知识点1.1 命题、联结词及命题符号化
11命题及其符号化
11.1 命题及其符号化[教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义[教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题。
2：通过示例理解命题的概念。
3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础。
4：学会命题符号化的方法。
[教学准备][教学方法]讲述法[课时安排]二课时。
[教学过程]讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑。
数理逻辑则是用数学方法研究推理；首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理。
后者式命题符号化的问题。
板书：第一章命题基本概念1.1 命题及其符号化讲述：首先讨论命题。
板书：一命题A) 概念：在二值逻辑中，命题是或真或假，而不会同时又真又假的陈述句。
判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1)地球是圆的；真的陈述句，是命题(2)2+3=5；真的陈述句，是命题(3)你知道命题逻辑吗？非陈述句，故非命题(4)3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5)请安静！非陈述句，故非命题(6)火星表面的温度是800 C；现时不知真假的陈述句，但只能要么真要么假，故是命题(7)明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真假，但的确是要么真要么假，故是命题2(8) 我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。
讲述：类似一般的事物，也有不同的命题，分成不同的类型。
板书：B) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项，命题常项用1(T)，0(F)表示；b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述：简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。
所以还需要考虑联结词的问题。
板书：二逻辑联结词讲述：首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1)否定式和否定联结词：命题p⌝p；符号⌝即为否定联结词。
命题逻辑LP
(3) t:张晓静是江西人，u:张晓静是安徽人.
符号化为t∨u，或 (t∧u)∨(t∧u) 。
4、蕴涵式：设p,q为两个命题,复合命题"如果p,则q"称为p与q的蕴涵式。记作pq，
其中，p是蕴涵式的前件.q为蕴涵式的后件。
→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假当且仅当p为真q为假。
3、合式公式（公式，命题公式，命题形式）：
将命题变项用联结词和圆括号联结起来的符号串。
如，A， AB，AB，AB，(AB)是合式公式，
(pq)(qr)，(pq)r，p(qr)是合式公式，
而pqr,p (qr等都不是合式公式。
注：公式中可以出现0和1，可以把它们看作pp和pp
记作 p∧q. 其中，∧称作合取联结词。
命题
真值
真值
p
q
p∧q
1
1
1
1
0
0
真值
真值
0
1
0
0
0
0
注：不要见到“与"“和"就使用联结词∧,
例2 将下列向题符号化
(1)吴颖既用功又聪明.
(2)吴颖不仅用功而且聪明，
(3)吴颖虽然聪明,但不用功
(4)张辉与王丽都是三好生
(5)张辉与王丽是同学
解:先给出(1)-(4)中的原子命题,并将其符号化
4、子公式：设A为合式公式，B为A中一部分。
若B也是合式公式，则称B为A的子公式。
5、k层公式：
(1)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一。
(a)A=B，B是n层公式;
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
2. 离散数学-命题逻辑1
PQ的真值：
• PQ的真值为真，当且仅当P与Q的真值相同。
PQ FF FT TF TT
PQ T F F T
例
例 求下列复合命题的真值
(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
数理逻辑把推理符号化之二*
• 设M(x): x是金属 .
• 设C(x): x能导电.
• 设x 表示: 所有的x .
• 设 a 表示铜.
例2的推理过程表示为：
前提:x(M(x)→C(x)) (所有金属都导电.)
前提:M(a)
(铜是金属.)
结论:C(a)
(铜能导电.)
(其中符号M(x)是谓词， 是量词，所以这就是第二章“一阶逻辑（谓 词逻辑）”中所讨论的内容.）
假命题
(3) x + 5 ＞ 3.
