第4讲基本不等式与柯西不等式
柯西不等式(优质课)
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
基本不等式及柯西不等式
考点3 基本不等式及柯西不等式1. （15泰州一模）已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，求证：222b c a a b c ++≥3． 【考点】基本不等式．【证明】∵正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3， ∴333a b c abc =++…， ∴abc ≤1， ∴332222221333b c a b c a a b c a b c abc ++⋅⋅=厖．2. （15江苏模拟（三））已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2222236a b c d ＋＋＋＝25，求实数d 的取值范围．【解】由柯西不等式得()()22222111111236236236236a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅+⋅+⋅++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当且仅当236a b c ==时取等号．∵1a b c d ++=-，222223625a b c d ++=-，∴()22125d d --≤，即2120d d --≤．解得[]3,4d ∈-． 3. （江苏2015高考冲刺压轴卷）已知不等式221a b c x ++-≤对于满足条件2221a b c ++=的任意实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围．【考点】本题考查了柯西不等式． 【解】因为()()2222(2)1124a b c a b c ++++++=≤，所以22a b c ++≤， 又221a b c x ++-≤对任意实数,,a b c 恒成立, 故2max 12)2x a b c -++=≥(， 解得3,x -≤或3x ≥．4．（徐州市2014届高考信息卷）,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 【考点】柯西不等式.【解】因为243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，因为,,a b c 为正数，所以由柯西不等式得2111[(1)2(1)4(1)]()(122)111a b c a b c +++++⋅+++++++≥，当且仅当222(1)2(1)4(1)a b c +=+=+等式成立． 所以111116211110a b c ++++++≥， 所以111111a b c +++++的最小值是116210+， ……………………8分 此时2310215217852,,777a b c ---===． ……………………10分 5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知a ，b 是正数，且a +b =1，求证：()()ax by bx ay xy ++≥.【考点】基本不等式.【证明】∵a ，b 是正数，且a +b =1，∴2222()()()ax by bx ay abx a b xy aby ++=+++2222()()ab x y a b xy =+++222()ab xy a b xy ⋅++≥2()a b xy xy =+=即()()ax by bx ay xy ++≥成立.6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知a ，b 是正数，求证（a +1b ）（2b +12a ）≥92． 【考点】基本不等式．【证明】因为a ，b 是正数，利用基本不等式，1111222222a b ab b a ab ++=+++()()155922222ab ab =+++=（）≥，2所以119222a b b a ++()()≥． 7. （15南京一中等五校联考）已知实数x ，y ，z 满足3x +2y +z =1，求22223x y z ++的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【解】由柯西不等式，22222221()(2)(3)3(2)()(32)13x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当231323x y z ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为334．8.已知22223x y z ＋＋＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． 【解】 ∵(22223x y z ＋＋)2221323⎡⎤⎛⎫+()+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥2132233x y z ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪⎝⎭＝2(32)x y z ＋＋， 当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴2(32)x y z ＋＋≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23. 当x ＝9317-，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－23.9. (2015·南京、盐城调研)已知x 、y 、z 均为正数，求证：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z ++. 【证明】 由柯西不等式，得 (21＋21＋21)222111xy z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥2111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 即3×222111x y z ++≥111x y z ++. ∴33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z++. 当且仅当1x ＝1y ＝1z 时等号成立． 10. (2015·苏、锡、常、镇调研)设实数x ，y ，z 满足x ＋2y －3z ＝7，求2x ＋2y ＋2z 的最小值．【解】 由柯西不等式，得(2x ＋2y ＋2z )·[21＋22＋2(3)－]≥2(23)x y z ＋－. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴2x ＋2y ＋2z ≥72. 当且仅当x ＝2y ＝3z 时取等号， 即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号． ∴2x ＋2y ＋2z 的最小值为72.。
