兰交课件系统辨识-第3章(线性系统的经典辨识方法1)
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•给定t1、t2两点 •得到两个方程，解出两个τ和T。 t •为方便可取 t y*(t1)=0.39， y*(t2)=0.63 得 T=2(t2-t1) ， τ=2*t1-t2 •可再取两个点进行进行校验，以提供 t<τ 数据的可靠性。
t>=τ
p 0 A
t1 t2 1
0.39
0
t
t2
K的确定同切线法
参数模型辨识方法即现代辨识方法
特点：
形式简洁，辨识前一般需要有一定的先验知识
方法
它必须假定一种数学模型，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模
型的参数。若结构参数未知（阶次、纯延迟），则应用结构参数辨识方法先确定
结构参数。(最小二乘类方法、梯度校正法、极大似然法)
3.0 经典的辨识方法
3.0.2 矩形脉冲法
原理
u
u(t)
u1(t)
Δt t0
u(t)=u1(t)+u2(t)
线性系统符合叠加原理 y(t)=y1(t)+y2(t)=y1(t)-y1(t-Δt) y1(t)=y(t)+ y1(t-Δt)
用逐段递推的作图 法，即可得到阶跃 t t 响应 y1(0)=y(0) u2(t) y1(1)=y(1) y1(2)=y(2)+y1(1) y1(3)=y(3)+y1(2) y1(4)=y(4)+y1(3)
第三章
线性系统的经典辨识方法
3.0 经典的辨识方法
常用的非参数模型
频率响应模型 脉冲响应模型
以频率为自变量的实验曲线 以单位脉冲信号作为激励信号的响应曲线，
时间作为自变量
阶跃响应模型
以单位阶跃信号作为激励信号的响应曲线， 时间作为自变量
常用的参数模型
输入输出模型 状态方程
辨识方法的分类
为了提高计算互相关函数的准确度，可以 多输入几个二电平M序列，利用较多的输出值 计算互相关函数。一般地，输入r+1个周期二 电平M序列，记录r+1个周期输出的采样值， 则
1 R xy ( ) rN
rN 1 i 0
x(i) y(i )
(3.1.15)
对应于不同的τ 值，上面的算法每次只能计算出 脉冲响应g(τ)的1个离散值。 要想获得g(τ) 的N个离散值，则需要计算N次。 下面给出能够1次计算g(τ) 的N个离散值的计算公式。 由连续的维纳-霍夫积分方程
由脉冲响应确定传递函数
二阶系统
ω 02 G(s)=---------------------s^2+2ξ ω 0s+ω 02
g (t )
1 0 1 2
g(t)
e 0t sin 0 1 2 t
0<ξ<1
2 0 1 T 2 0 Tn 1 2 R A( ) A( ) ln R
则根据式（3.1.26）可得
R xy 1 XY rN
（3.1.28 ）
于是有
2 1 1 1 2 1 1 XY g 2 （3.1.29） r ( N 1) 1 1 2
用M序列做实验时，利用式（3.1.29）在计算机上 离线计算，一次可求出系统脉冲响应的N个离散值 。这种算法的缺点是数据的存储 量大。为了减少数据的存储量，可采用递推算法。
Rxy ( ) g ( ) Rx ( )d
0 N
N
0
g ( ) Rx ( )d
N 1 2 2 0 N ( ) N g ( )d N 1 2 2 N g ( ) 0 g ( )d N N
R 1
把式（3.1.24）代入式（3.1.21）可得
2 1 N g 2 ( N 1) 1
可以表示为
1 1 2 1 R xy （3.1.25） 1 2
R xy RgΔ 1 1 g Δ R R xy
y (0) y (1) 1 x( ) x(1 ) x(rN 1 ) R xy ( ) rN y (rN 1)
(3.1.22)
由式（3.1.22）和式（3.1.20）可得
1 1 2 R N 1 N 1 N 1 1 N 1 N 1 （3.1.23） N 1
这是一个N阶方阵，其逆阵为
2 1 N 2 ( N 1) 1 1 1 2 1 (3.1.24) 1 2