真值不确定
(4) 你有铅笔吗？
疑问句
(5) 这只兔子跑得真快呀！
感叹句
(6) 请不要讲话！
祈使句
(3)~(6)都不是命题
15
命题的分类
• 简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句构成的命题 (该句再不能 分解成更简单的句子了)。通常用大写英字母表示。
• 例1-1.1中的(1)、(2)、(3)是原子命题。 • 复合命题 ：由若干个原子命题构成的命题。 • 例1-1.1中的(4)是由三个原子命题(a>b、b>c、a>c)构成的复合命题。
• 这里我们只关心形式逻辑。
形式逻辑*
• 人的思维过程：概念 判断 推理 • 正确的思维：概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑。 • 人们是通过各种各样的学习(理论学习和从实践中学习)
1.1命题符号化及联结词
规定P→Q是F当且仅当P是T，Q是F。
（5）等价(双条件)联结词
P Q (双条件式、命题)：P当且仅当Q
规定P Q是T当且仅当P，Q或者都是T，或者都是F。
命题符号化的目的在于用五个联结词将日常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题，其关键在于使用适当的联结词。对自然语言中语句之间的逻辑关系以及命题联结词的含义要有正确的理解：
教学手段：
合理运用多媒体教学手段提高信息量、加强课堂讨论。
课后复习及作业或思考题：
习题册相关、P32:课后习题相关
课后反思：
1.1命题符号化及联结词
1.1.1命题
命题是一个非真即假的陈述句。因此不能判断真假的陈述句、疑问句、祈使句和感叹句都不是命题。
（1）一个命题的真或假称为命题的真值。真用T或1表示，假用F或0表示；
（1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表示。
［例1.1.2］试将下列命题符号化：
（1）若你不看电影，则我也不看电影。
（2）小王一边吃饭，一边看书。
信息工程学院——《离散数学》
教学参考书：
1.《离散数学导论》第二版 徐洁磐编著，高等教育出版社
2.《离散数学》左孝凌、李为槛、刘永才编著，上海科学技术文献出版社。
3.《离散数学结构》（第四版影印版）
4.《离散数学》李盘林李丽双李洋王春立编著高等教育出版社1999.6
5.《离散数学》孙吉贵,杨风杰,欧阳丹彤,李占山,高等教育出版社2002.8 (吉林大学)
（2）原子命题(简单命题)：最简单的命题，通常用大写字母p,q,r表示；几个简单命题用联结词连接起来得到的命题叫复合命题。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p→q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：⌝, ∧, ∨, →, ↔，组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔}，联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=⌝B, B是n层公式；(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q→p)∧q→p，B =⌝(⌝p∨q)∧q，C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式说明：定义中，A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律：A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔(⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德⋅摩根律，置换规则）⇔(p∧q) →r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德⋅摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ⇔ B，则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的→, ↔（若存在）(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , （析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) （交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) （分配律）B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) （分配律）B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p→r, r→⌝s结论：s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
1.1命题逻辑基本概念
(4) ┐p→┐q
例1.5 将下列命题符号化，并指出其真值
