高考数学 合情推理与演绎推理
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第36讲 合情推理与演绎推理
1.合情推理 (1)归纳推理
①定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理,或者由个别的事实概括出一般结论的推理.
②特点:是由__部分__到__整体__、由__个别
__
到__
一般__的推理. (2)类比推理
①定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有__这些特征__的推理.
②特点:是由__特殊__到__特殊__的推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__.
③结论——根据一般原理,对__特殊情况__做出的判断.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.(×)
(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×)
(3)“所有3的倍数都是9的倍数,若数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(√)
(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(×)
解析(1)错误.归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.
(2)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.
(3)正确.因为大前提错误,所以结论错误.
(4)错误.演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.
2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是(C)
A.使用了归纳推理
B.使用了类比推理
C.使用了“三段论”,但推理形式错误
D.使用了“三段论”,但小前提错误
解析由条件知使用了三段论,但推理形式是错误的.
3.数列2,5,11,20,x,47,…中的x=(B)
A.28B.32
C.33D.27
解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9.
则x-20=12,因此x=32.
4.给出下列三个类比结论:
①(ab)n=a n b n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b n;
②log a(xy)=log a x+log a y与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sin αsin β;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
其中结论正确的个数是(B)
A.0B.1
C.2D.3
解析只有③正确.
5.观察下列不等式:
1+1
22<3 2,
1+1
22+1
32<
5
3,
1+122+132+142<74, …
按此规律,第五个不等式为__1+122+132+142+152+162<11
6
__.
解析 观察得出规律,左边为项数个连续自然数平方的倒数和,右边为项数的2倍减1的差除以项数,即1+122+132+142+152+…+1n 2<2n -1
n
(n ∈N *,n ≥2),
所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<11
6
.
一 类比推理
(1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
(2)类比推理常见的情形有:平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等.
【例1】 (1)若数列{}a n 是等差数列,则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫
b n =a 1+a 2+…+a n n 也为等差数列.类
比这一性质可知,若正项数列{}c n 是等比数列,且{}d n 也是等比数列,则d n 的表达式应为( D )
A .d n =c 1+c 2+…+c n
n
B .d n =c 1·c 2·…·c n
n
C .d n =
n
c n 1+c n 2+…+c n
n
n
D .d n =n
c 1·c 2·…·c n
(2)在平面几何中:△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC =AE
BE .把这个
结论类比到空间:在三棱锥A -BCD 中(如图),平面DEC 平分二面角A -CD -B ,且与AB 相交于E ,则得到类比的结论是__AE EB =S △ACD
S △BCD
__.
解析 (1)若{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+
n (n -1)2d ,∴b n =a 1+(n -1)2d =d
2
n
+a 1-d 2,即{b n }为等差数列;若{c n }是等比数列,则c 1·c 2·…·c n =c n 1·q 1+2+…+(n -1)=c n 1·q n (n -1)2
, ∴d n =n
c 1·c 2·…·c n =c 1·q n -12,即{
d n }为等比数列,故选D .
(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB =S △ACD
S △BCD
.
二 归纳推理
归纳推理中几种问题的处理技巧
(1)与等式或不等式“共舞”问题.观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点,注意是纵向看,发现隐含的规律.
(2)与数列“牵手”问题.先求出几个特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所含的范围,从而由特殊的结论推广到一般结论.
(3)与图形变化“相融”问题.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.
【例2】 观察下列等式: 12=1; 12-22=-3; 12-22+32=6; 12-22+32-42=-10; …
依此规律,第n 个等式可为__12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1·n (n +1)
2
__.
解析 第n 个等式的左边第n 项应是(-1)n +
1n 2,
右边数的绝对值为1+2+3+…+n =n (n +1)
2
,
故有12-22+32-42+…+(-1)n +1n 2=(-1)n +1·n (n +1)
2
.
【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图中有__28__个小正方形.
解析 第1~5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形,它们分别为1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6,因此a n =1+2+3+…+(n +1).故a 6=1+2+3+…+7=7(1+7)2
=28,即第6个图中有28个小正方形.
【例4】 (2016·山东卷)观察下列等式: