有限体积法()
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差分法 优点 不足 有限体积法
简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 于提高精度 易处理复杂网格 差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
基本概念
基本概念
基本概念
控制体积的形成 单元中心方式： 单元位于控制体积的中心，即将单一的网格 单元作为控制体积，网格单元互不重叠。 单元顶点方式： 以网格节点为中心，它的形成有多种方式。其 常用的构成方式是由以该节点为顶点的格子的 形心以及各共顶点的网格线中心点的一系列连 接线段所构成一个多边形控制体积。也可以由 环绕该节点的一组格子组成控制体。
非结构网格优点
利于边界调节的实现 便于控制网格密度 易作修改和适应性调整 网格生成有众多富有成效的方法和自适应技术 比曲线网格更易得到高质量的单元格
非结构网格需要解决的问题
单元格排列不规则，须建立相应的数据结构存 储单元格信息； 控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵是高 度稀疏的非对角型矩阵，需要寻求合适的存储 方式及解法； 隐格式较难实现，粘性项处理困难； 数值解后处理工作量大； 二阶非结构FVM 较易实现，若要扩展到高阶格 式，则需花费较大的代价。
Patanker与Spalding于1967年发表了求解抛物型流 动的P-S方法。 在 P-S 方法中，把 x-y 平面上的计算区域（边界层） 转换到x-w平面上（w为无量纲流函数），从而不论 在边界层的起始段还是在其后的发展段，所设置的 计算节点均可落在边界层范围内。 1 9 6 9 年 Spalding 在 英 国 帝 国 理 工 学 院 （ Imperial College） 创 建 了 CHAM（Concentration, Heat and Mass, Limited），旨在把他们研究组的成果推 广应用到工业界。
有限体积法
参考书 :李人宪 有限体积法基础 国防工业出版社
有限差分法
FDM: Finite Difference Method 计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。 该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替 连续的求解域。 有限差分法采用Taylor级数展开等方法，把控制方程中的 导数用网格节点上函数值的差商代替进行离散，从而建立 以网格节点上的值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解 法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的 数值方法。
方程离散
一维对流扩散方程：
在P所在的控制体积上积分
假设单元P的值代表整个控制体的值
在对流项积分时，需要假定通量或者因变量从tn 过渡到 tn +∆t 时间段内的变化关系
θ=0，离散格式为显式，0<θ<=1，加权隐式，θ=1/2， Clank-Nicholson格式， θ=1，全隐格式。
离散方程
θ=0时，
显式
0<θ<=1时，
隐式
状态变量分布近似
状态变量分布近似
单元界面e处内外侧状态：
状态变量分布近似
单元界面e处内外侧状态：
在用有限体积法计算时，和有限差分法一样， 方程的解是用单元节点上离散点值构成的，而 不关心单元间的状态变量是怎么变化的，也就 是不关心解的分布。 有限单元法中一旦选定了分布曲线，就确定了 状态变量的分布函数是不同的。 尽管我们在离散方程的时候要假定单元分布曲 线，但是这只是为了推导公式时计算积分近似 而采用的一些辅助关系式。一旦离散化方程推 导出来了，就可以不用再管这些分布曲线近似。 在积分离散时，根据数值模拟的需要，对控制 方程中的每一项都可以采用不同的分布曲线来 近似单元界面上的状态变量，而不必要追求近 似假设的一致性。
单元顶点方式
单元中心方式
对于计算同样多的变量，单元中心方式变量布置 简单直观，易于处理边界条件和保持离散的守恒 性，而且需要的网格数要比单元顶点方式少得多， 可节省计算时间。
网格
结构网格
具有一定的分布特征，可以用相应的行列关 系来顺序描述的网格,有矩形网格、曲线网格 及块结构网格。
网格
结构网格 矩形网格最为常用，网格生成方便，但对复杂 边界处理过于粗糙； 曲线网格：1）只提供了离散点的变换，而不 给出解析函数形式的变换关系,使用不光滑的 网格时，对变换关系的差分近似会造成了很大 的数值误差，甚至会导致不切实际的值。2)如 果网格严重偏离正交性，就会极大损坏原有的 迭代方法的收敛速率。3)因变量的选择也须谨 慎考虑。在曲线网格中，可取原始笛卡尔坐标 系变量或曲线坐标系中沿网格方向的协变量两 种作为因变量。
有限差分法