以下命题中出现的a是一个给定的正整数： (5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。 (6) a能被4整除，仅当a能被2整除。 (7) 除非a能被2整除， a才能被4整除。 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 (9) 只有a能被2整除， a才能被4整除。 (10)只有a能被4整除， a才能被2整除。
例1.3 将下列命题符号化
(1)吴颖既用功又聪明。 (2)吴颖不仅用功而且聪明。 (3)吴颖虽然聪明，但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。
(5)张辉与王丽是同学。
p: q: r: s: t:
吴颖用功。 吴颖聪明。 张辉是三好学生。 王丽是三好学生。 张辉与王丽是同学。
解题要点： 正确理解命题含义。 找出原子命题并符号化。 选择恰当的联结词。
例1.2
将下面这段陈述中所出现的原子命题符号化，并指出它 们的真值，然后再写出这段陈述。 2 是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2 是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。 p： 2 是有理数 q：2是素数； r：2是偶数 s：3是素数； t：4是素数
0 1 1 1 0
非p； q并且(与)r； q或t； 如果q，则s； q当且仅当s。
1.1 命题符号化与联结词
称能判断真假的陈述句为命题 （proposition）。 作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 真值只取两个：真与假。
真值为真的命题称为真命题。
真值为假的命题称为假命题。
说 明
感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一确定的陈述句不是命题。
关于真值（逻辑）联结词的说明
1.1 命题、联结词与符号化
例1
P：今天下雨。 Q：今天刮风。 P ∨ Q ：今天下雨或刮风。
例2：我在家学习或去戏院看电影
R：我在家学习 S：我去戏院看电影 R∨S？
自然语言：可兼或、排他或 这里：可兼或
表 1.1.3 P Q 0 0 0 1 1 0 1 1
∨的定义 P ∨ Q 0 1 1 1
定义：设P和Q为两个命题，由命题联结词→把P和 Q连接成P→Q，称P→Q为命题P和Q的条件式复合 命题，简称条件命题。P→Q读做“P条件Q”或者 “若P则Q”。称→为条件联结词。
T F
P
T T F F
Q
T F T F
P Q
T T T F P↔Q T
F
F P T T F F
T
F Q T F T F
F
F PQ T F T T
P
T
Q
T
T
F F
F
T F
F
F T
命题 联结词
命题定律，代入与取代
Thank you
真假需结合上下文
◦ 如，1 + 101 = 110；
某些命题尚未确定其真值
◦ 如：2100年元旦是晴天；
大写英文字母 P ， Q ， R… 及其带下标的 Pi ， Qi ，
Ri，…表示
◦ P: 今天下雨
数字：[5]
◦ [5]: 今天下雨
命题常量
◦ 一个命题标识符表示一个确定的命题
命题变量
正如著名的计算机软件大师戴克斯 特拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我现在年纪 大了，搞了这么多年软件，错误不知犯了 多少，现在觉悟了。我想，假如我早在数 理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯 这么多错误。不少东西逻辑学家早就说过 了，可是我不知道。要是我能年轻20岁的 话，我就会回去学逻辑。
01命题基本概念及联接词
解：这9个句子中，（7）～（9）都不是陈述句， 因而都不是命题。 （1）是真命题，（2）是假命题。 （3）的真值虽然现在还不能判断，到2100年就能 判断了，因而是命题。 （4）在十进制中为假，在二进制中为真，当确定 了进位制时其真值就确定了，因而是命题。 （5）是命题，真值视具体情况惟一确定（不是真 就是假）。 （6）是陈述句，但无法给出真假值。这种自相矛 盾的判断称为悖论，以后再讲。
1.2.2 合取联结词∧
定义1.2.2 设P,Q为二命题，复合命题“P并且Q”（或 “ P 与 Q” ）称为 P 与 Q 的合取式，记作 P∧Q ，符号 “∧” 称为合取联结词 . P属于二元 ∧Q为真当且仅当 P和Q同时为真 . 说明：1、“∧” (binary)运算符 . 2、联结词“∧”的定义真值表如下：
从上述例子可以看出，原命题与逆否命题意思相同, 即等价：
P Q Q P
逆命题与反命题意思相同。 这一点非常重要，在推理过程中，有时按原命题进 行推导比较困难，而用逆否命题却可收到事半功倍 的效果。
1.2.5 双条件联结词（等价联结词）
定义1.2.5 设P,Q为二命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作P iff Q或PQ，符号 称为双条件（等价）联结词。PQ为真当且仅当
Q:今天天下雨。
