高等数学第五章 不定积分
不定积分常见题型
不定积分常见题型
不定积分是高等数学中的重要概念，在数学学习和应用中具有重要作用。
不定积分的题型非常多，下面介绍一些常见的题型：
1. 基本初等函数的不定积分：包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等的不定积分，是不定积分的基本题型。
2. 分部积分法：将不定积分中的积分式子分解成两个函数相乘的形式，然后利用分部积分公式求解不定积分。
3. 三角函数的不定积分：特别需要注意的是正切函数的不定积分，这个题型需要采用换元法或分式代换法。
4. 有理函数的不定积分：将有理函数分解成部分分式的形式，然后逐项求不定积分。
5. 幂函数与指数函数的不定积分：需要采用换元法或分式代换法。
6. 函数的合成积分：将不定积分中的函数替换成其他函数的复合形式后进行求解。
总之，不定积分的题型繁多，需要学生在平时的学习中多加练习，掌握不同的求解方法和技巧。
- 1 -。
完整,《高等数学》候风波第五章不定积分思考题答案参考
第五章不定积分第一节不定积分的概念及性质思考题：1．在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(中，为何要求0k ？答：因为0k 时，C x x x kf d 0d )(（任意常数），而不是0.2．思考下列问题：（1）若C x x x f x sin 2d )(，则)(x f 为何？答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(.（2）若)(x f 的一个原函数的x cos ，则()d f x x 为何？答：C x C x f xx f x x x f sin )(d )(,sin )(cos )(.（3）若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f .第二节不定积分的积分方法思考题：1．第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数)()]([x x f 中的中间变量)(x 作为新的积分变量，而后者将原积分变量x 替换成函数)(t ，以t 作为新的积分变量.2．应用分部积分公式u v uv v u d d 的关键是什么？对于积分x x g x f d )()(，一般应按什么样的规律设u 和v d ？答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和v d ，对于积分x x g x f d )()(，一般应按如下的规律去设u 和v d ：（1）由v d 易求得v ；（2）u vd 应比v ud 容易积出.3．分别总结第一换元法、第二换元法的规律.答：一般地，若被积函数中含有22a x 或22x a，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有n b ax ，则可令n b ax =t ，将原积分化为有理函数的积分.。
高等数学之不定积分
tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C；②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
（二）第二类换元积分法（有根号，平方和差）
x (t)可导且(t) 0
（1）定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3：不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形（如右图）则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三：分部积分法
2013高等数学 C5定积分与不定积分
即
2013
0
2
2
dx 2 f ( x ) dx 2 1 dx
0
2
0
1
0
sin x dx x 2
思考题:
1. 判断下列定积分的大小:
(1) sin dx
2 0 3
( 2) sin dx
2 0 5
( 3) x d x
2 0 3
2. 证明:
1 2 1 2 dx 2 0 3 2 2 x x
2013
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 事实上由定理1, 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
2013
注意: 原函数都在函数族 证: 1) 即 ( C 为任意常数 ) 内 .
又知
[( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
y
y x2
取
则
2013
i2 f (i )xi i2 xi 3 n
o
i n
1x
1 1 f ( i )xi 3 i n(n 1)(2n 1) 1 (1 1 )(2 1 ) n i 1 6 n n n3 6 i 1
2
n
1
n
1 2 x 0
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t ) 1 g t 2 v0t x0 2
2013
不定积分性质:
d f ( x)d x f (x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
不定积分的概念和性质
解： (1)( x2 ) 2x x2的全体原函数是 x２＋C
(2) 同理可得 ex的全体原函数是 ex＋C
(3) 当 x 0
时，
当 x 0时，
(ln x ) ln x 1 ,
x
(ln x ) [ln(x] 1 ,
5ex
1 1 x2
)dx
3x 2 dx
5
e xdx
1 1 x2
dx
x3 5ex arctan x C
高等数学应用教程
4.1 不定积分的概念和性质
例4 (3x ex 5sin x)dx
解
(3x ex 5sin x)dx
3xexdx 5sin xdx (3e)x dx 5 sinxdx
高等数学应用教程
4.1 不定积分的概念和性质
例8
cos2 x dx
2
解 利用三角函数的半角公式，有cos2 x 1 cosx 22
c os2
x 2
dx
1
c os xdx 2
1 2
dx
1 2
c os xdx
1 x 1 sin x C 22
高等数学应用教程
4.1 不定积分的概念和性质
1
例9
(1) f (x) cosx
(2) f (x) 3x2
解(1) 因为sin x cosx,
所以 f (x)dx cosxdx sin x C.
