中考高分的十八个关节关节用代数式表示变化规律WOR
中考高分的十八个关节+关节6+统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”WORD
关节六统计问题的“三项注意”和概率求法的“一个核心”一、以“三项注意”指导统计问题的解决从统计类中考试题（特别是解答类的题）来看，其考查目标主要集中在如下的方面： 方面一、统计图、表的绘制、阅读和使用；方面二、数据的代表值（众数、中位数、平均数），和离散程度（极差、方差等）的确定； 方面三、根据数据的代表值和离散程度作出决策对总体作出合理推断。
要解决好以上三个方面的问题，就应当落实好如下的“三项注意”；Ⅰ、注意每个统计图、表的完备性和同一组数据的两个统计图、表之间的一致性； Ⅱ、注意数据代表值和离散程度确定时的准确性； Ⅲ、注意决策与推断要求的取向性。
1、注意统计图、表的完备性与一致性的运用不论统计图还是统计表，都是对全体数据的一种分类表示，因此，各类之间和应等于全体，且各类之间互不交融—这就是它的完备性；而同一组数据的两种统计图、表是对同一全体、同一分类情况的不同表示形式，二者必是一致的，许多统计问题正是以这样的两条性质作为解答的基础的。
例1 小刘对本班同学业余兴趣爱好进行了一次调查，她根据采集到的数据，绘制了下面的图（1）和图（2） （1）（2）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图（1）中，将“书画”部分的图形补充完整；（2）在图（2）中，求出“球类”部分所对应的圆心角的度数，并分别写出爱好“音乐”、“书画”、“其它”的人数占本班学生数的百分数；（3）观察图（1）和图（2），你能得出哪些结论，（只要写一条结论）【观察与思考】根据“完备性”，应先求得“全体”，而这个“全体”就隐含在“球类”部分在两种图、表中的 “一致性”之中，而得到“全体”之后，本题的几个问题即可迎刃而解。
书画球类35%其它 音乐兴趣爱好内容人数 26 8 4 10 球类 书画音乐 其它12 14解：（1）40%3514=÷ （人） ∴本班同学共40人。
∴爱好书画的同学为4121440---10=（人）将图（1）补充完整后如图（1`）。
中考高分的十八个关节 关节3 函数知识的三个支点
关节三函数知识的三个支点函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。
那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？从一道简单的数学题说起。
题目：若a 满足不等式组41313)1(2+≤+≤-a a a a 那么，代数式)11()1(62aa a a -÷-⋅- 最大值和最小值分别是多少？简解：由所给的不等式组解得33≤≤-a又 )11()1(62aa a a -÷-⋅-15)3(6622--=--=a a a可将,15)3(2--=a y 其中33≤≤-a ，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为3=a 且开口向上，可知原式在3-=a 时有最大值，21，在3=a 时有最小值—15。
析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表示式为),33(662≤≤---=a a a y 第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。
由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。
再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。
函数知识的三个支点：一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”； 二、定表达式；三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。
一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题； ②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的函数图象大致应为（ ）A B C D【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是解：选A。
中考高分的十八个关节 关节15 由函数图象衍生出的问题
关节十五由函数图象衍生出的问题图象本是函数关系的一种表达方式，现以它为主背景，可以衍生出如下的两类问题：Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图象→对应的函数关系→实际问题”； Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合，这类问题解决的基本方向是：将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。
一、由图象研究对应的实际问题例1 如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。
正常水位时，大孔水面宽度20=AB 米，顶点M 距水面6米（即6=MO 米），小孔顶点N 距水面5.4米（即5.4=NC 米）。
当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF 。
【观察与思考】读图，并和实际背景对照，可知： ①应先求出大孔对应的抛物线的解析式； ②求出F 点的横坐标；解：设大孔对应的抛物线解析式为h ax y +=2， 因为点)6,0(),0,10(M B 在该抛物线上，即 解得65032+-=∴x y 令5.465032=+-x ，解得51=x ，.52-=x 10=∴EF 米。
答；当水位不涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽为10米。