定义1-3 如果一个命题标识符代表任意未知命题，则 称该命题标识符为命题变元（命题变项）.如果一 个命题标识符代表一个确定的命题，则称之为命 题常元。
命题变元类似代数中的变量，命题常元类似
常量，但两者有着本质的区别。命题变元或常元
代表的是命题元素，而变量和常量代表的是一个
数值。
例如，x+y≥ 5 这是一个代数表达式，其中x和y是 变量，不是命题变元，但该表达式也可以作为一 个命题变元。假设代表该表达式的命题变元为z， 当变量x和y的值确定后，表达式成为一个命题常 元，命题变元z被该命题常元所取代成为命题，且 命题的真值随变量x和y不同取值而变化。 当用确定的命题代入命题变元时称为对命题 变元的代入。
命题知识点总结考点
命题知识点总结考点一、命题基础知识1.1 命题的概念命题是指陈述句，是能够明确真假的陈述性句子。
即使该命题陈述是一个问题，只要它可以被判断为真或假，我们就可以说它是一个命题。
1.2 命题的分类命题可以分为简单命题和合成命题。
简单命题是一个陈述不能再分解为更小的陈述，而合成命题则由多个简单命题通过逻辑连接词连接而成。
1.3 命题的逻辑连接词命题的逻辑连接词包括合取（∧）、析取（∨）、否定（¬）、蕴含（→）、双条件（↔）等。
1.4 命题的真值表命题的真值表列出了所有可能的命题组合及其真值，帮助理解逻辑连接词的真值。
1.5 命题的等价式等价式是指两个具有相同真值的复合命题间的等价关系，可以通过构造真值表进行证明。
1.6 命题的充分条件与必要条件充分条件和必要条件是复合命题关系的核心概念，充分条件P→Q表示如果P，则Q，必要条件P⇐Q表示只有Q才有P。
二、命题公式2.1 命题公式的概念命题公式是由命题变元及逻辑连接词组成的表达式，用来表示命题之间的逻辑关系。
2.2 命题公式的语法命题公式应遵循良型公式的语法规则，包括括号配对、逻辑连接词使用、命题变元使用等。
2.3 命题公式的语义命题公式的语义是指命题公式的真值，其真值由命题变元的真值及逻辑连接词的真值决定。
2.4 命题公式的等价变换命题公式的等价变换是指通过等价式进行命题公式的变换，得到具有相同真值的另一命题公式。
三、命题逻辑推理3.1 命题逻辑系统命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究命题之间的真值关系及其逻辑推理。
3.2 命题逻辑的演译规则命题逻辑的演译规则包括简化规则、合取式规则、析取式规则、假言式规则、双条件式规则。
3.3 命题逻辑的经典推理法命题逻辑的经典推理法包括假言推理、构造证明法、反证法、归谬法等。
3.4 命题逻辑的证明命题逻辑的证明应遵守演译规则，通过合法的推理步骤来证明一个命题。
3.5 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则包括假言推理、拒取规则、析取三段论等。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
逻辑用语知识点总结详细
逻辑用语知识点总结详细逻辑是一门研究思维方法和规律的学科，逻辑用语是指在逻辑学中常用的一些术语、概念和规则。
逻辑用语是逻辑学习者必须掌握的知识点，它们对于理解和运用逻辑学原理非常重要。
本文将对逻辑用语的相关知识点进行总结和介绍，希望可以帮助读者更好地理解逻辑学的基本原理。
一、命题逻辑用语1. 命题：命题是对某个事实或者概念作出真假判断的陈述句。
命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
2. 真值：命题的真假状态称为真值，真命题的真值为真，假命题的真值为假。
3. 联结词：联结词是用来表示命题之间逻辑关系的词语，例如“与”、“或”、“非”、“如果...那么”等。
4. 合取命题：由多个简单命题用“且”联结而成的复合命题。
5. 析取命题：由多个简单命题用“或”联结而成的复合命题。
6. 蕴含命题：由前提命题和结论命题构成的复合命题，用“如果...那么”联结。
7. 反命题：将原命题的真值取反得到的命题。
8. 逆命题：将原命题中的前提和结论位置互换得到的命题。
9. 逻辑等值式：两个命题具有相同的真值。
10. 矛盾命题：两个命题在真值上互为反义。
11. 背反命题：两个命题只能有一个为真。
二、谬误逻辑用语1. 常见谬误：指在推理过程中常见的一些错误逻辑。
2. 漏洞谬误：推理中忽略了一些重要的信息或者条件。
3. 意义不明谬误：命题的表述不清晰或者含糊不清。
4. 假设不当谬误：推理过程中使用了不成立的假设。
5. 伪命题：看似是命题实际上并不是命题。
6. 偷换概念谬误：在推理过程中将概念混淆或者曲解。
7. 弱势推理谬误：推理的结论过于绝对，没有考虑例外情况。
8. 诱导推理谬误：推理的结论只是一种可能性，并非必然性。
三、谓词逻辑用语1. 主体：命题中被描述的对象或者概念。
2. 谓语：对主体进行描述或者陈述的部分。
3. 量词：用来表示主体范围的词语，例如“所有”、“存在”等。
4. 谓词逻辑：一种更为复杂的逻辑系统，它允许我们在命题中引入量词，进而使得我们可以对全称命题（一般化陈述）和存在命题（实例化陈述）进行讨论。
1.1-2 命题符号化及联结词,命题公式及分类
例. 判断下列语句是否是命题 判断一个句子是使句1)).是否为陈述句。 (否。疑问句2)).真值是否唯一。
3. 地球是圆的。
(是。真值为“真”)