差分格式分类 从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶 格式。 从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格 式。 考虑时间因子的影响，差分格式可以分为显格式、隐 格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合， 不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用 于结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和 柯朗稳定条件来决定。
发展情况
1980年，S.V.Patanker在其专著 《Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow》 中对有限体积法作了全面的阐述。 此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD 应用最广的一种方法。 FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体积 法
一阶上风差分格式
双曲型方程特征值体现了微分方程的解（或者说
扰动、信息）的传播方向，表达了波动、能量等 的传播方向，应该充分考虑这一物理特性，与之 相适应。
恒取上游节点处的值建立差分格式。
有界性
离散方程为代数方程组，求解时需要用迭 代方法，获得收敛解。
扩散问题
对流扩散问题
需要满足
则有界
输运性
Peclet数
Pe数用来度量某点处变量的对流和扩散强度比。
Pe =0，对流为0，完全靠扩散，扩散是无方向的。
Pe增大，对流作用增加，对流是有方向的。
输运性
网格Peclet数大，上游节点变量值对下游影响 大，下游对上游影响小； Pe =0，上下游影响
差分格式问题
控制容积界面处变量的近似计算格式是否 对数值计算结果有影响？ 采用其他差分格式是否能提高计算精度？ 差分格式近似计算式在流场计算中的物理 意义是什么？ 差分格式应该满足三个特性：守恒性、有 界性和输运性。
守恒性
如果对一个离散方程在定义域的任一有限空间内 作求和的运算（相当于连续问题中对微分方程作 积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒 的关系时，则称该离散格式具有守恒特征。 有限体积法正是从物理量守恒这一基本要求出发 提出的。有限体积法的离散化方程满足了单个控 制体积的平衡，当然在整个计算区域内，诸如质 量、动量等物理量的积分守恒也就都能精确得到 满足。无论在数值计算中采用巨大数目的细网格 和少数的粗网格，数值解也照样显示准确的积分 平衡。有限体积法的离散思想自动满足守恒定律， 如质量守恒，动量守恒，能量守恒等等。所以有 限体积法是守恒定律的一种最自然的表现形式。
1977年由Spalding及其学生开发的ENMБайду номын сангаасX程序 公开发行。 1979年由Spalding教授及其合作者开发的流动 传热计算的大型通用软件PHOENICS第一版问世。
PHOENICS是英语Parabolic, Hyperbolic or Elliptic Numerical Integration Code Series的缩写（意为对 抛物型、双曲型、椭圆型方程进行数值积分的系列程 序）。
方程离散1
一维稳态扩散问题
按节点整理后
得到: 最后解方程组得到节点的值
例题
解:
1点控制容积积分
方程离散1 二维扩散
方程离散2
一维稳态对流扩散问题
稳态对流扩散方程 连续性方程
对控制体积分
定义:
解:
对中间节点2,3,4:
边界节点1:
整理得到:
边界节点5:
整理得到:
有限体积法
FVM: Finite Volume Method
有限体积法又称为控制体积法,从物理量守恒这一基 本要求出发提出的。 其基本思路是： 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使 每个网格点周围有一个控制体积； 将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出 一组离散方程。 其中的未知数是网格点上的因变量的数值。 为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之 间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。
有限体积法
优点:
(1)出发点是积分形式的控制方程,同时积分方程表示了 特征变量在控制容积内守恒; (2)积分方程中每一项都有明确的物理意义,从而使方程 离散时,对各离散项可以给出一定的物理解释; (3) 区域离散的节点网格与进行积分的控制容积分立。
方法特点
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
一样。 中心差分格式使节点P处场变量对所有相邻节点一 样，没有反映出扩散和对流的差别，不能体现输 运方程的方向性，在高Peclet数数时，中心差分 格式不具有输运特征。
