【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版必修五模块综合测评1 Word版含答案

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课堂新坐标2016～2017学年度高中数学人教A版必修五同步训练题库第二章数列学业分层测评11及答案

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.等差数列前n 项和为S n ,若a 3＝4,S 3＝9,则S 5－a 5＝( ) A.14 B.19 C.28 D.60【试题解析】在等差数列{a n }中,a 3＝4,S 3＝3a 2＝9,∴a 2＝3,S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.【参考答案】 A2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15【试题解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×13(a 1＋a 13)2＝313S 13.于是可知S 13是常数. 【参考答案】 C3.已知等差数列的前n 项和为S n ,若S 13<0,S 12>0,则此数列中绝对值最小的项为( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【试题解析】由⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6>－d2，故|a 6|>|a 7|.【参考答案】 C4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝9,S 6＝36,则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27【试题解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6－S 3,S 9－S 6构成等差数列,所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3),即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【参考答案】 B5.含2n ＋1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD.n ＋12n【试题解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2,S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ,∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B.【参考答案】 B 二、填空题6.已知等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知S 3＝9,a 4＋a 5＋a 6＝7,则S 9－S 6＝ .【试题解析】 ∵S 3,S 6－S 3,S 9－S 6成等差数列,而S 3＝9,S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7,∴S 9－S 6＝5.【参考答案】 57.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ,第k 项满足5<a k <8,则k ＝ . 【试题解析】 ∵a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2)，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8, 得7.5<k <9,∴k ＝8. 【参考答案】 88.首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ,且S 3＝S 8,当n ＝时,S n 取到最大值.【试题解析】 ∵S 3＝S 8,∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0,∴a 6＝0,∵a 1>0,∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0,a 7<0. 故当n ＝5或6时,S n 最大. 【参考答案】 5或6 三、解答题9.已知等差数列{a n }中,a 1＝9,a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)当n 为何值时,数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】 (1)由a 1＝9,a 4＋a 7＝0, 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0,解得d ＝－2, ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 a 1＝9,d ＝－2,S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25,∴当n ＝5时,S n 取得最大值.法二由(1)知a 1＝9,d ＝－2<0,∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0,则11－2n ≥0,解得n ≤112. ∵n ∈N *,∴n ≤5时,a n >0,n ≥6时,a n <0. ∴当n ＝5时,S n 取得最大值.10.若等差数列{a n }的首项a 1＝13,d ＝－4,记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |,求T n . 【解】 ∵a 1＝13,d ＝－4,∴a n ＝17－4n .当n ≤4时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2;当n ≥5时,T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎨⎧15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5).[能力提升]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4＝40,S n ＝210,S n －4＝130,则n ＝( ) A.12 B.14 C.16D.18【试题解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80, S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40, 所以4(a 1＋a n )＝120,a 1＋a n ＝30, 由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210,得n ＝14.【参考答案】 B2.(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足：a 1＝19,a n ＋1＝a n －3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9【试题解析】因为a n ＋1－a n ＝－3,所以数列{a n }是以19为首项,－3为公差的等差数列,所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大,则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，所以193≤k ≤223. 因为k ∈N *,所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7. 【参考答案】 B3.(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 ,项数是 .【试题解析】设等差数列{a n }的项数为2n ＋1, S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1,S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1, 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433,解得n ＝3,所以项数2n ＋1＝7, S 奇－S 偶＝a n ＋1,即a 4＝44－33＝11为所求中间项. 【参考答案】 11 74.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1＝12,d ＝－2. 【导学号：05920069】(1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项;(3){S n }有多少项大于零？【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图.(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694,n ∈N *,∴当n ＝6或7时,S n 最大;当1≤n ≤6时,{S n }单调递增;当n ≥7时,{S n }单调递减. {S n }有最大值,最大项是S 6,S 7,S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零.。

2016-2017学年高中数学人教A必修5章末综合测评1 Word版含解析

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°. 【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ，∴π2<A <π. ②由①②得，π2<A <3π4.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)【解析】设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2， ∴22<a <10. 【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2 D ．2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B－C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ()图2A．23＋1 B．23－1C.3－1 D．3＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π315．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于，AC 的取值范围为．【解析】设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．【答案】 2 (2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.图3【解析】根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)．【答案】 150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0，解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