非参数模型辨识方法—经典辨识方法
参数模型辨识方法—现代辨识方法
3.0 经典的辨识方法
非参数模型辨识方法即经典辨识方法
特点：
假定线性的前提下，不必事先确定模型结构，可适用于任意复杂的线性过程。
方法：
通过施加特定的实验信号，通过测定过程输出，可求得这些非参数模型。进而获 得参数模型－>传递函数
则根据式（3.1.18）可得 R xy RgΔ （3.1.21） 1 1 g Δ R R xy 在一般情况下，求逆阵很麻烦，但对于M序列来 说，计算 R-1 比较容 易。二电平M序列的自相关函数 为
2,k 0 2 Rx (k ) N ,1 k N 1
1 T 1 T Rxy ( ) x(t ) y (t )dt 0 x(t ) y(t )dt 0 T N 2 N 1 x(t ) y (t ) x(t ) y (t )dt x(t ) y (t )dt ( N 1) N 0
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
方法
近似法 半对数法 切线法 两点法 面积法
阶跃响应只能确定较简单的传递函数。 当阶跃响应曲线比较规则时，近似法，半对数法、切线法、 两点法都能比较有效地导出传递函数。
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
一阶惯性环节加纯延迟(切线法)
设进行了m次观测， 用 来表示，则
。由m次观测值得到的
1 m R xy ( , m) y (k ) x(k ) m 1 k 0 1 R xy ( , m 1) y (m) x(m ) R xy ( , m 1) m 1
R xy RgΔ 1 1 g Δ R R xy
R x (1) R x ( N 1) R x (0) R (1) R x (0) R x ( N 2) x R R x (0) R x ( N 1) R x ( N 2)
将y(t)转换成无量纲形式 0 y*(t)=y(t)/y(∞)＝ 1-exp[-(t-τ)/T]
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
无延时二阶系统
G(s)=1/(T1s+1)(T2s+1)
阶跃响应：
y2*(t)=1 - T1/(T1-T2) * exp(-t/T1) - T2/(T2-T1) * exp(-t/T2)
两个点确定两个方程，解两个变量T1、T2。
3.0.4 脉冲响应确定传递函数
由脉冲响应确定传递函数
一阶系统
K G(s)=----------Ts+1
g(t)=K/T . e-t/T
Log g(t) Log K/T
log(g(t))=log(K/T )-t/T
0 T. Log K/T
3.0.4 脉冲响应确定传递函数
主要有如下几种： 阶跃响应法 脉冲响应法 频率响应法 相关分析法 谱分析法
3.0.1 阶跃响应法
实验测取过程的阶跃响应
合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小,测试结果不可靠， 过大影响正常工作甚至危及生产安全。
试验开始前应处于稳定工况。并避免其它扰动。
考虑到实际系统的非线性，应在不同负荷、不同设定 值、不同极性下多次测定。至少有两条以上的曲线基 本一致。
(3.1.1)
两端进行积分可得
0
N
N N 1 2 N 2 Rxy ( )d 0 g ( )d N 0 g ( )d N N
1 2 N 0 g ( )d N
即
a2 N
N
0
1 N g ( )d Rxy ( )d 0
（3.1.26）
式中 。
设
y (0) y (1) Y y (rN 1) R xy (0) R (1) xy R xy （3.1.27） R xy ( N 1) x(1) x(rN 1) x(0) x(1) x(0) x(rN 2) X x( N 1) x( N 2) x(rN N )
y
B y(∞) p 0 τ
K S G(s) e Ts 1
t
A
T
K由输入输出稳态值直接确定，τ和T由拐点作切线确定。
