -'=--．① 当)0(x ∈-∞，或2()x ∈+∞，时，()0f x '＜； 当)2(0x ∈,时，()0f x '＞．所以()f x 在()0-∞,，(2)+∞，单调递减，在(0)2,单调递增．故当0x =时，()f x取得极小值，极小值为()00f =；当2x =时，()f x 取得极大值，极大值为()224f e -=．（2）设切点为()()t f t ，，则l 的方程为()()()y f t x t f t ='-+．所以l 在x 轴上的截距为()()223'()22f t t t t t f t t m t t -=+=-++--=．由已知和①得()02()t ∈-∞+∞ ，，．令()()20h x x x x+=≠， 则当0()x ∈+∞，时，()h x的取值范围为⎡⎤+∞⎣⎦；当2()x ∈-∞-，时，()h x 的取值范围是()3-∞-，． 所以当()02()t ∈-∞+∞ ，，时，()m t的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，． 综上，l 在x轴上的截距的取值范围是0()3,⎡⎤-+∞⎦∞⎣ ，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且··BC AE DC AF =，B ， E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有CE DC =又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，文24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b cb c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
2013珠海二模文科数学题
珠海市2013年5月高三综合测试（二）文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数z 满足i z i 21-=⋅，则=zA ．i -2B ．i --2C ．i 21+D ．i 21-2. 已知集合22{1},{log 0}A x x B x x =>=>，则A B =A ．{1}x x <-B ．{0}x x >C ．{1}x x >D ．{}1x 1>-< x x3. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b, 则b =4. 下列函数在其定义域是增函数的是A ．tan y x =B ．3x y =-C ．3y x = D ．ln y x = 5. 已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则}{n a 的前5项和5S A ． 20B. 30C ．25D ．406.将函数sin(6)4y x π=+的图像上各点向右平移8π个单位，则得到新函数的解析式为A.sin(6)2y x π=-B.sin(6)4y x π=+C.5sin(6)8y x π=+D.sin(6)8y x π=+ 7．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是A ．若,,l ααβ⊥⊥则l β⊂B ．若//,//,l ααβ则l β⊂C ．若,//,l ααβ⊥则l β⊥D ．若//,,l ααβ⊥则l β⊥ 8. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π9．如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为A.2B.3C.27 D ．410．已知函数)1(-x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式[]0)()()(2121>--x f x f x x 恒成立，则不等式0)2(<+x f 的解集为 A ．()1,+∞ B ．()3,-∞- C ．()0,+∞ D ．(),1-∞ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.程序框图（如图）的运算结果为 .12．已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-1,1,1)1()(1x a x x a x f x 若21)1(=f ，则=)3(f ．13．已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是 ． ①1+=x y ②2=y ③3+-=x y ④32+-=x y（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆内的两条弦AB ， CD 相交于圆内一点P ，已知4=PA ，2=PB ，PD PC =4，则CD 的长为 .15．（坐标系与参数方程选做题） 已知在极坐标系下，点)6,2(πA ，)32,4(πB ，O 是极点，则AOB ∆的面积等于 ． 16．（本小题满分12分）已知函()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示： (1)求,ωϕ的值;(2)设g()()()1228x x x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 的值域．17．（本小题满分12分）通过随机询问某校100名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?(2) 从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；（3）根据以下列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名统计量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．概率表18．（本题满分14分）如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE .（1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 19．（本小题满分14分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项和355=S ，又1,1,1731+++a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列}1{n S 的前n 项和，问是否存在常数m ，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅=)2(21n n n n m T n ，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点)21,515(a a P 在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足AQ AO =求直线OQ 的斜率的值．21.（本小题满分14分）已知函数()21,,442,x x ax ax x a f x x a -⎧-+⎪=⎨-⨯<⎪⎩≥ (1) 若x a <时，()1f x <恒成立，求a 的取值范围；(2) 已知4-≥a ，若函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．。
【2013珠海二模】广东省珠海市2013届高三5月综合试题(二)数学文试题-推荐下载
2. 已知集合 A {x x2 1}, B {x log2 x 0} ，则 A B
3.
