高二定积分的计算
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
定积分计算公式大全
定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。
1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
2. 定积分的线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。
- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。
二、定积分的换元积分法。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。
例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。
令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。
所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。
定积分的计算公式和例题
定积分的计算公式和例题定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍定积分的计算公式和一些例题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定积分的计算公式。
1. 定积分的定义。
在介绍定积分的计算公式之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在该区间上连续，则称函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，∫表示积分的符号，a和b分别为积分的下限和上限，f(x)为被积函数，dx表示自变量。
2. 定积分的计算公式。
定积分的计算公式有很多种，常见的包括：（1）定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，例如线性性质、区间可加性等。
这些性质对于定积分的计算非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
（2）牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的重要公式之一，它表示函数的不定积分与定积分之间的关系。
具体而言，如果函数F(x)是f(x)的一个不定积分，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) F(a)。
这个公式为我们提供了一种通过求函数的不定积分来计算定积分的方法，非常方便和实用。
（3）换元积分法。
换元积分法是定积分计算中常用的一种方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分。
具体而言，如果被积函数的形式比较复杂，我们可以通过引入新的变量来简化计算过程，然后再进行积分。
（4）分部积分法。
分部积分法是定积分计算中另一种常用的方法，它通过对被积函数进行分解，然后再进行积分。
具体而言，如果被积函数可以表示为两个函数的乘积，我们可以通过分部积分法将其分解为两个函数的积分，然后再进行计算。
以上是定积分的一些常用计算公式，它们在定积分的计算中起着重要的作用，可以帮助我们更加高效地进行积分计算。
二、定积分的例题。
下面我们通过一些具体的例题来演示定积分的计算过程，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
定积分常见公式
定积分常见公式定积分在数学学习中可是个重要的家伙，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多复杂的问题。
先来说说定积分的基本公式吧，就比如$\int_{a}^{b} kdx = k(b - a)$，这里的$k$是个常数。
这个公式理解起来其实不难，你就想象有一段长度为$b - a$的线段，然后常数$k$就像是给这段线段均匀地涂了一层厚度，最后的结果就是这层“厚度”的总量。
再看$\int_{a}^{b} xdx = \frac{1}{2}(b^2 - a^2)$，这个就像是计算一堆整齐排列的方块的体积。
从$a$到$b$，每个位置上的方块高度就是对应的$x$值，把它们加起来就得到了总体积。
还有$\int_{a}^{b} x^2dx = \frac{1}{3}(b^3 - a^3)$，这就好比是计算一个不断变高的积木塔的体积。
从$a$开始，积木的高度以平方的速度增长，一直到$b$，通过这个公式就能算出整个积木塔的体积啦。
我记得之前有一次给学生们讲定积分的课，当时有个学生特别有意思。
那节课刚开始讲定积分公式的时候，他一脸迷茫，眼睛瞪得大大的，好像这些公式是外星文字一样。
我就给他举例子，说假如我们要计算从 1 到 3 之间，函数$f(x) = 2x$图像与$x$轴围成的面积。
按照公式$\int_{1}^{3} 2xdx = x^2|_{1}^{3} = 3^2 - 1^2 = 8$，这不就很快算出面积是 8 了嘛。
这孩子听完，眼睛一下子亮了，嘴里还嘟囔着：“原来是这样啊，好像也没那么难！”从那以后，他对定积分的公式越来越感兴趣，每次做题都特别积极。
还有一个公式$\int_{a}^{b} e^xdx = e^b - e^a$，这就像是计算一个以指数速度增长的量的累积效果。
像$\int_{a}^{b} \sin xdx = -\cos b + \cos a$和$\int_{a}^{b} \cos xdx =\sin b - \sin a$这两个公式，在处理与三角函数相关的定积分问题时特别有用。
定积分常用的计算公式
定积分常用的计算公式定积分可是数学里一个相当重要的概念，它在很多方面都有着大用处。
就像我们在生活中计算某个时间段内的积累量，或者计算不规则图形的面积，定积分都能派上用场。
