第五节 空间向量及其运算和空间位置关系

θ＝
|aa|·|bb|，进而可求两异面直线所成的角．
(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度
的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，
可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点二]已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a32· b21＋b22＋b23
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
空间向量的线性运算
[例 1] 如图所示，在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，设 AA1 ＝a，AB＝b，AD＝c，M， N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b， c 表示以下各向量：
第五节 空间向量及 其运算和空 间位置关系
本节主要包括2个知识点： 1.空间向量及其运算； 2.利用空间向量证明平行与垂直问题.
基础联通
突破点(一) 空间向量及其运算
抓主干知识的“源”与“流”
1．空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念 ①空间向量：在空间中，具有_大__小__和_方__向__的量叫做空
(1) AP； (2) A1 N ； (3) MP ＋ NC1 .
[解] (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴ AP ＝ AA1 ＋ A1D1 ＋ D1P ＝a＋ AD＋12 D1C1 ＝a＋c＋12 AB＝a＋c＋12b.
(2) A1 N ； [解] ∵N 是 BC 的中点， ∴ A1 N ＝ A1 A＋ AB＋ BN ＝－a＋b＋12 BC ＝－a＋b＋12 AD＝－a＋b＋12c.
间向量．
②相等向量：方向_相__同__且模_相__等_的向量．
③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相
_平__行__或__重__合_的向量．
④共面向量：_平__行__于__同__一__个__平__面_的向量．
(2)空间向量中的有关定理 ①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)， a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝_λ_b_. ②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p 与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ _x_a_＋__y_b__. ③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共 面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使 得p＝__x_a_＋__y_b_＋__z_c_.
又∵| AN |＝| MC |＝ 23a， ∴ AN ·MC ＝| AN || MC |cos θ＝ 23a× 23a×cos θ＝a22， ∴cos θ＝23， ∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM所成角的余弦值为23.
[方法技巧] 空间向量数量积的三个应用
(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cos
[解] 设向量 AN 与 MC 的夹角为 θ. ∵ AN ＝12( AC ＋ AD)＝12(q＋r)， MC ＝ AC － AM ＝ q－12p，∴ AN ·MC ＝12(q＋r)·q－12p＝12q2－12q·p＋r·q－12r·p ＝12a2－12a2cos 60°＋a2cos 60°－12a2cos 60° ＝12a2－a42＋a22－a42＝a22.
λ＝－3， 或μ＝12.
答案：A
3．[考点一]已知空间四边形OABC中， OA ＝a， OB ＝b， OC
＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则 MN ＝
()
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－12c
D.23a＋23b－12c
解析：如图所示， MN ＝ MA＋ AB＋ BN ＝13OA＋(OB－OA )＋12BC ＝OB－23OA＋12(OC －OB) ＝－23OA＋12OB＋12OC ＝－23a＋12b＋12c. 答案：B
－3 AB＋2 AC ，根据共面向量定理知，P，A，B，C 四点共面；
反之，当 P，A，B，C 四点共面时，根据共面向量定
理，设 AP ＝m AB＋n AC (m，n∈R)，即OP －OA＝ m( OB － OA)＋n( OC － OA)，即 OP ＝(1－m－n) OA ＋m OB ＋n OC ，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组 数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是 “P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件． 答案：B
＝xOA＋yOB＋zOC (x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”
是“P，A，B，C 四点共面”的
()
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 x＝2，y＝－3，z＝2 时，即OP ＝2OA－3OB＋2OC .
