自旋算符
量子力学中的自旋
量子力学中的自旋自旋是量子力学中的重要概念之一，它描述了粒子的内禀角动量性质。
本文将介绍自旋的基本原理、量子力学中的自旋算符以及自旋的应用。
一、自旋的概念和基本原理自旋是描述粒子的旋转性质的量子数，与经典物理中的角动量不同，自旋不涉及物体的实际旋转。
自旋可以是整数或半整数，用量子数s表示，对于电子来说，其自旋量子数为1/2。
自旋在物理学中具有很多重要性质，例如自旋角动量守恒以及自旋与磁矩的关系等。
二、自旋算符在量子力学中，自旋算符用来描述自旋的性质和运动规律。
自旋算符有两个分量，即Sz和Sx。
其中，Sz表示自旋在z方向（沿磁场方向）的投影，Sx表示自旋在x方向的投影。
这两个算符的本征值即为自旋的量子数。
三、自旋的应用1.自旋磁矩根据量子力学的理论，自旋与磁矩之间存在固有的关系。
自旋磁矩可用于解释原子和分子的磁性行为，例如顺磁性和抗磁性。
2.自旋共振自旋共振是一种重要的实验技术，广泛应用于核磁共振(NMR)和电子顺磁共振(ESR)等领域。
通过外加磁场和射频脉冲的作用，可以使带有自旋的粒子发生能级跃迁，从而实现信号的产生和检测。
3.自旋量子计算自旋也被用于量子计算领域。
通过调控带有自旋的粒子之间的相互作用，可以实现量子比特的存储和操作，为量子计算提供了一种新的实现方案。
四、总结自旋作为量子力学中的重要概念，描述了粒子的内禀角动量性质。
自旋算符用于描述自旋的性质和运动规律，自旋在物理学中有着广泛的应用，例如自旋磁矩、自旋共振和自旋量子计算等。
深入了解自旋的原理和应用对于理解和研究量子力学具有重要意义。
以上是关于量子力学中的自旋的文章，介绍了自旋的概念和基本原理、自旋算符以及自旋在物理学中的应用。
希望对您有所帮助。
量子力学(第八章自旋)
乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱
（Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年 左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量 sr ，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
r （2S）z 每个h2 （电若子将具空有间自任旋意磁方矩向r 取s 它为与z方自向旋）角动 量 s 的关系是
因而
ˆ x
0
b*
b
0
(31)
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b
0
b2 0
0 1 (32)
b 2
所以 b 2 1，因而可以令 b ei ( 为实)
于是
ˆ x
0
ei
ei
0
(33)
再利用 y i z x ，可得
ˆ y
0
i
ei
ei 0
0
e i (
2)
ei( 2)
系，即
^^
^ ^^
^ ^^
^
[S x , S y ] ih S z ,[S y , S z ] ih S x ,[S z , S x ] ih S y
(11)
或
^r ^r
^r
S S ih S
由于Srˆ 在任意空间方向上投影只能取 h 2这
两 的个 本函征数值值都，是故hSˆ2x ，Sˆy而Sˆz分量这平三方个算分符量的算本符征
1
ir
[(
pr
e
r A)
(
pr
e
r A)]
2 c
2
c
c
其中利用了公式
(r
Ar )(r
自旋是一个力学量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示。其
（6.2.21）
01 0 i
10
S x2 10 ,S y2 i 0 ,S z2 0 1
（6.2.22）
6.2 电子自旋算符和自旋函数
可以表泡x ,示利y ,为矩 z单阵称位非为矩常泡阵有利和用矩。阵x ,。y ,因 z为三任个何矩2阵 2的的线厄性米组矩合阵，都所
y
x 与
y
令
ˆ x
a
c
b
d
（6.2.16）
由于 S x 是厄米矩阵， x 也是厄米矩阵，则 c b *
ˆxˆz
ˆzˆx
a
b*
b 1
d
0
0 1
1 0
0 a 1b*
b
d
a b a b
6.2 电子自旋算符和自旋函数
自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄
米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符
所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角
动量算符 Jˆ 满足的对易关系是：
JˆJˆi Jˆ
（6.2.1）
在量子力学中，不要误以为角动量就是 r pˆ ，r pˆ 只是
而
的本征值为 1 ，而且
ˆx2 ˆy2 ˆz2 1
定义：任意算符A 和 B 的反对易关系为
[A,B] ABBA
则
[ˆx,ˆy]ˆxˆy ˆyˆx
=21i(ˆyˆz ˆzˆy)ˆy21iˆy(ˆyˆz ˆzˆy)
=0
（6.2.9）
（6.2.10） （6.2.11） （6.2.12）
Sx2Sy2Sz224
16讲电子自旋