例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池，甲，乙两个蓄水池中的水的深度y （米）与注水时间x （小时）之间的函数图象如图（2）的所示，结合图象回答下列问题：（1）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水深度相同；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水量相同；【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式， 再借两函数关系式去解决（1），（2）两个问题。
xyOA BEM FN正常水位Ch a +=1000h =6h =6503-=ay42 1甲乙2,3211=-=b k 232+-=∴x y 甲。
设22b x k y +=乙。
把（0，1）和（3，4）代入，解得1,122==b k ，1+=∴x y 乙（1）根据题意，由 解得53=x 。
中考高分的十八个关节 关节13 图形引入形成的函数和方程问题doc
关节十三图形引入动点后形成的函数和方程问题图形中引入动点以后 ，随着点 的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，这样就可能产生特定形状、特定位置或特定关系的图形。
这些问题就需要借助方程来解决。
但不管是动点问题引出的函数。
还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。
因此，几何计算才是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即一、图形引入动点形成的函数问题例1 如图（1），ABC Rt ∆中，,5,4,90==︒=∠BA AC ACB 点P 是AC 上的动点（P 不与A ，C 重合）。
x PC =，点P 到AB 的距离为y 。
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 取值范围。
（1）（1`）【观察与思考】（1）如图（1`），若AB PQ ⊥于Q ，要建立PQ 和CP 的函数关系，可以通过APQ Rt ∆和ABC Rt ∆的相似关系。
（2）就是讨论⊙P 的半径（即x ）和圆心P 到AB 的距离（即y ）的大小关系。
解：（1）过P 作AB PQ ⊥于Q ，如图（1`），则y PQ =， 易知AQP Rt ∆∽ACB Rt ∆，AB AP BC PQ ::=∴，,543x y -=∴化简得：)40(51253<<+-=x x y 。
图形动点问题通过几何计算（主要是解直角形和三角形的相似关系函数（变化规律）方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）⇒ ⇒ACBPA CBPQ（2）令y x =，即,51253+-=x x 解得23=x ，此时⊙P 与直线AB 相切。
对应地有：230<<x 时，⊙P 与直线AB 相离；423<<x 时，⊙P 与直线AB 相交。
【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比例等式导出函数关系式，再通过⊙P 和AB 相切这一特殊情况来判断⊙P 和AB 的三种位置关系。
九年级数学中考复 习高分的十八个关节 关节12 几何图形的不变性人教版
关节十二探究二：几何图形的不变性 和变化规律以及特殊条件下的特定性关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。
第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。
这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。
现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。
一、探究图形变化引出的不变性或变化规律从图形变化过程来看，又分为三条途径：Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。
从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。
1、图形变换引出的不变性或变化规律我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。
对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。
（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达例1 如图（1），在ABC ∆中，BA CG AC AB ⊥=,交BA 的延长线于点G 。
一等腰直角三角尺按如图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B 。
（1）（2）AB CG FB C（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想。
初中中考高分的十八个关节关节2充分发挥方程的工具性作用
关节二充足发挥方程的工具性作用方程是重要的数学工具，它能够干什么用呢？结论是：凡是有关“求值”的问题，不论是如何的背景下和情境中，绝大部分状况都能够借助结构方程来解决。
一、方程用于本质问题中的求值这方面的题目，同学们做的已经好多，这里只举一例。
例1 秋末，因为冷空气入侵，某地域地面气温急剧降落到0℃以下的天气称为“霜冻”。
由霜冻所致使的植物生长遇到影响或损坏的现象称为霜冻灾祸。
秋末某天，气象台公布了该地域以下的降温预告：子夜0时至第二天5时气温将匀速地由3℃降到—3℃，而后从第二天5时至第二天8时，气温将又匀速地由—3℃升到5℃，一种农作物在0℃以下连续超出3小时就会造成霜冻灾祸，依据气象台的预告信息，你以为能否有必需对该农作物采纳防冻举措？并说明原因。
【察看与思虑】第一，这本质是要求出两个数值：一是0时至第二天5时气温降落过程中在哪个时辰达到0℃；二是在第二天5时至第二天8时气温上涨过程中，在哪个时辰达到0℃，明显是求值总问题。
应分别结构方程来解决。
