第二章-过程控制多容

过程控制系统
主讲教师： 主讲教师：姜萍
2.2.3 多容过程建模
一、分离式双容水箱过程
A1
A2 不计两个水箱之间管路的时间延迟，以阀门 的开度 为输入， 的开度µ为输入 不计两个水箱之间管路的时间延迟，以阀门1的开度 为输入，第二个水 的液阻为R2， ；水箱1、 的横截面积 的横截面积A1、 箱的液位h2为输出 为输出， 箱的液位 为输出，阀2阀3的液阻为 ，R3；水箱 、2的横截面积 、 阀 的液阻为 A2，根据物料动态平衡关系，列写增量式 ，根据物料动态平衡关系，
∆ h( ∞ )
以p为S形的拐点，做切线与 形的拐点， 时间轴交于A 时间轴交于A，则 τ = OA
c
为容积滞后时间
交于C ∆h2 (∞ ) 交于C 轴的投影为B C在t轴的投影为B，则 AB=T0 为被控过程的时间常数。 为被控过程的时间常数。 切线与稳态值 为简化多容过程， 为简化多容过程，就用有延时 的单容过程来近似。 的单容过程来近似。
τ表示。 表示。 c
这种延迟是由前一个惯性环节的作用使得后一个环节的输出量变化在时 间上落后于扰动量。 间上落后于扰动量。 对象的容积个数愈多， 对象的容积个数愈多，其动态方程 的阶次愈高，其容积迟延愈大； 的阶次愈高，其容积迟延愈大；Leabharlann Baidu被控过程的容量系数越大， 被控过程的容量系数越大，容积迟 延也越大，图中给出的是具有1～ 延也越大，图中给出的是具有 ～5 个容积的对象的飞升特性。 个容积的对象的飞升特性。实际对 象的容积数目ｎ可能很多， 象的容积数目ｎ可能很多，每个容 量系数大小也不同。 量系数大小也不同。
非振荡的二阶环节
H 2 (S ) K K = = 2 µ ( S ) T1T2 S + (T1 + T2 ) S + 1 (T1S + 1)(T2 S + 1) K µ R3
T1 = A1 R2
T2 = A2 R3 K = K µ R3
R3 1 = = Kµ • ( A1 R2 S + 1)( A2 R3 S + 1) A1 R2 S + 1 A2 R3 S + 1 R3 1 A2 R3 S A1 R2 S = Kµ • 1 1 1+ 1+ A1 R2 S A2 R3 S
双容S形阶跃响应与单容的指数曲线 双容 形阶跃响应与单容的指数曲线 只有一定的变化速度， 当进水阀 ∆u 突然开大）瞬间，H1只有一定的变化速度，变化 （突然开大）瞬间， 只有一定的变化速度
量为0， 起始变化为0，由于增加了一个容积， 量为 ， ∆Q1 = 0 ,使H2起始变化为 ，由于增加了一个容积，使 使 起始变化为 得被调量的响应在时间上落后。 得被调量的响应在时间上落后。多容对象对于扰动的响应在时间 上的延迟称为容积滞后， 表示。 上的延迟称为容积滞后，用 τ c 表示。
K µ ∆µ −
∆h2 d ∆h1 d ∆h2 = A1 + A2 ⑧ R3 dt dt
d 2 ∆h2 R2 d ∆h2 d ∆h1 d ∆h2 R2 = A2 R2 + ⑩ ∆h1 = A2 R2 + ∆h2 2 dt dt R3 dt dt R3 d 2 ∆h2 A1R2 d ∆h2 d ∆h2 ∆h2 A1 A2 R2 + + A2 = K µ ∆µ − 2 dt R3 dt dt R3
2.2.4 容积滞后与纯滞后
1、容积（量）滞后 、容积（
多容过程的传递函数
W0 ( s ) =
W0 ( s) =
K0 (T1 s + 1)(T2 s + 1)...(Tn s + 1)
K0 (T1 s + 1) n
多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后， 多容过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后，常用 对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后
∆Q1 − ∆Q2 =A1