4. 雪是黑色的。 5. 明年10月1日是晴天。
(是。真值为“假”) (是。真值唯一，但待定)
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
例. 2).张晓静是江西人或安徽人。
l 令r:张是江西人，s:张是安徽人。
l 则2)中“或”应为排斥或，但r与s不能同时为 真，因而也可以符号化为r∨s
例. 3).张晓静只能挑选202或203房间之一。
p
q
p «q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
逻辑上”等值”
Ø 复合命题符号化的基本步骤：
l分析出各简单命题，将其符号化 l使用合适的联结词，“联结”各简单命题 注：符号化要按逻辑关系进行，而不能仅凭字面翻译。
Ø 联结词的优先级
l命题公式外层的括号可以省略； l联结词的优先级（由高到低）:
¬ 、∧、∨、→、«。 l规定：各个命题联结符的优先级别为
三次数学危机
Ø 第一次数学危机
l 无理数的发现，引起了第一次数学危机。
Ø 第二次数学危机
l ……关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其 分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一 个半世纪的争论……
Ø 第三次数学危机
l ……这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现 悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分 支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合 论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的 有效性的怀疑。
离散数学之1—命题逻辑
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
数理逻辑中的命题符号化
数理逻辑中的命题符号化的几个值得注意的问题组长：学号：组员：学号：组员：学号：日期数理逻辑是离散数学的重要组成部分，也是计算机科学的基础之一。
数理逻辑要解决的一个主要问题就是如何用数学的方法来研究判断和推理的问题，而要想将逻辑推理的方法准确地应用到实际问题中去，并在相应的数理逻辑运算体系下进行正确的推理从而获得准确的结论，其首要前提就是对普通语言文字所描述的命题进行正确的符号化，也就是将现实的问题准确地翻译成数理逻辑体系下的数学语言，即是要解决好命题符号化的问题。
1深刻理解逻辑联结词的含义正确使用逻辑联结词，尤其是条件联结词在命题逻辑学中，对命题进行符号化时常用下列五个联结词：否定、合取、析取、条件、双条件等五个联结词。
只有在准确地理解逻辑联结词的含义的基础上，才能做到正确地使用逻辑联结词并将命题符号化。
所以将命题符号化的前提是要深刻地理解逻辑联结词的含义，上述五个逻辑联结词的含义具体如下：1．1否定：设P为一命题，则P的否定是一个新命题，记作P。
若P为真（T）时，﹃P为假（F）；若P为假（F）时，﹃P为真（T）。
﹃称作否定联结词。
它是日常语言中的“非”、“不是”、“并非”等词汇的逻辑抽象。
1．2合取：设P、Q是两个命题，P与Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。
当且仅当P、Q同时为真（T）时，P∧Q为真（T），在其他情况下，P∧Q的真值都为假（F）。
∧称作合取联结词，它是日常语言中的“并且”、“也”、“不但…而且”、“既…又…”等词汇的逻辑抽象。
1．3析取：设P、Q是两个命题，P与Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。
当且仅当P、Q同时为假（F）时，P∨Q的真值为假（F），在其他情况下，P∨Q的真值都为真（T）。
∨称作析取联结词，它是日常语言中的“或者”、“要么”等词汇的逻辑抽象。
1．4条件：设P、Q是两个命题，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q。
当且仅当P的真值为真（T），Q的真值为假（F）时，P →Q的真值为假（F），在其他情况下，P→Q的真值都为真（T）。
离散数学-命题
例2 将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. 解: 令 p： 王晓聪明，q：王晓用功，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
(4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解： 令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生
(5) 王晓红生于1975年或1976年.
令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,
则 (5) 可符号化为 (v∧w)∨(v∧w),
又可符号化为 v∨w , 为什么?
(4), (5) 为排斥或.