咱们先来说说定积分的基本公式。
定积分的计算，就像是在走一条长长的路，我们要找到正确的方向和方法才能顺利到达目的地。
基本公式就像是我们手里的地图，能给我们指引方向。
比如说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且有原函数$F(x)$，那么定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$。
这就好像你有一堆积木，你知道了每个积木的形状和大小（这就是函数$f(x)$），然后通过某种方法找到了能把这些积木拼起来的整体模型（这就是原函数$F(x)$），最后计算出从$a$到$b$这个范围内积木拼成的样子的变化（也就是定积分的值）。
再来讲讲定积分的换元法。
这就像是你在做一个复杂的拼图，发现原来的拼法太费劲，于是换个角度，换种方式来拼，说不定就豁然开朗了。
举个例子，我之前教过一个学生，他在做一道定积分的题目时，怎么都算不出来。
题目是计算$\int_{0}^{\pi/2}cos^2x dx$。
他按照常规的方法，一直在那纠结，眉头皱得紧紧的，脸都快拧成麻花了。
我就提示他试试换元法，令$t = sinx$，然后$dx = \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$。
他按照这个思路换了一下，很快就做出来了，那开心的样子，就像找到了宝藏一样。
还有定积分的分部积分法，这就好比两个人合作搬东西，一个人负责一部分，另一个人负责另一部分，齐心协力把事情办好。
比如说计算$\int_{0}^{1}xe^x dx$，我们就可以把它分成$u = x$，$dv = e^x dx$，然后通过公式$\int_{a}^{b}u dv = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}v du$来计算。
在实际应用中，定积分的计算公式能帮助我们解决很多问题。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个在微积分中，定积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
定积分公式作为定积分的重要工具，可以帮助我们解决各种复杂的问题。
在本文中，我们将介绍24个常见的定积分公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
1. 基本积分公式。
定积分的基本公式是。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) \]其中，\(F(x)\)是\(f(x)\)的不定积分。
这个公式是定积分的基础，我们可以通过它来求解更复杂的积分问题。
2. 定积分的线性性质。
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，\(k\)是任意常数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} [kf(x)+g(x)]dx=k\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理复杂的函数时非常有用。
3. 定积分的换元积分法。
如果\(u=g(x)\)在\([a,b]\)上具有连续导数，\(f(u)\)在对应区间上可积，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
4. 定积分的分部积分法。
如果\(u=f(x)\)和\(v=g(x)\)都在\([a,b]\)上具有连续导数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} u dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
5. 定积分的换限积分法。
如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理对称函数时非常有用。
高中定积分的计算
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
高二数学 求定积分的四种方法知识点分析 大纲人教版
1 / 1求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求23x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法 例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323xx x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0．。
定积分的基本公式和运算法则
定积分的基本公式和运算法则定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际应用中都有着广泛的用途。
那咱们就来好好聊聊定积分的基本公式和运算法则。
先来说说定积分的基本公式。
这就好比是我们在数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开很多难题的大门。
比如，牛顿-莱布尼茨公式，这可是个相当重要的家伙。
它告诉我们，如果函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么定积分∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这就像是找到了一个直接通往答案的捷径，让复杂的计算变得简单了许多。
再谈谈定积分的运算法则。
加法法则就像是搭积木，两个函数的定积分之和等于它们分别定积分的和。
比如说，∫[a,b] [f(x) + g(x)]dx =∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx 。