基本不等式及柯西不等式
g3.1037基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.注意： ○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+仅当a=b 时取等号） （2）柯西不等式1、定理1（二维）若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立。
2||ac bd ≥+||||ac bd +3、定理2（向量形式）设,αβ 是两个向量，则有||||||αβαβ⋅≤⋅ ，当且仅当0β=，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立。
4、定理3（三角不等式）设1122,,,x y x y R ∈，则有5（多维） 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、基本练习1、下列结论正确的是 （ ） A ．当101,lg 2lg x x x x>≠+≥且时B ．02x >≥当时C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．xx y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x xx yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、设0>>b a ，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a ab +2ab b a >+>2B ．>>+ab b a 2b a ab +2C ．>+2b a b a ab +2ab >D ．b a ab+22b a ab +>> 5、若,210<<a 则下列不等式中正确的是（ ）A ．log (1)1a a ->B ．x x a )21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1(6、若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （ ） A ．8 B ．4C ．22D ．4227、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 8、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是_____________________.三、例题分析例1、已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值． 例2例3、已知0a >，求函数2y =的最小值。
基本不等式和柯西不等式
《基本不等式和柯西不等式》复习课教学设计一：教学目标复习基本不等式和柯西不等式及其推广形式，会用这两个不等式解决一些简单问题，例如证明不等式和求函数最值，掌握相关配凑的技巧，感受数学的美妙，提高数学素养，并培养学生的探究精神。
二、重点：熟练运用均值不等式和柯西不等式及其推论形式难点：求函数最值与证明不等式时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四、教学媒体：投影仪 五、教学过程： 一、引入：（教材回归） 1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）2、定理2：如果b a ,是正数，那么abb a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abccb a ≥++。
（当且仅当c b a ==时取“=”）4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数； ②．基本不等式：na a a n+++ 21≥n n a a a 215、定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,a b c d 都是实数,则22222()()()a b c d ac bd +++≥.当且仅当ad bc =时,等号成立 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||dc +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
6、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
基本不等式及柯西不等式
基本不等式及柯西不等式专题1.已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，求证：222b c a a b c++≥3．2.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2222236a b c d ＋＋＋＝25，求实数d 的取值范围．3.已知不等式221a b c x ++-≤对于满足条件2221a b c ++=的任意实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围．4．,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值．5．已知a ，b 是正数，且a +b =1，求证：()()ax by bx ay xy ++≥.6. a ，b 是正数，求证（a +1b ）（2b +12a ）≥92．7.已知实数x ，y ，z 满足3x +2y +z =1，求22223x y z ++的最小值．8.已知22223x y z ＋＋＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．9．已知x 、y 、z 均为正数，求证： 33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z ++.10.设实数x ，y ，z 满足x ＋2y －3z ＝7，求2x ＋2y ＋2z 的最小值．基本不等式及柯西不等式专题1.