第二，能够用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即时辰1对应的温度时辰2对应的温度时辰3对应的温度时辰2对应的温度时辰1时辰2时辰3时辰2（事实上，只需把本问题的“温度差”看作“行程”，它就相当于行程问题了。
）简解：设在0时至第二天5时之间的x时，气温降到0℃，则依题意有：303,解得x（时）50x 0设在第二天5时至第二天8时之间的y时气温升到0℃，依题意有：5(3)50，解得y（时）858。
气温在0℃以下的时间为小时（大于3小时）所以，会对该农作物造成霜冻灾祸，所以应付它采纳防冻举措。
二、方程用于数学识题中的价值数学识题中有林林总总或显或隐的求值问题，多半可借助方程来解决。
1、借助方程，解决某些“数与式”的问题例1 假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神奇数”。
如：4 2202,12 4222,20 6242，所以4，12，20这三个数都是神奇数，1）28和2008这两个数是神奇数吗？为何？2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神奇数吗？为何？【察看与思虑】依据题中规定知道，若m(2x2)2(2x)2（※），(此中x是整数，m为正整数)，则m就是“神奇数”。
中考高分的十八个关节+关节8+审题与解法探寻的策略
关节八审题与解法探寻的策略任何一个解题过程都可分为两大环节，第一个环节是“解法的思考与形成”第二个环节是“解法的实施”。
越是思维含量大与能力要求高的题目，越重在第一个环节。
审题与解法的探寻是构成第一个环节的两个步骤或说两个侧面，它们各有侧重但又密不可分，我们只是为了更好地进行分析和说明问题，才把二者分开来论述。
一、 审题的策略1、研究背景绝大多数的数学题目，在已给的条件中都蕴含了结论的成立或不成立，即使是探究型的题目，要探究出的结论也必以条件为发生的根据。
而题目所给的背景，就是最重要的条件，所以研究“背景”是获得解法的前提和启动器。
例1如图，已知ABC ∆。
（1）请你在BC 边上分别取两点D ，E ，（BC 的中点除外）连结AD ，AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形。
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AE AD AC AB +>+【观察与思考】研究背景对于（1），通过画草图，如图（1`），其中除了ABC ∆外，还有五个三角形，它们由顶点A 引的高都相等，易知只有在“DE CE BD ≠=”的条件下，才能确保图中“只存在两对面积相等的三角形”。
对于（2），要证明AE AD AC AB +>+，由“要证线段的不等应借于三角形中三边的关系”这一基本认识，结合（1`）中的EC BD =，立刻想到将AEC ∆平移至 （1`） FBD ∆，再进行推导。
解：（1）略；（2）证明：如图（1``），分别过点D ，B 作CA ，EA 的平行线， 两线交于F 点，DF 与AB 交于G 点。
FBD AEC FDB ACE ∠=∠∠=∠∴,在AEC ∆和FBD ∆中，又有BD CE =，FBD AEC ∆≅∆∴在AGD ∆中，AD DG AG >+， 在BFG ∆中，FB FG BG >+，0,0>-+>-+FB FG BG AD DG AG 。
中考高分的十八个关节 关节1 数与式的三项要点
关节一 数与式的三项要点 ■ 1 第一编 核心知识的再提升⏹ 任何教学问题的解决都必以核心知识为基础。
⏹ 对知识的掌握是有层次高低之别的，只有上升到“原理”层次的知识掌握，才能和心应手发挥作用。
关节一数与式的三项要点“数与式”是初中数学的核心内容之一，不公在各中考试卷中占有相当比重，更重要的是它的作用体现与融合在诸多知识运用之中，其中三项要点，尤望同学们掌握与用好。
要点一、准确与灵活是“运算”之魂； 要点二、深入把握“教”、“式”的性质；要点三、善于将情景中的数量或数量关系抽象为代数式；一、准确与灵活是“运算”之魂1、 灵活运用运算法则，运算律和运算性质对以个几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。
例1化简：()y x y x x y x x +÷⎪⎭⎫⎝⎛--+-221 解：原式)......12(21yx y x y x x y x x ++-+⋅+-=（先把除法转换成乘法，再用分配律乘入括号内） 112121=+-=xx2 ■ 中考数学高分的十八个关节例2计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⋅++2422122a a a a a a 解：原式)......4(21)2(12--⋅++=a a a a a （先从括号内提出“公因式21-a ”而后约分）a11+= 例3已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式)252(6332--+÷--x x xx x的值。
解：原式)......9(332-÷-=x xx （除式和被除式同乘以)2-x )13......(31)3(3122=+=+=x x x x 因为以上三题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。
所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运 算的准确性和过程的简约性。
中考高分的十八个关节+关节5+几何计算方法与作用的归纳
关节五几何计算方法与作用的归纳当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。
第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。
因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。
在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。
一、掌握好几何计算的两种主要方法几何计算的两种主要方法是： Ⅰ、借助于解直角三角形； Ⅱ、借助于三角形的相似关系。