2016-2017学年高中数学模块综合检测(二)新人教A版必修5

模块综合检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．30°或150°解析：选B 由正弦定理得2sin 45°＝2sin B，解得sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝30°.2．若0<x <32，则y ＝x (3－2x )的最大值是( )A.916B.94 C ．2D.98 解析：选D ∵0<x <32，∴32－x >0.∴y ＝x (3－2x )＝2·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ≤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32－x 22＝98，当且仅当x ＝32－x ，即x ＝34时取“＝”，∴函数y ＝x (3－2x )的最大值为98.3．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，故选A.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第4项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1解析：选D ∵x 2－2x －3<0，∴－1<x <3.∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0，a 4＝－1. 5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b，则a <bD ．若a <b ，则a <b解析：选D 对于A ，不清楚c 的正负情况，所以不能确定a >b ；对于B ，a 2>b 2⇒|a |>|b |，a ，b 大小不确定；对于C ，不清楚ab 的正负，不能随意将不等式两边同时乘ab 且不等式不变号；对于D ，由于a ≥0，b ≥0，由平方法可知将a <b 两边平方，得a <b .故选D. 6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m ≤n解析：选A ∵a >2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，3x ＋y －6≥0，y ≤3，则z ＝－2x ＋y 的最小值为( )A ．－7B ．－6C ．－1D ．2解析：选A 可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z 过点(5,3)时，z 取得最小值－7，故选A.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析：选A 当x >0时，f (x )≥x 2可化为－x ＋2≥x 2，解得0<x ≤1；当x ≤0时，f (x )≥x 2可化为x ＋2≥x 2，解得－1≤x ≤0，故不等式f (x )≥x 2的解集为{x |－1≤x ≤1}，即x ∈[－1,1]，故选A.9．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61解析：选B 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x 2＋3x －2＝0得x ＝12或x ＝－2(舍)，所以cos θ＝12，所以第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.10．已知不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为∅，则( ) A ．a <0，Δ>0 B ．a <0，Δ≤0 C ．a >0，Δ≤0D ．a >0，Δ>0解析：选C 由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象知，当a >0，Δ≤0时，对任意实数x ，都有y ≥0，由此知a >0，Δ≤0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为∅. 11．已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a<2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．[－1,0] C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1,0]解析：选B 1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 015>0D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q2 014>0，所以A 不正确；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q2 013>0，所以B 不正确；对于C ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0，当q ≠1时，S 2 015＝a 1－q 2 0151－q，又1－q 与1－q2 015同号，所以C 正确．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，a ＝20，则b 的值为________．解析：由题意，得sin A ＝1213，所以b ＝a sin A ·sin B ＝201213×35＝13.答案：1314．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 解析：根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)，解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.答案：－7815．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.答案：1316．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：连接BD .∵BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝∠BDC ＝30°.∵∠ABC ＝120°，∠CBD ＝30°， ∴∠ABD ＝90°， ∴AB ⊥BD .在△BCD 中，由正弦定理得BD ＝BCsin 30°·sin 120°＝2 3.∴S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ＝12·AB ·BD ＋12BC ·CD ·sin 120°＝12×4×23＋12×2×2×32＝5 3. 答案：5 3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数y ＝x ＋2x 2＋x ＋1(x >－2)．(1)求1y的取值范围．(2)当x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)设x ＋2＝t ，则x ＝t －2，t >0(x >－2)，故1y ＝x 2＋x ＋1x ＋2＝t －2＋t －＋1t＝t 2－3t ＋3t ＝t ＋3t－3≥23－3，∴1y的取值范围为[23－3，＋∞)．(2)由题意知y >0，故欲使y 最大，必有1y最小，此时t ＝3t ，t ＝3，x ＝3－2，y ＝23＋33，∴当x ＝3－2时，y 最大，最大值为23＋33.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin B ＋sin C ＝2sin A . (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin A ，求角A 的大小．解：(1)由正弦定理，得AC ＋AB ＝2BC . ∵AB ＋BC ＋AC ＝2＋1， ∴2BC ＋BC ＝2＋1，BC ＝1.(2)∵S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝16sin A ，∴AC ·AB ＝13.又AC ＋AB ＝2，由余弦定理，得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB＝AC ＋AB2－2AC ·AB －BC22AC ·AB＝2－23－123＝12，∴A ＝60°.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2. ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n－λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝－λ1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n－1)，∵S n ＝2n－1(n ∈N *)，∴λ＝1.20．(本小题满分12分)航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km/h ，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s 的水平飞行后到达B 处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取2≈1.4，3≈1.7)解：如图，过C 作CD ⊥AB 的延长线于D.∵A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝180 000×4203 600＝21 000(m)．∵在△ABC 中，BCsin A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC sin ∠CBD ＝BC ×sin 45° ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)≈10 500(1.7－1)＝7 350(m)．因此，山顶的海拔高度约为10 000－7 350＝2 650(m)．21．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝－log3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24， ∴q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1， ∴a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)∵a n ＝13n ，∴b n ＝－log 313n＝2n ，从而1b n b n ＋1＝14nn ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋.22．(本小题满分12分)某商场经过市场调查分析后得知：预计2015年从开始的前n个月内对某种商品需求的累计数f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，n ＝1,2,3，…，12(单位：万件)．(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)解：(1)设第n 个月的月需求量为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f ，n ＝1，f n －f n －，2≤n ≤12，因为f (n )＝190n (n ＋2)(18－n )，所以a 1＝f (1)＝1730<1.3，当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1) ＝190(－3n 2＋35n ＋19)，令a n >1.3，即－3n 2＋35n ＋19>117，解得143<n <7，因为n ∈N ，所以n ＝5,6，即这一年的5,6两个月的需求量超过1.3万件．(2)设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，na －f (n )≥0对n ＝1,2，…，12恒成立，则a ≥f n n ＝n ＋－n 90，又因为n ＋－n90≤190⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋＋－n 22，所以a ≥109，即每月初至少要投放11 112件商品，才能保证全年不脱销.。