这就好像你有两堆糖果，要算它们加起来的总数，分别算出每一堆的数量再相加就好啦。
还有乘法法则，这个稍微有点复杂，但也不难理解。
就像是做乘法运算一样，只不过是在定积分的世界里。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我给学生们讲定积分的运算，有个学生怎么都搞不明白。
我就拿分糖果打比方，假如有一堆糖果，我们要按照不同的规则来分配，这就好比是不同函数的定积分运算。
然后我一步一步地带着他分析，最终他恍然大悟，那种开心的表情让我也特别有成就感。
在实际应用中，定积分的这些公式和法则用处可大了。
比如计算图形的面积、计算物体的体积、求解物理问题等等。
就拿计算图形面积来说吧，通过定积分，我们可以把不规则的图形分割成很多小的部分，然后利用公式和法则算出每一部分的面积，最后加起来就得到了整个图形的面积。
这就像是拼图，一块一块地拼起来，最终呈现出完整的画面。
再比如在物理中，计算变力做功的问题。
力不是恒定的，而是随着位置或者时间变化的，这时候定积分就派上用场啦。
通过对力函数进行积分，就能算出力在一段距离或者一段时间内所做的功。
总之，定积分的基本公式和运算法则是我们解决各种数学和实际问题的有力工具。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个一、定积分的定义。
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分。
在数学上，定积分可以表示为∫abf(x)dx，其中a和b是积分的区间，f(x)是被积函数。
下面我们将介绍一些常见的定积分公式。
二、基本定积分公式。
1. 基本积分公式。
∫xndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数。
2. 基本三角函数积分公式。
∫sinxdx = -cosx + C。
∫cosxdx = sinx + C。
∫sec^2xdx = tanx + C。
∫csc^2xdx = -cotx + C。
3. 基本指数函数积分公式。
∫e^xdx = e^x + C。
∫a^xdx = a^x/lna + C，其中a>0且a≠1。
4. 基本对数函数积分公式。
∫(1/x)dx = lnx + C。
5. 基本反三角函数积分公式。
∫(1/√(1-x^2))dx = arcsinx + C。
∫(1/√(1+x^2))dx = arctanx + C。
6. 基本双曲函数积分公式。
∫coshxdx = sinhx + C。
∫sinhxdx = coshx + C。
∫sech^2xdx = -tanhx + C。
∫csch^2xdx = -cothx + C。
三、定积分的性质。
1. 定积分的线性性质。
∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
2. 定积分的区间可加性。
若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫abf(x)dx = ∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx。
3. 定积分的保号性。
若f(x)在区间[a, b]上连续且f(x)≥0，则∫abf(x)dx ≥ 0。
四、定积分的常用公式。
1. 定积分的换元积分法。
若∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫g(x)dx，则∫f(u)du = ∫g(x)dx，其中u=φ(x)。
定积分求解公式
定积分求解公式定积分求解公式，这可是数学学习中的一个重要内容。
在我们的数学世界里，定积分求解公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多未知的大门。
说起定积分，我想起曾经有个学生，叫小明。
小明在刚开始接触定积分的时候，那叫一个头疼，总是搞不清楚定积分求解公式的用法。
咱们先来说说定积分的定义。
简单来说，定积分就是函数在某个区间上的累积效果。
就好比你每天存钱，一段时间后存下的总钱数就是一个累积的结果。
而定积分求解公式呢，就是帮助我们准确算出这个累积结果的工具。
常见的定积分求解公式有牛顿-莱布尼茨公式。
这个公式可重要啦！它就像是数学世界里的明星，备受瞩目。
假设函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么在区间 [a, b] 上的定积分就等于 F(b) - F(a) 。
这听起来是不是有点抽象？别着急，咱们还是拿小明的例子来说。
有一次，老师布置了一道题目，让计算函数 f(x) = 2x 在区间 [1, 3]上的定积分。
小明一开始是懵的，完全不知道从哪里下手。
他盯着题目看了半天，心里直犯嘀咕：“这可咋办呀？”后来，他想起了牛顿-莱布尼茨公式，于是开始找原函数。
经过一番努力，他发现原函数是F(x) = x²。
然后按照公式，F(3) - F(1) ，也就是 3² - 1²，答案一下子就出来了，是 8 。
小明当时那个高兴劲儿呀，就像是找到了宝藏一样。
除了牛顿-莱布尼茨公式，还有换元积分法和分部积分法。
换元积分法就像是给函数穿上了一件新衣服，通过巧妙的变量替换，让原本复杂的式子变得简单易懂。
比如说，要计算定积分∫sin(2x)dx ，我们可以令 u = 2x ，du = 2dx ，式子就变成了1/2 ∫sin(u)du ，这样就好算了。
分部积分法呢，则像是把一个大问题拆分成几个小问题来解决。
比如计算∫x e^x dx ，我们可以把它看成是 u = x ，dv = e^x dx ，然后按照分部积分公式来计算。
定积分知识点总结高中
定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。
在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。
二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。
