解线性代数方程组的直接方法
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
线性代数方程组的数值解法讨论
线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。
直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。
而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。
迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。
对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。
小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。
讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。
1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述： 步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。
步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。
步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。
步骤5 输出12,,n y y y 。
雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法 计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法 计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
第三章 线性代数方程组的直接解法1
for
j = n : −1 : 2
y( j ) = y( j ) u( j , j )
y (1 : j − 1) = y (1 : j − 1) − y ( j )u(1 : j − 1, j )
end
y(1) = y(1) u(1,1)
加减乘除运算次数之和)均为 两种算法的工作量(加减乘除运算次数之和 两种算法的工作量 加减乘除运算次数之和 均为 n
高斯变换
a 0
(1) 11
取
L = I +l e 1
其中 l i 1
T 1 1
l1 = (0, l21,⋯, ln1)
a
(1) 11
T
=
−1 1
a
(1) i1
i = 2, 3,⋯ , n
−1 1 T 1 1
记
A
( 2)
=L A
(1)
L = I −l e
(1 a11) 0 I n−1 c1 T 1
(i ) ii
的各阶顺序主子式都不等于零 顺序主子式都不等于 A 的各阶顺序主子式都不等于零，即
−1 −1 1 2
1 4 7 0 −3 − 6 = U L2 L1 A = 0 0 1
∴ A = L L U = LU
其中
1 0 0 2 1 0 −1 − 1 L = L1 L2 = 3 2 1
Gauss消去法的矩阵表示 消去法的矩阵表示 设给定 n 阶矩阵 记
1 0 0 −2 1 0 L1 = −3 0 1
设给定矩阵
则有
7 1 4 0 −3 −6 L1 A = 0 −6 −11
第三章解线性方程组直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a a a a aa a a a ΛΛΛΛΛΛ212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔∈n n x x x M 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A Λ= 其中 a i 为A 的第i 列。
同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A M其中Ti b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21Λ，其中()Tk e 0,0,1,0,0ΛΛ= k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。
线性代数方程组的直接解法赖志柱
第二章线性代数方程组的直接解法教学目标：1.了解线性代数方程组的结构、基本理论以及相关解法的发展历程；2.掌握高斯消去法的原理和计算步骤，理解顺序消去法能够实现的条件，并在此基础上理解矩阵的三角分解（即LU分解），能应用高斯消去法熟练计算简单的线性代数方程组；3.在理解高斯消去法的缺点的基础上，掌握有换行步骤的高斯消去法，从而理解和掌握选主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理论和计算步骤，并能灵活的应用于实际中。
教学重点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 顺序消去法能够实现的条件；3. 矩阵的三角分解（即LU分解）；4. 列主元素消去法的理论和计算步骤。
教学难点：1. 高斯消去法的原理和计算步骤；2. 矩阵的三角分解（即LU分解）；3. 列主元素消去法的理论和计算步骤。
教学方法：教具：引言在自然科学和工程技术中，许多问题的解决常常归结为线性方程组的求解，有的问题的数学模型中虽不直接表现为线性方程组，但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。
例如，电学中的网络问题、船体数学放样中建立三次样条函数问题、最小二乘法用于求解实验数据的曲线拟合问题、求解非线性方程组问题、用差分法或有限元法求解常微分方程边值问题及偏微分方程的定解问题，都要导致求解一个或若干个线性方程组的问题。
目前，计算机上解线性方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两大类：一类是直接法（也称精确解法）；另一类是迭代法。
例如线性代数中的Cramer法则就是一种直接法，但其对高阶方程组计算量太大，不是一种实用的算法。
实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消元法，其它算法都是它的变形和应用。
在数值计算历史上，直接法和迭代法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中、低阶（200n ）以及高阶带形的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
计算方法第三章线性方程组的直接解法
5 3
3 1
r3
r1 6
6 1 18 2
1 0
4 5 1 3
3 1
r3 r225
1 0
4 1
5 3
3 1
0 25 48 16
0 0 27 9
林龙
计算方法
6
化原方程组为三角方程组的过程为消元过程. 解三角方程组的过程为回代过程.
也可将上边的增广矩阵进一步化简.
