山西省忻州一中等2014届高三第一次四校联考数学(理)试题

山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理数试题（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知全集U R =，集合{A x Z y =∈={}5B x x =>,则 A =)(B C U A.[]3,5 B. [)3,5 C. {}4,5 D. {}3,4,5 2.复数iiz +-=13的虚部为 A. 2 B. 2- C.2i D.2i -3.若焦点在x 轴上的双曲线1222=-my xA. x y 22±= B. x y 2±= C.x y 21±= D.x y 2±= 4.按照如图的程序运行，已知输入x 的值为2+log 23，则输出y 的值为A. 112B.18C.124D.385.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a aA.50B.35C.55D.466.已知nx )21(-展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则)1()21(x x n+-展开式中含2x 项的系数为A. 71B. 70C.21D. 49 7.如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是A.9B.10C.12D. 1848.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是A. 2B.3C.32 D. 529.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=)1,0[,1)1(1)0,1[,)(x x f x x x f ，若方程0)(=+-k kx x f 有两个实数根，则k 的取值范围是A. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞D. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭10.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥,SC OB ⊥，OAB ∆为等边三角形，三棱锥S ABC -O 的半径为 A . 3 B. 1 C. 2 D. 411.抛物线x y 122=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，则FPM ∆的外接圆的方程为A.. 5)5()3(22=±+-y x B. 48)34()3(22=±+-y xC. 9)3()3(22=±+-y x D. 28)72()3(22=±+-y x12.已知函数)(x f y =定义域为),(ππ-，且函数)1(+=x f y 的图象关于直线1-=x 对称，当),0(π∈x 时，x x f x f ln sin )2()(ππ-'-=，（其中)(x f '是)(x f 的导函数），若)91(log ),3(log ),3(33.0f c f b f a ===π，则c b a ,,的大小关系是A. c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. b a c >> 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13.已知向量a ，b 满足1||=，2||=，a b a ⊥-)(，则向量a与向量b 的夹角为 ．14.已知数列{n a }满足)(11,2*11N n a a a a nnn ∈-+==+，则2014a 的值为 ．15.设θ为第四象限角，21)4tan(=+πθ，则=-θθcos sin ．ED CBAP16.已知数列{n a }的前n 项和n s 满足*130(2,)n n n a s s n n N -+=≥∈，311=a ，则n na 的最小值为 ．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.(本小题满分12分)已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ABCD ⊥底面，AB AD ⊥，AC CD ⊥，PA AB BC AC ===，E 是PC 的中点．（1）求证：PD ABE ⊥平面；（2）求二面角A PD C --的平面角的正弦值．19.(本小题满分12分)在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为31，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响. （1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2.(1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB . 21.(本小题满分12分)设函数32)1()(ax e x x f x+-=(1) 当31-=a 时，求)(x f 的单调区间；(2) 若当0≥x 时，)(x f 0≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线PA 为圆O 的切线，切点为A ，直径BC OP ⊥，连接AB 交PO 于点D . （Ⅰ）证明：PA PD =； （Ⅱ）求证：PA AC AD OC =．23．(本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>,过点P (-2，-4)的直线l 的参数方程为24x y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若2PA PB AB =，求a 的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()31f x x x =-++.（Ⅰ）求使不等式()6f x <成立的x 的取值范围； （Ⅱ）o x R ∃∈，()o f x a <，求实数a 的取值范围．Bxyz2014届高三年级第一次四校联考数学试题答案（理）1-12题答案：1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13．60 14．3- 15． 5102-16． 31- 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.解析.解：(1)f(x)= sin(2x - π6)+2cos 2x-1=32sin2x-12cos2x+cos2x=32sin2x+12cos2x= sin(2x + π6)………………………………………3分 由2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,(k ∈Z)得k π-π3≤x ≤k π+π6,(k ∈Z)…………5分∴f(x)的单调递增区间为[k π-π3,k π+π6](k ∈Z).………………………6分(2) 由f(A)=12, 得sin(2A + π6)=12∵π6<2A+π6<2π+π6 , ∴2A+π6=5π6,∴A=π3……………………………8分 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA=(b+c)2-3bc ………………………10分 又2a=b+c,bc=18. ∴a 2=18,∴a=32………………………………………………………………12分 18.