三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。
2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。
3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。
四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。
2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。
3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。
五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
这是定积分最基本的应用之一。
2. 定积分可以用来求解物体的质量。
例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。
3. 定积分可以用来求解物体的质心。
通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。
4. 定积分可以用来求解函数的平均值。
通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。
六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。
七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。
2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。
3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。
高中数学定积分解题技巧
高中数学定积分解题技巧在高中数学中，定积分是一个重要的概念和工具，它有着广泛的应用领域，涉及到面积、体积、平均值等问题的求解。
定积分的解题技巧对于学生来说是非常重要的，下面我将通过具体的题目举例，分析和说明一些常见的定积分解题技巧，希望能够帮助到高中学生和他们的家长。
1. 求定积分的基本步骤首先，我们来看一个简单的例子：求函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分。
解题步骤如下：（1）求不定积分：$\int 2x \, dx=x^2+C$（2）计算上限和下限的值：$F(3)-F(1)=3^2+C-(1^2+C)=8$所以，函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分为$8$。
通过这个例子，我们可以看出求定积分的基本步骤是：先求不定积分，然后计算上限和下限的值，最后相减得到定积分的值。
2. 利用函数的对称性简化计算有些函数具有对称性，利用对称性可以简化定积分的计算。
例如，对于偶函数来说，如果函数在对称轴两侧的取值相等，那么函数在该区间上的定积分就等于两侧的定积分的和的一半。
例如，我们要求函数$f(x)=x^2$在区间$[-2,2]$上的定积分。
解题步骤如下：（1）求不定积分：$\int x^2 \, dx=\frac{1}{3}x^3+C$（2）计算上限和下限的值：$F(2)-F(-2)=\frac{1}{3}(2^3+C)-\frac{1}{3}(-2^3+C)=\frac{16}{3}$所以，函数$f(x)=x^2$在区间$[-2,2]$上的定积分为$\frac{16}{3}$。
通过这个例子，我们可以看出利用函数的对称性可以简化定积分的计算，减少计算量。
3. 利用定积分的性质简化计算定积分具有一些性质，利用这些性质可以简化定积分的计算。
例如，定积分的线性性质和积分中值定理。
（1）线性性质：对于任意常数$a$和$b$，有$\int (af(x)+bg(x)) \, dx=a\int f(x) \, dx+b\int g(x) \, dx$。
定积分的五种求法
上 学 期 期 中 考 试 理 科 已 知 函 数 厂 一
当 １≤ ＜√ 时， 厂，（ ）＜ｏ，此时
（１）若 “一 ２，求 证 ：函 数 ｆ（ｚ）在 （１， ｆ（ｘ）是 减 函 数 ；
＋～）上是增 数
当√ ＜ ≤ 时，厂，（ ）＞ｏ，此时
（２）求 函 数 ｆ（ ）在 ［１，ｅ］上 的 最 小 值 及
质 ，则 能 迎 刃 而 解 。
解 ：由 于 被 积 ／Ｎ数 ｔ
及
是 奇
Ｚ 十 １
函 数 ，所 以 其 在 对 称 区 间 的 积 分 值 均 为 零 。
１ ２ 求定积分 ｆ （ ｚ＋２ ＋１）ｄｊ：的
值 。 分 析 ：可 允 求 出 原 函 数 ，再 利 用 微 积 分 基
Ｉ （、／『二 ）ｄ 一 。
（４） 取 极 限 ： ｓ — ｌｉｍ 三 ．
［（ ｝（ ＋…＋（ ）。］
四 性 质 法 侧 求 下 列定 积分 ：
① 』 ｔａｎ ｚｄ－ｚ；② Ｉ
ｄ 。
一 ｌｉｒ ａ ［１ ＋ ２。＋ … ＋ ”。］
分 析 ：对 于 ① 用 微 积 分 的 基 本 定 理 可 以
分 析 ：用 定 义 法 求 积 分 司 分 四 步 ：分 割 ，
以 直 代 曲 ，作 和 ，求 极 限 。
解：（１）分割：把区间［ｏ，２］分成 等份，
。
Ｕ△‘ｚ．一 。
”
（２） 近 似 代 替 ：△Ｓ 一
（∈ ）△ｚ 一
（ ３＋ 。＋）ｆ １一（＼３＋４＋ ／一（＼ ３＋ ＋ ）一
－＝ －＝ ＝ ［｝×÷ ｃ”＋ ］
解 决 ，而 ② 的 原 函 数 很 难 找 到 ，几 乎 不 能 解 决 。若 运 用 奇 偶 函 数 在 对 称 区 间 的 积 分 性
高二数学微积分基本定理1
3.我们已经掌握了导数的概念和计算方 法，如果能建立导数与定积分的内在联 系，利用导数来求定积分，那是非常理 想和美妙的.
探究（一）：物体位移的几种算法
思考1：一个作变速直线运动的物体的位 移y与时间t的函数关系为y＝y(t)，那么 它在时间段[a，b]内的位移s等于什么？
s＝y(b)－y(a).