人教A版高中数学必修五模块综合检测卷(一).docx

数学·必修5(人教A模块综合检测卷(一)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )A．14 B．21 C．28 D．35解析：∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝28.答案：C2．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|－3＜x＜3}，则( ) A．M∩N＝∅ B．M∩N＝N C．M∪N＝N D．M∪N＝R答案：C3．不等式x－1x＞0的解是( )A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞－1 D．x＞1解析：x－1x＞0⇔x2－1x＞0⇔x(x－1)(x＋1)＞0，解得x＞1或－1＜x<0.故选A.答案：A4．(2013·茂名二模)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案：A5．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( )A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析：由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13及正弦定理得：a∶b∶c＝5∶11∶13.由余弦定理得cos C＝52＋112－1322×5×11<0，所以角C为钝角．答案：C6．(2013·汕头二模)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3，△ABC的面积S＝3，则△ABC的周长为( )A．6 B．5 C．4 D．4＋2 3 解析：∵S△ABC＝3，∴ab＝4.在△ABC中由余弦定理得：a2＋b2－ab＝4.易求得：a＋b＝4.∵c＝2，∴a＋b＋c＝6.答案：A7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1.则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D8．等比数列{a n }中，a n ＞0，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81 答案：B9．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都有P n P n ＋1＝(1,2)，则{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －12答案：A10．已知{a n }为等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝______.解析：由sin 2A ＝2sin A cos A ＞0，可知A 是锐角，所以sin A ＋cos A ＞0，又(sin A ＋cos A )2＝1＋sin 2A ＝53，所以sin A ＋cos A ＝153.答案：15312．已知a <b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值为________．解析：∵ab ＝50＞0，∴a 与b 同号，若二者均为正数，则|a ＋2b |≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，∴a ＝10，b ＝5(不合题意，舍去)．若二者均为负数，则－a ＞0，－b ＞0， |a ＋2b |＝－(a ＋2b )≥22ab ＝20，只有a ＝2b 时等式成立，∴a ＝－10，b ＝－5符合题意，∴最小值为20.答案：2013．已知点A (4,1)，B (7,5)，C (0,4)，则△ABC 中的∠BAC 的大小是______．解析：AB →＝(3,4)，AC →＝(－4,3)，∵AB →·AC →＝3×(－4)＋4×3＝0，∴AB →⊥AC →，即∠BAC ＝90°.答案：90°14．在△ABC 中，A 、B 、C 是三角形的三内角，a 、b 、c 是三内角对应的三边，已知b 2＋c 2－a 2＝bc ，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则角B 的大小为__________．解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc⇒cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.再由sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ⇒a 2＋b 2＝c 2， ∴C ＝90°，∴B ＝30°.答案：π6三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；解析：cos A ＝2cos 2A2－1＝2×2⎛⎫⎪⎝⎭5－1＝35，又A ∈(0，π)，sin A ＝1－cos 2A ＝45，而AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝35bc ＝3，所以bc ＝5，所以△ABC 的面积为： 12bc sin A ＝12×5×45＝2. (2)若c ＝1，求a 的值．解析：由(1)知，bc ＝5，而c ＝1，所以b ＝5，所以a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋1－2×3＝2 5.16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(其中ω为正常数，x ∈R)的最小正周期为π.(1)求ω的值；解析：∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，而f (x )的最小正周期为π，ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解之，得ω＝1. (2)在△ABC 中，若A ＜B ，且f (A )＝f (B )＝12，求BCAB.解析：由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.若x 是三角形的内角，则0＜x ＜π，∴－π3＜2x －π3＜5π3.令f (x )＝12，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝12，∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6，解之，得x＝π4或x ＝7π12. 由已知，A ，B 是△ABC 的内角，A ＜B 且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12，∴C ＝π－A －B ＝π6.又由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sinπ6＝2212＝ 2.17.(本小题满分14分)某工厂生产A 、B 两种型号的童车．每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工．根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们折合成有效工时来表示．现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润利润最大？解析：设x ，y 分别是A ，B 两种型号童车的日产量，工厂每日可获得利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，其中x ，y 满足约束条件．⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ＋1.2y ≤40，0.6x ＋0.8y ≤30，0.4x ＋0.6y ≤25，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤100，3x ＋4y ≤150，2x ＋3y ≤125，x ∈N ，y ∈N.作出线性可行域．考虑z ＝6x ＋10y ，将它变形为y ＝－35x ＋110z ，这是斜率为－35，随z 变化的一组平行直线.110z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最大．当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z ＝6x ＋10y 取得最大值．可见，当直线z ＝6x ＋10y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，2x ＋3y ＝100，得A的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1003.但A ⎝⎛⎭⎪⎫0，1003不是整点，在可行域的整点中，(2,32)是最优解．此时，z max ＝6×2＋10×32＝332.18．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差d 不为零，首项a 1＝2且前n 项和为S n .(1)当S 9＝36时，在数列{a n }中找一项a m (m ∈N *)，使得a 3，a 9，a m 成为等比数列，求m 的值；解析：数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝2，S 9＝36，∴36＝9×2＋12×9×8d ，∴d ＝12，∴a 3＝3，a 9＝6.由a 3，a 9，a m 成等比数列，则a 29＝a 3·a m ，得a m ＝12，又12＝2＋(m－1)×12，∴m＝21.(2)当a3＝6时，若自然数n1，n2，…，n k，…满足3＜n1＜n2＜…＜n k＜…，并且a1，a3，an1，…，an k，…是等比数列，求n k.解析：∵{a n}是等差数列，a1＝2，a3＝6，∴a n＝2n.又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q＝3.∴an k＝a1·q k＋1＝2·3k＋1.又an k是等差数列中的项，∴an k＝2n k，∴2n k＝2·3k＋1，∴n k＝3k＋1(k∈N*)．19.(本小题满分14分)把正奇数数列{2n－1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 57 9 11－－－－－－－－－设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．(1)若a mn＝2 011，求m，n的值．解析：∵三角形数表中前m行共有1＋2＋3＋…＋m＝m(m＋1)2个数，∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第m(m＋1)2项．故第m行最后一个数是2·m(m＋1)2－1＝m2＋m－1，因此，使得a mn＝2 011的m是不等式m2＋m－1≥2 011的最小正整数解．由m2＋m－1≥2 011得m2＋m－2 012≥0，∴m≥－1＋1＋8 0482＞－1＋7 9212＝－1＋892＝44.∴m的最小正整数解为45.于是，第45行第一个数是442＋44－1＋2＝1 981，∴n＝2 011－1 9812＋1＝16.(2)已知函数f(x)＝n⎛⎫⎪⎝⎭12·3x(x＞0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b n，求数列{f(b n)}的前n项和S n.解析：∵第n行最后一个数是n2＋n－1，且有n个数，若将n2＋n－1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为－2的等差数列，故b n＝n(n2＋n－1)＋n(n－1)2(－2)＝n3.∵f(x)＝n⎛⎫⎪⎝⎭123x(x＞0)，∴f (b n )＝n ⎛⎫ ⎪⎝⎭123n 3＝n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12，S n ＝12＋22⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋33⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋44⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋…＋(n －1)n-1⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12，∵12S n ＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋23⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋34⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋45⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋…＋(n －1) n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋n n+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12，两式相减得：12S n ＝12＋2⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋3⎛⎫ ⎪⎝⎭12＋…＋n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12－n n+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 ＝⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎛⎫- ⎪⎝⎭n 12112112－nn+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12＝1－n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12－n n+1⎛⎫ ⎪⎝⎭12. ∴S n ＝2－(n ＋2) n ⎛⎫ ⎪⎝⎭12.20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－12x ＋c (a ，c ∈R)满足条件：①f (1)＝0；②对一切x ∈R ，都有f (x )≥0.(1)求a 、c 的值．解析：解法一：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋c . 由f (1)＝0得：－12＋c ＝0，即c ＝12， ∴f (x )＝－12x ＋12.显然x ＞1时，f (x )＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴a ≠0，函数f (x )＝ax 2－12x ＋c 是二次函数．由于对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，于是由二次函数的性质可得 20412a ac >∆=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ac ≥116＞0，(*) 由f (1)＝0得a ＋c ＝12，即c ＝12－a ，代入(*)得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≥116. 整理得a 2－12a ＋116≤0，即2⎛⎫- ⎪⎝⎭1a 4≤0. 而2⎛⎫- ⎪⎝⎭1a 4≥0，∴a ＝14. ∴c ＝12－a ＝12－14＝14，∴a ＝c ＝14. 解法二：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋c . 由f (1)＝0得－12＋c ＝0，即c ＝12， ∴f (x )＝－12x ＋12. 显然x ＞1时，f (x )＜0，这与条件②相矛盾，∴a ≠0，因而函数f (x )＝ax 2－12x ＋c 是二次函数. 由于对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，于是由二次函数的性质可得 20412a ac >∆=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，ac ≥116＞0，由此可知a ＞0，c ＞0, ∴ac ≤2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a c 2.≤0 ≤由f (1)＝0，得a ＋c ＝12，代入上式得ac ≤116. 但前面已推得ac ≥116， ∴ac ＝116. 由⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝116，a ＋c ＝12，解得a ＝c ＝14. (2)是否存在实数m ，使函数g (x )＝f (x )－mx 在区间[m ，m ＋2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．解析：∵a ＝c ＝14， ∴f (x )＝14x 2－12x ＋14. g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m x ＋14. 该函数图象开口向上，且对称轴为x ＝2m ＋1.假设存在实数m 使函数g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m x ＋14 在区间[m ，m ＋2]上有最小值－5.①当m ＜－1时，2m ＋1＜m ，函数g (x ) 在区间[m ，m ＋2]上是递增的，∴g (m )＝－5，即14m 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋m m ＋14＝－5，解得m ＝－3或m ＝73. ∵73＞－1，∴m ＝73舍去． ②当－1≤m ＜1时，m ≤2m ＋1＜m ＋2，函数g (x )在区间[m,2m ＋1]上是递减的，而在区间[2m ＋1，m ＋2]上是递增的，∴g (2m ＋1)＝－5，1 4(2m＋1)2－⎝⎛⎭⎪⎫12＋m(2m＋1)＋14＝－5.解得m＝－12－1221或m＝－12＋1221，均应舍去．③当m≥1时，2m＋1≥m＋2，函数g(x)在区间[m，m＋2]上是递减的，∴g(m＋2)＝－5，1 4(m＋2)2－⎝⎛⎭⎪⎫12＋m(m＋2)＋14＝－5，解得m＝－1－22或m＝－1＋22，其中m＝－1－22，应舍去．综上可得，当m＝－3或m＝－1＋22时，函数g(x)＝f(x)－mx在区间[m，m＋2]上有最小值－5.。

(课堂新坐标)2016-2017学年高中数学人教a版高二选修4-5_模块综合测评_word版有答案AKAKMP

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2【解析】因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0. 故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0， ∴1ab 2<1a 2b . 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D.16【解析】由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉M D.不能确定【解析】 ∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|，所以g (x )∈M .故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3| ＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________．【解析】 ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. 【答案】 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．【解析】要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】由柯西不等式 P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P≤Q.【答案】P≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)⎝⎛⎭⎪⎫1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c＝a－bb－c＋b－ca－b＋2≥2a－bb－c·b－ca－b ＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．故1a－b＋1b－c≥4a－c成立．18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．图1【解】(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．【证明】根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4，于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab . 由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥ 332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ac ＋ab ＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1) (2) (3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【解】 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数．【解】 (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1，即1－a n 1－a n －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列，所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n ) ＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。

