数学物理方程 第五章练习题

(2)
∂u ∂t
+
∂u ∂x
=
u.
解:
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 11 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
.E.xample 2.3
判断方程组 .属于何种类型.
2012-10-3 5 / 45
引言
.E.xample 1.2
把方程
∂2u ∂t2
=
a2
( ∂2u ∂x2
+
∂2u ) ∂y2
带初始条件
u|t=0 = 0,
∂u ∂t
t=0
=
ex
sin
y
的. 柯西问题化为一个一阶偏微分方程组的柯西问题.
解:
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 5 / 45
.
∂u ∂u (1) ∂t + ∂x = 0;
(2)
∂u ∂t
+
∂u ∂x
=ห้องสมุดไป่ตู้
u.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 11 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
.E.xample 2.2
求下列一阶方程带初始条件u|t=0 = φ(x)的柯西问题的解:
.
∂u ∂u (1) ∂t + ∂x = 0;
数学物理方程
2012-10-3 9 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
.E.xample 2.1
求一阶方程
(1)
∂u ∂t
+
a(x,
t)
∂u ∂x
+
b(x,
t)u
+
c(x, t)
=
0,
(2)
∂u ∂t
+
a(x,
t)
∂u ∂x
+
b(x, t, u)
=
0
的. 特征线和解沿特征线应成立的关系式.
∂u1 ∂t
=
a(x,
t))
∂u1 ∂x
−
b(x,
t)
∂u2 ∂x
+
f1,
∂u2 ∂t
=
b(x,
t)
∂u1 ∂x
+
a(x,
t)
∂u2 ∂x
+
f2,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 13 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 14 / 45
2012-10-3 7 / 45
引言
.E.xample 1.3
证明任一柯瓦列夫斯卡娅型方程(1.9)的柯西问题(在t = 0时, 给定u, . . .,
.∂m−1 u
∂tm−1
之值作为初值)可以化为一阶方程组的柯西问题,
并证明其解的等价性.
解:
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 45
∂u1 ∂t
=
a(x,
t))
∂u1 ∂x
−
b(x,
t)
∂u2 ∂x
+
f1,
∂u2 ∂t
=
b(x,
t)
∂u1 ∂x
+
a(x,
t)
∂u2 ∂x
+
f2,
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 13 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
.E.xample 2.3
判断方程组
.属于何种类型. 解:
引言
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 4 / 45
引言
.E.xample 1.2
把方程
∂2u ∂t2
=
a2
( ∂2u ∂x2
+
∂2u ) ∂y2
带初始条件
u|t=0 = 0,
∂u ∂t
t=0
=
ex
sin
y
的. 柯西问题化为一个一阶偏微分方程组的柯西问题.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
引言
.E.xample 1.1
把波动方程
∂2u ∂t2
=
a2
( ∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ) ∂z2
带初始条件
u|t=0 = φ(x, y, z),
∂u ∂t
t=0
=
ψ(x,
y,
z)
.的柯西问题化为一个一阶方程组的柯西问题, 并证明其解的等价性.
解:
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 45
引言
.E.xample 1.1
把波动方程
∂2u ∂t2
=
a2
( ∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ) ∂z2
带初始条件
u|t=0 = φ(x, y, z),
∂u ∂t
t=0
=
ψ(x,
y,
z)
.的柯西问题化为一个一阶方程组的柯西问题, 并证明其解的等价性.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 45
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 2 / 45
1. 引言 2. 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 3. 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 4. 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 5. 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 45
2012-10-3 9 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
.E.xample 2.1
求一阶方程
(1)
∂u ∂t
+
a(x,
t)
∂u ∂x
+
b(x,
t)u
+
c(x, t)
=
0,
(2)
∂u ∂t
+
a(x,
t)
∂u ∂x
+
b(x, t, u)
=
0
的. 特征线和解沿特征线应成立的关系式.
齐海涛 (SDU)
引言
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 6 / 45
引言
.E.xample 1.3
证明任一柯瓦列夫斯卡娅型方程(1.9)的柯西问题(在t = 0时, 给定u, . . .,
.∂m−1 u
∂tm−1
之值作为初值)可以化为一阶方程组的柯西问题,
并证明其解的等价性.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
解:
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 9 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 10 / 45
两个自变量的一阶线性PDEs的特征理论
.E.xample 2.2
求下列一阶方程带初始条件u|t=0 = φ(x)的柯西问题的解:
引言
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 8 / 45
1. 引言 2. 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 3. 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 4. 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 5. 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
.
.
一阶偏微分方程组
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@gmail.com
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 45
目录
1. 引言 2. 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 3. 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 4. 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 5. 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理