高等代数典型问题的新方法

(A − λ0E)n = 0
（2）
由于 W
是
A
-子空间，易知 W
也是
A
−
λ 0
E
-子空间．
（1）若
(
A
−
λ 0
E)
ξ1
=
0，由于秩
(
A
−
λ 0
E)
=
n
−
1
，知
(
A
−
λ 0
E
)
的核是
1
维子空间．据（1）式可知
第2期
卢占化：高等代数典型问题的新方法
31
存在数
k
，使 ε n
=
kξ1
∈W
．
（
2
）
若
(
A
−
λ 0
第 27 卷
零．
（1）证明对任意 n 存在充分大的 λ 使 λn + a1λn−1 + " + an−1λ + an > 0 ，其中 a1, a2, ", an为实数．
首先存在
λ 1
使
λ 1
/
n
>
−a1
,
故λn 1
/
n
>
−a1λ1n−1
，又存在
λ 2
使
λ2 2
/ n > −a2 , 故
λn 2
/
n
>
−a2
λn−1 2
,
",
存在
λ n −1
使
λn−1 n−1
/
n
>
−an−1 ，故 λnn−1
/
n
>
−a n −1 λ n −1
，存在 λn
使 λnn
/
n
>
−an
．
令
λ 0
= max{λ1 ,
λ2 ,
",
λ
n
}
，有
λn 0
/
n
>
−a1
λ
n −1 0
,
",
λn 0
/ n > −an−1λ0 ,
λn 0
/
另一方面，因 AA* ε1 = 0 ，知 A* ε1 也在 A-1 (0) 中，因此存在数 k 使 A* ε1 =kB1 ε1 ，由于 k B1 与 A*在 A ε1 ， A ε 2 ，…，A ε n−1 ，上的作用均为零，所以 kB1 与 A*在 A ε1 ，A ε 2 ，…，A ε n−1 上的作用相等，故 A*= k B1．
n
>
−an
．故
λ 0
n
+
a1λ0 n−1
+
" + an > 0 ．
（2）当
t
> t0
时，
tn
>λ n 0
．由
t
/n
>λ 0
/n
>
−a1
，得
tn
/n
> −a1t n−1
，由
t2
/
n
>
λ2 0
/n>
−a2
，得
t n / n > −a2t n−2 ，所以 t n / n + " + t n / n > − a1t n−1 − " − an−1t − an ，从而 t n + a1t n−1 + " + an−1t + an > 0 ．
Abstract：Discussed several typical problems of polynomials，positive definite matrices，in higher algebra and gives some new proofs to these problems. Key words：quadric form；matrix；polynomials；positive definite matrix
（河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡 453007）
摘要：给出了高等代数中有关矩阵及二次型方面几个典型问题的新证明．
关键词：二次型；矩阵；多项式；正定矩阵
中图分类号：G442
文献标识码：A
介绍高等代数中的二次型的惯性指数、矩阵正定性、矩阵多项式等几个典型问题处理的新方法．
问题 1 设实二次型 f (x1 , x2 , ", xn ) = x1 x2 + x2 x3 + " + xn−1 xn ，求 f (x) 的正惯性指数. 解法 1 [1] 运用配方法.
情形 1 λ = 0
此时秩 A = n −1 ，A-1 (0) 的维数为 1 且 A ε n = 0；知 ε n 是 A-1 (0) 的一组基．
设
W
≠
0 ，W
是
A
-子空间．取 ξ 1
≠
0,
ξ 1
∈W
．
（1）若
A（ξ ）= 1
0，
知
ξ 1
∈
A-1
( 0)
， 从而存在 k 使 ε n = kξ1 ∈W ．
故可设 A ε1 ，A ε 2 ，…，A ε n−1 线性无关，AV = L （A ε1 ，A ε 2 ，…，A ε n−1 ）．又因 ε1 , ε 2 , ", ε n 线性无 关，故存在 ε i 不能被 A ε1 ，A ε 2 ，…，A ε n−1 线性表出，可设为 ε1 ．据 B1 ε1 不为零，但 AB1 ε1 = 0 ，即知 B1 ε1 在 A-1 (0) 中．B1 表示 B1 所对应的线性变换．
The general solution of the indeterminate equation x3 + y3 + z3 + w3 = 0
GUAN Yong-gang1，GUAN Chun-he2
（1. Department of Electrical Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China；2. Fada Middle School of Longjiang County，Qiqihar 161102，China）
解法 2 记 f (x1 , x2 , ", xn ) 的矩阵为 A ，考虑 2A 的变换． 运用合同变换将 2A 变为
⎜⎛ 0 ⎜1
1 " 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 2 0 " 0⎟ ⎜1
1 " 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 2 0 " 0⎟ ⎜0
0 −1
" "
0 ⎟⎞ 0⎟
2A = ⎜⎜" " " "⎟⎟ → ⎜⎜" " " "⎟⎟ → ⎜⎜"
证法 1[1]
证法 2 由于 tE + A 的顺序主子式均为 t 的多项式．分下面２步来证 tE + A 的各级顺序主子式均大于
收稿日期：2006-07-06 作者简介：卢占化（1955-），男，河南洛阳人，副教授，从事代数学研究．Ｅ-mail：l.z.l-2008@
30
高师理科学刊
New methods of typical problems in higher algebra
LU Zhan-hua
（School of Mathematics and Information Science，Henan Normal University，Xinxiang 453007，China）
E)ξ1
≠0
（
ξ 1
∈
W
）， 据 （ 2 ） 式 可 知 存 在 t
使
(
A
−
λ 0
E
)
t
−1
ξ 1
≠0
（
ξ 1
∈W
）． 但
(
A
−
λ 0
E
)
t
ξ 1
=
0 ，进一步存在数 µ
，使 ε n
=
µ
(
A
−
λ 0
E)
t
−1ξ 1
∈
W
．
证毕．
参考文献：
[1] 徐忠，陆全，张凯院，等．高等代数导教、导学、导考[M]．西安：西北工业大学出版社，2004：302-305. [2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．3 版．北京：高等教育出版社，2003：233- 326． [3] 樊恽，郑延履．线性代数学习指导[M]．北京：科学出版社，2003：339． [4] 卢占化，远巧珍. 迁移在高等代数中的作用[J]．高师理科学刊，2006，26（1）：83-85． [5] 卢占化. 秩 1 矩阵的分解[J]．中国科学教育，2005（5）：22-23．
Abstract: The general solution of the indeterminate equation x3 + y 3 + z 3 + w3 = 0 has been deduced out by fundamental mathematic method. Key words：three dimension cubic pythagorean number；diamond number；double two dimension cubic pythagorean number；ruby number
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若 x, y, z, w 中绝对值最大者为偶数，不妨令 z 为绝对值最大者，那么 x, y, z, w 必为 2 个奇数，1 个