d ∆h1 ① dt
∆h1 ∆h2 ∆h2 d ∆h2 R2 d ∆h2 − − = A2 ⇒ ∆h1 = (1 + )∆h2 + A2 R2 R2 R2 R3 dt R3 dt
d ∆h1 R2 d ∆h2 d 2 ∆h2 A1 = A1 (1 + ) + A1 A2 R2 dt R3 dt dt 2
①+④: d ∆h1 d ∆h2 ∆Q1 − ∆Q3 =A1 + A2 1 ∆Q1 =K µ ∆µ ∆Q2 = ∆(h1 − h2 ) dt dt R2 中间变量 d ∆h2 ∆Q2 − ∆Q3 =A2 ④ 1 d ∆h1 d ∆h2 K µ ∆u − dt ∆h2 = A1 + A2 R3 dt dt 1 ∆Q3 = ∆h2 R3
τ
t
K0 H 2 (s) ∆h (∞) ≈ e −τ cs K 0 = 2 U ( s ) T0 S + 1 ∆u
H 2 (S ) K K = = µ ( S ) T1T2 S 2 + (T1 + T2 ) S + 1 (T1S + 1)(T2 S + 1)
式中： 前置水箱的时间常数； 式中： T1—前置水箱的时间常数； 前置水箱的时间常数 T2—主水箱的时间常数； 主水箱的时间常数； 主水箱的时间常数 K—双容对象放大系数。 双容对象放大系数。 双容对象放大系数
所以T1T2 S H ( s ) + (T1 + T2 + T12 ) SH ( s ) + H ( s ) = KU ( s )
2
H (s) K = U ( s ) T1T2 S 2 + (T1 + T2 + T12 ) S + 1
例如：某双容水箱系统的结构参数为： 例如：某双容水箱系统的结构参数为：
T1 h2 (t ) = K ∆µ 1 − e T1 − T2
t − T1
T2 + e T1 − T2
t − T2
µ0 Q
∆µ 0
t
Q1
Q2 t0时刻，控制阀阶跃开大 0，前置水槽的流入 时刻，控制阀阶跃开大∆µ 量成比例增加∆Q1。液位 1按指数规律上升，前置 液位h 按指数规律上升， 量成比例增加 水槽流出侧的自平衡作用使流出量Q 水槽流出侧的自平衡作用使流出量 2在Q20基础上 也呈指数规律上升。 又是主水槽的流入量, 也呈指数规律上升。Q2又是主水槽的流入量 又使 主水槽水位h 基础上变化呈现更缓慢上升。 h1 主水槽水位 2在h20基础上变化呈现更缓慢上升。 h2的缓慢上升同样因主水槽流出侧阻力 3的存在 的缓慢上升同样因主水槽流出侧阻力R 使流出量在Q 基础上缓慢增加。 使流出量在 30基础上缓慢增加。 开始,H 随着不平衡流量∆Ｑ＝ 1－∆Q2的逐 h Ｑ＝∆Q 开始 2随着不平衡流量 Ｑ＝ 10 渐增大而缓慢上升，且上升速度逐渐增大； 渐增大而缓慢上升，且上升速度逐渐增大；到达 曲线上P点时上升速度最大 点时上升速度最大。 点以后 点以后， 曲线上 点时上升速度最大。P点以后，h2随着不 h2 平衡流量∆Ｑ＝ 1－∆Q2的逐渐减小而缓慢上升 Ｑ＝∆Q 平衡流量 Ｑ＝ 且上升速度逐渐减小。 ，且上升速度逐渐减小。h2的整个变化过程是一 形的变化曲线。 点就是 形曲线的拐点， 点就是S形曲线的拐点 条S形的变化曲线。P点就是 形曲线的拐点，也 形的变化曲线 是液位上升速度最快的点。 是液位上升速度最快的点。 h
串联形式的双容水箱系统参数为
K = K µ R3 = 3，T1 = A1 R2 =2，T2 = A2 R3 =1，T12 = A1 R3 = 1
H ( s) K 3 = = 2 2 U ( s ) T1T2 S + (T1 + T2 + T12 ) S + 1 2 S + 4 S + 1
进水阀门进行单位阶跃扰动后的响应曲线分别如下， 进水阀门进行单位阶跃扰动后的响应曲线分别如下，可见相同的结构 参数下，串联双容水箱的液位响应更慢一些。 参数下，串联双容水箱的液位响应更慢一些。
d ∆h1 ∆Q1 − ∆Q2 = A1 ① dt ∆ Q = K ∆u ② µ 1 1 ∆Q2 = ∆h1 ③ R2 d ∆h2 ∆Q2 − ∆Q3 = A2 ④ dt 1 ∆h2 ⑤ ∆Q3 = R3