解(2) 因为 x3 3x2,
所以 f (x)dx 3x2dx x3 C
高等数学应用教程
4.1 不定积分的概念和性质
例2 计算下列不定积分
➢ 4.1.1 原函数的概念
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
北师大高等数学教材答案
北师大高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 如题所示，本章主要讨论函数与极限的概念及其相关性质。
2. 函数的定义、性质以及基本类型。
3. 极限的概念及其运算法则。
4. 一些常见函数的极限计算方法。
第二章：导数与微分1. 导数的定义及导数运算法则。
2. 高阶导数的定义与计算方法。
3. 微分的概念及微分运算法则。
4. 切线与切线方程的求解。
第三章：微分中值定理与导数应用1. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的介绍与应用。
2. 泰勒公式及其应用。
3. 函数的单调性、极值点与拐点的判定。
4. 曲线的凹凸性与渐近线的求解。
第四章：定积分1. 定积分的定义、性质与意义。
2. 定积分的计算方法：牛顿—莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 曲线与 x 轴所围面积的计算。
4. 定积分的应用：求曲线长度、旋转体的体积、平均值等。
第五章：不定积分与定积分的应用1. 不定积分的定义与性质。
2. 基本积分表及其使用方法。
3. 积分的分部积分法、换元法等运算法则。
4. 定积分的应用：物理、几何问题中的应用。
第六章：无穷级数与幂级数1. 数项级数的概念及其性质。
2. 收敛级数与发散级数的判定方法。
3. 幂级数的收敛区间与收敛半径。
4. 幂级数的求和公式及其应用。
第七章：多元函数微分学1. 多元函数的概念与性质。
2. 偏导数的定义及计算方法。
3. 梯度、方向导数与最速下降问题。
4. 条件极值与无条件极值的求解。
第八章：重积分1. 二重积分的定义、性质与计算方法。
2. 三重积分的定义、性质与计算方法。
3. 重积分在物理、几何问题中的应用。
4. 线面积分与曲面积分的概念及计算方法。
第九章：曲线积分与曲面积分1. 曲线积分的定义、性质与计算方法。
2. 向量场及其通量、环流的概念。
3. 曲面积分的定义、性质与计算方法。
4. 电场强度、电通量与高斯定理的介绍。
以上是《北师大高等数学教材》的答案内容简介，希望能够对你的学习有所帮助。
不定积分表大全 高等数学
不定积分表大全高等数学
不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表是一个收录了各种常见函数的不定积分结果的手册。
它可以帮助数学学习者更快、更准确地计算不定积分。
不定积分表大全是一个包含各种常见函数的不定积分结果的完整手册。
在高等数学的学习中，我们经常遇到需要计算各种函数的不定积分的情况，而这个手册可以为我们提供一个快速参考。
通过查阅不定积分表，我们可以找到常见函数的不定积分形式，并且可以借鉴已知的结果来解决其他函数的不定积分问题。
不定积分表大全通常按照函数类型或者特定的规则进行分类。
例如，它会包含代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的不定积分结果。
此外，还会包含一些特殊函数如反函数、分式函数、幂函数等的不定积分。
不定积分表大全还可能包含一些常用的换元积分公式、分部积分公式以及其他积分技巧，以便读者能够更好地应用这些技巧来解决复杂的不定积分问题。
虽然不定积分表大全可以帮助我们快速计算不定积分，但是我们仍然需要具备一定的积分技巧和知识。
因为在实际应用中，我们会遇到一些特殊的情况，需要通过变换、分解等手段来求解。
此外，有些函数的不定积分并没有简单的表达式，需要通过数值积分等近似方法来计
算。
总之，不定积分表大全是高等数学学习过程中的一个重要参考工具。
通过熟练掌握不定积分表中的常见函数的积分形式，我们可以更加高效地解决各种不定积分问题，并且能够更好地应用积分技巧来解决实际问题。
高等数学不定积分总结
第5章 不定积分一、不定积分的概念和性质若()()F x f x '=，则()d ()f x x F x C =+⎰， C 为积分常数不可丢！性质1()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰或 d ()d ()d f x x f x x =⎰或()d ()d f x x f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 性质2()d ()F x x F x C '=+⎰或d ()()F x F x C =+⎰性质3[()()]d f x g x x αβ±⎰()d ()d f x x g x x αβ=±⎰⎰或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=+⎰⎰⎰；()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰.二、基本积分公式或直接积分法基本积分公式 d k x =⎰k x C +d x x μ=⎰111x C μμ+++( μ为常数且1μ≠-) 1d x x =⎰ln x C +e d x x =⎰e x C + d xa x =⎰ln xa C a + cos d x x =⎰sin x C + sin d x x =⎰cos x C -+2d cos x x =⎰2sec d x x =⎰tan x C + 2d sin x x =⎰2csc d x x =⎰cot x C -+ sec tan d x x x =⎰sec x C + csc cot d x x x =⎰csc x C -+2d 1x x =+⎰arctan x C +（arccot x C -+） =arcsin x C+（arccos x C -+）直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。