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q” 称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq，并称 p 是蕴涵式 的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
练习： 将下列命题符号化：
（1）只要不下雨，我就骑自行车上班。
（2）只有不下雨，我才骑自行车上班。
（3）除非下雨，否则我就骑自行车上班。
（4）如果下雨，我就不骑自行车上班。 解：令p：天下雨，q：我骑自行车上班，则： （ 1） ¬ p→q （2）q→¬ p （ 3） ¬ p→q （4）p→¬ q
1.2.ppt
0， 0. 它们的真值分别为 1， 0，1，
以上给出了5个联结词：, , , , ， 组成一个联结词集合{, , , , }， 联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出
现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右
的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号
中的运算.
注意: 本书中使用的 括号全为圆括号.
离散数学
数理逻辑 集合论 代数结构 图论 组合分析初步 形式语言和自动机初步
第1章1 命题符号化及联结词
用来区分有效和无效的数学论证。逻辑不仅是所
有数学推理的基础，而且对计算机的电路设计、 系统规范说明、人工智能、计算机程序设计、程 序设计语言以及计算机科学的其他领域都有实际 的应用。
逻辑难题
有一逻辑学家误入某部落，被拘于牢狱，酋长意欲放 行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡， 你可任意开启一门。为协助你脱逃，今加派两名战士负责解 答你所提的任何问题。惟可虑者，此两战士中一名天性诚实， 一名说谎成性，今后生死由你自己选择。”逻辑学家沉思片 刻，即向一战士发问：逻辑学家手指一门问身旁一名战士说： ‘这扇门是死亡门，他（指另一名战士）将回答是，对吗？” 当被问战士回答完对或否后，逻辑学家开门从容离去。
罗素将集合分为两类，一类是集合 A 本身是 A 的一个 元素，即 A A ；另一类是集合 A 本身不是 A 的一个 元素，即 A A 。构造一个集合 S：S={A|A A},问 S 是 不是它自己的一个元素。即 S S 还是 S S 。
原子命题： 称由简单陈述句构成的命题为简单命题
或原子命题，
命题符号化：用小写英文字母(或带下标)p,q，r，„，
pi , qi , ri , „„表示命题， 称为命题符号化． 用数字 1 （或
T）表示真，用 0(或 F)表示假，则任何命题的真值不是 1 就是 0，但决不可能既可以为 1 又可以为 0。
命题变项：真值可以变化的简单陈述句。如例6。 注：1.命题变项不是命题。 2.当用命题常项带入命题变项时，命题变项变 为命题。真值确定。
和将来从事软、硬件开发和应用研究打下坚实 的基础。
学习参考书
离散数学及其应用（第5 版）,K.H.Rosen，
机械工业出版社，2003、张立昂 编， 清华大学出版社，1999年
命题符号化及联结词
命题符号化及联结词
基本概念
命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值：命题的判断结果。
真值只取两个值：真（1）、假（0）。
真命题：真值为真的命题。
假命题：真值为假的命题。
判断命题的两个步骤：
1、是否为陈述句；
2、是否有确定的、唯一的真值。
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题. 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题
设A为任一命题公式，
（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式。
（2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式。
（3）若A不是矛盾式，则称A为可满足式。
真值表的作用：
（1）表示出公式的成真或成假赋值。
（2）判断公式类型：
(a) 若真值表最后一列全为1，则为重言式；
(b) 若真值表最后一列全为0，则为矛盾式；
(c) 若真值表最后一列至少有一个1，则为可满足式；。
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第1 章命题逻辑
第1 章命题逻辑授课内容
知识点1：命题、联结词及命题符号化
知识点2：命题公式、真值表及公式分类
知识点3：等价式与等价演算
知识点4：对偶式与蕴涵式
知识点5：范式
第1 章命题逻辑授课内容
知识点6：主析取范式与主合取范式知识点7：命题演算的推理理论
知识点8：有效结论证明方法
知识点9：命题演算推理实例解析
知识点1：命题、联结词及命题符号化
一问题的引入
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
那么，什么是命题？如何表示和构成？
如何进行推理的？例如：
已知：
