C3-4导热微分方程及其定界条件-稳态导热PPT课件

高鹏 2010.5
传热学 Heat Transfer
四、导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能量 守恒。描写物体温度随时间和空间变化的关系；没 有涉及具体、特定的导热过程。是通用表达式。 定解条件：使得微分方程获得某一特定问题的解的 附加条件。
对于非稳态导热问题，需要描述初始时刻温度分 布的初始条件，以及给出物体边界上温度或换热的 边界条件。 稳态导热问题仅有边界条件。
传热学 Heat Transfer
2-2 导热微分方程式及定解条件
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t f (x, y, z, )
理论：导热微分方程式建立的基础是：
热力学第一定律+傅里叶定律
方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间 的关系式。
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2. 球坐标系（r, ，）
x r sin cos; y r sin sin; z r cos
c t 1 (r 2 t ) 1 ( sin t ) 1 ( t )
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2
Φy
Φydy
y
t y
dxdydz
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz
Φzdz
z
t z
dxdydz
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传热学 Heat Transfer 导入与导出净热量:
Φc
[ x
(
t ) x
y
(
t ) y
z
(
t )]dxdydz z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φ dxdydz
(4)导热体与外界没有功的交换。
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传热学 Heat Transfer 3.建立坐标系，取分析对象（微元体）
在直角坐标系中进行分析。
dz
z
dy dx
y
x
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传热学 Heat Transfer 4.能量变化的分析:
由于是非稳态导热，微元体的温度随时间变化， 因此存在内能的变化；从各个界面上有导入和导出 微元体的热量；内热源产生的热量。
5. 导热微分方程的基本形式
c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
非稳态项
三个坐标方向净导入的热量 内热源项
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二、一些具体情况下的简化
1.若导热系数也为常数
t
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a
2t x 2
2t y 2
2t z 2
Φ
导入与导出净热量+ 内热源发热量 = 热力学能的增加
（1）微元体热力学能（内能）的增量
E c t dxdydz d [J]
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传热学 Heat Transfer （2）导入与导出微元体的热量
利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导 出微元体的热量。
沿x轴方向、经x表面导入的热量：
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一、导热微分方程的推导
1.物理问题描述 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以
外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
2.假设条件 (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知；
(3) 内热源均匀分布，强度为 [ΦW /m3]；
导热问题的完整数学描述： 导热微分方程 + 定解条件
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传热学 Heat Transfer 导热问题常见的边界条件有三类：
1.第一类边界条件:指定边界上的 温度分布。
最简单：tw=常数（稳态导热）
非稳态导热：τ〉0， tw=f1（τ）
例：右图中 x 0, t tw1
x , t tw2
x x
5. 一维稳态无内热源导热：
( t ) 0 d 2t 0
x x
dx2
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三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos; y r sin; z z
c t
1 r
r
(r
t r
)
1 r2
( t ) ( t ) z z
c
a 为材料的扩散系数，单位：m2/s c
2.若物性参数为常数且无内热源：
t
a(
2t x 2
2t y 2
2t z 2
)
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传热学 Heat Transfer 3. 若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2t 2t 2t 0 x2 y 2 z 2
4. 一维稳态含内热源导热：
( t ) Φ 0
tw2。（1）导热系数为常数；（2）导热系数是温度 的函数。
2. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源，
tw1
0
tw2
δx
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2.第二类边界条件:给定边界上的热 流密度。
最简单：qw=常数（稳态导热）
非稳态导热：τ〉0， qw=
-
t= x
f2（τ）
例：右图中
x ,
-
t x
qw
0
qw
δx
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3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数 和流体的温度，也称为对流换热边界。
Φx
t x
dydz
Φx
z
Φxdx
沿 x 轴方向、经 x+dx 表
y
面导出的热量：
x
Φxdx
Φx
Φx x
dx
Φx
-
x
t x
dxdydz
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传热学 Heat Transfer 沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx
Φxdx
x
t x
dxdydz
同理可得：
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
t x
x
(T 4 w
Tc4 )
（2）界面连续条件:发生在不均匀材料中的导热问
题，材料接触良好，则满足界面一和界面二上温 度和热流密度连续的条件。
tI
tII , (
t n )I
(
t n )II
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传热学 Heat Transfer 课下作业：列出下列问题的的数学描述：
1. 一块厚度为 的平板，两侧的温度分别为tw1和
牛顿冷却定律：
qw h(tw t f )
qw
傅里叶定律：
qw (t / n)
例：右图中
0
x ,
t
x
x
h(tw
tf )
h tf
δx
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传热学 Heat Transfer
其他边界条件——处理复杂实际工程问题
（1） 辐射边界条件：导热物体表面与温度为Tc的 外界环境只发生辐射换热。