代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：1.第一类换元法（凑微分法）()()()d (())()d (())d ()()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ϕϕϕϕϕϕ=='====+⎰⎰⎰⎰.注 (1)常见凑微分：2111(), (), 2), (ln ||)2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==- (2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：若被积函数为一个函数，比如：()22d 1d x x e x e x =⋅⎰⎰， 若被积函数多于两个，比如：4sin cos d 1sin x x x x +⎰，要分成两类；(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成()x ϕ'；(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；2.第二类换元法[]11()()()()d (())()d (())()d ()x t t x t x f x x f t t t f t t t G t C ϕϕϕϕϕϕϕ--===⎡⎤''===+⎣⎦⎰⎰⎰常用代换类型:(1) 对被积函数直接去根号;(2) 到代换1x t=;(3) 三角代换去根号:tan x a t →=sec x a t =、sin (cos )x a t or x a t ==(f x x ⎰，t = (f x x ⎰，sec x a t =(f x x ⎰，sin x a t = (f x x ⎰，tan x a t =()d x f a x ⎰，x t a = (f x x ⎰，t =三、分部积分法： d d uv x u v '==⎰⎰d d uv v u uv u v x '-=-⎰⎰.注 (1)u 的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u ，后面的为v ';(2)d u v x '⎰要比d uv x '⎰容易计算；(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：arcsin 1x dx ⋅⎰，⎰（t =； (4)多次使用分部积分法：uu u v v v '''→'→⎰求导积分。
《高等数学》第五章 5.4 有理函数、三角函数及一些无理函数的不定积分
x
p 2
C;
2
a
a
Mx N
(2) n 1, ( x2 px q)n dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t 2
1 a2 )n
dt .
P209例9
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
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二、三角函数有理式的积分
) dx
,
令
tn
a xb c xd
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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P217-9
例10 求积分
1
x
1 xdx x
解令
1 x t 1 x t2,
x
x
x
结束
P214-3
例4 求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
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结束
P214-4
du )
不定定积分
不定定积分不定定积分积分是高等数学中的一个重要概念，可以用来计算曲线下的面积、求解微分方程的通解以及求解函数与函数之间的面积、体积等问题。
其中，不定定积分是积分中最常见的一种形式。
在本文中，我们将对不定定积分进行讲解。
一、定义不定积分也称原函数或反导函数，其定义如下：若F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。
在这个定义中，F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx=C，其中C是一个任意常数。
二、基本公式不定积分有许多基本公式，其中最基本的是积分的线性性质：如果f(x)和g(x)都有原函数，则有：1.∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx2.∫k⋅f(x)dx=k⋅∫f(x)dx，其中k为常数此外，不定积分还有其他一些常见的基本公式：1. ∫xⁿdx=1/(n+1)⋅x^(n+1)+C，其中n≠-12. ∫eˣdx=eˣ+C3. ∫aˣdx=1/(lna)⋅aˣ+C，其中a>0且a≠14. ∫sinxdx=-cosx+C，∫cosxdx=sinx+C5. ∫sec²xdx=tanx+C，∫csc²xdx=-cotx+C6. ∫1/(1+x²)dx=arctanx+C7. ∫1/(√(1-x²))dx=arcsinx+C三、积分换元法有时候，如果要求解的不定积分不是按照上面的基本公式来求解的，就需要使用积分换元法。
积分换元法的基本思想是：将积分函数中的一部分分解出来，然后做一个变量代换，最后求解出新的积分式。
例如，对于∫2x⋅(x²+1)³dx，我们可以让u=x²+1，即可将原函数变成∫(u-1)³du。
然后便可以使用基本公式进行求解。
四、分部积分法分部积分法是求解不定积分中的另一种方法。
分部积分法基本思想是：将积分函数分解成两部分，其中一部分作为被积函数，另一部分作为求微分的函数。
高等数学(第三版)课件：不定积分的概念与性质
ln 3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2
5
x2
(
x
1)
2dx
(
x
5 2
2
x
3 2
x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx
1 x 2dx arctan x C.