1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算 （1）要善于依题情恰当地构造直角三角形例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ）（1`）（1）A 、αsin 1 B 、αcos 1C 、αsinD 、αcos【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD 中，α∠=∠A ，顶点A 到直线CD 和直线CB 的距离都为1，求菱形ABCD 的面积。
为此，作,CD AH ⊥交CD 的延长线于点H ，则有AH ，AD AH CD S ABCD ⋅=⋅=菱形其中ααsin 1,sin 1sin 1==∠==ABCD S ADH AH ，AD AH 菱形即AB CD Hαα例2 如图，在ABC Rt ∆中，190==︒=∠BC ，AC ACB 。
将ABC ∆绕点C 逆时针旋转30°得到111C B A ∆，1CB 与AB 相交于点D 。
求BD 的长。
【观察与思考】注意到,45︒=∠B 若作CB DG ⊥于点G ，如图（1`）则（1） 可得DBG Rt ∆中，DG=BG ，同时在︒=∠∆30DCG ，CDG Rt 中，而CB=1， 从而可构造关于BD 的方程，求得其值。
中考高分的十八个关节+关节14+坐标系里的几何图形doc
坐标系里的几何图形将几何图形置于坐标系，是为了用代数的方法研究图形，因此坐标系里是“数形结合”的大演场，是“几何与代数综合”的新舞台。
现在，我们就来研究这类问题的思考与解法特征。
坐标系里的几何图形问题又可分三类：Ⅰ、坐标系里的基本几何图形； Ⅱ、坐标系里的几何图形引入动点； Ⅲ、坐标系里的几何图形实施交换。
※这三类问题围绕的共同核心都是“求点的坐标”与“求线段的长度”，解决的共同依据是“几何图形的性质”（包括变换的性质）和“几何计算”（特别是构造与解直角三角形。
）一、坐标系里的基本几何图形例1 如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B ，C 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为︒60，那么C 点的坐标是 ，B 点的坐标是 。
【观察与思考】 去构造合适的直角三角形，如图那样作辅助线，可由OCM Rt ∆求得点C 的坐标，由OEA Rt ∆和BEN Rt ∆求得点B 的坐标。
解：如图所示，作x CM ⊥轴于点M ，在OCM Rt ∆中，︒=∠=30,1COM OC ，,23,21==∴MO CM ∴C 点的坐标为)1,23(-。
又设AB 与y 轴的交点为E ，y BN ⊥轴于N 。
在OEA Rt ∆中，332,33,30,1==︒=∠=OE AE EOA OA 。
在BEN Rt ∆中，︒=∠-=-=-=60,333331BEN AE AB BE,21323333,633-=⋅-=-=∴BN EN 213+=+=EN OE ON 。
点B 在第二象限，∴B 点的坐标为231,231(+-）。
【说明】从本题可以看出：Ⅰ、求点的坐标是坐标系里几何图形问题的核心，而求点的坐标的基本过程是分这样的两步走：首先，选定或构造恰当的直角三角形，通过解相关的直角三角形，求得有关的线段的长；然后根据点所在的象限，将有关线段的长转换为点的坐标。
Ⅱ、坐标系里图形问题解法的优或劣，决定因素表现在对相关直角三角形的选取和构造上。
备战2012中考几何解题思路十八关节
备战2012中考几何解题思路十八关节
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【导语】曾经有过一篇文章《中考数学，得几何者得天下》，文章中罗列出几何在数学中的重要位置，也强调了初三生应该如何学习几何，以及几何在中考中的出题方式。
针对几何的重要性，西安中考网特整理了中考几何解题思路和捷径、几何得高分的十八个关节要点，在此，一一罗列：中考几何解题思路和捷径、几何得高分的十八个关节关节一：数与式的三项要点关节二：充分发挥方程的工具性作用关节三：函数知识的三个支点关节四：基本图形的性质与功能的认识关节五：几何算法与作用的归纳关节六：统计问题与概率关节七：变换视角提高视图与构图的眼力关节八：审题与解法探寻的策略关节九：用代数式表示变化规律关节十：图形变换引出的
计算与证明关节十一：存在性问题和最值问题的解决方法关节十二：几何图形的不变性关节十三：图形引入动点后形成的函数问题关节十四：坐标系里的几何图形关节十五：有函数图像衍生出的问题关节十六：应用性问题解法思路关节十七：图形的分割与拼接关节十八：研究性问题的思考要点
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中考高分的十八个关节 关节10 图形变换引出的计算与证明
关节十图形变换引出的计算与证明图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。
因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。
一、图形平移变换引出的几何计算与证明这类问题的解法的思考应当突出两点： Ⅰ、把背景图形研究清楚；Ⅱ、充分运用图形平移的性质，特别应注意的是：“平移变换不改变角度”（即平移中的线和不平移的线，交角的大小不变）。
两者的恰当结合，就是解法的基础。
例1 如图，若将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，若重叠部分PC A '∆的面积是21cm ，则移动的距离'AA 等于 。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形；第二，由平移搞 清楚新图形的特征：由于平移不改变角度，可知PC A '∆也 是等腰直角三角形，这样一来，,)'22(212'C A S PC A =∆ 即2411AC =。
解得,2'=C A 而22=AC ， 222'-=∴AA 。
解：填222-。
【说明】可以看出，由背景和平移的性质相结合得出PC A '∆为等腰直角三角形，是本题迅速获解之关键。