1
0
x dx 的值.
n n
3
i 3 1 1 x dx = lim 邋( ) ? lim 4 n n n n i= 1 n 1 1 2 1 = lim (1 + ) = n 4 n 4
i
i= 1
3
复习:定积分的基本运算性质：
(1) (2)
kf ( x ) dx = k 蝌
a
b
b a
f (x )dx
π
sin xdx = 0 2π x
ò
2p
p
sin xdx = - 2
【结论】 （1）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 上方时，定积分的值为正数，且等于曲 边梯形的面积；
（2）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 下方时，定积分的值为负数，且等于曲 边梯形的面积的相反数； （3）当定积分对应的曲边梯形位于x轴 上方部分的面积与位于x轴下方部分的面 积相等时，定积分的值为零.
探究（二）：微积分基本定理
思考1：我们曾求得以速度v(t)＝－t2＋2 作变速直线运动的汽车，在0≤t≤1时段 1 内行驶的路程为定积分 ò (- t 2 + 2)dt = 5 ,
0
若利用上述原理求定积分ò (- t + 2)dt 的 0 值，如何计算？ 1 1 1 3 2 ¢ ( t + 2) dt = ( t + 2 t ) dt 蝌 0 0 3 1 3 5 = - ? 1 2? 1 0 = 3 3
高中定积分的计算方法
在高中阶段，定积分是比较重要的一类知识，在学习时要注意对定积分的理解，并能够灵活运用。
高中定积分的计算方法及常见问题对于定积分的计算大家应该都比较熟悉，我们在做题目时经常会用到，但其实对于函数而言，我们可以把它看作是一个特殊点或者是一个特殊的类问题来进行分析。
因为是特殊的类问题所以它也有一些常规型题目可以解。
那么首先我们来看一下，如果我们要想得到一个函数的定积分值需要满足哪些条件。
首先，我们要了解一个函数的基本情况，然后再去进行计算，就会比较简单了。
对于函数的定义式，一定要理解清楚，特别是关于y=f （x）的定义公式一定要掌握好；其次就是求值的公式，这个要特别注意，因为在求解定积分时，关于求值公式只有两个：定积分的表达式、定积分的求值公式。
这两个计算公式一定要熟记于心。
在这个基础上才可以去进行计算。
对于求值公式：a (x)+b 是函数式中最简单也是最常用的一个公式。
一般情况下，我们会把a看成是常数项a>0或者b=0。
对于定积分来说a>0意味着这个函数是一个无穷级函数，它是有一个最大值的；当它等于零也就意味着对于这个点来说他的所有取整值都等于零。
其次就是求值项，一般情况下函数定义域范围也是由定积分决定的。
定积分域范围可以用定积分表或者直接使用定义公式来确定；取整值要注意这个问题；然后就是求取值了：我们需要把两个式子写出来：求积计算式（x）=x+b (x）-a+b这里面如果a>0或者b>0时我们就可以直接用求积计算式（x）=x+b来进行计算，如果a<0时就要先对变量进行取整处理，然后再使用求积计算式（x）=x-p进行计算。
接下来我们看一下定积分中比较重要的几个概念：1、定容比：在确定一个函数时一定要保证这个函数与它所研究问题之间满足一定条件才可以进行计算。
2、积分区域：当一个给定函数被求出后需要确定是否要在这个区域内进行积分（注意要把它作为定容比来看待）。
定积分常用的计算方法
定积分常用的计算方法一、牛顿莱布尼茨公式法。
1.1 这可是定积分计算的一个“王牌方法”呢。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
就像是找到了一把万能钥匙，能直接打开定积分计算的大门。
比如说，计算∫_1^2x^2dx，我们都知道x^2的一个原函数是(1)/(3)x^3，那根据牛顿莱布尼茨公式，就直接是(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)，简单又直接，真的是“得来全不费工夫”。
1.2 不过呢，这个方法的难点就在于要先找到原函数。
有些函数的原函数可不是那么好找的，就像捉迷藏一样，得费一番功夫。
像∫(sin x)/(x)dx这种，它的原函数就不能用初等函数表示出来，这时候牛顿莱布尼茨公式就有点“英雄无用武之地”了。
二、换元积分法。
2.1 这是个很巧妙的方法。
当被积函数比较复杂的时候，我们就可以通过换元，把复杂的函数变得简单一些。
比如说∫_0^1√(1 x^2)dx，我们令x = sin t，那么dx=cos tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t=(π)/(2)。
这样原积分就变成了∫_0^(π)/(2)cos^2tdt，是不是一下子就感觉简单多了呢？这就像是给一个难题来了个“偷梁换柱”，把不好解决的问题转化成好解决的。
2.2 但是换元的时候可得小心了，要注意换元后的积分上下限也要跟着变，就像穿衣服要配套一样。
要是忽略了这一点，那可就“差之毫厘，谬以千里”了。
2.3 而且换元也不是随便换的，要根据函数的特点来选择合适的换元方式。
这就需要我们多做练习，积累经验，就像学骑自行车，骑得多了自然就熟练了。