例3
求
1dx. x
解 当x 0时，有(ln x)' 1 . x
1dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时，有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
又
1dx x
ln(
x)
C.
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
高等数学教材的目录部分
高等数学教材的目录部分高等数学教材目录：第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义1.2.1 数列极限1.2.2 函数极限1.3 极限的运算法则1.4 连续和间断第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分的定义与性质2.6 导数的应用第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分法3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的概念与基本术语4.2 一阶常微分方程4.3 二阶常微分方程4.4 高阶线性微分方程4.5 变量可分离的微分方程4.6 微分方程的应用第五章：无穷级数5.1 数列极限与无穷级数的概念5.2 级数的敛散性5.3 正项级数的审敛法5.4 幂级数的收敛域与常见函数展开第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数的定义与计算6.3 高阶偏导数与混合偏导数6.4 隐函数的偏导数6.5 多元函数的极值与条件极值第七章：重积分与曲线积分7.1 重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分的计算方法7.4 曲线积分的概念与计算方法7.5 曲面积分的概念与计算方法7.6 广义积分的概念与收敛性第八章：多元函数的积分学8.1 多元函数的概念与性质回顾8.2 参数方程下的曲线积分8.3 曲面积分的参数化与计算8.4 向量场与格林公式8.5 散度与无源场8.6 旋度与无旋场8.7 斯托克斯公式与高斯公式第九章：常微分方程的数值解法9.1 常微分方程初值问题的数值解法概述9.2 欧拉方法与改进欧拉方法9.3 二阶龙格-库塔法9.4 多步法与预测校正法9.5 常微分方程边值问题的数值解法以上是高等数学教材的目录部分，这些章节覆盖了高等数学的核心内容，从函数与极限到常微分方程的数值解法等方面进行了全面而深入的讲述。
高等数学B第五章-不定积分的概念和性质
简言之：连续函数一定有原函数. 因此初等函数在其定义域内都有原函数 . (但原函数不一定是初等函数)
6
二、不定积分的概念
定义 设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则称其全体原函数
F( x) C 为 f ( x) 的不定积分,记作 f (x)dx.
第五章 不定积分
1
本章开始,我们学习一元函数积分学. 它研究的是函数微分运算的逆运算问题. 在微分学中,我们研究的问题是： 已知f (x), 求 f (x) 或 df (x) f (x)dx. —函数的微分运算 在积分学中,我们要研究的问题是： 已知(F(x)) f (x), 求 F(x). —函数的积分运算 不定积分是微分运算的逆运算,也称为反导数.
11
三、不定积分的性质
(1) [ f (x) g(x)]dx f ( x)dx g( x)dx
证 [ f ( x)dx g( x)dx] [ f ( x)dx] [ g( x)dx] f ( x) g( x) ,
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
2
1 3
x
x3
3
2 x
1
1 2
C.
1
x
1 2
1
x
C
33
(2) (sin x 2cos x 3x )dx;
解 原式 sin x dx 2 cos xdx 3x dx
cos x 2sin x 3x C.
ln 3
19
例5 求下列不定积分
(3)
F( x) C 也是 f ( x) 的一个原函数； （2）设 F ( x)是 f ( x) 的一个原函数,则 f ( x) 的任一个原函 数 G( x)与 F ( x)最多相差一个常数,即G(x) F (x) C0 .