例2 如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得ABC'B'A'CPBF到EFA ∆。
（1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长。
（1）【观察与思考】第一，搞清楚原图形即ABC ∆的特征：,AC AB = 面积为3，第二，搞清楚平移过程：平移沿CA 方向进行；平移距离 为CA 的长度。
中考高分的十八个关节 关节16 应用性问题解法研究
关节十六应用性问题（含“方案”确定）解法研究1、应用性问题思考与解答的过程，最主要的特点就是：①由现实情意（非数学），抽象概括出数学问题，②进而解决数学问题，使原问题获解。
其中的“由非数学到数学”是最为关键的一步。
2、“由非数学到数学”，就是将实际问题归属到对应的数字模型，是化归思想的典型表现，绝大多数情况下，或化归到函数模型，或化归到方程（不等式）模型，或化归到基本图形（特别是直角三角形）模型，或者以上的综合，因此，可以这样说：解应用性问题的能力实质就是“化归到数学模型”的能力。
一、化归到方程（不等式）模型或函数模型凡涉及到数量关系的实际问题，绝大多数都要化归为方程或函数来解决。
1、关键是要有深刻的“方程思想”和“函数思想”例1 某高速公路收费站，有)0(>m m 辆汽车等候收费通过，假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车量数）保持不变，每个收费窗口的收费速度也是不变的。
若开放一个收费窗口，则需要20分钟才能将原来来排队等候汽车及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则需8分钟也可将原来排队等候的汽车已及后来接上来的汽车全部收费通过，若要求三分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问：至少同时开放几个收费窗口？【观察与思考】第一，关键是要求出每分钟新来的汽车为多少辆，以及每个窗口每分钟可收费通过多少辆汽车，就是要求这些“未知数量的值”，当然考虑去构造方程。
第二，题目中开放一个收费窗口和开放两个收费窗口情况的斜述就是两个构造方程可依据的等量关系。
解：设每分钟新来的汽车x 辆，每个窗口每分钟收费通过y 辆汽车，则解和设需开放z 个窗口，使在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时 收费通过，则m m m z +⨯=⨯⋅3403403 ， 解得943=z 。
因为窗口个数为正整数，所以需开窗口5个。
用方程解决实际问题，从思考与实施来看，分为这样的三个衔街的步骤： 步骤Ⅰ、从定向上确认这是一个化归到方程的模型问题，即知道是用方程； 步骤Ⅱ、根据已给出条件或隐含关系布列出相应的方程； y m x2020=+y m x 168=+40m x =403m y =例2 小杰到学校食堂买饭，看到A ，B 两个窗口前排队的人一相样多（设为a 人，8>a ），就站到A 窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。
中考高分的十八个关节关节充分发挥方程的工具性作用
关节二充分发挥方程的工具性作用方程是重要的数学工具，它可以干什么用呢？结论是：一、方程用于实际问题中的求值这方面的题目，同学们做的已经很多，这里只举一例。
例1 秋末，由于冷空气入侵，某地区地面气温急剧下降到0C以下的天气称为“霜冻”。
由霜冻所导致的植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害。
秋末某天，气象台发布了该地区如下的降温预报：午夜0时至次日5时气温将匀速地由3C降到一3C,然后从次日5时至次日8时，气温将又匀速地由一3C升到5C,—种农作物在0C以下持续超过3小时就会造成霜冻灾害，根据气象台的预报信息，你认为是否有必要对该农作物采取防冻措施？并说明理由。
【观察与思考】第一，这实际是要求出两个数值：一是0时至次日5时气温下降过程中在哪个时刻达到0C;二是在次日5时至次日8时气温上升过程中，在哪个时刻达到0C,显然是求值总问题。
应分别构造方程来解决。
第二，可以用“匀速”所包含的“相等关系”来导出方程，即（事实上，只要把本问题的“温度差”看作“路程”，它就相当于行程问题了。
）简解：设在0时至次日5时之间的x时，气温降到0C,则依题意有：咼^二口,解得x=2.5 （时）5-0 x-O设在次日5时至次日8时之间的y时气温升到0C,依题意有：匸凹二口，解得y "125 （时）8 -5 8 -y6.125-2.5 =3.625。
气温在0C以下的时间为3.625小时（大于3小时）因此，会对该农作物造成霜冻灾害，所以应对它采取防冻措施。
二、方程用于数学问题中的价值1、借助方程，解决某些“数与式”的问题例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。
如：4 =22 -02,12 = 42 - 22,20 = 62 -42，因此4，12, 20这三个数都是神秘数，（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？（2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？【观察与思考】根据题中规定知道，若m=（2x，2）2-（2x）2（※丿，（其中x是整数，m为正整数），则m就是“神秘数”。
中考高分的十八个关节 关节7 从变换视角提高图与构图的眼力WORD剖析
第二篇新视角与基本思考策略※新视角易有新发现，帮助开辟新途径；※基本思考策略是认识规律的具体化，它是解数学题的“最大、最高技巧”。
关节七从变换视角提高识图与构图的眼力思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系。
从关节四我们已经知道，许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也是同样具有“变换”形式的联系。
本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对成关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）。