（1）证明：⊥PA 底面ABCD ，PA CD ⊥∴又AC CD ⊥，A AC PA =⋂，故⊥CD 面PAC ⊆AE 面PAC ，故AE CD ⊥………………………………………… 4分又PA AC =， E 是PC 的中点，故PC AE ⊥ 从而⊥AE 面PCD ，故PD AE ⊥易知PD BA ⊥，故⊥PD 面ABE ……………………………… 6分（2）如图建立空间直角坐标系，设a AC =，则(0,0,0)A 、(0,0,)P a 、(,0,0)B a、0,,0D ⎛⎫⎪⎝⎭，2a C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而(0)PD a =-，,,026a DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，…………………………………………………9分 设1(,,)n x y z =为平面PDC 的法向量，则110026n PD y az a n DC x y ⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎪⎩可以取12)n = ……………………11分 又2(1,0,0)n =为平面PAD 的法向量，若二面角A PD C --的平面角为θ 则121cos 8n n θ==⋅ ……………………11分 因此sin 4θ=。

……………………12分 19.解：(1)设事件1A 表示甲选22题，2A 表示甲选23题，3A 表示甲选24题，1B 表示乙选22题，2B 表示乙选23题，3B 表示乙选24题，则甲、乙两人选做同一题事件为332211B A B A B A ++， 且332211B A B A B A 与，与，与相互独立，所以()()()()()()()31913332211332211=⨯=++=++B P A P B P A P B P A P B A B A B A P …………………………………………………………4分(2)设ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,5~B ε()55555323231kk kkk C C k P --=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴ξ，5,4,3,2,1,0=k ∴分布列为ξP()335=⨯==∴np E ξ ………………………………………12分20.解：(1) 1222=+y x …………（4分）(2)根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2+=kx y ，设),(11y x A ，()22,y x B 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x kx y 消去y 得关于x 的方程068)21(22=+++kx x k （6分）由直线l 与椭圆相交于B A ,两点，则有0>∆，即02416)21(2464222>-=+-k k k 得232>k 由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+221221216218k x x k k x x故22222112124161k kk k x x AB ++-=+⋅⋅=………………… (9分) 又因为原点O 到直线l 的距离212kd +=，故O A B ∆的面积222221322221241621kk k k d AB S +-⨯=+-=⋅= 令0322>-=k t 则3222+=t k所以224222≤+=∆t t S AOB 当且仅当2=t 时等号成立， 即214±=k 时，23=AB ……………………………………(12分) 21、解：（1）当31-=a 时，3231)1()(x e x x f x--= 22')1(2)(x e x e x x f xx-+-= )1)(2(2-+=xe x x 令0)('>x f ，得0>x 或02<<-x ；令0)('<x f ，得2-<x∴)(x f 的单调递增区间为),0(,)0,2(∞+-)(x f 的单调递减区间为)2,(--∞ ………………………………………4分 （2）32)1()(ax e x x f x+-=)1(2ax e x x+-=令),0[1)(+∞∈+-=x axe x g xa e x g x +=)('当1-≥a 时，)(,0)('x g a e x g x>+=在),0[∞+上为增函数. 而,0)0(=g 从而当0≥x 时，0)(≥x g ，即)(x f 0≥恒成立. 若当1-<a 时，令0)('=+=a e x g x，得)ln(a x -=当))ln(,0(a x -∈时，)(,0)('x g x g <在))ln(,0(a -上是减函数， 而,0)0(=g 从而当))ln(,0(a x -∈时，0)(<x g ，即0)(<x f综上可得a 的取值范围为),1[+∞-. …………………………………………………12分 22．证明：(1)∵直线PA 为圆O 的切线,切点为A ∴∠PAB=∠ACB …………………………………………2分 ∵BC 为圆O 的直径，∴∠BAC=90° ∴∠ACB=90°-B∵OB ⊥OP,∴∠BDO=90°-B ……………………………4分 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B∴PA=PD …………………………………………………5分 (2)连接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO ∵∠OAC=∠ACO∴ΔPAD ∽ΔOCA ………………………………………8分∴PA OC = ADAC ∴PA ⋅AC=AD ⋅OC ………………………………………10分 23.解：(1) 由ρsin 2θ=2acos θ(a>0)得ρ2sin 2θ=2a ρcos θ(a>0)∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax(a>0)………………………2分 直线l 的普通方程为y=x-2…………………………………4分 (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2=2ax 中， 得t 2-22(4+a)t+8(4+a)=0设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2则有t 1+t 2=22(4+a), t 1t 2=8(4+a)……………………………6分 ∵|PA|⋅|PB|=|AB|2∴t 1t 2=(t 1-t 2)2, 即(t 1+t 2)2=5t 1t 2………………………………8分 ∴[22(4+a)]2=40(4+a) a 2+3a-4=0 解之得：a=1或a=-4(舍去)B∴a的值为1…………………………………………………10分24. 解：(1) 由绝对值的几何意义可知x的取值范围为（-2，4）………5分（Ⅱ）∃x0∈R,f(x0)<a,即a>f(x)min ……………………………………7分由绝对值的几何意义知：|x－3|＋|x＋1|可看成数轴上到3和-1对应点的距离和.∴f(x)min=4 …………………………………………………9分∴a>4所求a的取值范围为(4,+∞) …………………………………………10分。