1 4 5 3
1 0 7 1
xi
Di D
(i
1, 2,3,
)，由于方程含有n 1个
行列式.如对每个行列式按展开定理来计算.
用克莱姆法则求解,所需要的乘除运算量为
n!(n2 1) n次,若n 20用每秒一千万次的
计算机要三百万年,所以并不是凡直接法都
可以用来做实际运算.
林龙
计算方法
4
设有
§3.1直接法
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
解 : 10
7
0
7
r1 r2
5 1 5 6
林龙
计算方法
16
10 3 5
7 2 1
0 6 5
7 4 6
r2
3 10
r1
r3
5 10
r1
10
0
0
7 0.1 2.5
0 7 6 6.1 5 2.5
r2 r3
r3
1 25
r2
10 7 0 7 x3 1
0
2.5
5
2.5
x2
2.5 5x
nn
a11 a12 .... a1n 1 0 0
a21
a22
线性方程组与矩阵特征值求解的数值方法
线性方程组与矩阵特征值求解的数值方法线性方程组与矩阵特征值求解是线性代数中的两个重要问题。
线性方程组解决了形如Ax=b的方程组，其中A为一个m×n的矩阵，b为一个m 维的向量，求解x使得该方程组成立。
矩阵特征值求解是求解形如Ax=λx的特征值和特征向量问题，其中A为一个n×n的矩阵，λ为特征值，x为特征向量。
这两个问题在实际应用中有广泛的应用，如计算机图形学、仿真和优化等领域。
本文将介绍线性方程组和矩阵特征值求解的数值方法。
一、线性方程组的求解方法1.1直接法直接法是指通过一系列的代数运算和变换直接求解线性方程组的解。
经典的直接法有高斯消元法、LU分解法和Cholesky分解法等。
这些方法的时间复杂度通常为O(n^3)。
直接法的优点是解的精度高，稳定性好，适用于小规模的问题。
1.2迭代法迭代法是指通过迭代计算逼近线性方程组的解。
迭代法的基本思想是将原方程组转化为递推的形式，并选择一个初始解，通过递推计算得到趋于或精确的解。
常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法等。
这些方法的时间复杂度通常为O(n^2)。
迭代法的优点是适用于大规模问题，但收敛速度慢，精度较差。
二、矩阵特征值求解方法2.1幂法幂法是求解特征值最大的特征值与对应特征向量的方法。
假设有一个n×n的矩阵A，选择一个初始向量x(0)，通过迭代计算x(k)=Ax(k-1)/，Ax(k-1)，其中，·，表示向量的范数，直到收敛为止。
最后得到的x为特征向量，特征值为λ=(Ax·x)/(x·x)。
幂法的收敛速度较慢，但适用于特征值分布差异较大的情况。
2.2反幂法反幂法是求解特征值最小的特征值与对应特征向量的方法。
和幂法类似，反幂法选择一个初始向量x(0)，通过迭代计算x(k)=(A-λI)^-1x(k-1)/，(A-λI)^-1x(k-1)，其中I为单位矩阵，λ为近似的特征值，直到收敛为止。
线性代数方程组求解
线性代数方程组求解线性代数方程组是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
求解线性代数方程组是线性代数中的一项基本任务，它对于解决实际问题和数学推理都具有重要意义。
本文将介绍线性代数方程组的求解方法，包括矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法矩阵消元法是求解线性代数方程组的一种常用方法。
它通过消元和回代两个步骤来求解方程组。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按列合并，得到增广矩阵。
2.初等行变换：对增广矩阵进行初等行变换，将其转化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵。
3.回代求解：从最后一行开始，逐步代入求解未知数，得到方程组的解。
矩阵消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
然而，当矩阵的行数和列数较大时，矩阵消元法的计算复杂度会很高，需要消耗大量的时间和计算资源。
矩阵的逆除了矩阵消元法，我们还可以使用矩阵的逆来求解线性代数方程组。
矩阵的逆是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
对于给定的线性方程组Ax=b，我们可以通过以下步骤求解：1.计算矩阵A的逆矩阵A^-1。
2.将方程组转化为x=A^-1b。
3.计算x的值。
求解矩阵的逆的方法有多种，包括伴随矩阵法和初等变换法等。
其中，伴随矩阵法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
它通过求解伴随矩阵和矩阵的行列式来计算矩阵的逆。
使用矩阵的逆求解线性代数方程组的优点是计算速度快，尤其适用于行数和列数较大的情况。
然而，矩阵的逆并不是所有矩阵都存在，如果矩阵不存在逆矩阵或逆矩阵存在但计算困难，则无法使用矩阵的逆求解方程组。
小结线性代数方程组的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到实际问题的解决和数学推理。
本文介绍了两种求解线性代数方程组的方法：矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法通过消元和回代的过程来求解方程组，简单直观但计算复杂度较高；矩阵的逆通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组，计算速度快但存在逆矩阵不存在的情况。
根据具体问题的需求和矩阵性质的条件，选择合适的方法来求解线性代数方程组是十分重要的。
第二章 解线性代数方程组的直接法(DOC)