A．{x x 1} B．{x x 0}
已知平面向量
A. 3
a
4. 下列函数在其定义域是增函数的是
A． y tan x
1,
B. 5
2
,
b 2, m,
B． y 3x
B． ,3
二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题（11～13 题）
11.程序框图（如图）的运算结果为
12．已知函数
f (3)
f
(x)
．
(a
1)x 1, x 1 a x1, x 1 若
13．已知两定点 M (1,0) ， N (1,0) ，若直线上存在点 P ，
D． ,1
(2)设 g(x) 2 2 f ( x ) f ( x ) 1，当 x [0, ] 时，求函数 g(x) 的值域．
17．（本小题满分 12 分）
2 28
通过随机询问某校 100 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表：
（1）从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，问
C. 2 5
C．{x x 1} D． x x 1
且 a // b ,
5. 已知数列{an }是公差为 2 的等差数列，且 a1, a2 , a5 成等比数列，则{an }的前 5 项和 S5
6.将函数
A. y sin(6x )
B. 30
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广东地区海珠区2013届高三上学期综合检验(二)数学(文)
广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（二）数学(文)试题本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：l ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+。
线性回归方程ˆˆˆybx a =+中数计算公式121()()ˆˆˆ,,()niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 其中,x y 表示样本平均值。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 是虚数单位，复数31ii+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合{}21,A a =，集合{}6,9B =，则“a=3”是“{}9A B ⋂=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()1f x x =-，若12(10.8),(111),2a f g b f g c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．已知实数x ，y 满足不约束条件1215y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数z=x －y 的最大值等于（ ）A ．7B ．4C ．3D ．5 5．在△ABC 中，若2BC BC +·0CA =，则△ABC 的形状是（ ）A ．∠C 为钝的三角形B ．∠B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．∠A 为直角的直角三角形6．已知函数sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的一部分图象如图1所示，则 （ ）A ．1,26πωϕ==-B ．2,3πωϕ==-C ．1,23πωϕ==D ．2,6πωϕ==7．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为1，其直观图和正（主）视图如图2，则它的左（侧）视图和面积是 （ ） A 3B ．1C ．12D 38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线212y x =的焦点重合，且双曲线的离3（ ）A ．22136x y -= B ．2211224x y -= C ．2212718x y -= D ．2211827y x -= 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足：22712066a a a ππ-+=，数列{}n b 是各项均为正值的等比数列，且77b a =，则410tanb b 等于（ ）A ．3B ．－3C ．3±D ．3 10．给出下列四个命题： ①命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则:,sin 1p x R x ⌝∃∈<；②当1x >时，有1121nx nx+≥；③函数212,(0)()21,(0)nx x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数有3个；④设有五个函数1132||2,,,,2x y x y x y x y x y -=====，其中既是偶函数又在()0,+∞上是增函数的有2个。
广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次(11月)联考数学(文科)试题
广东省“六校教研协作体”2013届高三联考文科数学试题参考学校：阳春一中 肇庆一中 真光中学 深圳二高 珠海二中本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．参考公式：柱体、锥体的体积公式分别为V Sh =、13V Sh =，其中S 是底面积，h 是高．一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 计算20131i 1i +⎛⎫⎪-⎝⎭（i 是虚数单位）得A ． iB ．i -C ．1i+D ．1i -2．已知集合{}+N 14M x x =∈≤<，{}+N 14N x x =∈<≤，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N = 3．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．－1或12-D ．1或12-4．已知,x y 满足约束条件500x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数42z x y =+的最大值是A. 0B.10C.15D.205．执行如图所示的程序框图,若输入4=x ,则输出y 的值为 A.45- B.45 C.21- D.216．已知圆C 的圆心在射线()20y x x =≥上，且与x 轴相切， 被y轴所截得的弦长为C 的方程是A.()222(4)20x y -+-= B. ()222(4)16x y -+-=C.()221(2)1x y -+-= D. ()221(2)4x y -+-=7．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12,A A AC ==1,BC AB ==A ． 2B ． 4C ．5D．8．已知p ：211<x ，q ：2x >，则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件9．比较sin 2013︒，cos2013︒，tan 2013︒的大小，正确的是A ．sin 2013cos2013tan 2013︒>︒>︒B ．tan 2013sin 2013cos2013︒>︒>︒C ．tan 2013cos2013sin 2013︒>︒>︒D ．cos2013sin 2013tan 2013︒>︒>︒ 10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个； ②若0,1p q ==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2个； ③若1,2p q ==，则“距离坐标”为()1,2的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0二、填空题 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数y =________________________． 12．已知向量1a = ，2b = ， a b += a 与b的夹角为_____________．13．随机抽取某中学10位高三同学，调查他们春节期间购书费 用（单位：元），获得数据的茎叶图如右图，这10位同学购书的 平均费用是_____________元.，q ）第14题图（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A , 且cm AC 22=，过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，CM MN ND ==. AD 的长等于_____ __cm .15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的方程为1()1x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=， 则圆C 上的点到直线l 的最短距离等于 .三、解答题 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本题满分12分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C、、对应的三边为a b c 、、,若()1,4f A a b ===，求c 的值及ABC ∆的面积.17．（本题满分13分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的22⨯列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为3. （1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.参考公式与临界值表：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.18．（本题满分13分）三棱锥P ABC -中，2,PA AC BC PA ===⊥平面ABC ，BC AC ⊥，D 、E 分别是PC 、PB 的中点．（1）求证：DE 平面ABC ； （2 ）求证：AD ⊥平面PBC ； （3）求四棱锥A BCDE -的体积．19．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足348n n S a =-. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若数列{n b }满足2log n n b a =，若n T 是数列{n b }的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.20．（本题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，离心率为22的椭圆经过点()1,6.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线21,l l 分别与椭圆交于B A ,和D C ,，是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ⋅=+λ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本题满分14分）已知xax x f -=ln )(. （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性； （2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为23，求a 的值； （3）若2()f x x <在(1,+∞)上恒成立，试求a 的取值范围.ABCPD E2013届高三第二次联考文科数学参考答案及评分标准一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．{}01x x<<12．．3π13．．12414．．15．三、解答题本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．()22116.1()cos cos sin2cos222cos2222sin236f x x x x x x x x xxTππ⎫=+-=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎛⎫=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅解：分分5⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分()12()2sin2=1sin2=76621350,2,2,8666663f A A AA A A Aπππππππππ⎛⎫⎛⎫=+∴+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<∴<+<∴+=∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，分又分22222cos4120,61011=sin46sin12223a b c bc A c c cbc Aπ=+---==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴∆=⋅⋅⋅=由余弦定理得，解得分ABC的面积 S分17．解：（2）假设成绩与班级无关，则()22211010302050()7.5()()()()30805060n ad bcKa b c d a c b d⨯-⨯-==≈++++⨯⨯⨯则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。
2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。