∆h1 d ∆h1 K µ ∆u − = A1 ⑦ R2 dt ∆h1 ∆h2 d ∆h2 − = A2 ⑨ R2 R3 dt
H 2 ( s ) = L{∆h2 (t )} 取拉氏变换 µ ( s ) = L{∆µ (t )}
d 2 ∆h2 d ∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = K ∆µ 2 dt dt
T1T2 S 2 H 2 ( S ) + (T1 + T2 ) SH 2 ( S ) + H 2 ( S ) = K µ ( S )
d 2 ∆h2 d ∆h2 R3 K µ ∆u = A1 A2 R2 R3 + [ A1 ( R2 + R3 ) + A2 R3 ] + ∆h2 2 dt dt
令K = K µ R3 , T1 = A1 R2 , T2 = A2 R3 , T12 = A1 R3
d 2 ∆h2 d ∆h2 K ∆u = T1T2 + (T1 + T12 + T2 ) + ∆h2 2 dt dt
R2 + R3 d ∆h2 ∆h2 d 2 ∆h2 d ∆h2 K µ ∆u − = A1 A2 R2 + A1 + A2 2 R3 dt R3 dt dt d 2 ∆h2 d ∆h2 R3 K µ ∆u = A1 A2 R2 R3 + [ A1 ( R2 + R3 ) + A2 R3 ] + ∆h2 2 dt dt
20
Q3
t
t
Tc
p
b
τc
a
t
t0
有自平衡能力的多容对象与单容对象相比， 有自平衡能力的多容对象与单容对象相比，它们的共 同点是都具有自平衡特性和惯性， 同点是都具有自平衡特性和惯性，不同点是单容对象 被调量的最大变化速度发生在t＝ 时刻而多容对象发 被调量的最大变化速度发生在 ＝t0时刻而多容对象发 生在P点 生在 点。其原因是前置容积的容量和阻力所产生的惯 性使主水槽h2的变化在起始阶段出现更加缓慢的现象 的变化在起始阶段出现更加缓慢的现象， 性使主水槽 的变化在起始阶段出现更加缓慢的现象， 这种现象是由于对象容积的增多而产生的。 这种现象是由于对象容积的增多而产生的。前置水槽 的惯性使得主水槽的液位变化在时间上落后于扰动量， 的惯性使得主水槽的液位变化在时间上落后于扰动量， 这种迟延称为容积迟延。 这种迟延称为容积迟延。
二、串联双容液位过程
d ∆h1 ∆Q1 − ∆Q2 =A1 ① dt
1 ∆Q1 =K µ ∆µ ∆Q2 = ∆ (h1 − h2 ) R2 d ∆h2 ∆Q2 − ∆Q3 =A2 ④ dt 1 ∆Q3 = ∆h2 R3
①+④: d ∆h1 d ∆h2 ∆Q1 − ∆Q3 =A1 + A2 dt dt
⇒
令 则
d 2 ∆h2 A1R2 d ∆h2 d ∆h2 ∆h A1 A2 R2 + + A2 = K µ ∆µ − 2 dt 2 R3 dt dt R3 d 2 ∆h2 d ∆h2 A1 A2 R2 R3 + ( A1 R2 + A2 R3 ) + ∆h2 = R3 K µ ∆µ 2 dt dt T1 = A1 R2 T2 = A2 R3 K = K µ R3
A1 = A2 = 1，R2 = 2，R3 = 1，K µ = 3
分离式形式的双容水箱系统参数为
K = K µ R3 = 3，T1 = A1 R2 =2，T2 = A2 R3 =1
H 2 (S ) K K 3 = = = 2 µ ( S ) T1T2 S + (T1 + T2 ) S + 1 (T1S + 1)(T2 S + 1) (2 S + 1)( S + 1)
d ∆h1 ∆Q1 − ∆Q2 = A1 dt 1 ∆Q = K ∆u ∆Q2 = ∆h1 µ 1 R2 ∆Q − ∆Q = A d ∆h2 2 3 2 dt 1 ∆Q3 = ∆h2 R3
µ
初始条件为零、阶跃输入为 时的解： 初始条件为零、阶跃输入为µ(t)＝∆µ时的解： ＝ 时的解