5讲条件概率与乘法规则

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n个事件A1,A2,…,An的乘法公式为:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)……P(An|A1A2…An-1)
证明略。
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无论是两个事件的乘法公式还是 多个事件的乘法公式都是非常重要 的。
通常, P(A|B) 好算, P(AB)往往不 好算.
可以看出P(B | A) P(AB) , P(A | B) P(AB)
P( A)
P(B)
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10Βιβλιοθήκη 因此, 在概率论中把某一事件B在给定 另一事件A(P(A)>0)下的条件概率 P(B|A)定义为乘法法则
P(B | A) P( AB) P( A)
P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)>0) P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)>0)
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古典概型的方法：
n P130, m 4P92 ,
则 P( A)
m n
4P92 P130
498 10 98
4 10
用这种思路可以知道P(B)和P(C)也都是4/10
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事实上, 即使这十张难签由10个人去抽, 因为其中有4张难签, 因此每个人抽到难签 的概率都是4/10, 与他抽的次序无关.
P( AB) P( A)P(B | A) 0.3 0.8 0.24
P( A B ) P( A)P(B | A) 0.3 0.2 0.06
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例5 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放 回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求甲抽到难签, 甲,乙都抽 到难签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲,乙,丙 都抽到难签的概率. 解 设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签
试验: 从100个产品中任意抽取一个
假设: A,B为抽到的是一,二等品, C为抽到 的是合格品, 则C=A+B
则一等品率为P(A)=60/100, 二等品率为 P(B)=30/100. 合格率为P(C)=90/100
如果改变试验为: 从合格品中任抽一件, 则 合格品中的一等品率为P(A|C)=60/90.
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例2 丢一颗均匀的骰子，B： “奇数点” ，
A：“点数大于1”，则
P(B)=3/6, P(A)=5/6
若将这颗骰子丢下后，告诉你一个“点 数大于1”的信息，再考虑“是奇数点”的 概率，即“已知A(点数大于1)发生的条件 下，求B(奇数点)的概率”，这就是条件概 率，记为：P(B|A)。
概率论与数理统计
第五讲
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条件概率 乘法法则
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条件概率是概率论中一个重要 而实用的概念，通俗的讲，条件概 率是事件A发生的条件下，事件B 发生的概率。
先来看两个例子。
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例1 100个产品中有60个一等品, 30个二等 品, 10个废品. 规定一,二等品都是合格品.
解 依题意
P(A) 70% P(A) 30%
P(B | A) 95%
P(B | A) 80%
P(B | A) 5% P(B | A) 20%
注: 在解题过程中常见的错误是将条件概
率写成无条件概率!
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例4 全年级100名学生中, 有男生(以事件A表 示)80人, 女生20人, 来自北京的(以事件B表示)有 20人, 其中男生12人,女生8人,免修英语的(用事件 C表示)40人中有32名男生,8名女生,求P(A)，
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一、条件概率
1定义 在事件A已经发生的条件下, 事件B 发生的概率, 称为事件B在给定A下的条件 概率, 简称为B对A的条件概率, 记作P(B|A)
P(B | A) P( AB) P( A)
相应地, 把P(A)称为无条件概率. 这里, 只研究作为条件的事件A具有正概率 即P(A)>0的情况.
P( A) m 4 n 10
P( AB) P( A)P(B | A) 4 3 12 10 9 90
P( A B) P( A)P(B | A) 6 4 24 10 9 90
P( ABC ) P( A)P(B | A)P(C | AB)
4 3 2 24 10 9 8 720
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再回到例3 市场上供应的灯泡中, 甲厂产品(A)占 70%, 乙厂(A)占30%, 甲厂产品合格率是95%, 乙厂合格率是80%, B表示产品为合格品。
解 依题意
P( A) 70% P( A) 30%
P(B | A) 95%
P(B | A) 80%
P(B | A) 5% P(B | A) 20% 则P( AB) P( A)P(B | A) 0.7 0.95 0.665
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条件概率:样本空间的压缩或者可以认为是 基本事件的减少而导致的试验.
以事件B为条件的条件概率, 意味着在试验 中将B提升为必然事件.
S
S
B B
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例3 市场上供应的灯泡中, 甲厂的产品占70%, 乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%, 乙厂的 合格率是80%, 若用事件A,A分别表示甲乙两厂 的产品, B表示产品为合格品, 试写出有关事件 的概率和条件概率。
P(B)， P(B|A)， P(A|B)，P(AB)， P(C) ，P(C|A)
解：P(A)=80/100=0.8 P(B)=20/100=0.2
P(B|A)=12/80=0.15
P(A|B)=12/20=0.6
P(AB)=12/100=0.12 P(C)=40/100=0.4
P(C | A) 32 / 80 P(AC) 32 /100 0.32
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条件概率，一理解；二计算
例2：丢一颗均匀的骰子，B :“奇数点” ， A :“点数大于1”。
方法1：由定义来计算
AB={奇数点且大于1}={3,5},P(AB)=2/6,则
P(B | A) P( AB) 2 / 6
方法2：“改变样本空间”法
P( A) 5 / 6
将这颗骰子丢下后，样本空间是S={1,2,3,4,5,6}， 准备在S的基础上计算“奇数点”的概率，当得 到一个信息A:“点数大于1”,则转而在新样本空间 A={2,3,4,5,6}的基础上计算，在A的5个元素中， 有2个奇数，于是P(B|A) =2/5.