《充分条件与必要条件》导学案

第2课时充分条件与必要条件

1.理解充分条件和必要条件的含义.

2.会判断两个条件间的充分必要关系.

3.能利用条件间的充分必要关系求参数的取值范围.

函数y=x cos x+sin x的图像大致为().

图像分析题是高考中比较常见的一种试题,做这类题的主要思想是排除法,从解析式结合图像我们很容易找到三个角度来排除,一是利用函数是奇函数可以排除B,二是利用x=时,y=1,可以排除C,三是利用x=π时,y=-π,可以排除A,所以答案选D.

问题1:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p 可推出q,记作,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.

根据上述情境,结合充分条件、必要条件的定义我们用充分和必要进行填空:

(1)“图像关于原点对称”是“该图像是函数y=x cos x+sin x的图像”的条件;

(2)“ y=f(x)的图像是y=x cos x+sin x的图像”是“f()>0”的条件;

(3)“ f(π)>0”是“y=f(x)的图像不是y=x cos x+sin x的图像”的条件.

问题2:p与q的推出情况和p与q的充分、必要性有何联系?

(1)若,则p是q的充分不必要条件;

(2)若,则p是q的必要不充分条件;

(3)若,则p是q的充要条件;

(4)若,则p是q的既不充分也不必要条件.

问题3:如何从集合的角度理解充分条件、必要条件和充要条件?

建立与p、q相应的集合,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}.

1.在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是().

2.在△ABC中,“sin A>”是“A>”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知q是等比数列{a n}的公比,则“q<1”是“数列{a n}是递减数列”的条件.

4.指出下列各题中,p是q的什么条件?

(1)p:∠A=∠B,q:∠A和∠B是对顶角.

(2)p:x=1,q:x2=1.

充分条件、必要条件、充要条件的判断

分析下面的各组命题中p是q的什么条件.(从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个)

(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B.

(2)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B.

根据充分条件、必要条件求参数的取值范围

已知p:A={x∈R|x2+ax+1≤0},q:B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.

充要条件的探求与证明

已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.

判断下列各题中p是q的什么条件.

(1)p:a>b,q:>.

(2)p:a>b,q:2a>2b-1.

(3)p:△ABC中,∠A≠60°,q:sin A≠.

已知命题p:1-c0),命题q:x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是.

求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

1.设集合A,B,则“A⊆B”是“A∩B=A成立”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知平面α,β,直线m⊂平面α,则“平面α∥平面β”是“直线m∥平面β”的().

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.设有如下三个命题:

甲:m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;

乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;

丙:平面α与平面β相交.

当甲成立时,乙是丙的条件.

4.判断下列各题中p是q的什么条件.

(1)p:a>0且b>0,q:ab>0.

(2)p:>1,q:x>y.

(2013年·安徽卷)“(2x-1)x=0”是“x=0”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件考题变式(我来改编):

第2课时充分条件与必要条件

知识体系梳理

问题1:p⇒q(1)必要(2)充分(3)充分

问题2:(1)p⇒q,且q⇒/p(2)p⇒/q,且q⇒p(3)p⇒q,且q⇒p(4)p⇒/q,且q⇒/p

问题3:充分条件充分不必要条件必要条件必要不充分条件充分条件必要条件充要条件

基础学习交流

1.B开关A闭合,灯泡B不一定亮,灯泡B亮,开关A一定闭合.

2.A∵在△ABC中,sin A>,则A∈(,),∴“sin A>”是“A>”的充分条件.∵在△ABC中,取A=,但不能推出sin A>,∴“sin A>”不是“A>”的必要条件.故选A.

3.必要不充分由数列{a n}是递减数列可得0

4.解:(1)∵p⇒/q且q⇒p,

∴p是q的必要不充分条件.

(2)∵q:x2=1⇔x=1或x=-1,

∴x=1⇒x2=1,但x2=1⇒/x=1,

∴p是q的充分不必要条件.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)在△ABC中,∠A=∠B⇒sin A=sin B,反之,若sin A=sin B,因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.

(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.

【小结】在判断p是q的什么条件时,准确理解和运用充分条件、必要条件、充要条件的定义是关键,而能综合、灵活地运用已学的知识是难点,故当知识点不能熟练运用时,就容易出现思维受阻的现象.

探究二:【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},

∵p是q的充分不必要条件,

∴p⇒q,即A⫋B,

可知A=⌀或方程x2+ax+1=0的两根要在区间[1,2]内,

∴Δ=a2-4<0或得-2≤a<2.

【小结】p是q的充分不必要条件,利用真子集关系求解.本题易错的地方是解不等式组,请认真体会原因.

探究三:【解析】(法一)设两根为x1,x2,则有

即解得k<-1,

∴所求充要条件为k<-1.

(法二)由题意,设两根为x1,x2,应有

即解得k<-1,

∴所求充要条件为k<-1.