第二章 解线性方程组的直接法本章研究的对象是n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a .........22112222212111212111 （2.1）其矩阵形式为b AX = （2.1）′其中，)(ij a A =是方程组的系数矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X ...21,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b b ...21分别为方程组的未知向量和常数向量。
所谓直接法，就是在不计舍入误差时，经过有限步运算能求得方程组精确解的方法。
下面介绍几种较实用的直接法。
2.1 Gauss 消去法 2.1.1 Gauss 顺序消去法高斯（Gauss ）消去法实质是消元法,只是步骤规范,便于编程。
它的基本做法是把方程组(2.1)转化成一个等价的三角方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n g x b g x b x b g x b x b x b 2222211212111 (2.2) 这个过程称为消元。
然后,逐个求出11,,,x x x n n -,这个过程称为回代。
(一) 高斯消去法的计算过程为了符号统一,把方程组(2.1)改写成下面形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1( (212)22221111211n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n(2.3)用矩阵表示为)1()1(b X A = (2.3)′其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)1()1(2)1(1)1(2)1(22)1(21)1(1)1(12)1(11)1(nn n n nn a a a a aa a aa A, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1()1()1(...21n b b b b 若0)1(11≠a ,用第二个方程减去第一个方程的)1(11)1(21/a a 倍,第三个方程减去第一个方程的)1(11)1(31/a a 倍,等等。
线性代数解方程组的方法
线性代数解方程组的方法
解线性方程组的方法：第一种消元法；第二种克拉姆法则；第三种逆矩阵法；第四种增光矩阵法；第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令；目前这5中教为适用，适合一切齐次或者非齐次线性方程组。
第一种消元法,此法最为简单，直接消掉只剩最后一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等于方程的个数，且有解的情况；
第二种克拉姆法则，如果行列式不等于零，则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式就是解；
第三种逆矩阵法，同样要求系数矩阵可逆，直接建立AX=b与线性方程组的关系，X=A^-1.*b就是解；
第四种增光矩阵法，利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换，化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数，然后写成基础解析的形式。
第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令。
数学考研数值分析基础知识点
数学考研数值分析基础知识点数值分析是数学的一个分支，主要研究利用计算机进行数值计算的方法和算法。
在数学考研中，数值分析是一个重要的考点，本文将介绍数值分析的基础知识点，帮助考生能够更好地应对数值分析的考试。
一、插值与逼近1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于根据已知数据点推测出未知点的值。
其基本思想是构造一个满足已知数据点的条件的拉格朗日多项式，并通过该多项式求解未知点的值。
2. 牛顿插值牛顿插值是另一种常用的插值方法，与拉格朗日插值相比具有更高的精度。
牛顿插值利用差商的概念，通过已知数据点的差商构造插值多项式，并利用该多项式求解未知点的值。
3. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种通过最小化残差平方和的方法，用于找到一个函数来近似已知数据点。
该方法常用于求解数据拟合问题，通过最小二乘逼近可以得到最优的拟合曲线。
二、数值积分1. 梯形公式梯形公式是一种常用的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列梯形逼近，从而求解积分的近似值。
梯形公式简单易懂，但精度比较低。
2. 辛普森公式辛普森公式是一种更高精度的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列二次曲线逼近，从而求解积分的近似值。
辛普森公式相比于梯形公式，在相同节点数的情况下有更高的精度。
三、常微分方程数值解法1. 欧拉法欧拉法是一种常用的常微分方程数值解法，通过将常微分方程转化为差分方程，从而近似求解方程的解。
欧拉法简单易懂，但对于某些情况下可能存在的数值不稳定性需要注意。
2. 修正的欧拉法和改进的欧拉法修正的欧拉法和改进的欧拉法是欧拉法的改进版，通过引入更高阶的项来提高精度和数值稳定性。
3. 4阶龙格-库塔法4阶龙格-库塔法是一种更高精度的常微分方程数值解法，通过迭代求解不同的插值点，并利用加权平均的方式来提高解的精度。
四、线性代数方程组的数值解法1. 直接法直接法是解线性代数方程组的一种常用方法，包括高斯消元法和LU分解法。
线性方程组直接法
练习 利用LU分解法求解方程组
1 2 3 x1 2 1 3 5 x2 4. 1 3 6 x3 5
1001 2 3 2 1 答L： U 110 01 2 ， y 2 ,x 0 .
