求二次函数的解析式学案

求二次函数的解析式（一）

【学习目标】1．掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；

2．掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。

3．掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。

【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。

【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。

【学习过程】

一、学习准备：

1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。

2．二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。

二、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。

3．例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。

4．即时练习 已知抛物线经过A （-1，0），B （1，0），C （0，1）三点，求二次函数的解析式。

三、方法探究（二）——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。

5．例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。

解：设抛物线的解析式为2()y a x h k =-+。

把顶点（－2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为

2(2)3y a x =++

再把（－1，7）代入上式为

27(12)3a =-++

解得4a =

所以函数解析式为

24(2)3y x =++ 即241619y x x =++

6．即时练习 （1）抛物线经过点（0，－8），当1x =-时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。

（2）已知二次函数

2()y a x h k =-+，当2x =时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。

四、方法探究（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。

7．例3 已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。

解：设抛物线的解析式为12()()y a x x x x =--

把抛物线经过的（－1，0），（3，0）两点代入上式为：

(1)(3)y a x x =+-

再把（2，6）带入上式为6(21)(3)a x =+-

解得2a =-

所以函数的解析式为

2(1)(3)y x x =-+- 即2246y x x =-++

8．即时练习 已知抛物线经过A （-2，0），B （4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。

五、反思小结——求二次函数解析式的方法

1．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？

2．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。

3．用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。

【达标测评】求下列二次函数的解析式：

1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。

2．当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）。

3．图象与x 轴交点的横坐标分别为2和-4，且过点(1，-10)

求二次函数的解析式（二）

【学习目标】1．了解二次函数的三种表示方式；

2．会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。

【学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。

【学习过程】

一、学习准备

1．函数的表示方式有三种： 法， 法， 法。

2．二次函数的表达式有： 、 ， 。

二、典型例题——用适当的方法求出二次函数的表达式

3．例1 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点的横坐标是－1，3，顶点坐标是（1，－

2），求函数的解析式（用三种方法）

4．即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。

一条抛物线的形状与

2y x =相同，且对称轴是直线12x =-，与y 轴交于点（0，1），求抛物线的解析式。

5．例2 已知如图，抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C 。 ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；

⑵当点CO=3时，求抛物线的解析式。

6．即时练习：已知直线y=2x-4与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象相交于A （-2，m ），B(n ，2)两点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。

三、反思小结——求二次函数解析式的方法

1．已知三点或三对x 、y 的对应值，通常用

2(0)y ax bx c a =++≠。 2．已知图象的顶点或对称轴，通常用2()(0)y a x h k a =-+≠。

3．已知图象与x 轴的交点坐标，通常用

12()()(0)y a x x x x a =--≠。 四、巩固训练

1．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，该二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(4,0)。

（1）求B 点的坐标

（2）求这个二次函数的关系式；

2．

如图，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y

2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点。

，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。

（1）求过A B C

△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP

若不存在，请说明理由。