三、分部积分法。
3.1 分部积分法也很有用。
公式是∫_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)mid_a^b-∫_a^bv(x)du(x)。
高二定积分的计算
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师胡居化一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.知识点二：定积分的计算例1．由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴围成的面积是（ ） A ．415 B ．417 C ．2ln 21 D ．2ln2题意分析：本题表面上考查定积分的几何意义，实质是考查定积分的基本运算，关键是理解所求图形面积是定积分dx x⎰2211的值. 思路分析：利用导数求出x xln 1的原函数是.再利用微积分的基本定理求.解：x x 1)(ln '=Θ，∴dx x ⎰2211=2ln 221ln 2ln |ln 221=-=x .故选（D ）解题后的思考：求定积分的值关键是求被积函数的原函数，可利用导数求被积函数的原函数，易错的地方是：求被积函数的原函数有误.例2．求下列定积分的值 （1）⎰+1)32(dx x（2）⎰--123)1(dx x （3）⎰-+0)(cos πdt e t t题意分析：本题考查定积分的基本计算，先直接求被积函数的原函数，再利用定积分的运算性质和微积分基本定理求定积分的值.思路分析：（1）利用导数求被积函数te t x x +-+cos ,1,323的原函数分别是t 42e t sin ,x 41x ,x 3x +-+，再由微积分基本定理可求. 解：（1）3x 2)x 3x ('2+=+Θ，431|)3()32(1021=+=+=+∴⎰x x dx x（2）34x 1)'x 41x (-=-Θ 427]4)2(2[)411(|)41()1(4121243=-----=-=-∴⎰--x x dx x （3）t't e t cos )e t (sin +=+Θ，⎰⎰⎰π-π-π-π-+=+=+∴00t 0tt dt e tdt sin |)e t (sin dt )e t (cos=ππ-π--=+e11|e |x sin 0t 0 解题后的思考：本题是定积分的简单的运算，解题的关键是求被积函数的原函数，能利用求导的方法求原函数，体现了等价转化的数学思想的应用.易错点是求原函数.要注意定积分运算法则的应用.例3．求下列定积分的值（1）⎰2022sin πdx x （2）⎰-πππ3)6cos(dx x题意分析：本题仍是定积分的运算，被积函数不是我们学过的基本初等函数，要把被积函数转化为基本的初等函数.思路分析：利用三角函数的降幂公式把被积函数化为：2sin )cos 1(212x x -=，利用余弦的差角公式把被积函数化为：x x x sin 21cos 23)6cos(+=-π，再利用定积分的运算法则及微积分的基本原理求.解：（1）⎰222sin πdx x =⎰-202cos 1πdx x =21⎰-2)cos 1(πdx x =⎰⎰-2020)cos (21ππxdx dx=42)12(21)|sin |(212020-=-=-ππππx x（2）⎰-πππ3)6cos(dx x =⎰+ππ3)sin 21cos 23(dx x x =⎰⎰+ππππ33sin 21cos 23dx x xdx =0)3cos (cos 213sin 23|cos 21|sin 2333=---=-πππππππx x 解题后思考：本题的解题关键是求被积函数的原函数，利用求导数的方法求原函数，若被积函数不是初等函数要转化为基本的初等函数，这样便于利用导数求原函数，其中体现等价转化的数学思想的应用.小结：本题组主要是考查定积分的计算，求被积函数的原函数是解题的关键，要熟练的掌握导数的运算法则、公式便于求被积函数的原函数，同时对较复杂的被积函数要转化为基本的初等函数.同时注意定积分的运算的性质、法则的应用.会给解题带来很大的方便.【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述定积分的几何意义及定积分的基本运算，在考查定积分几何意义的知识点上体现了数与形相结合数学思想的应用，在定积分的运算过程中体现了等价转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、选择题（每题5分，计30分）1．设连续函数f （x ）>0恒成立，则当a<b 时，定积分⎰bax f )(的符号是（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a<b 时是正的，当a<b<0时是负的D ．以上都不对2．若⎰=-kdx x x 02,0)32(则k=（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对 3．与定积分⎰-π30cos 1dx x 相等的是（ ）A ．⎰π302sin 2dx xB ．