实验上，高温炉中的氢原子处于高压， 从炉中出来后气压骤降迅速冷却，使得 电子处于基态： ) = (10)， l = 0 → m = 0 (nl ∴ 所以， 所以， → Fz =0,原子似乎不应该偏转。 ∴→ M z电子偏转必然不来自轨道磁矩
7
一、电子自旋实验(6) 电子自旋实验
∂B 实验表明 Fz = − M z ≠ 0, 且 M z = ± µ B ∂z 分析表明 M z 不应该是轨道磁矩( M z = µ B m ) 由此，人们猜测： (1)除轨道磁矩外，必然存在别的磁矩。 (2)如果存在某种磁矩，它应该只取两个值。 此外，对银原子、钠原子这些多电子原 子，该如何解释？
20
三、自旋角动量算符与泡里算符(2) 自旋角动量算符与泡里算符 r
三、自旋角动量算符与泡里算符(3) 自旋角动量算符与泡里算符 r ˆ 引进无量纲的算符 σ → Pauli 算符， r r ˆ ˆ 其定义为 S = (h 2)σ , 有 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z S x S y − S y S x = ih S z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S y S z − S z S y = i h S x → σ yσ z − σ zσ y = 2i σ x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S − S S = ihS ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ σ − σ σ = 2i σ
14
二、自旋态与自旋波函数(2) 自旋态与自旋波函数
∴ψ ( r , s z )可用一个列向量来表示 ψ 1 ( r ) → s z = h / 2的自旋态 ψ = ψ 2 ( r ) → s z = − h / 2的自旋态 按波函数的统计诠释，电子以 一定的概率处于 ψ 1 ( r )或 ψ 2 ( r )，
自旋算符的本征值
自旋算符的本征值自旋算符是量子力学中的一个重要概念，用来描述粒子的自旋性质。
自旋算符的本征值是指在给定自旋算符下，对应的本征态所具有的特定自旋值。
本文将以自旋算符的本征值为标题，介绍自旋算符的概念、本征值及其物理意义。
一、自旋算符的概念自旋算符是描述粒子自旋性质的数学运算符，用符号S表示。
自旋算符是一个矢量算符，包括自旋算符的x分量Sx、y分量Sy和z 分量Sz。
自旋算符的本征值为标题，即自旋算符在某个本征态下的测量结果。
自旋算符的本征值可以是半整数或整数，分别对应不同的自旋粒子。
对于自旋为1/2的粒子，其自旋算符有两个本征值，即自旋向上的本征态|↑⟩和自旋向下的本征态|↓⟩。
自旋向上的本征值为+1/2，自旋向下的本征值为-1/2。
这两个本征态是正交归一化的。
三、自旋算符的物理意义自旋算符的本征值描述了粒子自旋的量子态。
自旋是粒子的内禀角动量，类比于经典物理中的自转。
自旋算符的本征值可以用来描述粒子的自旋状态，进而推导出粒子的其他性质。
自旋算符的本征值在量子力学中具有重要的物理意义。
首先，自旋算符的本征值可以用来描述粒子的自旋态，即粒子自旋的量子叠加态。
例如，对于自旋为1/2的粒子，其自旋态可以是自旋向上和自旋向下的叠加态。
自旋算符的本征值还可以用来描述粒子的自旋测量结果。
通过对自旋算符的测量，可以得到粒子的自旋值，从而确定粒子的自旋状态。
自旋算符的本征值是自旋测量的结果，可以用来验证量子力学的预言。
自旋算符的本征值还可以用来描述粒子之间的相互作用。
自旋是一种粒子之间的相互作用方式，不同自旋态的粒子之间存在着不同的相互作用。
自旋算符的本征值可以用来描述粒子之间的自旋相互作用，从而揭示了粒子之间的一些基本物理规律。
总结:本文以自旋算符的本征值为标题，介绍了自旋算符的概念、本征值及其物理意义。
自旋算符是量子力学中描述粒子自旋性质的重要概念，其本征值描述了粒子自旋的量子态和测量结果，同时也揭示了粒子之间的自旋相互作用。
电子的自旋算符与自旋波函数
e 2c
可见电子回转磁比率是轨道 回转磁比率的二倍
§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 •自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别 通常的力学量都可以表 示为坐标和动量的函数
ˆ) ˆ ˆ F F (r , p
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态 的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算 符描写，记为 ˆ
S
自旋角动量 轨道角动量
与坐标、动量无关 同是角动量
ˆ r p
不适用
异同点
1 s 2
自旋量子数 s 只有一个数值
（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电 子的含自旋的波函数需写为： ( x ,y , z , S , t ) ( r t ) ( x ,y ,z , ,t ) z 1 , 2 ( r ,t ) ( x ,y ,z , ,t ) 2 2 由于 SZ 只取 ±/2 两个值，
