中考高分的十八个关节关节用代数式表示变化规律WOR

第三篇知识与思考策略结合运用的专题解析

※掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律，将有效地提高数学的解题能力。

关节九

探究一：用代数式表示变化规律

用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：

它们是：

Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；

Ⅱ、以函数思想为指导的方法；

Ⅲ、以直接计算为指导的方法。

一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式

这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”；“分类归纳型”；“递推归纳型”。

1、一般归纳型

思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。

例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。

①

②③

【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：

……

① ②

③

0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n

解:应选48-n .

例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒.

……

【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:

(1) (2 (3) (4) (10)

涂色三角形 1 321=+ 6321=++ 104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++ 的个数: 165355=⨯ 解:应填165 .

【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。

例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（

）

…

下面一层

…

上面一层

...

下面两层

…

上面一层

…

上面一层

…

下面三层

…

下面

n

层

…

上面一层

10根

A 、

132

1 B 、

3601 C 、4951 D 、660

1

【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数； （2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，

3

1

2161-=，如第7行中，, (42)

13011051-= 依（1）和（2）可知：第9行左数第2个数为7217181=-；第10行左数第2 个数为90

1

10191=

-，第10行左数第3个数应为

360

1

901721=

-

解：应选B 。

【说明】在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。

例4 探索n n ⨯的正方形钉子板上（n 是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数： 2=n 3=n 4=n 5=n

当2=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S 表示不同长度值的线段种数。则;2=S

当3=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1五种，比2=n 时增加了3种，即532=+=S 。 （1）观察图形，填写下表：

1

1212

1

316

1

31 411211214151201 30120

1516130160160130

1

617142110511401105

14217

1

钉子数)(n n ⨯ S 值

22⨯ 2 33⨯ 2+3

44⨯ 2+3+（ ）

55⨯

（ ）

（2）写出)1()1(-⨯-n n 和)(n n ⨯的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。 （3）对)(n n ⨯的钉子板，写出用n 表示S 的代数式。

【观察与思考】当4=n 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1。（这些是3=n 时已有的），

23,13,10,3（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）； 3=n 时比2=n 时多出3个种数；4=n 时比3=n 时多出4个种数;……)(n n ⨯时比)1()1(-⨯-n n 时多出n 个种

数;-----(第二层归纳).

有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.

解:(1)两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5;

(2) )(n n ⨯的钉子板比)1()1(-⨯-n n 的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n 种;

(3)n S ++++=......432.

【说明】归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.

2、分类归纳型

思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。

例5 观察下列等式：,221

=422

=，823=，1624=，3225=，6426=，, (12827)

=通过观察，用你所

发现的规律确定2008

2

的个位数字是 。

【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：

个位数字 2的乘方 2

512,2…归纳概括为142+n （n 为自然数，下同）

4 622,2…归纳概括为242+n 6

...2,273归纳概括为342+n