已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，求证：222b c a a b c ++≥3． 【考点】基本不等式．【证明】∵正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3， ∴333a b c abc =++…， ∴abc ≤1， ∴332222221333b c a b c a a b c a b c abc ++⋅⋅=厖．2.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2222236a b c d ＋＋＋＝25，求实数d 的取值范围．【解】由柯西不等式得()()22222111111236236236236a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅+⋅+⋅++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当且仅当236a b c ==时取等号．∵1a b c d ++=-，222223625a b c d ++=-，∴()22125d d --≤，即2120d d --≤．解得[]3,4d ∈-． 3.已知不等式221a b c x ++-≤对于满足条件2221a b c ++=的任意实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围．【考点】本题考查了柯西不等式． 【解】因为()()2222(2)1124a b c a b c ++++++=≤，所以22a b c ++≤， 又221a b c x ++-≤对任意实数,,a b c 恒成立, 故2max 12)2x a b c -++=≥(， 解得3,x -≤或3x ≥．4．,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 【考点】柯西不等式.【解】因为243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，因为,,a b c 为正数，所以由柯西不等式得2111[(1)2(1)4(1)]()(122)111a b c a b c +++++⋅+++++++≥， 当且仅当222(1)2(1)4(1)a b c +=+=+等式成立．所以111116211110a b c ++++++≥， 所以111111a b c +++++的最小值是116210+， ……………………8分 此时2310215217852,,777a b c ---===． ……………………10分 5．已知a ，b 是正数，且a +b =1，求证：()()ax by bx ay xy ++≥.【考点】基本不等式.【证明】∵a ，b 是正数，且a +b =1，∴2222()()()ax by bx ay abx a b xy aby ++=+++2222()()ab x y a b xy =+++222()ab xy a b xy ⋅++≥2()a b xy xy =+=即()()ax by bx ay xy ++≥成立. 6. a ，b 是正数，求证（a +1b ）（2b +12a ）≥92． 【考点】基本不等式． 【证明】 因为a ，b 是正数，利用基本不等式，1111222222a b ab b a ab ++=+++()()155922222ab ab =+++=（）≥，2所以119222a b b a ++()()≥． 7.已知实数x ，y ，z 满足3x +2y +z =1，求22223x y z ++的最小值．【考点】 柯西不等式在函数极值中的应用．【解】由柯西不等式， 22222221()(2)(3)3(2)()(32)13x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥， 所以22232334x y z ++≥， 当且仅当231323x y z ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为334． 8.已知22223x y z ＋＋＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．【解】∵(22223x y z ＋＋)2221323⎡⎤⎛⎫+()+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ≥2132233x y z ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪⎝⎭＝2(32)x y z ＋＋， 当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴2(32)x y z ＋＋≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23. 当x ＝9317-，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－23.9. (2015·南京、盐城调研)已知x 、y 、z 均为正数，求证：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z++. 【证明】 由柯西不等式，得 (21＋21＋21)222111xy z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥2111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 即3×222111x y z++≥111x y z ++. ∴33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z ++. 当且仅当1x ＝1y＝1z 时等号成立． 10.设实数x ，y ，z 满足x ＋2y －3z ＝7，求2x ＋2y ＋2z 的最小值．【解】 由柯西不等式，得(2x ＋2y ＋2z )·[21＋22＋2(3)－]≥2(23)x y z ＋－. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴2x ＋2y ＋2z ≥72. 当且仅当x ＝2y ＝3z -时取等号， 即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号． ∴2x ＋2y ＋2z 的最小值为72.。
《柯西不等式》课件
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应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
基本不等式与柯西不等式 共48页PPT资料
(3)二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22
2．柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…bn 为实数，则(a12＋a22＋…＋an2)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn)2.
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__2_______，几何
平均数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两__个__正__数__的__算__术__平__均__
__数__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数__．_______
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y____时，x＋y 有最小值是___2__p___.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y__时，xy 有
p2 最大值是____4___.(简记：和定积最大)
5．平均值不等式
a＋3b＋c≥3 abc(a，b，c≥0)
二、 柯西不等式 1．柯西不等式的二维形式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数， 则(a21＋a22)(b21＋b22)≥___(a_1_b_1＋__a_2_b_2_)2__ (当且仅当 a1b2＝a2b1 时， 等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，
4y 的最小值是
()
24 A. 5 C．5
28 B. 5 D．6
【高中数学】秒杀秘诀MS06基本不等式和柯西不等式
x y x y xy
xy
xy
例 8：已知实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 x+y=2，则 + 的最小值为
．
解： x 3y x
y
x
2 3y
1 x
y
2
2 1
2
1 3 2 2 。
x 3y x y 4
18.已知正整数 a, b 满足 4a＋b＝30 ，使得 1 1 取最小值时，则实数对（ a, b) 是（ ） ab
m 0, n 0 ，则 1 2 的最小值为 ______________. mn
25.函数 y log a (x 1) 1 (a 0，且a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在一次函数 y mx n 的图象上，
其中 mn 0 ，则 1 2 的最小值为
．
mn
26.设
0＜t＜
13.已知 log2 a log2 b 1 ,则 3a 9b 的最小值为__________
14.正数 a，b 满足 ab=1，则 a+2b 的最小值为（ ）
A．
B． 2
C． 3/2
D． 3
15.设 a＞b＞0，则 a+ + 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
16.设 x＞0，若 x+ ＞1 恒成立，则 a 的取值范围是（
xy
xy
例
6：已知
0
a
1 ，则
(1 a
1
4
a
)
min
_________
解：
1 a
4 1 a
a
1
a
(1 a
4 1 a
)
(
1
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
其形式有以下几种：二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）三角形式√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
基本不等式与柯西不等式的关系
基本不等式与柯西不等式的关系1. 不等式的引子说到不等式，很多人可能会想：“这玩意儿跟我有什么关系？”但其实，不等式就像我们生活中的调味料，少了它，咱们的数学世界就显得平淡无奇。
想象一下，你在厨房里做饭，盐放多了，菜就咸得让人受不了；放少了，味道又寡淡得像水煮白菜。
所以啊，不等式在数学上同样重要，它能帮我们理清思路，让我们在解决问题的时候不至于走弯路。
2. 基本不等式的魅力2.1 什么是基本不等式？先说说基本不等式，简单来说，就是对于任何非负实数 ( a ) 和 ( b )，都有这样的关系：( frac{a + b{2 geq sqrt{ab )。
这是什么鬼？其实就是告诉我们，两个非负数的算术平均数总是大于等于它们的几何平均数。
听起来有点深奥，但实际上它就像是个老爷爷，在告诉你：多想想整体，而不是只盯着某一个点。
2.2 生活中的例子想象一下，你和朋友一起去吃饭。
你们点了两道菜，分别是红烧肉和青菜。
每道菜都有自己的味道，但整体上，配在一起的口感才最完美。
这就像基本不等式告诉我们的道理：合起来的平均效果，总比单独的一道菜来得更好。
生活中的很多事，都是这样子，有时候我们不能只看表面，要综合考虑，才能得出更好的结果。
3. 柯西不等式的精彩3.1 柯西不等式的定义说到柯西不等式，这个家伙就更牛了。
它的表述是这样的：对于任意实数 ( a_1, a_2, ldots, a_n ) 和 ( b_1, b_2, ldots, b_n )，都有： (a_1^2 + a_2^2 + ldots +a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 哇塞，听起来像是外星人语言，但实际上，这个不等式就像是一位数学界的魔法师，能够帮助我们在复杂的环境中找到更简单的关系。
3.2 应用与影响柯西不等式的应用范围可广了，像是计算机科学、物理学，甚至经济学中，都能见到它的身影。
第4讲基本不等式与柯西不等式.ppt
探究三：应用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.
证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba. 同理 1＋1b＝2＋ab. 所以(1＋1a)(1＋1b) ＝(2＋ba)·(2＋ab) ＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
值为 3 2.
探究六：应用柯西不等式证明不等式
例6 设 a1，a2，a3 均为正数，且 a1＋a2＋a3＝m，
求证：a11＋a12＋a13m9 .