x y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值 所以
ˆ S x
ˆ S y
ˆ S z
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
3 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S x y z 4
量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论
量子力学中科大课件一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian 讨论[问题I]，单个12自旋向任一方向r r e r=的投影算符()r e σ⋅。
1) 算符()r e σ⋅为书上已研究过的（p.204-205）。
它满足()2r e I σ⋅=，所以其本征值为1±，其本征函数()()()()()()()()cos exp 2sin exp 222;sin exp 2cos exp 222r r i i e e i i θθϕϕχχθθϕϕ+-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以可将它写为它本身的谱表示：()()()()()()()()()r r r r r e e e e e σχχχχ++--⋅=-2) 计算对易子()(),1,2i r i e i σσ⋅=⎡⎤⎣⎦。
下面略去脚标1,2i =。
先计算(),r x e σσ⋅⎡⎤⎣⎦：()(),,222r x x x y y z z x z y y z r xe n n n i n i n i e σσσσσσσσσ⎡⎤⋅=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+=⨯于是有()(),2r r e i e σσσ⋅=⨯⎡⎤⎣⎦3) 再往算(),r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦先算轨道角动量的z l 分量的对易子：[](),,r z x y z y x r z x y z e l i x y i e r r r σσσσσ⎡⎤⋅=-++∂-∂=-⨯⎢⎥⎣⎦于是有()(),r r e l i e σσ⎡⎤⋅=-⨯⎣⎦4) 再往算()(),,σσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+⎣⎦⎣⎦r r e J e l S 总之有,,02r r e J e l σσσ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 于是，这种()r e σ⋅算符将保持此费米子的总角动量不变。
5) 再往算()2,r e σσ⎡⎤⋅⎣⎦。
显然，由于单个12自旋的23σ=，有()2,0r e σσ⎡⎤⋅=⎣⎦6) 再往算()2,r e l σ⎡⎤⋅⎣⎦()()()()()()(){}()(){}2,,,r r r r r r r r re l e l l l e l i e l i l e i e l l e i e l l e σσσσσσσσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⋅+⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-⨯⋅-⋅⨯=-⋅⨯-⨯⋅=-⋅⨯-⨯ 为计算()r l e ⨯，先算它的x 分量：()()()()()223333112ryz x z y x x x z y x y zz y z y l e l l i z x x y r r r r x z z y x y i z x xz z x x xy y x y r r r r r r r r x z y i l l r r r⎧⎫⨯=-=-∂-∂-∂-∂⎨⎬⎩⎭⎧----⎫⎛⎫⎛⎫=---+∂-∂-+--∂-∂⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭=+-于是有()()2rr r l e ie e l ⨯=-⨯最后得()(){}(){}(){}222,222r r rr r r r r r e l i e l i e re e e r e e r e σσσσ⎡⎤⋅=-⋅⨯-⎣⎦=-⋅⨯⨯∇+=-⋅⋅∇-∇+7) 再往算(),r e l s σ⎡⎤⋅⋅⎣⎦()()()222211,,,22r r r e l s e J l s e l σσσ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅=⋅--=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦即有()()(){}21,,2r r r r e l s e l i e l i e σσσ⎡⎤⎡⎤⋅⋅=-⋅=⋅⨯-⎣⎦⎣⎦ ※ ※ ※[问题II]，两个12自旋算符()()()1212123r r S e e σσσσ≡⋅⋅-⋅的研究。
什么是量子力学的角动量和自旋
什么是量子力学的角动量和自旋？量子力学中的角动量和自旋是描述粒子旋转和自旋性质的重要概念。
下面我将详细解释角动量和自旋，并介绍它们的特性和相互关系。
1. 角动量:在经典力学中，角动量是描述物体旋转的物理量，由角速度和惯性矩阵相乘得到。
在量子力学中，角动量是描述粒子旋转的量子性质。
量子力学中的角动量由角动量算符表示，通常记作L。
角动量算符是量子力学中的一个观察算符，它与粒子的旋转和角动量相关。
角动量算符具有一系列重要的性质，包括：-角动量算符是一个矢量算符，它有三个分量：Lx、Ly和Lz。
这些分量对应于粒子在三个不同方向上的角动量。
-角动量算符满足角动量代数，即它们之间存在一组对易关系。
这些对易关系决定了角动量算符的本征值和本征态之间的关系。
-角动量算符的本征值是量子力学中的角动量量子数，通常用l表示。
角动量量子数可以取整数或半整数，分别对应于不同的粒子类型。
-角动量算符的本征态是球谐函数，它们描述了粒子在不同方向上的角动量分布。
2. 自旋:自旋是量子力学中描述粒子内禀自旋性质的概念。
自旋可以看作是粒子固有的旋转，与粒子的轨道运动无关。
自旋由自旋算符表示，通常记作S。
自旋算符是量子力学中的一个观察算符，它与粒子的自旋和自旋角动量相关。
自旋算符具有一系列重要的性质，包括：-自旋算符是一个矢量算符，它有三个分量：Sx、Sy和Sz。
这些分量对应于粒子在三个不同方向上的自旋角动量。
-自旋算符满足自旋代数，即它们之间存在一组对易关系。
这些对易关系决定了自旋算符的本征值和本征态之间的关系。
-自旋算符的本征值是量子力学中的自旋量子数，通常用s表示。
自旋量子数可以取整数或半整数，分别对应于不同的粒子类型。
-自旋算符的本征态是自旋函数，它们描述了粒子在不同方向上的自旋分布。
角动量和自旋是量子力学中描述粒子旋转和自旋性质的重要概念。
它们在原子物理、凝聚态物理和粒子物理等领域发挥着重要的作用。
通过研究角动量和自旋，我们可以更好地理解和描述量子体系的旋转行为和内禀性质。
量子力学中的自旋和自旋运算符
量子力学中的自旋和自旋运算符量子力学是物理学中的一门重要学科，探讨了微观世界的规律和现象。
自旋是量子力学中的一个基本概念，它代表了粒子固有的角动量。
在这篇文章中，我们将深入探讨自旋以及与之相关的自旋运算符。
自旋是指粒子的角动量，既不是经典物理学中的自转角动量，也不是轨道角动量，而是一种纯量子现象。
它最早由斯特恩和格拉赫于1922年在实验中观察到，随后由Pauli在1925年引入量子理论中。
自旋具有类似于经典角动量的性质，包括取离散值、能够与其他角动量相互作用等特点。
在量子力学中，自旋的运算符用符号S表示。
自旋运算符有许多重要的性质，其中之一是自旋分量的测量结果只能取离散值，例如针对自旋1/2粒子，自旋分量只能取正负1/2。
自旋运算符还具有与经典角动量相似的代数性质，包括自旋分量的对易关系、自旋矢量的加法和相应的旋转等。
自旋运算符的对易关系是量子力学中的重要数学工具之一。
对于自旋1/2的粒子，自旋分量Sz和自旋算符Sx、Sy之间的对易关系可以表示为[Sx, Sy] = iħSz。
根据这个关系，我们可以推导出自旋算符之间的各种对易关系，进一步研究自旋的性质和相互作用。
除了对易关系，自旋运算符还可以用于描述自旋矩阵的变换和自旋态间的变换。
自旋矩阵描述了自旋在不同方向上的分量，通常用泡利矩阵表示。
自旋态是表示粒子自旋状态的量子态，可以用自旋向上、自旋向下等基矢表示。
通过对自旋矩阵和自旋态的变换，我们可以研究自旋的旋转和相应的测量结果。
自旋在各个领域中都有广泛的应用，尤其在物理、化学和材料科学中扮演着重要角色。
例如，在量子信息科学中，自旋可以用作量子比特，实现量子计算和通信。
在凝聚态物理中，自旋可以用于研究磁性材料和拓扑绝缘体等新型材料的电子结构。
在原子物理学和粒子物理学中，自旋可以用于研究原子核结构和粒子性质的微观现象。
总而言之，自旋是量子力学中的一个重要概念，代表了粒子固有的角动量。
自旋运算符是描述自旋性质和相互作用的数学工具，具有对易关系和相应的变换性质。
自旋算符的表示方法
徐宝
Beijing National Lab for Condensed Matter Physics and Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080, China
下面总结了文献中常见到的几种处理自旋的方法。优点和缺点就像硬币的两个面，是每种方法的两张脸。如果把研 究对象的所有可能的行为集合比作一个球面，一种方法的适用范围就像粘在球面上的一块皮子所覆盖的面积，皮子之 间可能有交叠，但也有不相交的部分，我们只希望用的皮子越多，留下的空白越少。如果为一种方法α的覆盖面积定 义一个度量0 < fα < 1, 对应的“分辨率”定义为0 < gα < 1，经验告诉我们，fα 和gα 之间的依赖关系可以由不等式 (1 − fα )(1 − lngα ) ≥ 1 给出，这也许具有普遍性。