切线法作切线时随意性很大，故精度很差，一般只用于粗略估计。
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
一阶或n阶惯性环节加纯延迟（两点法）
y*(t)
y
B
1y(∞)
0.63
K S G(s) e Ts 1
k 0 N 1
(3.1.18)
g ( 0) g (1) g g ( N 1) R xy (0) R (1) xy R xy R xy ( N 1)
式中
N 1 g 0 ( ) N 1 2 2
N
0
Rxy ( )d
（3.1.9）
可近似计算
N
0
R xy ( )d R xy (i)
i 1
N 1
（3.1.10）
R xy ( )计算：
设系统的采样周期与M序列的时钟脉冲间隔 Δ 相同， τ为Δ 的整数倍，则有
可得离散的维纳-霍夫方程 0
N 1
Rxy ( ) g ( ) Rx ( )d
（3.1.16）
（3.1.17） R xy ( ) R xy ( ) g (k) R x ( k) 式中τ=µ 。 △ k 0
则式（3.1.17）可写为 设
Rxy ( ) g (k ) Rx ( k )
2
T/2 T t
Tn A(+)为正面积之和，A(－)为负面积之和
2
(ln R ) 2
3.1用M序列辨识线性系统的脉冲响应(相关法）
相关法：根据维纳-霍夫积分方程，利用输入 信号的自相关函数和输入与输出的互相关函数确定 系统脉冲相应的方法。 采用白噪声作为实验信号，利用相关法可以很 容易地确定系统的脉冲响应。 由于理想的白噪声难以获得，采用周期性的伪 随机信号作为输入信号可以使计算变得简单. 利用M序列，由维纳-霍夫积分方程可得
(3.1.11)
1 R xy ( ) N
x(i) y(i )
i 1
N 1
(3.1.12)
可按式（3.1.12）计算Rxy(τ) ，也可把x(iΔ) 改 写成
x(i) a sgnx(i)
式中sgn表示符号函数，于是
N 1 Rxy ( ) sgn x(i)y (i ) N i 0
N 1 2 1 N R xy ( ) g ( ) R xy ( )d N 0
解出
为
或
N 1 1 N g ( ) R xy ( ) 百度文库 R xy ( )d （3.1.7） N 1 2 0
g ( )
N 1 R xy ( ) g 0 2 （3.1.8） N 1
t>=τ
p 0 A
t1 t2 1
0.39
0
t
t2
K的确定同切线法
参数模型辨识方法即现代辨识方法
特点：
形式简洁，辨识前一般需要有一定的先验知识
方法
它必须假定一种数学模型，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模
型的参数。若结构参数未知（阶次、纯延迟），则应用结构参数辨识方法先确定
结构参数。(最小二乘类方法、梯度校正法、极大似然法)
3.0 经典的辨识方法
3.0.2 矩形脉冲法
原理
u
u(t)
u1(t)
Δt t0
u(t)=u1(t)+u2(t)
线性系统符合叠加原理 y(t)=y1(t)+y2(t)=y1(t)-y1(t-Δt) y1(t)=y(t)+ y1(t-Δt)
用逐段递推的作图 法，即可得到阶跃 t t 响应 y1(0)=y(0) u2(t) y1(1)=y(1) y1(2)=y(2)+y1(1) y1(3)=y(3)+y1(2) y1(4)=y(4)+y1(3)
第三章
线性系统的经典辨识方法
3.0 经典的辨识方法
常用的非参数模型
频率响应模型 脉冲响应模型
以频率为自变量的实验曲线 以单位脉冲信号作为激励信号的响应曲线，
时间作为自变量
阶跃响应模型
以单位阶跃信号作为激励信号的响应曲线， 时间作为自变量
常用的参数模型
输入输出模型 状态方程
辨识方法的分类
为了提高计算互相关函数的准确度，可以 多输入几个二电平M序列，利用较多的输出值 计算互相关函数。一般地，输入r+1个周期二 电平M序列，记录r+1个周期输出的采样值， 则
1 R xy ( ) rN
rN 1 i 0
x(i) y(i )
(3.1.15)