⎰π30|2sin|2dx xC ．|2sin |230⎰πdx xD ．以上都不对.4．⎰+20)sin 3(πdx x x =（ ）A ．1832+πB ．1432+π C ．1432-π D ．1832-π5．已知f （x ）是偶函数，且⎰=68)(dx x f ，则⎰-=66)(dx x f （ ）A ．0B ．4C ．8D ．166．⎰-+22)cos 1(ππdx x 等于（ ）A ．πB ．2C ．2-πD ．2+π二、计算题7．求下列定积分的值：（每题5分，计20分） （1）⎰++212)12(dx x x （2）dx x x )cos (sin 0⎰+π（3）⎰+-212)1(dx x x x （4）dx x x)cos 1(1⎰+π8．求定积分⎰---12))1(1dx x x （10分）【试题答案】一、选择题1．（A ）解析：由定积分的几何意义可知：选（A ） 2．（C ）解析：⎰⎰⎰==⇒=-=-=-⇒=-kkkkk k k k k x x dx x xdx dx x x 032030222,100||320)32(或3．（B ）解析：|2sin |2)2sin21(1cos 12xx x =--=-Θ 4．（A ）解析：],0[x π∈当Θ时，x sin |x sin |,0x sin =≥； 当]23,[x ππ∈时，x sin |x sin |,0x sin -=≤ 5．（D ）解析：原式=⎰⎰+-66)()(dx x f dx x f ，由f （x ）是偶函数，f （x ）图象在y 轴两侧对称.故原式=166．（D ）解析：⎰-+22)cos 1(ππdx x =22|)sin (ππ-+x x =2+π二、计算题7．解：（1）⎰++212)12(dx x x =319|||321212213=++x x x（2）dx x x )cos (sin 0⎰+π=2|sin |)cos (00=+-ππx x（3）⎰+-212)1(dx x x x =652ln |ln |31|2121213212-=+-x x x （4）dx x x)cos 1(1⎰+π=1sin ln |sin |ln 11-=+πππx x8．解：⎰---12))1(1dx x x =⎰⎰---112))1(1(dx x dx x ，⎰----1022)1(1)1(1x x 义求以利用定积分的几何意的原函数较复杂，故可求函数Θ⎰--12)1(1dx x 表示圆：0,1,01)1(22====+-y x x y x 与围成的图形面积.故⎰--12)1(1dx x =4π，21|2110210==⎰x xdx ， 所以⎰---12))1(1dx x x =214-π.。
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一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±babab adx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.知识点二：定积分的计算例1．由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴围成的面积是（ ） A ．415 B ．417 C ．2ln 21 D ．2ln2题意分析：本题表面上考查定积分的几何意义，实质是考查定积分的基本运算，关键是理解所求图形面积是定积分dx x⎰2211的值. 思路分析：利用导数求出x x ln 1的原函数是.再利用微积分的基本定理求.解：x x 1)(ln '=Θ，∴dx x ⎰2211=2ln 221ln 2ln |ln 221=-=x .故选（D ）解题后的思考：求定积分的值关键是求被积函数的原函数，可利用导数求被积函数的原函数，易错的地方是：求被积函数的原函数有误.例2．求下列定积分的值 （1）⎰+1)32(dx x（2）⎰--123)1(dx x （3）⎰-+0)(cos πdt e t t题意分析：本题考查定积分的基本计算，先直接求被积函数的原函数，再利用定积分的运算性质和微积分基本定理求定积分的值.思路分析：（1）利用导数求被积函数te t x x +-+cos ,1,323的原函数分别是t 42e t sin ,x 41x ,x 3x +-+，再由微积分基本定理可求. 解：（1）3x 2)x 3x ('2+=+Θ，431|)3()32(1021=+=+=+∴⎰x x dx x（2）34x 1)'x 41x (-=-Θ 427]4)2(2[)411(|)41()1(4121243=-----=-=-∴⎰--x x dx x （3）t't e t cos )e t (sin +=+Θ，⎰⎰⎰π-π-π-π-+=+=+∴0t 00t t dt e tdt sin |)e t (sin dt )e t (cos =ππ-π--=+e11|e |x sin 0t 0 解题后的思考：本题是定积分的简单的运算，解题的关键是求被积函数的原函数，能利用求导的方法求原函数，体现了等价转化的数学思想的应用.易错点是求原函数.要注意定积分运算法则的应用.例3．