II. SCHWINGER波 色 子 表 示
(I.9)
cosθ + − sinθ + − z z (Si Sj + h.c.) + (iSi Sj + h.c.) + Si Sj , 2 2
(I.10)
(I.11)
处理旋转对称性没有破缺的自旋系统，用Schwinger波色子表示更方便。Schwinger波色子用两类波色子表示自旋算 符。 S + = a† b, S − = (S + )† , 1 S z = (a† a − b† b), 2 Schwinger波色子满足约束条件 a† a + b† b = 2S. Schwinger波色子基于自旋的SU(2)对称性。对于SU(N)情形可以用推广的Schwinger波色子表示，详情参见1 。
沿某方向的自旋算符
沿某方向的自旋算符自旋算符是量子力学中描述自旋的一种数学表达方式。
自旋是粒子的一种内禀角动量，与粒子的自转运动有关。
自旋算符可以描述自旋在某一方向上的测量结果。
自旋算符包括三个方向的自旋算符：自旋算符在x方向上的表示为Sx，自旋算符在y方向上的表示为Sy，自旋算符在z方向上的表示为Sz。
这三个自旋算符是厄米算符，可以用来描述自旋的性质。
在量子力学中，自旋算符和自旋态之间有着紧密的关系。
自旋算符的本征态是自旋态，自旋态可以用来描述粒子的自旋状态。
自旋算符在某个方向上的本征值表示自旋测量的结果，而自旋态是自旋算符的本征态。
以自旋算符Sx为例，它可以表示自旋在x方向上的测量结果。
自旋算符Sx的本征态是自旋态，自旋态可以表示自旋在x方向上的状态。
自旋态可以用来描述自旋角动量的量子态，可以是自旋向上的态，也可以是自旋向下的态。
自旋算符Sx的本征值表示自旋在x方向上的测量结果。
当自旋在x 方向上的测量结果为自旋向上时，自旋态的本征值为+1/2；当自旋在x方向上的测量结果为自旋向下时，自旋态的本征值为-1/2。
类似地，自旋算符Sy可以表示自旋在y方向上的测量结果，自旋算符Sz可以表示自旋在z方向上的测量结果。
它们的本征态和本征值也可以用来描述自旋的性质。
自旋算符在量子力学中有着重要的应用。
例如，自旋算符可以用来描述自旋的耦合，即两个自旋之间的相互作用。
自旋耦合可以用来解释一些量子现象，如自旋翻转和自旋共振等。
自旋算符还可以用来描述自旋的演化过程。
自旋算符的时间演化可以用薛定谔方程来描述，从而得到自旋态随时间的变化规律。
自旋算符是量子力学中描述自旋的一种数学表达方式。
它可以用来描述自旋在不同方向上的测量结果，以及自旋态的性质和演化过程。
自旋算符在量子力学的研究中具有重要的意义，对于理解和解释微观粒子的行为有着重要的作用。
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符和波函数的引入及意义（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）的本征值用磁量子数示的式子，可以把的仿照轨道角动量z方向分量算符本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。
因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。
（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。
因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）和对x、y、z的依赖关系当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时是相同时，我们可以把（6.2-10）是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。
它的自旋变量S z只是取和式中（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自显然，对于本征值为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为旋为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而（6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。
自旋算符的对易关系
自旋算符的对易关系自旋算符是一种算术算子，它可以用来表示一个数字的二进制表示。
它的对易关系是：如果一个数字的自旋算符表示是A，则A的对易值是A的补码，即A的二进制表示的反码。
自旋算符是一种量子力学理论，它可以用来描述原子核和其他量子系统的行为。
它的目的是描述原子核的结构和物理性质，以及它们之间的相互作用。
自旋算符的对易关系是一种量子力学理论，它用来描述粒子的行为。
它的目的是描述粒子之间的相互作用，以及它们在不同状态下的能量状态。
自旋算符的对易关系描述了粒子之间的相互作用，以及它们在不同状态下的能量状态。
它可以用来计算粒子的能量和动量，以及它们之间的相互作用。
自旋算符是一种算符，它可以将一组数字或变量转换为另一组数字或变量。