对应于不同的τ 值，上面的算法每次只能计算出 脉冲响应g(τ)的1个离散值。 要想获得g(τ) 的N个离散值，则需要计算N次。 下面给出能够1次计算g(τ) 的N个离散值的计算公式。 由连续的维纳-霍夫积分方程
由脉冲响应确定传递函数
二阶系统
ω 02 G(s)=---------------------s^2+2ξ ω 0s+ω 02
g (t )
1 0 1 2
g(t)
e 0t sin 0 1 2 t
0<ξ<1
2 0 1 T 2 0 Tn 1 2 R A( ) A( ) ln R
则根据式（3.1.26）可得
R xy 1 XY rN
（3.1.28 ）
于是有
2 1 1 1 2 1 1 XY g 2 （3.1.29） r ( N 1) 1 1 2
用M序列做实验时，利用式（3.1.29）在计算机上 离线计算，一次可求出系统脉冲响应的N个离散值 。这种算法的缺点是数据的存储 量大。为了减少数据的存储量，可采用递推算法。
Rxy ( ) g ( ) Rx ( )d
0 N
N
0
g ( ) Rx ( )d
N 1 2 2 0 N ( ) N g ( )d N 1 2 2 N g ( ) 0 g ( )d N N
R 1
把式（3.1.24）代入式（3.1.21）可得
2 1 N g 2 ( N 1) 1
可以表示为
1 1 2 1 R xy （3.1.25） 1 2
R xy RgΔ 1 1 g Δ R R xy
y (0) y (1) 1 x( ) x(1 ) x(rN 1 ) R xy ( ) rN y (rN 1)
(3.1.22)
由式（3.1.22）和式（3.1.20）可得
1 1 2 R N 1 N 1 N 1 1 N 1 N 1 （3.1.23） N 1
这是一个N阶方阵，其逆阵为
2 1 N 2 ( N 1) 1 1 1 2 1 (3.1.24) 1 2
非参数模型辨识方法—经典辨识方法
参数模型辨识方法—现代辨识方法
3.0 经典的辨识方法
非参数模型辨识方法即经典辨识方法
特点：
假定线性的前提下，不必事先确定模型结构，可适用于任意复杂的线性过程。
方法：
通过施加特定的实验信号，通过测定过程输出，可求得这些非参数模型。进而获 得参数模型－>传递函数
则根据式（3.1.18）可得 R xy RgΔ （3.1.21） 1 1 g Δ R R xy 在一般情况下，求逆阵很麻烦，但对于M序列来 说，计算 R-1 比较容 易。二电平M序列的自相关函数 为
2,k 0 2 Rx (k ) N ,1 k N 1
1 T 1 T Rxy ( ) x(t ) y (t )dt 0 x(t ) y(t )dt 0 T N 2 N 1 x(t ) y (t ) x(t ) y (t )dt x(t ) y (t )dt ( N 1) N 0
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
方法
近似法 半对数法 切线法 两点法 面积法
阶跃响应只能确定较简单的传递函数。 当阶跃响应曲线比较规则时，近似法，半对数法、切线法、 两点法都能比较有效地导出传递函数。
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
一阶惯性环节加纯延迟(切线法)
设进行了m次观测， 用 来表示，则
。由m次观测值得到的
1 m R xy ( , m) y (k ) x(k ) m 1 k 0 1 R xy ( , m 1) y (m) x(m ) R xy ( , m 1) m 1
R xy RgΔ 1 1 g Δ R R xy
R x (1) R x ( N 1) R x (0) R (1) R x (0) R x ( N 2) x R R x (0) R x ( N 1) R x ( N 2)
将y(t)转换成无量纲形式 0 y*(t)=y(t)/y(∞)＝ 1-exp[-(t-τ)/T]
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
无延时二阶系统