中心差分格式离散方程特点
（1）守恒性：满足； （2）有界性：Pe小于2时满足，不然不满足； （3）输运性：没有； （4）计算精度：二阶精度， Pe小于2时精度较高 ， Pe大于2或流动为强对流时，收敛性和精度均 较差。
非结构网格在有限体积法中的应用
●非结构网格最早用于FEM； ●但流体流动是高度非线性问题，而且 FEM 计算量较大，这些问 题使得基于FEM 的非结构网格技术未能在对流问题为主的地面 水流（如浅水流动，水波运动等）计算上得到重视； ●八十年代以来，基于FVM 的非结构网格技术在空气动力学得到 了广泛的发展和应用； ●九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征，将这些算法引 入到计算浅水动力学中，并在模拟涌潮，溃坝等水力计算难题 上取得了成功，粘性流动的非结构网格FVM 模拟也开始出现； ●并在20 世纪90 年代中后期掀起了研究高潮； ●作为全球计算流体力学软件供应商和技术服务商的 Fluent 公司 已经将最新的非结构网格研究成果集成，实现了研究成果的商 业化。
网格
非结构网格 非结构网格中单元格分布不再规则一致，其 位臵很难再凭借行列索引关系确定。非结构网 格可以采用任意形状的单元格，单元边的数目 也无限制，弥补了结构化网格不能够解决任意 形状和任意连通区域的网格剖分的缺欠。
网格
非结构网格最重要的一个特征是控制方程离散 得到的代数方程的系数矩阵不再是结构网格下 有规律的对角结构；若用对角形式存储，其带 宽只能通过适当的布臵单元编号顺序来减少。 非结构网格原则上可应用于任何类型的数值方 法，但非结构网格的FVM 算法更成熟，应用更 广。
1972年SIMPLE算法问世
于是所谓分离式的求解方法应运而生，即先求解有关一 个速度分量，而把其他作为常数，随后再逐一求解其它 变量。 于是就产生了这样的问题：就是所谓速度与压力的耦合 问题。SIMPLE算法成功地解决了这一问题。 SIMPLE算法的一个基本思想是，在流场迭代求解的任何 一个层次上，速度场都必须满足质量守恒方程，这是保 证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则。
工况1
工况2
改进办法:需要增加网格数
工况3
差分格式问题
, x e x w
E P xPE x e x e
中心差分格式?
边界的计算形式? 在扩散方程中,未引起数值解和分析解之间较大 的差别,但在包含对流项的对流扩散方程中,某些 计算条件下需要加密网格结果才合理.
*1980 年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。
这本书内容精炼，说理透彻，注重物理概念的阐述，深 受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎。出版后不 久，被相继译成俄文、日文、波兰文及中文等，成为数 值传热学领域中的一本经典著作
简单、计算量小、易 本身包含几何信息， 于提高精度 易处理复杂网格 差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
基本概念
基本概念
基本概念
控制体积的形成 单元中心方式： 单元位于控制体积的中心，即将单一的网格 单元作为控制体积，网格单元互不重叠。 单元顶点方式： 以网格节点为中心，它的形成有多种方式。其 常用的构成方式是由以该节点为顶点的格子的 形心以及各共顶点的网格线中心点的一系列连 接线段所构成一个多边形控制体积。也可以由 环绕该节点的一组格子组成控制体。
非结构网格优点
利于边界调节的实现 便于控制网格密度 易作修改和适应性调整 网格生成有众多富有成效的方法和自适应技术 比曲线网格更易得到高质量的单元格
非结构网格需要解决的问题
单元格排列不规则，须建立相应的数据结构存 储单元格信息； 控制方程离散得到的代数方程的系数矩阵是高 度稀疏的非对角型矩阵，需要寻求合适的存储 方式及解法； 隐格式较难实现，粘性项处理困难； 数值解后处理工作量大； 二阶非结构FVM 较易实现，若要扩展到高阶格 式，则需花费较大的代价。
Patanker与Spalding于1967年发表了求解抛物型流 动的P-S方法。 在 P-S 方法中，把 x-y 平面上的计算区域（边界层） 转换到x-w平面上（w为无量纲流函数），从而不论 在边界层的起始段还是在其后的发展段，所设置的 计算节点均可落在边界层范围内。 1 9 6 9 年 Spalding 在 英 国 帝 国 理 工 学 院 （ Imperial College） 创 建 了 CHAM（Concentration, Heat and Mass, Limited），旨在把他们研究组的成果推 广应用到工业界。
有限体积法
参考书 :李人宪 有限体积法基础 国防工业出版社
有限差分法