人教新课标版数学高二-人教A版数学必修5 模块综合测试(习题答案解析,11页)

模块综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ⇒1sin A ＝3sin120°，∴sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案：A2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析：A 组不成三角形；对于B ，∵b sin30°＝22<1<2，∴B 有两解；C 组不成三角形，D 正确．答案：D3．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝( ) A.23 B.14 C ．－23D ．－14解析：由正弦定理知sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，得到a :b :c ＝3:2:4，令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(4k )22×3k ×2k ＝－14，故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }中，a n ＝4n －3，则首项a 1和公差d 的值分别为( )A ．1,3B ．－3,4C ．1,4D ．1,2解析：∵a n ＝4n －3，∴a 1＝4－3＝1，d ＝a n －a n －1＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项之积为T n ，若T 5＝1，则必有( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝(a 3)5＝1， ∴a 3＝1. 答案：B6．若△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ， ∴sin A ＝2sin B ·cos C .∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C . ∴sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝sin(B －C )＝0. ∴B ＝C ，故选A. 答案：A7．等比数列{a n }的公比为13，前n 项的和为S n ，n ∈N *如S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，则其公比为( )A ．(13)2B ．(13)6C.13D.23解析：∵S 4－S 2S 2＝a 4＋a 3a 2＋a 1＝q 2(a 2＋a 1)a 2＋a 1＝q 2＝(13)2.答案：A8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题可知log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5，又因为在等比数列中a 5a 6＋a 2a 9＝18，所以a 5a 6＝9，代入求解得原式的值为10，故选B.答案：B9．递减的等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n取最大值，n 的值为( )A ．10B ．7C ．9D ．7或8解析：∵S 5＝S 10，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负， ∴S n 取最大值时，n ＝7或8. 答案：D10．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地之间的距离为s .∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案：A11．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：因为3a ·3b ＝3. 所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4.当且仅当b a ＝ab 即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B.答案：B12.差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝1＋58＋38＝2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．不等式1x ≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1x ≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}14．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时满足条件；当k ≠0时满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×(－38)<0，解得－3<k ≤0.答案：－3<k ≤015．已知在△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么边BC 的长为________．解析：设方程3x 2－27x ＋32＝0的两根分别为b ，c 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝9bc ＝323，由余弦定理可知BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， ∴BC ＝7. 答案：716．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)解析：由题S 6<S 7，S 7>S 8可知a 7>0，a 8<0，等差数列为递减数列，故①正确，且④也正确，由等差数列的前n 项和为关于n 的二次式可知，其单调性为先增再减，而S 9离对称轴的距离比S 6离对称轴的距离要远，因此对应的函数值要小，故②正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10. (3)S ＝12ab sin C ＝32.18．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1·a 13即(1＋2d )2＝1＋12d ，得d ＝2或d ＝0(舍去)．故d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2a n ＝22n －1，所以数列{b n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)．19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B ，C 的俯角α，β，如果这时气球的高度是h ，求桥梁BC 的长度．解：过A 作垂线AD 交CB 于D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝α，AB ＝h sin α.又在△ABC 中，∠C ＝β，∠BAC ＝α－β，由正弦定理，得BC sin (α－β)＝ABsin β，∴BC ＝AB ·sin (α－β)sin β＝h ·sin (α－β)sin α·sin β.20．(12分)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0.要使①②成立的x 也满足③，请你找一个这样的a 值．解：解①x 2－4x ＋3<0，即(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3.解②x 2－6x ＋8<0，即(x －2)(x －4)<0， ∴2<x <4，∴①②同时成立的x 的范围是2<x <3.2x 2－9x ＋a <0对应的二次方程为2x 2－9x ＋a ＝0，对应的二次函数f (x )＝2x 2－9x ＋a 的对称轴为x ＝94∈(2,3)．∵3－94>94－2，∴f (3)>f (2)，∴只须f (3)≤0即可．即2×32－9×3＋a ≤0，∴a ≤9.这样a 的值可取小于等于9中任一个，不妨取a ＝9.21．(12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2nS n＝4，n ＝1,2，…，(1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2nS n＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1， S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，① 2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，② ①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1.所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b (万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S ＝1a ＋1b 为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)解：(1)设片集甲、乙分别播放x ，y 集，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86，x ，y ∈N .要使收视观众最多，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可．如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)， z max ＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a ＋4b ＝1，S ＝1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋4b ) ＝6＋2a b ＋4b a ≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a ＝2－12，b ＝2－24时，取等号．所以效益调和指数的最小值为11.64万元．。