G(s)=1/(T1s+1)(T2s+1)
阶跃响应：
y2*(t)=1 - T1/(T1-T2) * exp(-t/T1) - T2/(T2-T1) * exp(-t/T2)
两个点确定两个方程，解两个变量T1、T2。
3.0.4 脉冲响应确定传递函数
由脉冲响应确定传递函数
一阶系统
K G(s)=----------Ts+1
g(t)=K/T . e-t/T
Log g(t) Log K/T
log(g(t))=log(K/T )-t/T
0 T. Log K/T
3.0.4 脉冲响应确定传递函数
主要有如下几种： 阶跃响应法 脉冲响应法 频率响应法 相关分析法 谱分析法
3.0.1 阶跃响应法
实验测取过程的阶跃响应
合理选择阶跃扰动信号的幅度。过小,测试结果不可靠， 过大影响正常工作甚至危及生产安全。
试验开始前应处于稳定工况。并避免其它扰动。
考虑到实际系统的非线性，应在不同负荷、不同设定 值、不同极性下多次测定。至少有两条以上的曲线基 本一致。
(3.1.1)
两端进行积分可得
0
N
N N 1 2 N 2 Rxy ( )d 0 g ( )d N 0 g ( )d N N
1 2 N 0 g ( )d N
即
a2 N
N
0
1 N g ( )d Rxy ( )d 0
（3.1.26）
式中 。
设
y (0) y (1) Y y (rN 1) R xy (0) R (1) xy R xy （3.1.27） R xy ( N 1) x(1) x(rN 1) x(0) x(1) x(0) x(rN 2) X x( N 1) x( N 2) x(rN N )
y
B y(∞) p 0 τ
K S G(s) e Ts 1
t
A
T
K由输入输出稳态值直接确定，τ和T由拐点作切线确定。
切线法作切线时随意性很大，故精度很差，一般只用于粗略估计。
3.0.3 由阶跃响应确定近似传递函数
一阶或n阶惯性环节加纯延迟（两点法）
y*(t)
y
B
1y(∞)
0.63
K S G(s) e Ts 1
k 0 N 1
(3.1.18)
g ( 0) g (1) g g ( N 1) R xy (0) R (1) xy R xy R xy ( N 1)
式中
N 1 g 0 ( ) N 1 2 2
N
0
Rxy ( )d
（3.1.9）
可近似计算
N
0
R xy ( )d R xy (i)
i 1
N 1
（3.1.10）
R xy ( )计算：
设系统的采样周期与M序列的时钟脉冲间隔 Δ 相同， τ为Δ 的整数倍，则有
可得离散的维纳-霍夫方程 0
N 1
Rxy ( ) g ( ) Rx ( )d
（3.1.16）
（3.1.17） R xy ( ) R xy ( ) g (k) R x ( k) 式中τ=µ 。 △ k 0
则式（3.1.17）可写为 设
Rxy ( ) g (k ) Rx ( k )
2
T/2 T t
Tn A(+)为正面积之和，A(－)为负面积之和
2
(ln R ) 2
3.1用M序列辨识线性系统的脉冲响应(相关法）
相关法：根据维纳-霍夫积分方程，利用输入 信号的自相关函数和输入与输出的互相关函数确定 系统脉冲相应的方法。 采用白噪声作为实验信号，利用相关法可以很 容易地确定系统的脉冲响应。 由于理想的白噪声难以获得，采用周期性的伪 随机信号作为输入信号可以使计算变得简单. 利用M序列，由维纳-霍夫积分方程可得
(3.1.11)
1 R xy ( ) N
x(i) y(i )
i 1
N 1
(3.1.12)
可按式（3.1.12）计算Rxy(τ) ，也可把x(iΔ) 改 写成
x(i) a sgnx(i)
式中sgn表示符号函数，于是
N 1 Rxy ( ) sgn x(i)y (i ) N i 0
N 1 2 1 N R xy ( ) g ( ) R xy ( )d N 0
解出
为
或
N 1 1 N g ( ) R xy ( ) 百度文库 R xy ( )d （3.1.7） N 1 2 0
g ( )
N 1 R xy ( ) g 0 2 （3.1.8） N 1