【解答】证法 1：由已知条件和均值不等式有： a11＋a12＋a13＝m1 (a1＋a2＋a3)a11＋a12＋a13 ＝m1 3＋aa12＋aa21＋aa23＋aa32＋aa13＋aa13 ≥m1 (3＋2＋2＋2)＝m9 ， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝m3 时，等号成立．
2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋2 b2(a、b∈R) a2＋b2_≥___a＋2b2(a、b∈R)；ab_≤___a＋2 b2(a、b∈R) a＋2 b2_≤___a2＋2 b2(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时成立．
答案：D
变式训练1
(2011·北京重点中学第一次月考)已知函数 f(x)＝log2(x＋1)，当 点(x，y)是 y＝f(x)的图象上的点时，点(3x，2y)是 y＝g(x)的图象上 的点．
(1)写出 y＝g(x)的表达式； (2)当 g(x)－f(x)≥0 时，求 x 的取值范围； (3)当 x 在(2)所给范围内取值时，求 g(x)－f(x)的最大值．
基本不等式与柯西不等式资料-2022年学习资料
2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m十n的最小值为-A.18-B.36-C.81-D.243-解析： m>0,n>0,.m+n≥2Vmn=18.当且仅当m=n-=9时，等号成立·-答案：A
3.教材习题改编已知0<x<1,则x3一3x取得最大值-时x的值为-A3-解析：由3-3刘=号×33-3≤ 星-子，当且仅当-3x=3-3x,即x=时等号成立.-答案：B
4若1，则+，兰-的最小值为-当组仅当x11即x=3时等号成立.-答案：5
5.已知>0>0，+g=1则子+的最小值-为-解析：由已知条件gx+gy=1,可得xy=10.-则+29= ，故+m=2,当且仅当2=5x-时取等号.又xy=10,即x=2,y=5时等号成立·-答案：2
[名师叮嘱要牢记]-1.在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个-条件，就是“一正一各项均为正；二定 积回或和为定值；-三相等-等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现-错误·-2对于公式a+b≥2ah,b 生，-要弄清它们的-作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和α +b-的转化关系.
3.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公-式的逆用，例如u2+b2≥2b逆用就是b≤“b;“≥{ a,b0逆用就是h≤士a,b>0等.还要注意“潘、拆-项”技巧和公式等号成立的条件等.-4.柯西不等式的形 特点-从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模-平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平 -形式，可简记为“方和积不小于积和方”·
4.利用基本不等式求最值问题-已知x>0,y>0,则：-1如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x十y 有最小值是-2p简记：积定和最小-2如果和x十y是定值p,那么当且仅当二y时，xy有-最大值是4-.简记： 定积最大-5.平均值不等式-a+6+‘≥=ahca,b,e≥0
柯西不等式课件
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2
当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2
方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳
基本不等式与柯西不等式(教师)
基本不等式与柯西不等式1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 推论：如果a 、b 、c ∈+R ，那么3a b c++≥ （当且仅当 时取“＝”号）4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．注意：利用均值定理求最值时，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；若条件不满足时，应进行适当的分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式，这是解决问题的关键所在。
若多次运用均值不等式求最值，必须保证每次取“=”的一致性。
5.柯西不等式：22222,,,,)(d )()a b c d R ab c ac bd ∈++≥+则（，当且仅当a b c d=时取“=”号推论：222111,,,()nnni iii i i i i i n N a b R a b a b ===∈∈=∑∑∑则，当且仅当1212n na a ab b b == 时取“=”号1. 若x ,y ∈R +，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 .答案 161 2. 已知a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，则a +2b 的最小值为 .答案 7+26 3.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 .答案 44.x +3y -2=0，则3x+27y+1的最小值为 .答案 75.（2008·江苏，11）x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy 2的最小值是 .答案 36.设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小 ．例1 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值； （2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（3）求函数xx y 22sin 4sin +=的最小值 变式训练：1.若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =9，求x +y 的最小值.2.已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+ybx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解：⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，．3.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x =-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2 -21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1当且仅当-(x -1)= ()11--x ，即x =2（舍）或x =0时取等号.即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x =-1.例2. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x 162米.则总造价f (x )=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162 =1 296x +x 1002961⨯+12 960=1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960≥1 296×2x x 100∙+12 960=38 880（元），当且仅当x =x100(x ＞0),即x =10时取等号∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. （2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16. 设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x . g （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(此时x 162=16),g (x )有最小值， 即f (x )有最小值.1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元.