解线性代数方程组的直接方法

max aij
(k )
max aii
1 i n
(k 1, 2,
, n)
故Gauss法求解对称正定方程组时也可以不 考虑选主元的问题.
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例 : 用平方根法求解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x 3 2 3 0 12 x 7 3
u ji uii
.
于是, AX b LDL X b 令L X Z , DZ Y , LY b
T
则每一个方程组比AX b 都相对简单. 计算量约为Gauss消去法的一半.
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例：用LDL 分解法求解方程组 5 -4 1 x1 2 -4 6 4 x 1 2 1 4 6 x 1 3
补充：
定义：子式 a11 a12 a21 a22 ai1 ai 2 a1i a2i aii
pi
(i 1, 2,...n)
称为矩阵A (aij )nn的顺序主子式。 若矩阵A的所有顺序主子式均大于零，则称A是正定的
1
补充： 将矩阵A行列互换就得到了A的转置，通常记为AT。 若AT=A，则称A是对称矩阵。
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定理5.3 : n阶对称正定矩阵A一定有 Cholesky分解:A L L , 其中L1是一 个实的非奇异下三角矩阵. 当限定L1的对角线元素为正时, Cholesky 分解唯一.
T 1 1
A LDL LD D L ( LD )( LD )
T T
1 2
1 2
1 2
1 2
T
令LD L1 , 则A L L
2 2 m 1 1 i n k
分解过程中元素lkm的平方不会超过A的最大 对角元,因而舍入误差的放大受到限制. 故平方根法求解对称正定方程组时可以不 考虑选主元的问题. 同时计算量约为Gauss消去法的一半左右.
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2.若用顺序Gauss消去法求解对称正定方程 组AX b , 则有
1 i , j n
T
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5.5 向量与矩阵范数
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用直接法求解线性方程组AX b时, 由于舍入误差, 只能得到近似解. 为进行解的误差分析和迭代法的收 敛性分析,引入向量范数和矩阵范数.
T
其中L是单位下三角阵, D为对角阵(其 元素均为正数) , 且这种分解是唯一的.
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1 l 1 21 其中L为LU 分解中的L 1 ln1 ln 2 u11 u 22 , u 为LU 分解中U D ii unn 的对角线元素.
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L1的元素为 : l11 a11 a j1 ( j 2,3, , n) l j1 l 11 k 2,3, , n; k 1 lkk akk lkm 2 i k 1, k 2, , n m 1 k 1 aik limlkm m 1 l ik lkk 由于上式每一步都有开方运算,故又称Cholesky方法 为平方根法.
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1 l 1 21 令L ln1 ln 2 u12 1 u 11 1 R
u11 u 22 ,D , 1 unn u1n u11 u2 n A AT LDR RT DLT , u22 LU 分解的唯一性 1 u ji T T T L R , L R, 即有A LDL , 且lij . uii
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l11 l l 21 22 l31 l32 l l 41 42 l n1 ln 2
l33 l43 ln 3 l44 ln 4
lnn
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note : 1.由akk lkm lkm akk max aii ,即在
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note : 为了避免平方根的开方运算, 可以利 用定理5.2对A作LDL 分解,再计算方 程组AX b .
T
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设A正定对称, 则A有唯一LU 分解 : A LU , 另一方面, A LDL U DL
T T
其中D diag (u11 , u22 ,
T
, unn ), lij
5
A对称正定, 则A有唯一LU 分解 : 1 l 1 21 A ln1 ln 2
n i 1
u11 u12 u 22 1
u1n u2 n unn
A对称正定 uii 0 1 l 1 21 A ln1 ln 2 u11 u22 1 u12 1 u11 1 unn u1n u11 u2 n u22 1
1 2
T 1 1
8
a11 a 21 an1
Fra Baidu bibliotek
a12 a22 an 2
a1n l11 l a2 n 21 l22 ann ln1 ln 2
l11 l21 l22 ln n
ln1 ln 2 ln n
0 a1 0 0 a 0 2 的矩阵称为对角矩阵， 形如 ai 0 0 其中a （ ， 2， ...)是数。 i i 1
2
实际问题中，若方程组的系数矩阵是对称 正定矩阵，则可用LDLT分解法来简化程序 设计并减少计算量。
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定理5.2 : 设A是对称正定矩阵, 则A有如 下分解 : A LDL