这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用。
解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别与构造的眼力。
一、从“轴对称”视角识别图形与构造图形1、当题目的基本背景是轴对称图形时（1）当背景图形是基本的轴对称图形时等腰三角形（包括等边三角形）、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等基本图形都是轴对称图形，有关这些图形的许多问题恰是由这种轴对称性衍生出来的。
这时，相应的对称性就正好昭示着问题的实质并暗示着解决的途径。
例1 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA，PD分别交线段BC于点E，F且PA=PD。
（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。
【观察与思考】注意到点P向AD所作的垂线，既是等腰梯形ABCD的对称轴，也是等腰三角形PAD的对称轴，即整个图形是该垂线为轴对称的。
因此，凡是是此直线（虽然没有明确地画出来）为对称的两个三角形，都必然是全等的。
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第三篇知识与思考策略结合运用的专题解析※掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律，将有效地提高数学的解题能力。
关节九探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。
一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”；“分类归纳型”；“递推归纳型”。
1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。
①②③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……① ②③0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n解:应选48-n .例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒.……【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 321=+ 6321=++ 104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++ 的个数: 165355=⨯ 解:应填165 .【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。
例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）…下面一层…上面一层...下面两层…上面一层…上面一层…下面三层…下面n层…上面一层10根A 、1321 B 、3601 C 、4951 D 、6601【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数； （2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，312161-=，如第7行中，, (42)13011051-= 依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为7217181=-；第10行左数第2 个数为90110191=-，第10行左数第3个数应为3601901721=-解：应选B 。
【说明】在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。
例4 探索n n ⨯的正方形钉子板上（n 是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数： 2=n 3=n 4=n 5=n当2=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S 表示不同长度值的线段种数。
则;2=S当3=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1五种，比2=n 时增加了3种，即532=+=S 。
（1）观察图形，填写下表：112121316131 411211214151201 3012015161301601601301617142110511401105142171钉子数)(n n ⨯ S 值22⨯ 2 33⨯ 2+344⨯ 2+3+（ ）55⨯（ ）（2）写出)1()1(-⨯-n n 和)(n n ⨯的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。
（3）对)(n n ⨯的钉子板，写出用n 表示S 的代数式。
【观察与思考】当4=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1。
（这些是3=n 时已有的），23,13,10,3（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）； 3=n 时比2=n 时多出3个种数；4=n 时比3=n 时多出4个种数;……)(n n ⨯时比)1()1(-⨯-n n 时多出n 个种数;-----(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.解:(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;(2) )(n n ⨯的钉子板比)1()1(-⨯-n n 的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n 种;(3)n S ++++=......432.【说明】归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.2、分类归纳型思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。