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必修五模块综合测试卷（一）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1.若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是（） A ．c b d a +>+ B.bd ac > C.dbc a > D.b c ad -<- 2. 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =（）A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3.设2()1f x x bx =++，且(1)(3)f f -=，则()0f x >的解集是（）A: (,1)(3,)-∞-+∞U B:R C: {|1}x x ≠ D:{|1}x x =4.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值为（） A. 12 B. 13 C. 24 D. 255.实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③()()0<--d b d a ，则有( ) A ．b d c a <<< B ．d b a c <<< C ．d b c a <<< D ．b d a c <<< 6、若c b a >>，则一定成立的不等式是（）A ．c b c a >B ．ac ab >C ．c b c a ->-D ．cb a 111<< 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定8. 在平面直角坐标系中，动点Ｍ（ｘ，ｙ）满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-01,02,02y y x y x ，动点Ｑ在曲线21)1(22=+-y x 上，则|MQ|的最小值为（）A ．2B ．223 C ．221-D ．215-9．在∆ABC 中，60A ︒∠=，16AC =，面积为3BC 的长度为（）A ．25B ．51C ．493．4910.已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边长为a ,b,则集合},|),{(b y a x y x P ===所表示的平面图形的面积是（）A ．2B ．4C ．-2D ．4π-211.如图，设P 、Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，2134AQ AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积的比为（）A ．15 B.45 C.14 D.1312．已知中ABC ∆，3AB =，5BC =，且cos B 为方程25760x x --=的根.则cos AB A ⋅cos BC C +⋅的值为（）A ．213B ．213或-26C ．45 D ．35二．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．对任意实数x ，不等式04)2(2)2(2<----x a x a 恒成立，则实数a 的取值范围是.14．若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的*n N ∈都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +=++_________.15.若,,A B C 为ABC △的三个内角，记A α=，B C β=+，则41αβ+的最小值为．16.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是_________.三．解答题（共6小题，共计70分）17.（本题满分10分）AB 是底部B 不能到达的烟囱，A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H .G .B 三点在同一条直线上，在相距为d 的G .H 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α.β，已知测角仪器高m h 5.1=，试完成如下《实验报告》（要求：1. 计算两次测量值的平均值,填入表格；2. 利用α.β.d 的平均值，求AB 的值，写出详细计算过程；3. 把计算结果填入表格）相关数据：.7.13,4.12≈≈题目测量底部不能到达的烟囱的高计算过程测量数据测量项目第一次第二次平均值α74°52' 75°8'β30°12'29°48' d (m ) 59.7860.22测量目标（附图）结果18．已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =L ，且1n T =，求n 的值. 19.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a⑴当n 为何值时，n S 取得最大值； ⑵求208642a a a a a +++++Λ的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T20. 7月份，有一款新服装投入某市场销售，7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，以后每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大(只有l 天)后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件. (1)问7月几号该款服装销售件数最多?其最大值是多少?(2)按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天?说明理由.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =, 21(1)n n nS n S n cn +-+=+（c ∈R ，1,2,3,...n =）.且1S ，22S ，33S 成等差数列. （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.22.数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+(c 是不为零的常数, 1,2,3,n =⋅⋅⋅),且1,2,3a a a 成等比数列.(1) 求c 的值;(2) 求{}n a 的通项公式;(3) 求数列n n a c n c -⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项之和n T . 必修五模块综合测试卷（一）答案1. D 解：由不等式的性质知：A 、B 、C 成立的条件都不充分，所以选D ，其实D 正是异向不等式相减的结果，.b c a d c d d c b a b a -<-⇒⎭⎬⎫<⇒>-<-⇒>2. C 解析： 5)4)(1()1(2=⇒+-=+a a a a ，23,41==q a ，∴1)23(4-⋅=n n a . 3.C 解析：由(1)(3)f f -=知2)31(-=+--=b ，则0)1(12)(22≥-=+-=x x x x f ，则()0f x >的解集是{|1}x x ≠. 4.C 解析：22124)24(2)(--=+=n a a n S n n ，∴24=n 时，n S 达到最小值. 5. D 解析：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧 ∵d c b a <<,∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情况由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 6 C 解析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对．故选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c -），原不等式成立．7． A 解析：设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b>c 新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x 2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．8. A 解析：21)1(22=+-y x 的圆心坐标为(1,0)，半径22r =，则圆心到可行域的最小距离为到直线20x y -+=的距离，即10232,22d -+==∴|MQ|的最小值为2d r -= 9．D 解析： 1sin 604322032ABC S AB AC AB ︒=⋅⋅==V Q ,得55AB =，再由余弦定理，有222165521655cos602401BC ︒=+-⨯⨯⨯=，得49BC =．10.C 解析:由题中三角形为钝角三角形可得①2222<+b a ；②a +b>2；③a >0,b>0,于是集合的含义即为由条件①②③组成的图形,如图所示,则其面积为22221422-=⨯⨯-⨯=ππS ,故选C ． 11.B 解析：如图，设25AM AB =u u u u r u u u r ，15AN AC =u u u r u u u r，则AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r.由平行四边形法则知，//NP AB ，则1,5ABPABC AN S S AC ∆∆==u u u r u u u r 同理可得，1,4ABQ ABC S S ∆∆=故45ABP ABQ S S ∆∆=. 12. A 解析： sin sin sin AB BC CAC A B ==由正弦定理得 sin sin cos cos cos cos sin()sin sin sin AC C AC A ACAB A BC C A C A C B B B+=+=+g g g g g g gsin sin AC B AC B==g 2222cos 52,AB BC B -=g g 再由余弦定理得，AC =AB +BC 213.cos cos 213AC AB A BC C ∴=+=g g 即.13．(]2,2-解答： ①当2=a 时，不等式为04<-，恒成立；②当2≠a 时，由题意可得：⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)2(16)2(4022a a a ，解得：22<<-a ；综上可得：实数a 的取值范围是(]2,2-. 14．1941 解析：∵939361111157846661111121922241a a a a a a a S b b b b b b b b b T ++=+====+++,∴填1941.15.9π解析：πA B C ++=，即παβ+=，则41αβ+=411()()αβαβπ++=14(5)βαπαβ++9π≥，当且仅当4βααβ=，即2αβ=时等号成立．16. ()∞+，2解析：设ABC ∆中，C B A <<，且C B A ,,成等差数列，则︒=60B ，设其公差为α，则︒>-︒=90120A C ，∴ ︒<<︒300A ，∴AA A R C R a c m sin )120sin(sin 2sin 2-︒===21tan 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=A A A A .由33tan 0<<A 得3tan 1>A，∴221323=+⋅>m .题目测量底部不能到达的烟囱的高计算过程测量数据测量项目第一次第二次平均值 mAB m AE AC AE AEC AC ACCD CD ACD CAD 425.15.40.5.40)31(15,462)4530sin(75sin ,75sin ,230,30sin 45sin ,60,4530,75≈+=∴≈+=∴+=+==∆=︒==∆︒=∠∴︒=︒=︒︒︒︒︒而中，在则由正弦定理，中，在解：βαΘα74°52' 75°8'75°β30°12' 29°48' 30° d (m)59.7860.2260测量目标（附图）结果m 4218．解析：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵Θ242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===ΛΛ令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 19.解：⑴Θ等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵Θ数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++Λ20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a 50)103-=⨯； ⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a . ∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(ΛΛ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n20. 解：（1）设7月n 日售出的服装件数为)4,(),311,(**≥∈≤≤∈k N k a n N n a k n 为最大.⎩⎨⎧=---+=3)31(2)1(33k a k a kk ，∴,13=k 39=k a ，∴7月13号该款服装销售件数最多，其最大值是39件. （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，∵)(,3114,265131,3*N n n n n n an∈⎩⎨⎧≤≤-≤≤= ∴)(,3114),13)(51(273131,233*N n n n n n n nS n ∈⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--+≤≤⋅+=∵20027313>=S ，∴由12200,131≥>≤≤n S n n 得时，由2320,3114≥<≤≤n a n n 得时. ∴从7月12日到7月22日共11天该服装在社会上流行.21. 解：（Ⅰ）∵21(1)n n nS n S n cn +-+=+（1,2,3,...n =），∴()2111n n S S n cnn n n n ++-=++（1,2,3,...n =）.∵1S ，22S ，33S 成等差数列，∴32122132S S S S -=-，∴14226c c ++=，∴1c =. （Ⅱ）由（Ⅰ）得111n nS S n n+-=+（1,2,3,...n =）. ∴数列{}n S n 为首项是11S ，公差为1的等差数列. ∴1(1)11n S S n n n =+-⋅=.∴2n S n =. 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-. 当1n =时，上式也成立.∴21n a n =-（1,2,3,...n =）.22. 解:(1) 1232,2,23a a c a c ==+=+. 因为1,2,3a a a 成等比数列,所以2(2)2(23)c c +=+,解得0c =或2c =∵0c ≠,∴2c =(2)当2n ≥时,由于21321,2,,(1)n n a a c a a c a a n c --=-=⋅⋅⋅-=-, 所以[]112(1)n a a n c -=++⋅⋅⋅+-(1)2n n c -=. 又12,2a c ==，故有22(1)2(2,3,)n a n n n n n =+-=-+=⋅⋅⋅.当1n =时，上式也成立，所以22(1,2,3,)n a n n n =-+=⋅⋅⋅(3)令1(1)()2nn n na cb n nc -==-⋅. 123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+2341111023(1)2222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ①3411111102(2)(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②①-②得111122n n n n T --⎛⎫=--⎪⎝⎭。

