《波导光学》1-6

一常数才有可能。
方程的右边：
1
d
2
2
m2
即：
d
2
2
m2
0
（4.3）
表示场量（电矢量或磁矢量）在横截面圆周方向变化的规律。
其解为：
cos sin
m m
m = 0、1、2、- - -
（4.4）
应以2 为周期； m = 0 意味场量不随方位角变化，即子午光线； m 0意味场量在圆周方向按正弦或余弦分布。
x 0
2 π
ln
X 2
N
m
X
x 0
m
π
1!
2 X
m
x
NmX
2
X
sin X
4
m
2
在kcr 0时（光纤纤芯）呈发散状，物理上不合理，故舍去。
包层内
k02n2 - 2 kc2 0
其解： Rr KImmaaccrr
r a （4.7）
其中：
ac2
kc2
k02n
2
2
-
2
0
Km ac r 和 I m ac r
E jH
H jE
z
r
横向分量以r和 为参量
略去推导过程，横向分量有：
kc2 Er
j
Ez r
j 0
r
H z
kc2 E
j
r
Ez
j0
H z r
kc2 H r
j 0n2
r
Ez
j
H z r
kc2 H
j0n2
Ez r
j
r
H z
式中kc为横向传播常数：
k02 n 2
k
2 c
kc2 200n2 2 k02n2 2
n2
r
0
2
如果光纤中折射率是变量r的函数，则 n 用n(r ) 代替
4.2 阶跃光纤的严格解——矢量模解
重写纵向分量（4.1）式：
1 r
r
r
r
1 r2
2
2
kc2
0
（4.1） （二阶偏微分方程）
式中： kc2 k02n2 - 2
用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于r和 两个解。
圆柱形介质光波导的基本解
本讲可参考教材 导波光学
1
2
3
4
5
4.1 圆柱型波导中场方程的求解
1. 将场分量分解成纵向分量和横向分量
z
2 E k02n2E 0 （三维矢量方程） 2 H k02n2H 0
r
0
2 ET k02n2 ET 0 （横向分量，矢量方程） 2HT k02n2HT 0
式中：
Ez Hz
Rr Φ e
jz
（4.2）
所有沿z向传播的场分量都有传播因子 e jz ，为z向传播
常数；
纵向分量给出电矢量或磁矢量在横截面的半径R 方向和圆 周 方向上随 z 轴变化的规律；
用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于R 和 两个解。
3. 根据麦克斯韦方程的横向矢量与纵向分量的关系求出 横向分量，无需解矢量方程。
方程的左边：
r d r dRr
dr dr
kc2 r 2
m2
Rr 0
令：X = kc r ，表示成贝塞尔方程形式：
d 2R dX 2
1 X
dR dX
1
m2 X2
R 0
（4.5）
X2 0 ，m阶贝塞尔方程标准形式
（纤芯内的场解）
X2 0 ， m阶变态贝塞尔方程标准形式 （包层内的场解）
沿圆周方向出现最大值的对数。
3) m = 0 对应子午光线。
4) 沿z轴呈行波状态，波的相位常数为。
2. 在包层内
1) 沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述，以保 证电磁波能量集中在纤芯和边界面附近。
2) 在圆周方向场量分布和纤芯内相同，以保证满足界面 边界条件。
3) 具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。
r, , z RrΦ e jz （4.2）
（3.2）式代入（3.1）式：
r
d dr
r
dRr
dr
Rr
r2
d
2
2
kc2
Rr
0
两边同乘 r2 / Rr Φ
r
Rr
d dr
r
dRdrr
kc2 r 2
1
d 2
2
上式左边只是r 的函数，右边只是 的函数，而r 、 都是独
立变量，欲使上式对任何r 和 都成立，只有两边都等于同
2 EZ k02n2 EZ 0 2H Z k02n2 H Z 0
（纵向分量，标量方程）
2. 导出圆柱面波导波动方程纵向分量的微分方程：
1
r
Ez
r r r
1 r2
2Ez
2
k02n2
-
Ez
0
（4.1）
1 r Hz
r r r
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 r2
2Hz
2
k02n2 -
Hz
0
（二阶偏微分标量方程方程）
纵向分量（3.2）式场解用贝塞尔函数表示，则有：
纤芯内 的场解
E z1
A1
J
m
k
c
r
sin cos
m m
e
jz
H z1
B1
J
m
k
c
r
cos sin
m m
e
jz
A1， B1是 待定常数
（4.8）
包层内 的场解
Ez2
A2
K
m
ac
r
sin cos
m m
e
jz
H z2
B2
K
m
ac
r
cos sin
m m
e
jz
引入两个参数：
无量纲化
▪ U kca ——表示纤芯内场沿半径a方向分布规律 kc ——纤芯内横向传播常数
U 2 k02n12 - 2 a2 0
▪ W aca ——表示包层内场沿半径a方向衰减程度
ac ——包层内横向衰减系数
W 2 2 - k02n22 a2 0
变态贝塞尔函数
不合理
Km(X)在r较大时按指数规律迅速衰减，呈现表面波特性。 Im(X)随 r增大呈无限增大状态，物理上不合理，故舍去。
纵向分量Ez 和 Hz的特点： 1. 在纤芯内
1) 沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。
2) 在圆周方向场量呈sin m 或 cos m 驻波分布，m是
A2， B2是 待定常数
（4.9）
注意两个贝塞尔函数的差异。
4.2.1 导波模的特征方程
• 如何确定光纤中电磁场解（4.8），（4.9）式 中的待定常数？
• 能否用数值解表示光纤中的电磁场分布？ • 电磁波成为导波的条件是什么？ • 模式如何分类？ • 传播模式与光纤结构有什么关系？ 由特征方程回答上述问题。
X2 的正负取决于
k
2 0
n
2
-
2
k
2 0
n
2
k
2 c
纤芯内： k02n2 - 2 kc2 0
2
其解： Rr NJ mmkkccrr
ra
（4.6）
表示场量（电矢量或磁矢量）在横截面半径r 方向变化的规律。
J m kc r —— 第一类贝塞尔函数 Nm kcr —— 第二类贝塞尔函数
（贝塞尔函数——级数表示的特殊函数）
第一类贝塞尔函数的两种极端状态：
x0
J0X 1
JmX
x0
1 m!
X 2
m
J
m
X
x
2
X
cos X
4
m
2
X = kc r 特点：两类贝塞尔函数都是震荡函数，有无穷多个零点或根。
在径向按1/ kcr 衰减的驻波场
第二类贝塞尔函数的两种极端状态：
N
0
X