例5 观察下列等式：,221=422=，823=，1624=，3225=，6426=，, (12827)=通过观察，用你所发现的规律确定20082的个位数字是 。
【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：个位数字 2的乘方 2512,2…归纳概括为142+n （n 为自然数，下同）4 622,2…归纳概括为242+n 6...2,273归纳概括为342+n8...2,284归纳概括为442+n而2008250242⨯=，个位数字应为6。
解：20082个位数应为6。
例6 如图，已知),0,1(1A ),1,1(2A )1,1(3-A ，),1,1(4--A )1,2(5-A ，…，则点2007A 和点2008A 的坐标分别为 ； 。
【观察与思考】要求点的坐标，一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。
第一步，可以看出除了点1A 外，其他各点均在象限内。
按象限分类：所在象限 点n A一...,,1062A A A 归纳概括为24+n A （n 为自然数） 二 ...,,1173A A A 归纳概括为34+n A 三 ...,,1284A A A 归纳概括为n A 4 四,......,95A A 归纳概括为14+n A由,350142007+⨯=50242008⨯=，可知2007A 在第二象限，2008A 在第三象限。
第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的； （2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：点 41~A A 85~A A 129~A A … 归纳概括为 )1(414~++n n A A坐标的绝对值 12 3 … …1+n由,350142007+⨯=知其坐标的绝对值应为5021501=+； 由50242008⨯=，知其坐标的绝对值应为502；x将第一步和第二步结合，可得2007A 和2008A 的坐标。
解：2007A 的坐标为)502,502(-，2008A 的 坐标为)502,502(--。
【说明】由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、要重新分类（分类也是找共性），以便从中获得概括化的规律。
为了充分展开相应的思考过程，我们特别用列表法表示分类，而在实际解题中，具体的做法就可以简缩。
3、递推归纳型思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。
这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。
例7 下面是某种细胞分裂示意图， 这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，根据此项规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后分裂成 个细胞； （2）这样的一个细胞经过3个小时后可分 裂成 个细胞；（3））这样的一个细胞经过n （n 为正整数）小时后要分裂成 个细胞；【观察与思考】如果假设,由1个细胞开始,经过m 次分裂后细胞数记为m P ,且记10=P ,依题意有10=P ,,2201=⋅=P P 21222=⨯=P P ,32322=⋅=P P ,……m 次分裂后细胞数为m 2，所以本题的结果为：解：（1）;1624= （2）6426=； （3）n22【说明】本题当中21⋅=+m m p P ，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的2倍。
就是一种“递推”关系，2P 可由1P 求得，3P 可由2P ，等等。
不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条，整个问题便解决了。
例8 如图（1），在ABC Rt ∆中，2,1,90==︒=∠AC BC C ，把边长分别为321,,x x x ,……，n x 的n 个正方形依次放入ABC ∆中，请回答下列问题： （1）按要求填表：n 1 23n x………… …… …… AC（2）第n 个正方形的边长=n x ；【观察与思考】如图（1`），设0x BC =，则10=x ，——相当于搞清楚第一项；由11C AB Rt ∆∽ABC Rt ∆,得21111==AC BC AC C B ，而,111x C B =11x AC AC -=， ,21211=-∴x x 解得,321=x 即3201⋅=x x ； 完全类似地可得2123232⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=x x 。
——搞清楚了递推关系。
把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。
解：（1）依次应填94,32；278； （2）n⎪⎭⎫⎝⎛32（1`）例9 数字解密：第一个数是123+=，第二个数是235+=，第三个 是459+=，第四个数是8917+=,……按此规律观察并猜想第六个数是 。
【观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数=前一个数+（前一个数1-），如第二个数=第一个数+（第一个数1-），而第一个数是3，所以第二个数是523=+，……如此等等。
找到这个递推关系，很容易有第五个数331617=+=，第六个数653233=+=。
解：应填65。
【说明】在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视。
例10 将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。