2016-2017学年高中数学5模块综合A含答案

模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b2＋bc,则A 等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析: 由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝－错误!，∴A＝120°.答案：C2．已知集合A＝｛x∈R|3x＋2>0｝，B＝｛x∈R｜(x＋1）（x－3)〉0}，则A∩B＝（)A．(－∞，－1）B．错误!C．错误!D．（3，＋∞）解析：A＝错误!,B＝{x∈R｜x〉3或x〈－1｝,∴A∩B＝{x∈R|x〉3}．答案：D3．等差数列{a n｝的公差为1，若a1，a2，a4成等比数列,则a3＝( ）A．1 B．2C．－3 D．3解析：∵a1，a2，a4成等比数列，∴a错误!＝a1·a4即（a1＋1)2＝a1·（a1＋3）解得:a1＝1,∴a3＝a1＋2d＝3。

答案：D4．已知t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t和s的大小关系正确的是（)A．t≤s B．t≥sC．t＜s D．t>s解析：∵t－s＝a＋2b－a－b2－1＝－（b－1)2≤0，∴t≤s.答案：A5．各项不为零的等差数列｛a n｝中，有a错误!＝2(a3＋a11），数列｛b n｝是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（)A．2 B．4C．8 D．16解析：b6b8＝b错误!＝a错误!,又a错误!＝2(a3＋a11)＝4a7，∴a7＝4,∴b6b8＝16,故选D。

答案：D6．△ABC的三边分别为a，b,c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2,则△ABC的外接圆的直径为（)A．4 3 B．5C．5错误!D．6错误!解析：∵S△ABC＝错误!ac sin B，∴c＝4错误!，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B＝25，∴b＝5。

