3.2特殊平行四边形(2)课件

菱形的面积等于两条 对角线乘积的一半
学以致用
已知菱形ABCD的两条 对角线AC与BD相交于点 O,且AC=8cm,BD=6cm， 求菱形的周长和面积．
D A O C
解得:
B
菱形的周长为20cm ,面积为24cm2
想一想
怎样判别一个四边形(平行四边形) 是菱形? 菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱
九年级数学(上) 第三章证明(三)
2.特殊的 平行四边形－菱形
驶向胜利 的彼岸
想wk.baidu.com想
什么样的图形叫做菱形? 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形 菱形有哪些性质?
菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的 一切性质外,还具有一些特殊的性质: 菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直平分, 每一条对角线平分一组对角. 定理:菱形的四条边都相等 定理:菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线 平分一组对角
我思,我进步2
菱形的判定
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD. D 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:要证明□ABCD是菱形, O A 就要证明有一组邻边相等即可. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. B ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴ DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等) ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱 形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, B 1 1 0 ∴∠AED=90 ,DE BD 10 5cm .
AE
小试牛刀
菱形的性质
D C
定理:菱形的四条边都相等.
已知:如图,四边形ABCD是菱形. 求证:AB=BC=CD=DA. A 分析:由菱形的定义,利用平 行四边形性质可使问题得证.
B
证明: ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD,AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD.
回顾与思考
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论 (求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知” 和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言 条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
我思,我进步
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. D 已知:如图,在四边形ABCD A C 中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. B 分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的 四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ ..AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
C
学以致用 已知，AD是△ABC的角平分 线，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F。 求证：四边形AEDF是菱形。
B E
A
F
C 证明: D ∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴∠ADE=∠DAF. ∵DE∥AC, ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF. ∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED. ∴平行四边形AEDF是菱形.
小试牛刀
菱形的性质
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角 线平分一组对角. 已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相 交于点O. 求证: (1).AC⊥BD; D (2).AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ADC和∠ABC. O A C 证明:(1) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD,AO=CO. ∵DO=DO, B ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. (2)∵AD=AB,DA=DC,AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
2 2 AD 2 DE 2 132 52 12cm .
E
D
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2

D
A C A O C
B
B
定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且 每条对角线平分一组对角. ∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线. ∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
菱形的判定 本课 小结 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中, ∵AB=BC=CD=AD, D ∴四边形ABCD是菱形.
D A O B C
A
B
C
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
独立 作业
P99习题3.5 2,3题.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德
之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有 据.是初学证明者谨记和遵循 的原则.
学以致用
A
D
已知菱形ABCD中，E、F 分别是CB、CD上的点， 且BE=DF。 求证： ∠AEF=∠AFE 证明: B ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD, ∠B=∠D ∵BE=DF ∴△ABE≌△ADF(SAS) ∴AE=AF ∴∠AEF=∠AFE.
F
E
C
菱形的性质 本课 小结 定理:菱形的四条边都相等. ∵四边形ABCD是菱形, D ∴AB=BC=CD=AD.