111 001 1 1
二、解三对角方程组的追赶法
在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立
二、向量和矩阵的范数
定义1 ( 向量范数) x 和 y 是 Rn 中的任意向量 , 向量范数‖•‖是定义
在 Rn上的实值函数, 它满足:
(1) ‖ x ‖≥0, 并且当且仅当 x=0 时, ‖ x ‖=0;
(2) ‖k x ‖=|k| ‖ x ‖, k 是一个实数;
(3) ‖ x + y ‖≤ ‖ x ‖+ ‖ y ‖
1 0 01 2 3
A 2 3
1 5
0 0 1 0
1 0
4
24
LU
3=-72/-24; 2=[-10+4*3]/1;
求解
1=[14-(2*2+3*3)]/1]
Ly (14, 18, 20)T , 得y (14, 10,72)T 同理当 ukk 0或 Ux (14, 10, 72)T , 得x (1, 2, 3)T 很小时，可用
子式 Di 0(i 1,2,,k)，即
a11 Di
ai1
a1i
aii
0aa1i((i1i1))
0 Di
Di1 0
由于高斯消去法过在程消中元可能ak(出 kk) 现 0的情况， 这时消去法将无；法即进使行主a元 k(kk) 素0但很小时， 用其作除数，会他导元致素其数量级的长严和重舍增
入误差的扩散，使最得后计也算的解不可靠。
线性代数方程组求解直接方法
LU分解法
将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和 一个上三角矩阵U的乘积，然后通过求 解LY=b和UX=Y两个三角形方程组得到 原方程组的解。LU分解法具有较高的数 值稳定性，适用于中小型方程组。
根据系数矩阵的第一行和最后一行元素， 计算出初始参数。
2. 追赶过程
3. 回代过程
从第二行开始，逐行进行消元，将系数矩 阵转化为上双对角矩阵。
从最后一行开始，逐行回代求解，得到方程 组的解。
平方根法的基本原理与计算步骤
基本原理
1. Cholesky分解
2. 前代过程
3. 回代过程
平方根法是一种适用于对称正 定矩阵线性方程组的求解方法 ，通过Cholesky分解将系数矩 阵分解为下三角矩阵和其转置 的乘积，进而简化计算。
收敛速度
在适当的条件下，雅可比迭代法的收敛速度可能比一般的 迭代法更快。
计算复杂度
雅可比迭代法需要计算雅可比矩阵及其逆矩阵，因此计算 量相对较大；而一般的迭代法只需要进行矩阵与向量的乘 法运算，计算量相对较小。
稳定性
雅可比迭代法的稳定性较好，对初始近似解的要求较低； 而一般的迭代法可能对初始近似解的要求较高，否则可能 导致迭代序列发散。
对系数矩阵进行Cholesky分解 ，得到下三角矩阵L。
通过下三角矩阵L，求解出中间 向量y。
利用中间向量y和下三角矩阵L 的转置，求解出方程组的解。
追赶法与平方根法的比较
适用范围
追赶法适用于三对角矩阵线性方程组， 而平方根法适用于对称正定矩阵线性方
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分解过程中元素lkm的平方不会超过A的最大 对角元,因而舍入误差的放大受到限制. 故平方根法求解对称正定方程组时可以不 考虑选主元的问题. 同时计算量约为Gauss消去法的一半左右.