【新步步高】2016-2017学年高二数学人教A必修5综合检测卷Word版含解析][001]完美版

≥2解析 ∵ x>1，∴x － 1>0，∴x ＋ 1 ＝ (x － 1)＋ x －11＋1 x － 1综合检测卷、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5分，共 1．如果 a<0， b>0 ，那么，下列不等式中正确的是B. － a< bB 等于 ( )答案答案答案 D (时间： 120 分钟满分： 150 分)11 A.a <b22C ．a <bD ． |a|>|b|答案 A解析如果 a<0，1 1 1 1 b>0，那么 a 1<0，1b >0，∴a 1<1b .2．△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c.若 a 、 b 、 c 成等比数列，且 c ＝2a ，则 cos60 分 ) 1A.143 B.34C.42D.32解析由题意，b 2＝ ac ，又 c ＝ 2a ，由余弦定理，得 cos a2＋c 2－b 2 a 2＋ 4a 2－a ×2a B＝2ac2a ×2a334，故选 B.3．若 S n 是等差数列 {a n }的前 n 项和， a 2＋a 10＝ 4，则 S 11 的值为 ( )A ．12B ．18C ．22D ． 44解析S11＝a 1＋ a 11 × 11 11× a 2＋ a 102＝22.4．当 x>1 时，不等式x ＋x －1 1≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( )A ． (－∞， 2]B ．［2，＋∞ )C ．［3 ，＋∞ )D ． (－∞， 3］1＋1＝3.x －1∴a ≤3.5．等差数列 {a n }满足 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前 10项和为 ( ) A ．－ 9 B ．－ 15 C ．15 D ．±15答案 D解析 a4＋ a 7＋ 2a 4a 7＝ (a 4＋ a 7) ＝9，∴a4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝ ±3，6．在△ ABC 中，BC ＝2，B ＝3π，当△ABC 的面积等于 23时， sin C 等于( )A. 23B.12C. 33D. 43答案 B解析由三角形的面积公式，得由余弦定理，得2 2 2πAC 2＝ AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 3，3得 AC ＝ 3，再由三角形的面积公式，得1即可得出 sin C ＝ 2，选 B.7．在△ ABC 中，若 lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵ lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝ lg 2，∴sin A ＝2cos Bsin C ，lgsin Acos Bsin Clg 2.S10＝10 a 1＋ a 102＝ ±15.1 S ＝3π＝ 23，易求得AB ＝1，S ＝12ACBC ·sin C ＝3，2，∵A＋B＋C＝180°，∴ sin（B＋C）＝2cos Bsin C，∴sin（B－C）＝0.∴B＝C，∴△ ABC 为等腰三角形．8．在R 上定义运算“⊙”：a⊙ b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙ （x－2）<0 的实数x 的取值范围为（）A．（0,2）B．（－2,1）C．（－∞，－2）∪（1 ，＋∞ ）D．（－1,2）答案B 解析∵ x⊙（x－2）＝x（x－2）＋2x＋x－2<0，2∴ x2＋x －2<0.∴ －2<x<1.9．函数y＝x2＋mx＋m2对一切x∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．m>2 B．m<2C．m<0 或m>2 D．0≤ m≤ 2答案D 解析Δ＝m2－4×m2＝m2－2m≤0，∴0≤ m≤2.2x＋y≤40，x＋2y≤50，10．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是（x≥0，y≥0.A．90 B．80 C．70 D ．40答案C解析作出可行域如图所示．1由于2x＋y＝40、x＋2y＝50 的斜率分别为－2、－12，而3x＋2y＝03的斜率为－2，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40 的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A（10,20）时，z有最大值，z 的最大值为70.11．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70 元，不加附加税时，每年大约产销100 万瓶，若政府征收附加税，每销售100 元要征税k 元（叫做税112率 k%），则每年的产销量将减少 10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于万元，则 k 的取值范围为（）A ． [2,8]B ．（2,8）C ．（4,8）D ．（1,7）答案 A解析设产销量为每年 x 万瓶，则销售收入每年 70x 万元，从中征收的税金为 70x ·k%万元，其中 x ＝100－10k.由题意，得 70（100－10k ）k%≥112，整理得 k 2－10k ＋16≤ 0，解得 2≤k ≤8. 因此，当 2≤ k ≤8（单位：元）时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112 万元．12．设正实数 x ，y ，z 满足 x 2－ 3xy ＋ 4y 2－ z ＝ 0.则当 x z y 取得最小值时， x ＋2y － z 的最大值为（）答案 C解析由题意知： z ＝ x 2－ 3xy ＋ 4y 2，22所以 x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y ＝－2y ＋4y ＝－ 2（y －1）2＋ 2≤ 2. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分）13．已知 0<x<6，则（6－x ） ·x 的最大值是 _______ ．答案 9解析 ∵ 0<x<6，∴6－ x>0.当且仅当 6－ x ＝x ，即 x ＝3 时，取等号14．观察下列等式12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－ 10照此规律，第 n 个等式可为 12－22＋32－⋯＋（－1）n＋1n 2＝ _____________则z＝xy22x － 3xy ＋4y x 4y＝＋－3≥ 1， xy y x 当且仅当 x ＝2y 时取等号，此时z ＝xy ＝2y 2.∴ （6 － x ） ·x ≤ 6－x ＋x2＝ 9.答案（－1）n ＋1·n n 2＋1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有 n 项，指数都是 2，且正、负相间，所以等式左边的通项为（－ 1）n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为 1,3,6,10,15,21 ，⋯ .设此数列为 {a n } ，则 a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝ 5，⋯，为 60°和 30°，且座位 A 、 B 的距离为 10 6米，则旗杆的高度为 _______ 米．答案 30解析由题意，可知 ∠ BAN ＝105°，∠BNA ＝ 30°，解得 AN ＝20 3米，在 Rt △AMN 中， MN ＝20 3sin 60 ＝°30米．故旗杆的高度为 30 米．x ＋y －2≥0，16．设z ＝kx ＋y ，其中实数 x ，y 满足 x －2y ＋4≥0，若 z 的最大值为 12，则实数 k ＝ ______________2x － y －4≤0.答案 2解析作出可行域如图阴影部分所示：a n － a n －1＝ n ，各式相加得 a n －a 1＝ 2＋3＋4＋⋯＋n ，即 a n ＝1＋2＋3＋⋯＋n ＝n n ＋ 1 .所以第 n 个等式为 12－22＋32－42＋⋯＋（－1）n ＋1n 2＝（－1）n ＋1.n n 2＋1 .15．2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别由正弦定理，得AN sin 45 10 6 sin 3021由图可知当 0≤－k<21时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 A （4,4）时 z 最大，所以 4k ＋ 4＝ 12 ，解得 k 1 ＝2（舍去）；当－k ≥2时，直线 y ＝－ kx ＋z 经过点 B （0,2）时 z 最大，此时 z 的最大值为 2，不合题意；当－ k<0 时，直线 y ＝－ kx ＋ z 经过点 A （4,4）时 z 最大，所以 4k ＋4＝12，解得 k ＝2，符合题意．综上可知， k ＝ 2.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）1 1 1 1 117．（10 分）设 S n 是等差数列 {a n }的前 n 项和，已知 3S 3，4S 4 的等比中项为 5S 5；3S 3，4S 4 的等差中项为 1，求数列 { a n }的通项公式．n n － 1解设等差数列 { a n } 的首项 a 1＝ a ，公差为 d ，则 S n ＝ na ＋ 2 d ，依题意，有3ad ＋ 5d 2 ＝0，整理得52a ＋5d ＝2.232 12a n ＝1 和 a n ＝352－152n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1 或 a n ＝352－152n.∴a ＝1，d ＝0 或 a ＝4，d ＝12.5.∴ an ＝ 1 或 a n＝ 32512 5n经检验，5× 4 22d 2 ，18．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边， acos C ＋ 3asin C －b －c＝0.(1)求 A ；(2)若 a ＝ 2，△ ABC 的面积为 3，求 b ，c.解 (1)由 acos C ＋ 3asin C －b － c ＝0 及正弦定理得 sin Acos C ＋ 3sin Asin C － sin B －sin C ＝0.因为 B ＝π－ A －C ，所以 3sin Asin C －cos Asin C －sin C ＝0. 由于 sin C ≠ 0，所以 sin A － 6π＝21.π又 0<A<π，故 A ＝ 3.1(2)△ ABC 的面积 S ＝2bcsin A ＝ 3，故 bc ＝4.而 a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，故 b 2＋ c 2＝ 8. 解得 b ＝ c ＝ 2.19．(12 分 )某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元．该船每年捕捞总收入 50 万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解 (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元．则2＝－ 2n 2＋ 40n － 982＝－ 2(n － 10)2＋102∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102万元．y 49(2)年平均利润为 n ＝－ 2( n ＋ n －20)当且仅当 n ＝49，即 n ＝7 时上式取等号．y ＝50n － 98－[12×n ＋4]≤－2(2·4n 9－20)＝12，2220．(12 分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0 的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥ (m＋2)x－m－15 成立，求实数m 的取值范围．解(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0 ，∴ －2< x<4，∴不等式g(x)<0 的解集为{ x|－2<x<4} ．2(2)∵ f(x)＝x2－2x－8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15 恒成立，2∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥ m( x－1)．x －4x ＋7∴ 对一切x>2 ，均有不等式≥m 成立．x－12x －4x＋7 4而＝(x－1)＋－2x－1 x－1≥2 x－1 × 4－2＝2(当x＝3 时等号成立)．∴实数m 的取值范围是(－∞，2］．21．(12 分)如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中∠ B 为直角，AB 长为40 米，BC 长为50 米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．解如图，设矩形为EBFP ，健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△ CBA，FP CF x 50－BF 5所以F B P A＝C C F B，4x0＝50，求得BF＝50－54x，5 5 2从而y＝BF·FP＝（50－4x）x＝－4x2＋50x＝－45（x－20）2＋500≤500，当且仅当x＝20 时，等号成立．答该健身房的最大占地面积为500 平方米．22．（12 分）已知数列{a n}的前n 项和为S n，a1＝1，a n＋1＝2S n＋1（n∈N*），等差数列{b n} 中，b n> 0（n∈N*），且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 成等比数列．（1）求数列{a n} ，{ b n}的通项公式；（2）求数列{a n·b n}的前n项和T n.解（1）∵a1＝1，a n＋1＝2S n＋1（n∈N*），∴a n＝2S n－1＋1（n∈N*，n>1），a n＋1－a n＝2（S n－S n－1），∴*即a n＋1－a n＝2a n，∴ a n＋1 ＝3a n（ n∈ N ，n> 1）．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1，符合上式．∴数列{ a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，n 1 * ∴a n＝3n－1（n∈N*）．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{b n} 中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3 成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，则有（a1＋b1）（a3＋b3）＝（ a2＋b2 ）2.∴（1＋5－d）（9＋5＋d）＝64，解得d＝－10或d＝2，∵b n>0（n∈N*），∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴b n＝2n＋1（ n∈ N *）．（2）由（1）知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋⋯＋（2n－1）·3n－2＋（2n＋1）3n－1，① ∴3T n＝3× 3＋5×32＋7×33＋⋯＋（2n－1）3n－1＋（2n＋1）3n，②∴① －② 得我唯一的优势就是，比你卑微。