它属于线性代数的一部分，用于描述矩阵之间的关系。
自旋算符可以表示两个矩阵之间的易关系，即一个矩阵可以转换为另一个矩阵。
例如，给定两个矩阵A和B，如果存在一个自旋算符S，使得A = SBS，则A和B具有易关系。
自旋算符是一种量子力学算符，它用来描述量子系统中原子核或电子的自旋状态。
它与易关系之间存在一定的联系。
自旋算符可以用来描述易关系，因为它可以表示量子系统中的自旋状态。
易关系是由自旋状态产生的，因此自旋算符可以用来描述易关系。
例如，自旋算符可以用来描述原子核或电子在量子系统中的相互作用，从而产生易关系。
自旋算符的对易关系是一种量子力学中的概念，它指的是两个自旋算符之间的相互作用。
自旋算符是量子力学中的量子操作，它们可以用来描述原子和分子的特性。
在量子力学中，自旋算符的对易关系描述了自旋算符之间的相互作用，这种相互作用可以影响原子和分子的特性。
自旋算符的对易关系可以用来解释原子和分子的能量状态，以及电子结构。
自旋算符的对易关系是指两个粒子之间的对易性，这种对易性是由它们的自旋状态决定的。
自旋状态是指粒子的自旋轨道，它们可以有正自旋（上升轨道）或负自旋（下降轨道）。
当两个粒子具有相同的自旋状态时，它们之间就存在对易性，即它们之间的能量更低，而当它们具有不同的自旋状态时，它们之间就存在反易性，即它们之间的能量更高。
自旋算符对易关系
自旋算符对易关系
自旋算符是人工智能研究中常见的量子物理学术语。
它可以描述量子物理系统中电子、原子或其他微观粒子的态势，并反映出它们之间的相互作用。
目前，自旋算符在量子纠缠、量子信息以及量子计算等领域的研究中占据重要地位。
此外，它还在分子结构理论和分子动力学等领域中发挥着重要作用。
自旋算符与易关系之间有着千丝万缕的紧密联系。
易关系有助于描述自旋系统中电子、原子或其他粒子之间的相互作用。
因此，它可以用来识别量子物理系统中电子、原子或其他微观粒子间的内部相互作用，从而对量子物理系统的性质有一个深入的认识。
例如，在量子纠缠研究中，易关系可以帮助研究人员从量子物理系统的结构上看出量子纠缠的准确定义。
研究人员还可以使用易关系来描述量子信息处理和量子计算中的计算元素之间的相互作用，从而更清楚地了解量子计算模型。
此外，易关系也可以用来研究分子结构理论和分子动力学中分子间的相互作用，进而更好地理解分子状态。
总之，自旋算符和易关系具有紧密而复杂的内在联系。
自旋算符可以用来描述量子物理系统中各种粒子的态势，而易关系则可以帮助研究人员从量子系统的内部结构中找出粒子之间的相互作用，从而更好地理解量子物理系统的性质。
自旋角动量算符
自旋角动量算符是描述电子内禀属性自旋角动量的算符。
自旋角动量是电子的内禀属性，无经典对应，不能象轨道角动量一样写成r 和p的函数，而是描述电子状态的又一个新的力学量。
自旋角动量算符与轨道角动量算符的对易关系一致，因此可以利用角动量的定义和性质来研究自旋角动量。
自旋角动量的分量算符s^x、s^y、s^z具有和轨道角动量算符分量一样的对易关系，即有[s^i,s^j]=iϵij ks^k。
类似地，我们也可以定义自旋算符s^+=s^x+is^y和s−=s^x−is^y，它们满足的对易关系为[s^+,s−]=2s^z。
同时，自旋算符的本征值σ称为自旋变量，它是算符s^z的本征值的可能取值的集合。
当给定自旋角动量的模量平方s2时，s2=s(s+1)。
由于算符s^z的本征值之差必为一个整数，且当σs可取的最大值为s时，相应地有s^z的本征值可取的最小值为−s。
因此必有2s=n为一个非负整数，故有s的可取值为n/2，即s既可以是一个整数，也可以是一个半整数。
当给定s时，σ的取值可以是s, s−1,..., −s，共有2s+1种可能，这表明自旋为s的粒子的波函数共有2s+1个分量。
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散射简介散射实验在近代物理学的发展中起了特别重要的作用。
特别是在认识原子、分子、核及粒子的结构性质方面，Rutherford的粒子散射→原子的结构。
从此揭开了原子结构的新篇章，夫兰克赫兹实验证明了玻尔关于原子有定态的假设，原子很小，很难看到其微观结构，只能通过粒子与其作用，探测其性质，结构,就像用石头探水深，投石问路的方式探测其结构。
散射现象也称为碰撞现象通过散射表现出的宏观现象，研究靶的结构性质散射过程的一些基本概念①一个粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能变换，粒子内部状态无改变态，则称为弹性碰撞（散射）若碰撞中粒子内部状态有所改变，如原子被激发或电离，则为非弹性碰撞，注意和经典物理中物体碰撞的比较。
②粒子和另一粒子的散射实质是粒子与力场的作用，微观原子为靶时，实质是粒子与原子的作用，场电、电场、核力确定原子、粒子很小靶粒子称为散射中心，当靶A的质量能入射粒子质量大得多时，可忽略靶的运动。
这样以来入射粒了受A的作用偏离原来运动方向，发生散射于原来方向的夹解θ，为散射角，如以极坐标描述，取入射粒子流方向为z 轴，则θ用就为散射角。