FDM: Finite Difference Method 计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。 该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替 连续的求解域。 有限差分法采用Taylor级数展开等方法，把控制方程中的 导数用网格节点上函数值的差商代替进行离散，从而建立 以网格节点上的值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解 法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的 数值方法。
方程离散
一维对流扩散方程：
在P所在的控制体积上积分
假设单元P的值代表整个控制体的值
在对流项积分时，需要假定通量或者因变量从tn 过渡到 tn +∆t 时间段内的变化关系
θ=0，离散格式为显式，0<θ<=1，加权隐式，θ=1/2， Clank-Nicholson格式， θ=1，全隐格式。
离散方程
θ=0时，
显式
0<θ<=1时，
隐式
状态变量分布近似
状态变量分布近似
单元界面e处内外侧状态：
状态变量分布近似
单元界面e处内外侧状态：
在用有限体积法计算时，和有限差分法一样， 方程的解是用单元节点上离散点值构成的，而 不关心单元间的状态变量是怎么变化的，也就 是不关心解的分布。 有限单元法中一旦选定了分布曲线，就确定了 状态变量的分布函数是不同的。 尽管我们在离散方程的时候要假定单元分布曲 线，但是这只是为了推导公式时计算积分近似 而采用的一些辅助关系式。一旦离散化方程推 导出来了，就可以不用再管这些分布曲线近似。 在积分离散时，根据数值模拟的需要，对控制 方程中的每一项都可以采用不同的分布曲线来 近似单元界面上的状态变量，而不必要追求近 似假设的一致性。
单元顶点方式
单元中心方式
对于计算同样多的变量，单元中心方式变量布置 简单直观，易于处理边界条件和保持离散的守恒 性，而且需要的网格数要比单元顶点方式少得多， 可节省计算时间。
网格
结构网格
具有一定的分布特征，可以用相应的行列关 系来顺序描述的网格,有矩形网格、曲线网格 及块结构网格。
网格
结构网格 矩形网格最为常用，网格生成方便，但对复杂 边界处理过于粗糙； 曲线网格：1）只提供了离散点的变换，而不 给出解析函数形式的变换关系,使用不光滑的 网格时，对变换关系的差分近似会造成了很大 的数值误差，甚至会导致不切实际的值。2)如 果网格严重偏离正交性，就会极大损坏原有的 迭代方法的收敛速率。3)因变量的选择也须谨 慎考虑。在曲线网格中，可取原始笛卡尔坐标 系变量或曲线坐标系中沿网格方向的协变量两 种作为因变量。
有限差分法
差分格式分类 从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶 格式。 从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格 式。 考虑时间因子的影响，差分格式可以分为显格式、隐 格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合， 不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用 于结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和 柯朗稳定条件来决定。
发展情况
1980年，S.V.Patanker在其专著 《Numericacl Heat Transfer and Fluid Flow》 中对有限体积法作了全面的阐述。 此后，该方法得到了广泛应用，是目前CFD 应用最广的一种方法。 FLUENT、PHOENIX等软件都基于有限体积 法
一阶上风差分格式
双曲型方程特征值体现了微分方程的解（或者说
扰动、信息）的传播方向，表达了波动、能量等 的传播方向，应该充分考虑这一物理特性，与之 相适应。
恒取上游节点处的值建立差分格式。
有界性
离散方程为代数方程组，求解时需要用迭 代方法，获得收敛解。
扩散问题
对流扩散问题
需要满足
则有界
输运性
Peclet数
Pe数用来度量某点处变量的对流和扩散强度比。
Pe =0，对流为0，完全靠扩散，扩散是无方向的。
Pe增大，对流作用增加，对流是有方向的。
输运性
网格Peclet数大，上游节点变量值对下游影响 大，下游对上游影响小； Pe =0，上下游影响
差分格式问题
控制容积界面处变量的近似计算格式是否 对数值计算结果有影响？ 采用其他差分格式是否能提高计算精度？ 差分格式近似计算式在流场计算中的物理 意义是什么？ 差分格式应该满足三个特性：守恒性、有 界性和输运性。
守恒性
如果对一个离散方程在定义域的任一有限空间内 作求和的运算（相当于连续问题中对微分方程作 积分），所得的表达式满足该区域上物理量守恒 的关系时，则称该离散格式具有守恒特征。 有限体积法正是从物理量守恒这一基本要求出发 提出的。有限体积法的离散化方程满足了单个控 制体积的平衡，当然在整个计算区域内，诸如质 量、动量等物理量的积分守恒也就都能精确得到 满足。无论在数值计算中采用巨大数目的细网格 和少数的粗网格，数值解也照样显示准确的积分 平衡。有限体积法的离散思想自动满足守恒定律， 如质量守恒，动量守恒，能量守恒等等。所以有 限体积法是守恒定律的一种最自然的表现形式。