2016-2017学年高中数学模块综合评价(二)新人教A版必修5

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列解析：2b2a ＝2b －a ，2c2b ＝2c －b，因为a ，b ，c 成等差数列，所以c －b ＝b －a ，所以2b －a ＝2c －b，即2b 2a ＝2c2b .答案：C2．在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( ) A ．10 2 B ．20 2 C ．20 6 D.2063解析：由正弦定理：a sin A ＝csin C，所以a ＝c ·sin Asin C＝20×2212＝20 2.答案：B3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：两式相减得，3a 3＝a 4－a 3，a 4＝4a 3，所以q ＝a 4a 3＝4. 答案：B4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37 B ．36 C ．20 D ．19解析：由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37. 答案：A5．不等式x (9－x )＞0的解集是( )A ．(0，9)B ．(9，＋∞)C ．(－∞，9)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)解析：由x (9－x )＞0，得x (x －9)＜0，所以0＜x ＜9. 答案：A6．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析：由余弦定理：设最大角为A ，则cos A ＝9＋25－492×3×5＝－12＜0，所以A 为钝角．答案：C7．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152B ．[2，8]C ．[2，8)D ．[2，7]解析：由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜157，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8.答案：C8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n ＞1)，则a 5的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3解析：因为a 1＝1，a 2＝12－1＝0，a 3＝02－1＝－1，a 4＝(－1)2－1＝0，a 5＝02－1＝－1. 答案：B9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40解析：作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2，－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10，20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为( )A ．[2，8]B ．(2，8)C ．(4，8)D ．(1，7)解析：设产销售为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.答案：A11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94解析：因为x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，所以z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 为正实数，所以z xy ＝x y＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”)，即x ＝2y (y ＞0)，所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －(x 2－3xy ＋4y 2)＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.所以x ＋2y －z 的最大值为2.答案：C12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23 解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知0＜x ＜6，则(6－x )·x 的最大值是________．解析：因为0＜x ＜6，所以6－x ＞0，所以(6－x )·x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x ＋x 22＝9.答案：914．观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为12－22＋32＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－42＋(－1)n ＋1·n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2·（3＋2n －1）2＝－n （n ＋1）2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n （n －1）2＋n 2＝n （n ＋1）2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋ (－1)n ＋1n 2＝（－1）n ＋12n (n ＋1)．答案：（－1）n ＋12n (n ＋1)15．2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图所示，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题意可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理，得ANsin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203米，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米．答案：3016．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则∠B 的大小为________．解析：由m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，所以∠B ＝150°. 答案：150°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1 000 m2的楼房，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%.已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把楼层建成几层？解：设该楼建成x 层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400＋400(x －5)·5%(元)，又每平方米购地费用为100×1041 000x ＝1 000x (元)，故每平方米的平均综合费用y ＝1 000x＋400＋400(x －5)·5%＝20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋50x ＋300≥20×2 x ·50x ＋300＝2002＋300，当且仅当x ＝50x，x 2＝50，x ≈7时，y 最小，所以大楼应建成7层综合费用最低．18．(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mike/h 的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上(如图所示)．则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°， (14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，所以x ＝2，AB ＝28，BC ＝20， sin α＝20sin 120°28＝5314.所以所需时间为2小时，α角的正弦值为5314.19．(本小题满分12分)设a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1＝2b n ＋2. (1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列(要指出首项与公比)；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，所以b n ＋1＋2b n ＋2＝2. 又因为b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，所以数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解：由(1)知b n ＋2＝4·2n －1，则b n ＝2n ＋1－2，所以a n －a n －1＝2n－2，a n －1－a n －2＝ 2n －1－2，…，a 3－a 2＝23－2，a 2－a 1＝22－2，叠加得a n －2＝(22＋23＋ (2))－2(n －1)，所以a n ＝(2＋22＋23＋ (2))－2n ＋2＝ 2（2n－1）2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n .20．(本小题满分12分)设f (x )＝16xx 2＋8(x ＞0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.(1)解：因为x ＞0，所以f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x≤162 x ·8x＝1642＝22，当且仅当x ＝8x，即x ＝22时，等号成立．所以当x ＝22时，f (x )max ＝2 2. (2)证明：令g (b )＝b 2－3b ＋214，b ∈R ，则g (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，所以当b ＝32时，g (b )min ＝3，因为f (x )max ＝22，所以f (x )max ＜g (b )min ，故对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)， (1)若不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值；(2)若f (1)＝2，a ＞0，b ＞0，求1a ＋4b的最小值．解：(1)因为不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f (x )＝0的两实根，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋5＝0，f （3）＝9a ＋3（b －2）＋3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋5＝0，3a ＋b －1＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4. (2)由f (1)＝2，a ＞0，b ＞0得到a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时“＝”成立；所以1a ＋4b的最小值为9.22．(本小题满分12分)据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润； (3)当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？解：(1)y ＝a (x －15)2＋17.5(a ∈R，a ≠0)，将x ＝10，y ＝20代入上式得，20＝25a ＋17.5，解得a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)．(2)设利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1．6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)，因为x ＝23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元． (3)y x ＝110x 2－3x ＋40x ＝110x ＋40x－3≥2 x10·40x－3＝1.当且仅当x10＝40x，即x＝20∈[10，25]时上式“＝”成立．故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．。

2016-2017学年高中数学必修5模块综合测评含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10,则它的前10项的和S10＝（)A．138 B．135C．95 D．23【解析】由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10得a1＝－4，d＝3，所以S10＝错误!＝错误!＝5×19＝95。

【答案】C2．在△ABC中，已知a、b和锐角A,要使三角形有两解,则应该满足的条件是（）A．a＝b sin A B．b sin A＞aC．b sin A＜b＜a D．b sin A＜a＜b【解析】当a＝b sin A时,有一解，当b sin A＜a＜b时，有两解，当a＞b时有一解．【答案】D3．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集,则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4【解析】欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集,则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4。

【答案】 A4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为（）A ．9B ．21C ．27D ．36【解析】 ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1,又a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴3（a 1＋a n ）＝1＋3,∴a 1＋a n ＝错误!。

又S n ＝n a 1＋a n 2＝错误!n ＝18,∴n ＝27，故选C 。

【答案】 C5．关于x 的不等式ax －b 〉0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式(ax ＋b ）（x －3)〉0的解集是（）A．（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．（－1,3）C．(1，3）D．（－∞,1）∪(3，＋∞）【解析】（ax＋b)（x－3）〉0等价于错误!或错误!∴错误!或错误!∴x∈（－∞，－1)∪（3，＋∞)．【答案】A6．“神七"飞天，举国欢庆，据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征2号”系列火箭，点火1分钟内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2 km，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( ）A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．20分钟【解析】由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项,公差d＝2的等差数列，∴n分钟内通过的路程为S n＝2n＋错误!×2＝n2＋n＝n（n＋1）．检验选项知,n＝15时，S15＝240 km。

2016-2017学年高中数学模块综合测试A北师大版必修5

模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案： B1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300 解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析：根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析：由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6， ∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －12·2＝n 2－12n .故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32 B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°. ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 答案： D7．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10， ∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100，x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，an －1a －1 n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列．答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选 C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 21q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋a ＋12－a ＋222a a ＋1＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC＝43，则b ＝________.解析：因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋20×20－12×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案： 11015．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y的最小值为________．解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x ≥281＝18.答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa， ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 解析：若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜120．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝z ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝t得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2.(2)∵f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋4＋a 24在(－∞，1]上递增，∴a2≥1，a ≥2.又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0，由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1，由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22．(本小题满分14分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．。

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模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1b B.b a >1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b【解析】利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；ba <0，B 错；a 2＝b 2，C 错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3，∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10，d ＝3.∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2. 【答案】 A3．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°. ∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n .∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】法一取特殊值，a ＝2，b ＝c ＝－1，则T ＝－32<0，排除A ，C ，D ，可知选B.法二由a ＋b ＋c ＝0，abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0，b <0，c <0，则T ＝1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝ab ＋c (b ＋a )abc＝ab －c 2abc .∵ab <0，－c 2<0，abc >0，故T <0，应选B. 【答案】 B11．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．1【解析】由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ， ∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A .∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0. ∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·qn (n －1)2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 t A,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料(t) 现有原料数(t) A B 甲 2 1 14 乙 1 3 18 利润(万元/t)53—(1)在现有原料条件下，生产A ，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？ (2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B产品225 t 时，可得最大利润．(2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。