如果今天星期三，那么公鸡会下蛋。
今天是星期三。
问题：根据以上前提你能推出什么结论？
二命题、联结词及命题符号化
1 命题的概念
定义1.1.1：能够判断真假的陈述句称作命题。
命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。
真用1或T表示，假用0或F表示。
由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。
例1.1.1 判断下列语句哪些是命题
①-1是整数。
②地球是围绕月亮转的。
③3+5=8。
④木星的表面温度是20 F。
⑤不要讲话！
⑥你吃饭了吗？
⑦本命题是假的。
（他正在说谎。
等）
解①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，④不知真和假，但真值是可以确定的。
⑤⑥都不是命题。
⑦无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。
这种断言叫悖论。
2 命题的分类与表示
•命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。
用英文字母P，Q，R，…
或带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。
例如，用P表示武汉是一座美丽的城市，
记为P：武汉是一座美丽的城市。
冒号：代表表示的意思
•第二类是复合命题，它由原子命题、
命题联结词和圆括号组成。
3 联结词
1.3.1 否定联结词﹁P
定义1.1.2设P表示一个命题，由命题联结词⎤和命题P连接成⎤P，称⎤P为P的否定式复合命题，⎤P读“非P”。
称⎤为否定联结词。
⎤P是真当且仅当P为假；
否定联结词“⎤”的定义可由表1-1表示。
令命题P ：武汉是一座美丽的城市。
命题的否定为⎤P ：武汉不是一座美丽的城市。
p
⎤P 0
110
表1-1
1.3.2 合取联结词∧
定义1.1.3设P和Q为两个命题，由命题联结词∧将P和Q连接成P∧Q，称P∧Q为命题P和Q的合取式复合命题，P∧Q读做“P与Q”，或“P 且Q”。
称∧为合取联结词。
•当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的
真值才为真；否则，P∧Q 的真值为假。
合取联结词∧的定义由表1-2表示。
表1-2
令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，则P ∧Q ：我们踢足球，他们在游泳。
p q P ∧Q 0000101001
1
1
1.3.3 析取联结词∨
定义1.1.4 设P和Q为两个命题，由命题联结词∨将P和Q连接成P∨Q，称P∨Q为命题P和Q的析取式复合命题，P∨Q读做“P或Q”，
称∨为合取联结词。
•当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；
否则，P∨Q的真值为真。
合取联结词∨的定义由表1-3表示。
表1-3
令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，则P ∨ Q ：我们踢足球，或他们在游泳。
p q P ∨Q 0000111011
1
1
1.2.4 条件联结词→
定义1.1.5 命题P、Q组成命题“如果P则Q”，它可记为“P→Q”，它也可叫“P蕴含Q”，
而其中P称为P→Q的前件，而Q称为P→Q的后件。
P→Q的真值为假当且仅当P为真同时Q为假。
表1-4
令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，
则P →Q ：如果我们踢足球，那么他们在游泳。
p q P →Q 0010111001
1
1
1.2.5 双条件联结词
定义1.1.6 将命题P、Q组成“P等价Q”
(或“P当且仅当Q”)，它可记为“P Q”。
它也可叫做P、Q 的等值式复合命题，
也称为双条件复合命题。
表1-5
令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，则P ↔Q ：我们踢足球当且仅当他们在游泳。
p q P ↔Q 0010101001
1
1
4 命题符号化
对五个联结词和括号的使用规定：（1）规定5个联结词的结合能力强弱顺序为：否定、合取、析取、条件、双条件
其中：否定为最强，双条件为最弱，
凡符合此顺序者，括号均可除去。
( 2 ) 规定具有相同结合能力的联结词，
按其出现的先后次序，先出现者先运算，
凡符合此要求者，其括号均可除去．( 3 ) 最外层括号可省去。
例1.1.2 ：符号化命题“说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的”。
解：设P为“数理逻辑有味”,
Q为“数理逻辑有价值”，
则此复合命题可写为
⌝(⌝P∨⌝Q)
例1.1.3 ：符号化命题“除非你陪伴我或代我叫辆车子，否则我不出去”。
解：设P为“你陪伴我”,
Q为“你代我叫车子”,
R为“我出去”，
则此复合命题可写为R (P∨Q)
三小结
本节介绍了
•命题：原子命题与复合命题，命题的真值•联结词：否定、合取、析取、条件、双条件•命题符号化：五个联结词和括号的使用规定
知识点1：命题、联结词及命题符号化
讲解结束！。