1977年由Spalding及其学生开发的ENMБайду номын сангаасX程序 公开发行。 1979年由Spalding教授及其合作者开发的流动 传热计算的大型通用软件PHOENICS第一版问世。
PHOENICS是英语Parabolic, Hyperbolic or Elliptic Numerical Integration Code Series的缩写（意为对 抛物型、双曲型、椭圆型方程进行数值积分的系列程 序）。
方程离散1
一维稳态扩散问题
按节点整理后
得到: 最后解方程组得到节点的值
例题
解:
1点控制容积积分
方程离散1 二维扩散
方程离散2
一维稳态对流扩散问题
稳态对流扩散方程 连续性方程
对控制体积分
定义:
解:
对中间节点2,3,4:
边界节点1:
整理得到:
边界节点5:
整理得到:
有限体积法
FVM: Finite Volume Method
有限体积法又称为控制体积法,从物理量守恒这一基 本要求出发提出的。 其基本思路是： 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使 每个网格点周围有一个控制体积； 将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出 一组离散方程。 其中的未知数是网格点上的因变量的数值。 为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之 间的变化规律，即假设值的分段的分布剖面。
有限体积法
优点:
(1)出发点是积分形式的控制方程,同时积分方程表示了 特征变量在控制容积内守恒; (2)积分方程中每一项都有明确的物理意义,从而使方程 离散时,对各离散项可以给出一定的物理解释; (3) 区域离散的节点网格与进行积分的控制容积分立。
方法特点
有限体积法主要优势： 处理复杂网格 坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
一样。 中心差分格式使节点P处场变量对所有相邻节点一 样，没有反映出扩散和对流的差别，不能体现输 运方程的方向性，在高Peclet数数时，中心差分 格式不具有输运特征。
中心差分格式离散方程特点
（1）守恒性：满足； （2）有界性：Pe小于2时满足，不然不满足； （3）输运性：没有； （4）计算精度：二阶精度， Pe小于2时精度较高 ， Pe大于2或流动为强对流时，收敛性和精度均 较差。
非结构网格在有限体积法中的应用
●非结构网格最早用于FEM； ●但流体流动是高度非线性问题，而且 FEM 计算量较大，这些问 题使得基于FEM 的非结构网格技术未能在对流问题为主的地面 水流（如浅水流动，水波运动等）计算上得到重视； ●八十年代以来，基于FVM 的非结构网格技术在空气动力学得到 了广泛的发展和应用； ●九十年代开始一些专家学者根据浅水流动特征，将这些算法引 入到计算浅水动力学中，并在模拟涌潮，溃坝等水力计算难题 上取得了成功，粘性流动的非结构网格FVM 模拟也开始出现； ●并在20 世纪90 年代中后期掀起了研究高潮； ●作为全球计算流体力学软件供应商和技术服务商的 Fluent 公司 已经将最新的非结构网格研究成果集成，实现了研究成果的商 业化。
网格
非结构网格 非结构网格中单元格分布不再规则一致，其 位臵很难再凭借行列索引关系确定。非结构网 格可以采用任意形状的单元格，单元边的数目 也无限制，弥补了结构化网格不能够解决任意 形状和任意连通区域的网格剖分的缺欠。
网格
非结构网格最重要的一个特征是控制方程离散 得到的代数方程的系数矩阵不再是结构网格下 有规律的对角结构；若用对角形式存储，其带 宽只能通过适当的布臵单元编号顺序来减少。 非结构网格原则上可应用于任何类型的数值方 法，但非结构网格的FVM 算法更成熟，应用更 广。
1972年SIMPLE算法问世
于是所谓分离式的求解方法应运而生，即先求解有关一 个速度分量，而把其他作为常数，随后再逐一求解其它 变量。 于是就产生了这样的问题：就是所谓速度与压力的耦合 问题。SIMPLE算法成功地解决了这一问题。 SIMPLE算法的一个基本思想是，在流场迭代求解的任何 一个层次上，速度场都必须满足质量守恒方程，这是保 证流场迭代计算收敛的一个十分重要的原则。
工况1
工况2
改进办法:需要增加网格数
工况3
差分格式问题
, x e x w
E P xPE x e x e
中心差分格式?
边界的计算形式? 在扩散方程中,未引起数值解和分析解之间较大 的差别,但在包含对流项的对流扩散方程中,某些 计算条件下需要加密网格结果才合理.
*1980 年Patankar教授的名著“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”出版。
这本书内容精炼，说理透彻，注重物理概念的阐述，深 受全世界数值传热的研究者与使用者的欢迎。出版后不 久，被相继译成俄文、日文、波兰文及中文等，成为数 值传热学领域中的一本经典著作