研究dn单位时间内散射到面积元ds 上的粒子数dn ，当r 一定时，取求面上面积元ds 则，当r 变化时2ds r ∞∴2dsdn d r∞=Ω 即与ds 所张的立体角成正比，同时dn 与入射粒子流强度N 成正比 N 定义，单位时间穿过单位横截面的粒子数 d n N d ∞Ω一般情下，不同方向(,)θϕ散射到的粒了数不同 (,)d N q N d θϕ=Ω(,)dn q Nd θϕ=Ω 当N 一定时，单位时间散射到(,)θϕ方向立体角ds 内的粒子数dn 由(,)q θϕ确定，(,)q θϕ与入射粒子，散射中心的性质等有关(,)q θϕ的量纲为2L 面积(,)dnq Nd θϕ=Ω(,)q θϕ称为微分散射截面一个粒子(,)q d θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的几率 N 个粒子 (,)q Nd θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的个数 N 为单位时间入射粒子则(,)q Nd θϕΩ单位时 个数 将(,)q d θϕΩ对所有方向积分2(,)(,)sin o o Q q d q d dp ππθϕθϕθθ=Ω=⎰⎰⎰ 称为总截面取散射中心为坐标原点，用()U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛方程为222U E ψψψμ-∇+= 式中的μ为入射的质量，E 是它的能量 为了方便，定义22222E p k μ== p k v μμ==22()()V r U r μ=hp k λ==2p k πλ==方程变为 22(())0k V r ψψ∇++=我们关心r →∞时ψ的行为，假设r →∞时()0U r →在粒子远离散射中心时，作用超于零，()U r 比1r更快超于零，对电场不适用。
这样在r →∞地方，波函数由两部分组成12(,)ikrikzr e Ae f rψψψθϕ→∞→+=+ 1ikzAe ψ= 2(,)i k r e f rψθϕ=入射粒子平面波 散射粒子的球面波，向外传播我们只考虑弹性散射，散射波能量不改变，波矢k 不变，(,)f θϕ是,θϕ的函数与r 无关。
取1A =则211ψ=表示每位体积内有一个入射粒子，入射几率流密度是****11111111[][]22z i i J ik ik z z ψψψψψψψψμμ∂∂=-=--∂∂[2]2i k ik V μμ=-== 即入射粒的粒了流强度N 散射波的几率流密度：*2*222222()[](,)22ikrikr ikr r i i e re ik e J f r r r rψψψψθϕμμ--⎡∂∂--=-=⎢∂∂⎣ 2212222(,)(,)2ikr ikr ikre re ik e i ikr r rik rf f r r r r r θϕθϕμ-⎤----⎡⎤-=-⎥⎢⎥⎣⎦⎦22222221(,)(,)(,)2i ik k v f f f r r rθϕθϕθϕμμ-=⋅=⋅= 即221(,)r J J f rθϕ∂= 散射流密度单位时间内穿过球面上单位面积几率222(,)(,)r v dn J ds f ds v f d r θϕθϕ===Ω V=N则d Ω为单位时间穿过面积ds 或在(,)θϕ方向d Ω立体角内的粒子数。
∴2(,)(,)f q θϕθϕ=微分散射截面(,)f θϕ称散射振幅，可见剩下的问题是要求解(,)f θϕ和具体的()U r 有关对于中心力场，势能()U r 只和粒子到散射中心的距离r 有关，与r的方向无关薛方程写为 22()0K V r ψψ⎡⎤∇++=⎣⎦我们在极坐标下解此方程，取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，波函数ψ和散射振幅f 与ϕ角无关一般解可写为 (,,)(,)l lm lmr RY ψθϕθϕ=∑ lm Y 球函数因 (,)(1)(cos )m m im lm lm l Y N P e ϕθϕθ=- m l P 缔合勒组征 现在ψ与ϕ无关，故0m =∴(,)()(cos )l l lr R r P ψθθ=∑ l P 勒让德多项式即将波函数用勒让德多项式展开或按角动量的本征态展开，这样分解出的角量子数 0,1,2,3l =各项分别叫做S 波、P 波、d 波、f 波 径向波函数()e R r 满足径向方程2222()1(1)()()()0l l dR r d l l r K V R R r dr dr r r +⎡⎤⋅+--=⎢⎥⎣⎦ 令 ()()l l u r R r r=则()r r u 满足方程2222(1)()0l l d u l l K V r u dr r +⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦用数值方法解出波函数计算出微分截面。