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广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考（文科）数学试题命题： 中山纪念中学 周建刚参考学校：惠州一中 广州二中 东莞中学 中山纪中 深圳实验 珠海一中本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1. 函数()f x =A ．(0,3) (0,3) (0,3] 2.复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 A ．(1,1) (1,1)-1,1)-3.“1x =A.C.充要条件4.tan 330°Ａ．5.下图为函数f 论正确的是A . 311a a >>B. 321a a >>C. 121a a >>D. 211a a >>6.若2()(0)f x ax bx c a =++≠是定义在R 上的偶函数,则b 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ． D ．无法确定7.在和256之间顺次插入三个数,,a b c ，使1,,,,256a b c 成一个等比数列，则这5个数之积．．为 （ ） A ．182B ．192 C ．202 D ．2128.若函数3()1f x x x =-+在区间(,)a b （,a b 是整数，且1b a -=）上有一个零点，则a b +的值为 （ ） A ．3B ．2-C ．2D ．3-9.如右图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ += （ ） A ．FO B ．OGC ．OHD ．EO10. 如图，将等比数列{}n a 的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{}n a 的前2013项和20134026,S =则满足na nnn a >的n 的值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2013 D ．4026二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.已知函数2log ()3xx f x ⎧=⎨⎩(0)(0)x x >≤，则(0)f =12.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若11,2a b B ===，则sin A =13.已知1||=a ，2||=b ，()a b a +⊥，则a 与b 夹角为Q14.已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 均有1(2)()2f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,2上有表达式2()2f x x x =-+，则函数)(x f 在区间[3,2]--上的表达式为()f x = _______________ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分） 已知函数()cos 2sin 2f x x x =+ （1）求()f x 的最大值和最小正周期；（2）设,[0,]2παβ∈，()()282f f απβπ+=+=sin()αβ+的值16. （本小题满分12分）已知(sin ,cos )a θθ=、(3,1)b = （1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若()f a b θ=+， ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ，且(0)a f =，()6b f π=-，()3c f π=，求AB AC ⋅。
17. （本小题满分14分）在等比数列}{n a 中，公比1q >，且满足23428a a a ++=，32a +是2a 与4a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若25log n n b a +=，且数列{}n b 的前n 的和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 的和n T18. （本小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥），数列{}n c 满足n n n c a b =+（1）求1c 和2c 的值，（2）求证：数列 {}n c 为等差数列，并求出数列{}n c 的通项公式 （3）设数列{}n c 的前n 和为n S ，求证：12311111nS S S S ++++<19. （本小题满分14分）已知函数2()21f x x tx =-+，()ln g x b x =，其中,b t 为实数 （1）若()f x 在区间[3,4]为单调函数，求实数的取值范围 （2）当1t =时，讨论函数()()()h x f x g x =+在定义域内的单调性20. （本小题满分14分）已知三次函数32() ()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、为奇函数，且在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =-(1)求函数()f x 的表达式.(2)已知数列{}n a 的各项都是正数,且对于*n N ∀∈,都有211()()n niii i a f a ===∑∑,求数列{}n a 的首项1a和通项公式(3)在(2)的条件下，若数列{}n b 满足1*42(,)n a n n b m m R n N +=-⋅∈∈,求数列{}n b 的最小值.2013届高三六校第二次联考（文科）数学试题参考答案及评分标准命题： 中山纪念中学 周建刚 审题：中山纪念中学高三文科数学备课组第Ⅰ卷选择题（满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（C ） 2．（B ） 3．（A ） 4．（A ） 5．（C ） 6．（B ） 7．（C ） 8．（D ） 9．(A) 10．（B)第Ⅱ卷非选择题（满分100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11． 12．1213．23π14．()4(2)(4)f x x x =-++ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）解：（1）()cos 2sin 222)f x x x x x =+=…………………1分)4x π=+………………………4分且x R ∈()f x ∴5分 最小正周期22T ππ==……………………………………6分（2）())))282842f απαπππα+=++=+…………………7分c o s 2α==，cos 4α∴= …………………8分又[0,]2πα∈，sin α∴=…………………9分()))2)2244f ββππππβπ+=++=++…………………10分)4πβ=+=…………………11分 又3[0,],[,],244442ππππππβββ∈∴+∈∴+=⇒4πβ=sin()sin()sin cos cos sin 444πππαβααα+=+=⋅+⋅=…………………12分16. （本小题满分12分）解：（1）//,sin 0a b θθ∴=…………………3分sin tan θθθ∴=⇒=6分（2）(sin 1)a b θθ+=+…………………7分(sin a b θ∴+===8分(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===…………………10分由余弦定理可知：222cos 230b c a A bc +-==…………………11分 7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅===…………………12分（其它方法酌情给分） 17. （本小题满分14分） 解（1）由题可知：3242(2)a a a +=+…………………1分24328a a a +=-，3332(2)28,8a a a ∴+=-∴=…………………3分 32431208()20,2a a a a q q q q q ∴+==+=+==或12q =（舍去）…………5分 333822n n n n a a q --∴==⨯=…………………7分（2）55522,2,log 25n n n n n n a a b n +++=∴===+，16b ∴=…………………9分所以数列{}n b 是以6为首项1为公差的等差数列，1()(11)22n n b b n n nS ++∴==…………………11分11111222n S n n n +∴==+…………………12分所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以6为首项，12为公差的等差数列，所以2111(6)232224n n nn n T +++==…………………14分 18. （本小题满分14分）解（1）1113c a b =+=…………………1分21131111,444a a b =++=…………………2分 2111391,444b a b =++=…………………3分 2225c a b =+=…………………4分（2）证明：因为11113114413144n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，11111113113(1)(1)224444n n n n n n n n n n c a b a b a b a b c -------∴=+=+++++=++=+……………6分12,2n n n c c -∴≥-=，即数列 {}n c 以13c =为首项，2为公差的等差数列……………7分 3(1)221n c n n ∴=+-=+…………………8分（3）(321)(2)2n n nS n n ++∴==+…………………10分解法一：12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+因为1111(2)(1)1n n n n n n <=-⨯+⨯++，…………………12分所以1111111111()()()111324(2)122311n n n n n +++<-+-++-=-<⨯⨯⨯+++ …………………14分解法二：12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+因为1111()(2)22n n n n =-⨯++…………………12分所以12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+111111111111111111111()()()()()()()2132242352462221122n n n n n n =-+-+-+-++-+-+---++ …………………13分11113113(1)()122124124n n n n =+--=-+<<++++…………………14分 19. （本小题满分14分）解：（1）2()21f x x tx =-+的对称轴为x t =，…………………2分 开口向上，所以当3t ≤时，函数在[3,4]单调递增，…………………4分 当4t ≥时函数在[3,4]单调递减，…………………6分所以若()f x 在区间[3,4]为单调函数，则实数的取值范围3t ≤或4t ≥……………7分 （2）2()21ln h x x x b x =-++的定义域为(0,)+∞……………8分222()22b x x b h x x x x-+'=-+=，……………9分令2()22g x x x b =-+，(0,)+∞，所以()g x 在(0,)+∞的正负情况与()h x '在(0,)+∞的正负情况一致 ①当480b ∆=-≤时，即12b ≥时，则2()220g x x x b =-+≥在(0,)+∞恒成立，所以()0h x '≥在(0,)+∞恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数……………10分②当480b ∆=->时，即12b <时，令方程2()220gx x x b =-+=的两根为12,x x ，且 120x x ==>……………11分 （i ）当110102x b =>⇔>⇔<<时，不等式2()220g x x x b =-+>解集为111(0,()22+-+∞，2()220g x x x b =-+<解集为11()22，所以()h x 的单调增区间为11(0,),()22+∞；单调减区间为……………12分(ii) 当1010x b =≤⇔≤⇔≤时，不等式2()220g x x x b =-+>解集为)+∞，2()220g x x x b =-+<解集为，所以()h x 的单调增区间为1()2+∞；单调减区间为1(0,2……………13分综上所述：当12b ≥时，函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数当102b <<时，()h x 的单调增区间为(,)+∞；单调减区间为11(22+当0b ≤时，()h x 的单调增区间为)+∞；单调减区间为……………14分 20. （本小题满分14分） 解：(1)()f x 为奇函数， ()()f x f x ∴-=-，即3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=---- 2220b x d ∴+=0b d ∴==…………2分 3()f x ax cx ∴=+，又因为在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =- (1)331,0(1)1f a c a c f a c '=+=⎧∴⇒==⎨=+=⎩，3()f x x ∴=…………4分 (2)由题意可知：222121()()ni n ni a a a a S ==+++=∑ 1()nii f a ==∑333312123()()()n nf a f a f a a a a a +++=++++ 所以33332123n na a a a S ++++=…….. …....①由①式可得321111,01a a a a =>⇒=………….5分当2n ≥，3333212311n n a a a a S --∴++++=………②由①-②可得:32211()n n n n n n a S S a S S --=-=+{}n a 为正数数列212n n n n n a S S S a -∴=+=-…..③…………..6分 21112n n n a S a ---∴=-………..④由③-④可得:2211n n n n a a a a ---=+10n n a a -+>,11n n a a -∴-=,{}n a ∴是以首项为1，公差为1的等差数列,…………..8分*()n a n n N ∴=∈…………9分（注意：学生可能通过列举然后猜测出*()n a n n N ∴=∈，扣2分，即得7分）(3)()n a n n N +=∈,12242(2)()n n n n b m m m n N ++∴=-⋅=--∈ 令2(2)n t t =≥,22()(2)n b t m m t ∴=--≥…………10分(1)当2m ≤时,数列{}n b 的最小值为当1n =时,144n b b m ==-……….11分(2)当2m >时①若*2(,2)k m k N k =∈≥时, 数列{}n b 的最小值为当n k =时,2k b m =-②若1*22(,2)2k k m k N k ++=∈≥时, 数列{}n b 的最小值为, 当n k =时或1n k =+ 221(2)k k k b b m m +==--③若1*222(,2)2k k km k N k ++<<∈≥时, 数列{}n b 的最小值为,当n k =时,22(2)k k b m m =-- ④若11*222(,2)2k k k m k N k +++<<∈≥时,数列{}n b 的最小值为,当1n k =+时 1221(2)k k b m m ++=--…………14分。