知识点1.1 命题、联结词及命题符号化

第1 章命题逻辑

第1 章命题逻辑授课内容

知识点1：命题、联结词及命题符号化

知识点2：命题公式、真值表及公式分类

知识点3：等价式与等价演算

知识点4：对偶式与蕴涵式

知识点5：范式

第1 章命题逻辑授课内容

知识点6：主析取范式与主合取范式知识点7：命题演算的推理理论

知识点8：有效结论证明方法

知识点9：命题演算推理实例解析

知识点1：命题、联结词及命题符号化

一问题的引入

命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。那么，什么是命题？如何表示和构成？

如何进行推理的？例如：

已知：

如果今天星期三，那么公鸡会下蛋。

今天是星期三。

问题：根据以上前提你能推出什么结论？

二命题、联结词及命题符号化

1 命题的概念

定义1.1.1：能够判断真假的陈述句称作命题。

命题仅有两种可能的真值：真和假，且二者只能居其一。真用1或T表示，假用0或F表示。

由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。

例1.1.1 判断下列语句哪些是命题

①-1是整数。

②地球是围绕月亮转的。

③3+5=8。

④木星的表面温度是20 F。

⑤不要讲话！

⑥你吃饭了吗？

⑦本命题是假的。（他正在说谎。等）

解①-④都是命题，①和③的真值为真，②真值是假，④不知真和假，但真值是可以确定的。⑤⑥都不是命题。⑦无法确定它的真值，当它假时，它便真；当它真时，它便假。这种断言叫悖论。

2 命题的分类与表示

•命题分为两类，第一类是原子命题，它是由再也不能分解成更为简单的语句构成的命题，称为原子命题。用英文字母P，Q，R，…

或带下标Pi，Qi，Ri，…表示之。

例如，用P表示武汉是一座美丽的城市，

记为P：武汉是一座美丽的城市。

冒号：代表表示的意思

•第二类是复合命题，它由原子命题、

命题联结词和圆括号组成。

3 联结词

1.3.1 否定联结词﹁P

定义1.1.2设P表示一个命题，由命题联结词⎤和命题P连接成⎤P，称⎤P为P的否定式复合命题，⎤P读“非P”。称⎤为否定联结词。

⎤P是真当且仅当P为假；

否定联结词“⎤”的定义可由表1-1表示。

令命题P ：武汉是一座美丽的城市。命题的否定为⎤P ：武汉不是一座美丽的城市。p

⎤P 0

110

表1-1

1.3.2 合取联结词∧

定义1.1.3设P和Q为两个命题，由命题联结词∧将P和Q连接成P∧Q，称P∧Q为命题P和Q的合取式复合命题，P∧Q读做“P与Q”，或“P 且Q”。称∧为合取联结词。

•当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的

真值才为真；否则，P∧Q 的真值为假。

合取联结词∧的定义由表1-2表示。

表1-2

令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，则P ∧Q ：我们踢足球，他们在游泳。

p q P ∧Q 0000101001

1

1

1.3.3 析取联结词∨

定义1.1.4 设P和Q为两个命题，由命题联结词∨将P和Q连接成P∨Q，称P∨Q为命题P和Q的析取式复合命题，P∨Q读做“P或Q”，

称∨为合取联结词。

•当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；

否则，P∨Q的真值为真。

合取联结词∨的定义由表1-3表示。

表1-3

令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，则P ∨ Q ：我们踢足球，或他们在游泳。

p q P ∨Q 0000111011

1

1

1.2.4 条件联结词→

定义1.1.5 命题P、Q组成命题“如果P则Q”，它可记为“P→Q”，它也可叫“P蕴含Q”，

而其中P称为P→Q的前件，而Q称为P→Q的后件。P→Q的真值为假当且仅当P为真同时Q为假。

表1-4

令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，

则P →Q ：如果我们踢足球，那么他们在游泳。

p q P →Q 0010111001

1

1

1.2.5 双条件联结词

定义1.1.6 将命题P、Q组成“P等价Q”

(或“P当且仅当Q”)，它可记为“P Q”。

它也可叫做P、Q 的等值式复合命题，

也称为双条件复合命题。

表1-5

令命题P ：我们踢足球，Q ：他们在游泳，则P ↔Q ：我们踢足球当且仅当他们在游泳。

p q P ↔Q 0010101001

1

1

4 命题符号化

对五个联结词和括号的使用规定：（1）规定5个联结词的结合能力强弱顺序为：否定、合取、析取、条件、双条件

其中：否定为最强，双条件为最弱，

凡符合此顺序者，括号均可除去。( 2 ) 规定具有相同结合能力的联结词，

按其出现的先后次序，先出现者先运算，

凡符合此要求者，其括号均可除去．( 3 ) 最外层括号可省去。

例1.1.2 ：符号化命题“说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的”。

解：设P为“数理逻辑有味”,

Q为“数理逻辑有价值”，

则此复合命题可写为

⌝(⌝P∨⌝Q)

例1.1.3 ：符号化命题“除非你陪伴我或代我叫辆车子，否则我不出去”。

解：设P为“你陪伴我”,

Q为“你代我叫车子”,

R为“我出去”，

则此复合命题可写为R (P∨Q)