12
2.若用顺序Gauss消去法求解对称正定方程 组AX b , 则有
1 i , j n
5
A对称正定, 则A有唯一LU 分解 : 1 l 1 21 A ln1 ln 2
n i 1
u11 u12 u 22 1
u1n u2 n unn
A对称正定 uii 0 1 l 1 21 A ln1 ln 2 u11 u22 1 u12 1 u11 1 unn u1n u11 u2 n u22 1
u ji uii
.
于是, AX b LDL X b 令L X Z , DZ Y , LY b
T
则每一个方程组比AX b 都相对简单. 计算量约为Gauss消去法的一半.
16
例：用LDL 分解法求解方程组 5 -4 1 x1 2 -4 6 4 x 1 2 1 4 6 x 1 3
14
note : 为了避免平方根的开方运算, 可以利 用定理5.2对A作LDL 分解,再计算方 程组AX b .
T
15
设A正定对称, 则A有唯一LU 分解 : A LU , 另一方面, A LDL U DL
T T
其中D diag (u11 , u22 ,
T
, unn ), lij
补充：
定义：子式 a11 a12 a21 a22 ai1 ai 2 a1i a2i aii
pi
(i 1, 2,...n)
称为矩阵A (aij )nn的顺序主子式。 若矩阵A的所有顺序主子式均大于零，则称A是正定的
1
补充： 将矩阵A行列互换就得到了A的转置，通常记为AT。 若AT=A，则称A是对称矩阵。
T
其中L是单位下三角阵, D为对角阵(其 元素均为正数) , 且这种分解是唯一的.
4
1 l 1 21 其中L为LU 分解中的L 1 ln1 ln 2 u11 u 22 , u 为LU 分解中U D ii unn 的对角线元素.
T
17
5.5 向量与矩阵范数
18
用直接法求解线性方程组AX b时, 由于舍入误差, 只能得到近似解. 为进行解的误差分析和迭代法的收 敛性分析,引入向量范数和矩阵范数.
7
定理5.3 : n阶对称正定矩阵A一定有 Cholesky分解:A L L , 其中L1是一 个实的非奇异下三角矩阵. 当限定L1的对角线元素为正时, Cholesky 分解唯一.
T 1 1
A LDL LD D L ( LD )( LD )
T T
1 2
1 L1 , 则A L L
1 2
T 1 1
8
a11 a 21 an1
a12 a22 an 2
a1n l11 l a2 n 21 l22 ann ln1 ln 2
l11 l21 l22 ln n
ln1 ln 2 ln n
max aij
(k )
max aii
1 i n
(k 1, 2,
, n)
故Gauss法求解对称正定方程组时也可以不 考虑选主元的问题.
13
例 : 用平方根法求解方程组 3 2 3 x1 5 2 2 0 x 3 2 3 0 12 x 7 3
9
L1的元素为 : l11 a11 a j1 ( j 2,3, , n) l j1 l 11 k 2,3, , n; k 1 lkk akk lkm 2 i k 1, k 2, , n m 1 k 1 aik limlkm m 1 l ik lkk 由于上式每一步都有开方运算,故又称Cholesky方法 为平方根法.
6
1 l 1 21 令L ln1 ln 2 u12 1 u 11 1 R
u11 u 22 ,D , 1 unn u1n u11 u2 n A AT LDR RT DLT , u22 LU 分解的唯一性 1 u ji T T T L R , L R, 即有A LDL , 且lij . uii
0 a1 0 0 a 0 2 的矩阵称为对角矩阵， 形如 ai 0 0 其中a （ ， 2， ...)是数。 i i 1
2
实际问题中，若方程组的系数矩阵是对称 正定矩阵，则可用LDLT分解法来简化程序 设计并减少计算量。
3
定理5.2 : 设A是对称正定矩阵, 则A有如 下分解 : A LDL
10
l11 l l 21 22 l31 l32 l l 41 42 l n1 ln 2
l33 l43 ln 3 l44 ln 4
lnn
11
note : 1.由akk lkm lkm akk max aii ,即在