高等数学南开大学教材
高等数学南开大学教材高等数学是一门重要的基础学科，为理工科学生提供了必要的数学工具和思维方法。
南开大学的高等数学教材是该领域的重要参考资料之一，以下是对其内容的简要介绍。
第一章：极限与连续这一章主要介绍数列的极限概念与性质，以及函数的极限和连续性。
其中包括各种常见函数的极限计算方法、级数的收敛性判断、函数连续性的定义和常用判定法等内容。
第二章：导数与微分该章节围绕函数的导数展开，介绍导数的定义、性质和计算方法。
其中包括基本初等函数的导数计算、复合函数求导法则、隐函数与参数方程的导数计算等内容。
同时还介绍了微分的概念及其应用，包括泰勒展开式和局部线性化等知识。
第三章：一元函数的高阶导数与微分这一章节进一步深入讨论了函数的高阶导数和微分，介绍了高阶导数的定义与计算、如何利用高阶导数判定函数的性质、泰勒公式的推广和误差估计等内容。
第四章：微分学的应用第四章主要介绍微分学在实际应用中的具体应用，包括曲线的凹凸性与拐点、函数的单调性与极值、附带条件的最大值和最小值等方面的内容。
此外，还介绍了微分中值定理、洛必达法则等重要的计算方法。
第五章：不定积分该章节讨论了不定积分的基本概念、性质和计算方法。
包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等内容。
此外，还介绍了定积分和不定积分之间的关系，以及微积分基本定理。
第六章：定积分与其应用第六章主要介绍定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法。
包括分段函数的积分、定积分与不定积分的关系、变限积分和面积计算等内容。
此外，还介绍了牛顿-莱布尼茨公式和定积分的物理应用。
第七章：多元函数的偏导数与全微分这一章节开始讨论多元函数的微积分，引入了偏导数和全微分的概念。
包括偏导数的定义、高阶偏导数的计算、全微分与方向导数的关系等内容。
同时还介绍了多元函数的极值和条件极值的判定方法。
第八章：多元函数的积分学该章节介绍了多元函数的重积分和曲线、曲面积分的概念。
包括二重积分和三重积分的计算方法、变量代换与极坐标系下的积分计算等内容。
高等数学B第五章-不定积分的计算
1 x2
dx
(2 arctan x)2d(arctan x)
(2 arctan x)2d(2 arctan x)
1 (2 arctan x)3 C 3
f
(arctan
x
)
1
1 x
2
Hale Waihona Puke dxf
(arctan
x)d(arctan
x)
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dx;
（2）
1
1 e
x
dx；
（4）
e
x
1
e
x
dx
.
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
例9（1）
1
ex e
x
dx；（2）
1
1 e
x
dx；（3）
e
x
1
ex
dx.
（2）
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效 的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公
式为应1广du义地ln理| u解| ，c如,其对中公u式可以 1x是dxx的 l任n |一x 可| c微，函应数理; 解其
u 次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基 本积分公式，凑微分使其变量一致.
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第四章 不定积分
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例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
例 3 求 (2 x 1)30 dx .
解
(2 x
1)30 dx
1 2
(2 x
1)30 d (2 x
1)
1 2
( 2 x1)31 31
C
1 62
定理 如果 f (x)dx F(x) C ，则
f (u)du F(u) C.
其中u (x)是x 的任一个可微函数．
证
由 于 f (x)dx F (x) C , 所 以
dF (x) f (x)dx．根据微分形式不变性,则有：
dF (u) f (u)du ．其中u (x)是 x 的可微函数，由此得
1 3
eudu 1 eu C 3
回代 1 e3x C .3源自直接验证得知,计算方法正确．
例 2 求 2xex2dx．
解 注意到被积式中含有 ex2 项,而余下的部分恰有
微分关系：2xdx d(x2 )．于是类似于例 1,可作如下变 换和计算：
2xex2dx
ex2 d(x2 ) 令u x2
(2) F '(x)dx F (x) C或 dF (x) F (x) C．
例 5 设 f ( x )d x sin x C ，求 f ( x ) .
解 Q f (x)dx sin x C , ( f (x)dx) (sin x C), f (x) cos x .
例 6 求不定积分 x5 dx .