例：[],c so v s r V V W W i V V ++++=(1)其中，实部光学势：23012(-)-()()r i V N Z V V V E V E f r A=+++, (2) 虚部体吸收势：2V 012i W (r)-(U U E U E )f (r)=++, (3)虚部表面吸收势：=)(r W s i 01n 2df (r)(N Z)(4W W E W )A dr-++, (4) 自旋轨道耦合势：[])1()1()1()(2)(+-+-+=b b so so so s s l l j j dr r df r U r V , (5)库仑势：=)(r V c ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<-cb cc c R r rZ Z R r R r R Z ,440975.1),3(Z 0.72044822b , (6)其中，A 和Z 为靶核的质量数和电荷数，j 和l 分别是靶核的总角动量和轨道角动量，b s 和b Z 为入射粒子的自旋和电荷，E 为中子入射能量。
其中形状因子：,,,,,)(exp 11)(so v s r i a R r r f i i i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=(7),,,,so v s r 分别代表实部、面吸收、体吸收和自旋轨道耦合。
所有的光学势半径参数及c R 为：31A r R i i =, c so s r i ,,,,ν=, (8)so v s r r r r r ,,,, 库仑半径c r ，光学势扩散宽度r α，v α，s α，so α和能量相关项系数V 0，V 1，V 2，V 3，V 4，W 0，W 1，W 2，U 0，U 1，U 2在理论上都是常数，对不同的核可在物理意义允许的范围内调节。
由（3），（4）式给出的体系收和面吸收势如是正值则令其为零。
本文讨论中子入射反应的中子势参数，不包含库仑势。
本文中能量的单位为MeV ，长度的单位为fm 。
中子入射天然Zr 和90Zr 的总截面和弹性角分布的实验数据很多，能量分布已很广，在这些数据的基础上可以得到比较精确的光学势参数。
图. n+90Zr 弹性散射截面和实验数据的比较 图. n+90Zr 总截面和实验数据的比较每个电子都有自旋角动量S ，且在空间任意方向上的分量取两个值：2z S =±每个电子都有自旋磁矩M ，且与自旋角动量S 关系为：e e M S m c=-电子自旋算符之间对易关系x y y x zy z z y x z x x z yS S S S i S S S S S i S S S S S i S -=-=-=同时有 （对本征态任意态）22224xy z S S S === 22222231(1)42x y zS S S S s s s =++==+=222[,][,][,]0x y zS S S S S S ===波函数 两个本征态 2z S =±波函数112122(,)(,)(,)(,)()()z z z z z r s r s r s r s r r ψψψψψχψχ-+-+=+=+()()x x ψψ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦22(),()x x ψψ-+ 意义？22()()1x x ψψ-++=算符2S 本征值22231(1)42S s s s ==+=对应矩阵222230103340144304I ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦z S 本征值2z S =±对应矩阵0102012202z z S σ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦x S 在2,z S S 共同表象中矩阵表示对应矩阵0012102202x x S σ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦y S 在2,z S S 共同表象中矩阵表示对应矩阵00202202y y i i S i i σ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦S 在任意方向(,)n θϕ的投影n S ，在2,z S S 共同表象中矩阵表示sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos cos sinsin cos n x y zx y zi i S S n S S S e eϕϕθϕθϕϕσθϕσθϕσϕϕθθϕ--=⋅=++=++⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦本征值？ 对角化？1[,]2[,]2[,]2x y zy z x z x y i i i σσσσσσσσσ===22221xyzσσσ===3{} {} {}0,0,0,0,0,0x y y x y z z y z x x zx yy zz xσσσσσσσσσσσσσσσσσσ+=+=+====222x y y x z z z z y z z y x x x x z x x z yy x y z y z x z y x yy i i i i i ii i i i i i σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=-=====-=====-====。