变式训练：甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v (千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为y =(a +bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］. （2）依题意，有s ,b ,a ,v 都是正数.因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①若b a ≤c ,则当且仅当v =bv a ⇒v =ba时,y 取到最小值. ②若ba≥c ,则y 在（0，c ］上单调递减， 所以当v =c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ； 当ba≥c 时，行驶速度应该为v =c . 例3.已知x 、y 、z 均为实数，（1）若x +y +z =1,求证：13+x +23+y +33+z ≤33； （2）若x +2y +3z =6，求x 2+y 2+z 2的最小值.（1）证明 因为（13+x +23+y +33+z ）2≤(12+12+12)(3x +1+3y +2+3z +3)=27.所以13+x +23+y +33+z ≤33.(2)解 因为(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)≥(x +2y +3z )2=36,即14(x 2+y 2+z 2)≥36, 所以x 2+y 2+z 2的最小值为718. 例4．（1）求证：)(222222444c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++。
基本不等式柯西不等式知识点复习
基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式三、常用的几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)(3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b.四、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+：当且仅当a ＝b 时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．(1)如果积xy是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；+≤≤2a b≤+2aba b定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )≥4，所以z 的最小值是4.解二：z ＝2＋x 2y 2－2xy xy ＝(2xy＋xy)－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝14，由f(t)＝t ＋2t 在(0，14]上单调递减，故当t ＝14时， f(t)＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值254.误区警示：１．已知函数，求函数的最小值和此时x 的取值．xx x f 1)(+=1:()22112.f x x xx x x =+≥===±解当且仅当即时函数取到最小值3２．已知函数，求函数的最小值．)2(2)(>-+=x x x xf 3()2223326f x x x x x x x =+≥->⎧⎪=⎨=⎪-⎩解：当且仅当即时，函数的最小值是2x =+大家把入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的最小值？(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3x (x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋2 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：若0<x ≤π2，则f(x)＝sinx ＋4sinx 的最小值为________．考点1 利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1：（1）已知c b a ,,均为正数，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++（2）已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++（3）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.考点2 利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4： (1)设0<x<2，求函数)2(2x x y -=的最大值．【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0，(2) x>0，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy 的最大值.4）已知=y 4a －2＋a ，求y 的取值范围． ．(5)已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y 的最小值．练习：求下列各题的最值．(1)已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5y 的最小值；(2)x <0，求f(x)＝12x ＋3x 的最大值；(3)x<3，求f(x)＝4x －3＋x 的最大值．（4）14,0,0=+>>b a b a ，求ab 的最大值。
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式
讲柯西不等式与排序不等式二维形式的柯西不等式汇报人：2023-12-02目录•引言•柯西不等式•排序不等式•二维形式的柯西不等式•案例分析•结论与展望CONTENTSCHAPTER01引言柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它提供了一个在特定条件下，实数的平方和与乘积之间的关系。
排序不等式是另一个重要的不等式，它描述了当一组实数被排序后，它们的和与积之间的关系。
二维形式的柯西不等式结合了柯西不等式和排序不等式的思想，进一步探讨了向量模长的平方和与它们之间的角度余弦乘积之间的关系。
背景介绍数学模型与定义柯西不等式01对于任意实数a,b,c,d，有(ac+bd)^2 ≤ (a^2+b^2)(c^2+d^2)。
当且仅当ad=bc时，等号成立。
排序不等式02对于一组实数x1,x2,...,xn，若它们按升序排列，即x1≤x2≤...≤xn，则有∑xi^2 ≤ (x1+x2+...+xn)^2 / n，等号在所有数都相等时成立。
二维形式的柯西不等式03对于两个非零向量A=(x1,y1),B=(x2,y2)，有|A|^2*|B|^2 ≥ (A·B)^2，等号在A和B共线时成立。
其中|A|表示向量A的模长，A·B表示两个向量的点积。
CHAPTER02柯西不等式•利用数学归纳法证明：通过数学归纳法，证明对于任何一组实数a_1, a_2, ..., a_n和b_1, b_2, ..., b n，都有∑{i=1}^{n}a_ib i≤∑{i=1}^{n}a i^2/∑{i=1}^{n}b_i^2利用排序不等式，可以证明一些优化问题的最优解，如线性规划、二次规划等排序不等式可以用于证明大数定理和强大数定理等概率论中的重要结论在概率论中的应用在最优化中的应用与其他数学知识的联系二维形式的排序不等式即为柯西不等式，两者是等价的与范德蒙公式的关系范德蒙公式是排序不等式的推广，适用于更广泛的情况CHAPTER03排序不等式对于任意实数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \ldots, y_n$，有$\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot\sum_{i=1}^{n}y_i^2 \geq\left(\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\right)^2$。
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探究三：应用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.