则 AP－ AO＝2OA－3( AB－ AO)＋2( AC － AO)，即 AP＝
(3) MP ＋ NC1 . [解] ∵M 是 AA1 的中点，∴ MP ＝ MA＋ AP＝12 A1 A＋ AP＝ －12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又 NC1 ＝ NC ＋CC1 ＝12 BC ＋ AA1 ＝12 AD＋ AA1 ＝12c＋a， ∴ MP ＋ NC1 ＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3__
共线 垂直
a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 _a_1b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0__
模
|a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
__a_21_＋__a_22＋__a_32__ cos〈a，b〉＝
4．[考点三]已知P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，若实数k使得ka＋b与c垂直，则k 的值为________． 解析：由题意知，a＝ PQ ＝(1,1,0)，b＝ PR ＝(－1,0,2)，c ＝ QR ＝(－2，－1,2)，故ka＋b＝(k－1，k,2)．又ka＋b与c 垂直，所以(ka＋b)·c＝－2(k－1)－k＋4＝0，所以k＝2. 答案：2
2．[考点二]已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ
与μ的值可以是
()
A．2，12 C．－3,2
B．－13，12 D．2,2
解析：∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴62＝ μ－k1λ＝＋01，， 2λ＝2k，
λ＝2， 解得μ＝12
[解] (1)证明：设 AB＝p， AC ＝q， AD＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且 p、q、r 三向量两两夹角均 为 60°. MN ＝ AN － AM ＝12( AC ＋ AD)－12 AB＝12(q＋r－p)， ∴ MN ·AB＝12(q＋r－p)·p ＝12(q·p＋r·p－p2) ＝12(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
(1) PA＝λ PB (λ∈R)； (2)对空间任一点O， OP ＝OA＋t AB (t∈R)； (3)对空间任一点O，OP ＝xOA＋yOB (x＋y＝1)．
[方法技巧] 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1) MP ＝x MA＋y MB； (2)对空间任一点O，OP ＝OM ＋x MA＋y MB； (3)对空间任一点O，OP ＝xOM ＋yOA＋zOB (x
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
利用空间向量证明平行与垂直
[例 1] 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中， △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 且 AB＝AA1，D，E，F 分别为 B1A，C1C， BC 的中点．求证：
(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.
[证明] 以 A 为原点，AB，AC，AA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系 A-xyz，令 AB＝ AA1＝4，则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)， B1(4，0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)．
2．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量的运算及其坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
突破点(二) 利用空间向量证明平行与垂直问题
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
1．两个重要向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线_平__行__(_或__重__合__) 的非零向量， 一条直线的方向向量有 无数 个． (2)平面的法向量 直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有 无数 个，它们是共线向量.
(2)BD∥平面 EFGH. [证明] 因为 EH ＝ AH － AE ＝12 AD －12 AB ＝12( AD － AB)＝12 BD，因为 E，H，B，D 四点不共线，所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH.
[方法技巧] 1．证明空间三点P，A，B共线的方法
共线、共面向量定理的应用
[例 2] 已知 E，F，G，H 分别是空 间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H 四点共面； (2)BD∥平面 EFGH. [证明] (1)如图，连接 BG，则 EG＝ EB＋ BG ＝ EB＋12(BC ＋ BD) ＝ EB＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH ， 由共面向量定理知：E，F，G，H 四点共面．
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2 直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别 为n，m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔m·n＝0 n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
[方法技巧] 用已知向量表示பைடு நூலகம்一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形， 以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然 成立．
＋y＋z＝1)； (4) PM ∥ AB (或 PA∥ MB或 PB∥ AM )．
空间向量数量积的应用
[例 3] 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求 MN 的长； (3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．
5．[考点三]如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD ＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与 CD成60°角，求BD的长．
解：∵AB与CD成60°角， ∴〈 BA，CD〉＝60°或120°. 又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，
∴| BD|＝ BD2＝ BA＋ AC ＋CD2 ＝ BA2＋ AC 2＋CD2＋2 BA·AC ＋2 AC ·CD＋2 BA·CD ＝ 1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈 BA，CD〉 ＝ 3＋2cos〈 BA，CD〉， ∴| BD|＝2或 2. ∴BD的长为2或 2.
(2)求 MN 的长； [解] 由(1)可知 MN ＝12(q＋r－p)，
∴| MN |2＝14(q＋r－p)2
＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)] ＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22 ＝14×2a2＝a22.
∴|
MN
|＝
22a.∴MN
的长为
2 2 a.
(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．