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例 因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) L 2x，所以 2x的原函 数不是唯一的．
原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
(5) axdx ax C ，
ln a
(6) cos xdx sin x C ，
(7) sin xdx cos x C，
(8)
1 cos2
x
dx
sec 2
xdx
tan
x
C
，
(9)
1 sin 2
x
dx
csc
2
xdx
cot
x
C
，
(10) sec x tan xdx sec x C ，
第五章 不定积分
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法
第一节 不定积分的概念及性质
一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质
一、不定积分的概念
1．原函数的概念
定义 1 设 f (x) 是定义在某区间的已知函数，若存
在函数 F ( x) ，使得
F (x) f (x) 或dF (x) f (x)dx ,
xdx
sec
x(sec x tan tan x sec x
x)
dx
sec2 x tan x
sec x tan sec x
xdx
(tan
x
1
sec
x)
d(tan
x
sec
x)
ln
|
sec
x
tan
x
|
C.
类似得(6) csc xdx ln | csc x cot x | C．
本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用．
a
dx
1 2a
[
dx a
xa
dx a
xa
]
1 [ln x a ln x a ] C
2a
1 ln x a C.
2a x a
（２）
3 4
x x2
dx
求运动规律s s(t)．
解 按题意有s(t) 3t2，即s(t) 3t 2dt t3 C，再将
条件t 0时s 2代入得 C 2，故所求运动规律为s t3 2．
积分运算与微分运算之间的互逆关系：
（1） f (x)dx f (x)或d f (x)dx f (x)dx；
x ，所以
1dx x
ln
|
x
|
C
.
例 3 设曲线过点（1，2）且斜率为2x，求曲线方程．
解 设所求曲线方程为 y y(x)．
按
dy dx
2 x ，故
y
2xdx
x2
C
．
又因为曲线过点（1，2），故代入上式2 1 C ，得 C 1，
于是所求方程为 y x2 1.
例 4 设某物体运动速度为v 3t2，且当 t 0时，s 2，
为何？
第二节 不定积分的积分方法
一、换元积分法 二、分部积分法 三、简单有理数的积分
一、换元积分法
1．第一换元积分法(凑微分法)
例 1 求 e3xdx.
解 被积函数e3x是复合函数，不能直接套用公式
exdx ex C，我们可以把原积分作下列变形后计算：
e3xdx 1 3
e3xd(3x) 令u 3x
6
x6 6
C
(C 为任意常数).
2. 不定积分的概念 定义 2 函数 f (x)的全体原函数F (x) C 叫做 f (x)的不 积分，定积分，记为
f (x)dx F (x) C ，其中F(x) f (x) ,
上式中的x 叫做积分变量， f (x)叫做被积函数， f (x)dx 叫
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
cos xdx d(sin x)，sec2 xdx d(tan x)，csc2 xdx d(cotx)，
dx d(arcsin x)， 1 x2
dx 1 x2
f (u)du dF(u) F(u) C.
这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，
自变量 x换成任一可微函数u (x)后公式仍成立．
这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一
结论，上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程
序：
凑微分
f [(x)](x)dx
f [(x)]d(x) 令u (x)
eudu
eu
C
回代 e
x
2
C.
上述解法的特点是引入新变量u (x),从而把原
积分化为关于u 的一个简单的积分，再套用基本积分公
式求解,现在的问题是，在公式 exdx ex C 中，将 x 换成了u (x) ,对应得到的公式 eudu eu C 是否
还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：
解
dx
x
1 ln 2 x
1 dx 1 ln2 x x
1 d ln x
1 ln2 x
arcsin ln x C .
凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把
哪一部分凑成 d ( x) ,这需要解题经验,如果记熟下列一
些微分式,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
(2)
sin2
x 2
dx
1
cos 2
x
dx
1 x 1 sin x C. 22
思考题
1．在不定积分的性质 kf x d x k f ( x ) d x
中，为何要求k 0 ？ 2．思考下列问题：
(1) 若 f x d x 2 x sin x C , 则 f x 为何？ (2) 若 f ( x ) 的一个原函数为cos x , 则 f x d x
这样就证明了 f (x)的全体原函数刚好组成函数族 F(x) C ．
例 1 求函数 f (x) x5的全体原函数.
解 Q ( x6 ) x5, x5的全体原函数可表示为
6
x6 6
C
(C 为任意常数).