证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba. 同理 1＋1b＝2＋ab. 所以(1＋1a)(1＋1b) ＝(2＋ba)·(2＋ab) ＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a,b,c,d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
出能运用基本不等式的条件．
解析：(1)2x＋3y≥2 x6y，∴2 x6y≤2，∴xy≥6.(等号在 x ＝2，y＝3 时成立)
故 xy 的最小值为 6. (2)由 2x＋8y－xy＝0 得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x－2x8. u＝x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
(4)柯 西 不 等式 的 向 量 形 式 .
当 且 仅 当 是 零 向 量,或 存 在 实 数k, 使 k 时, 等 号 成 立.
(5) (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2 , y2 R,
那么
x2 1
y2 1
x2 2
y2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
答案：B
变式训练1
(2012·陕西文，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和
b(a<b)，其全程的平均时速为 v，则( )
A．a<v< ab
B．v＝ ab
a＋b C. ab<v< 2
D．v＝a＋2 b
解析：v＝1a＋2 1b＝a2＋abb<22aabb＝ ab，
因为
v－a＝
2ab
2ab－a2－ab ab－a2 a2－a2
答案：B
变式训练2
(2012·山西四校第一次联考)设 x、y∈R，a>1，b>1，若 ax＝by
＝2，a＋ b＝4，则2x＋1y的最大值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：依题意得 4＝a＋ b≥2 a· b(当且仅当 a＝ b时，等 号成立)，则 a b≤4，a2b≤16，又 x＝loga2，y＝logb2，所以2x＋ 1y＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log216＝4，即2x＋1y的最大值是 4， 故选 A.
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋2 b2(a、b∈R) a2＋b2_≥___a＋2b2(a、b∈R)；ab_≤___a＋2 b2(a、b∈R) a＋2 b2_≤___a2＋2 b2(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时成立．
(2)ab＋ba≥2(a、b 同号)，特别地1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤－ 2(a<0)．
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8·x－168＋10＝18. 等号在 x－8＝x－168即 x＝12，y＝6 时成立． ∴x＋y 的最小值为 18.
变式训练1
已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( )
A．3
B．42
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等号)．
a4－b4
a＋b
C. a－b <2ab< 2 <b
D．2ab<a＋2 b<b<aa4－－bb4
解析：∵b>a>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋2b2＝a＋2 b， 且 a2＋b2>a＋2b2＝12.∴aa4－ －bb4＝(a＋b)(a2＋b2)>a＋2 b.又aa4－ －bb4 －b＝a2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(1－b)(1－2b)<0.故应选 B.
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
探究一：应用基本不等式比较大小
[例 1] 已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么( )
A．2ab<aa4－－bb4<a＋2 b<b
B．2ab<a＋2 b<aa4－－bb4<b
－a＝
＝
>
＝0，所以
a＋b
a＋b
a＋b a＋b
2ab >0，故选 A. a＋b
答案：A
探究二：应用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值．
分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑
知识梳理
1．基本不等式：对任意 a、b∈_R_＋__，有a＋2 b≥ ab成立， 当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x ＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时， xy 有最__大__值S42.