求下列定积分的值（1）⎰222sin πdx x （2）⎰-πππ3)6cos(dx x题意分析：本题仍是定积分的运算，被积函数不是我们学过的基本初等函数，要把被积函数转化为基本的初等函数.思路分析：利用三角函数的降幂公式把被积函数化为：2sin )cos 1(212x x -=，利用余弦的差角公式把被积函数化为：x x x sin 21cos 23)6cos(+=-π，再利用定积分的运算法则及微积分的基本原理求.解：（1）⎰2022sinπdx x =⎰-202cos 1πdx x =21⎰-20)cos 1(πdx x =⎰⎰-202)cos (21ππxdx dx =42)12(21)|sin |(212020-=-=-ππππx x（2）⎰-πππ3)6cos(dx x =⎰+ππ3)sin 21cos 23(dx x x =⎰⎰+ππππ33sin 21cos 23dx x xdx =0)3cos (cos 213sin 23|cos 21|sin 2333=---=-πππππππx x 解题后思考：本题的解题关键是求被积函数的原函数，利用求导数的方法求原函数，若被积函数不是初等函数要转化为基本的初等函数，这样便于利用导数求原函数，其中体现等价转化的数学思想的应用.小结：本题组主要是考查定积分的计算，求被积函数的原函数是解题的关键，要熟练的掌握导数的运算法则、公式便于求被积函数的原函数，同时对较复杂的被积函数要转化为基本的初等函数.同时注意定积分的运算的性质、法则的应用.会给解题带来很大的方便.【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述定积分的几何意义及定积分的基本运算，在考查定积分几何意义的知识点上体现了数与形相结合数学思想的应用，在定积分的运算过程中体现了等价转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、选择题（每题5分，计30分）1．设连续函数f （x ）>0恒成立，则当a<b 时，定积分⎰bax f )(的符号是（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a<b 时是正的，当a<b<0时是负的D ．以上都不对2．若⎰=-kdx x x 02,0)32(则k=（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对 3．与定积分⎰-π30cos 1dx x 相等的是（ ）A ．⎰π302sin 2dx xB ．⎰π30|2sin|2dx xC ．|2sin |230⎰πdx xD ．以上都不对.4．⎰+20)sin 3(πdx x x =（ ）A ．1832+πB ．1432+π C ．1432-π D ．1832-π 5．已知f （x ）是偶函数，且⎰=68)(dx x f ，则⎰-=66)(dx x f （ ）A ．0B ．4C ．8D ．166．⎰-+22)cos 1(ππdx x 等于（ ）A ．πB ．2C ．2-πD ．2+π 二、计算题7．求下列定积分的值：（每题5分，计20分） （1）⎰++212)12(dx x x （2）dx x x )cos (sin 0⎰+π（3）⎰+-212)1(dx x x x （4）dx x x)cos 1(1⎰+π8．求定积分⎰---12))1(1dx x x （10分）【试题答案】一、选择题1．（A ）解析：由定积分的几何意义可知：选（A ） 2．（C ）解析：⎰⎰⎰==⇒=-=-=-⇒=-kkkkk k k k k x x dx x xdx dx x x 032030222,100||320)32(或3．（B ）解析：|2sin |2)2sin21(1cos 12xx x =--=-Θ 4．（A ）解析：],0[x π∈当Θ时，x sin |x sin |,0x sin =≥； 当]23,[x ππ∈时，x sin |x sin |,0x sin -=≤ 5．（D ）解析：原式=⎰⎰+-66)()(dx x f dx x f ，由f （x ）是偶函数，f （x ）图象在y 轴两侧对称.故原式=166．（D ）解析：⎰-+22)cos 1(ππdx x =22|)sin (ππ-+x x =2+π二、计算题7．解：（1）⎰++212)12(dx x x =319|||321212213=++x x x（2）dx x x )cos (sin 0⎰+π=2|sin |)cos (00=+-ππx x（3）⎰+-212)1(dx x x x =652ln |ln |31|2121213212-=+-x x x （4）dx x x)cos 1(1⎰+π=1sin ln |sin |ln 11-=+πππx x8．解：⎰---12))1(1dx x x =⎰⎰---112))1(1(dx x dx x ，⎰----1022)1(1)1(1x x 义求以利用定积分的几何意的原函数较复杂，故可求函数Θ⎰--12)1(1dx x 表示圆：0,1,01)1(22====+-y x x y x 与围成的图形面积.故⎰--12)1(1dx x =4π，21|2110210==⎰x xdx ， 所以⎰---12))1(1dx x x =214-π.。