人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式3.4基本不等式同步测试

人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.若x>0,y>0，且，则xy有（）A. 最小值64B. 最大值64C. 最小值D. 最大值2.设a>0,b>0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 4D.3.若，且则的最小值为（）A. 2B.C.D.4.函数f(x)=2x+ (x>0)有（）A. 最大值8B. 最小值8C. 最大值4D. 最小值45.不等式的解集是( )A. B. C. {x|x＞2或x≤} D. {x|x＜2}6.设x＞0，y＞0，，则的最小值是（）A. B. C. D.7.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.若，则对说法正确的是( )A. 有最大值B. 有最小值C. 无最大值和最小值D. 无法确定9.若正实数a,b满足a+b=1，则+的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 910.设x ，y为正数，则（x+y）（+ ）的最小值为（）A. 6B. 9C. 12D. 1511.下列各式中，最小值等于２的是（）A. B. C. D.12.设x，y∈R，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（）A. 9B. 25C. 162D. 5013.若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A. 2B. 3C. 4D. 514.若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.15.设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A. a3+b3＞a2b+ab2B.C. D.二、填空题（共5题；共5分）16.已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值是________．17.已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为________18.若2a=5b=10，则=________19.（2015重庆）设,则的最大值为________ .20.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则+ 的最小值是________．三、解答题（共5题；共25分）21.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？22.建造一个容积为240m3，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2，池底的造价为350元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？23.若正数x，y满足x+3y=5xy，求：（1）3x+4y的最小值；（2）求xy的最小值．24.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t．（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；（Ⅱ）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值．25.设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】基本不等式【解析】【分析】和定积最大，直接运用均值不等式2/x+8/y=1≥2=8，就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件。

【解答】因为x＞0，y＞0,所以2/x+8/y=1≥2=8，所以xy≥64当且仅当x=4，y=16时取等号，故选A。

【点评】本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小。

2.【答案】B【考点】对数的运算性质，基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的性质【解析】【解答】因为和的等差中项是，所以，所以，当且仅当时取等号.【分析】应用基本不等式求最值时，一定要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.3.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵，∴选C4.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】因为均值不等式中，两个数的几何平均数小于等于两个正数的算术平均数，因此得到f(x)=2x+ (x>0)当且仅当时取得等号，故选B.【分析】解决该试题的函数最值，可以运用函数的单调性，也可以运用均值不等式来得到，属于基础题。

5.【答案】B【考点】其他不等式的解法【解析】【分析】由，得，即，所以且，解得.选B。

6.【答案】C【考点】基本不等式【解析】【解答】因为x＞0，y＞0，所以，解不等式可得的最小值是2－2.7.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】根据题意，由于当且仅当x=时等号成立，故可知答案为C.8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】根据题意，由于，说明x,y同号，则可知,利用基本不等式可知，当x=y时等号成立，故答案为B.【分析】主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。

9.【答案】D【考点】基本不等式【解析】【解答】由，得，当且公当，即，时，取等号.所以正确答案是D.10.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】解答：x ，y为正数，（x+y）（）≥ ≥1+4+2 =9当且仅当时取得“=”∴最小值为9故选项为B．分析：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值11.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】对于A，可正可负，所以当时，，当时，，所以没有最小值；对于B，设，则，所以由在单调递增可知，时取得最小值；对于C，与选项A类似，，所以或，所以没有最小值；对于D，，当且仅当即时取得等号；综上可知，D选项正确.12.【答案】D【考点】基本不等式【解析】【解答】解: ∵5x＞0，5y＞0，又x+y=4，∴5x+5y≥故选D．【分析】根据题意可得5x＞0，5y＞0，利用基本不等式5x+5y≥2即可．13.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2+当且仅当即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．【分析】将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．14.【答案】D【考点】基本不等式【解析】【解答】∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴ab故A不成立；，故B不成立；，故C不成立；∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，∴故D成立．故选D．【分析】由题设知ab≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．15.【答案】C【考点】基本不等式【解析】【解答】解：A．∵a、b是互不相等的正数，∴a3+b3﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）＞0，∴a3+b3＞a2b+ab2恒成立；B．∵a是正数，∴≥2，∴﹣= ﹣＞0，因此恒成立；C．取a=2，b=1，则|a﹣b|+ =1﹣1=0，因此不成立；D. = ，= ，∵＜，∴＜，恒成立．故选：C．【分析】A．由于a、b是互不相等的正数，作差a3+b3﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）＞0，即可判断出正误；B．由a是正数，可得≥2，可得﹣= ﹣＞0，即可判断出正误；C．取a=2，b=1，则|a﹣b|+ =1﹣1=0，即可判断出结论；D. = ，= ，而＜，即可判断出正误．二、填空题16.【答案】8【考点】基本不等式【解析】【解答】解：x+2y=（x+2y）（）=2+ + +2≥4+2 =8，当且仅当= 时，等号成立，故x+2y的最小值为8，故答案为：8．【分析】根据x+2y=（x+2y）（）=2+ + +2，利用基本不等式求得它的最小值．17.【答案】16【考点】基本不等式【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，且+=1，∴x+y=（x+y），当且仅当y=3x=12时取等号．故答案为：16．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．18.【答案】2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：∵2a=5b=10，∴a=log210，b=log510，∴=lg2，=lg5，∴=2（lg2+lg5）=2，故答案为：2．【分析】由已知可得：a=log210，b=log510，根据换底公式的推论，可得=lg2，=lg5，结合对数的运算性质，可得答案．19.【答案】3【考点】基本不等式【解析】【解答】由两边同时加上得两边同时开方即得：(且当且仅当时取“=”成立）,故填.【分析】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为(且当且仅当时取“=”）再利用此不等式来求解。

本体属于中档题，注意等号成立的条件。

20.【答案】5+2【考点】对数的运算性质，基本不等式【解析】【解答】解：∵a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，∴a+b=1，∴+ =（+ ）（a+b）=5+ + ≥5+2 =5+2当且仅当= 时取等号，结合a+b=1可解得a= ﹣2且b=3﹣．故答案为：5+2【分析】由题意可得a+b=1，整体代入可得+ =（+ ）（a+b）=5+ + ，由基本不等式可得．三、解答题21.【答案】解：设矩形的长和宽分别为x，y，x＞0，y＞0，∴2（x+y）=36，∴x+y=18，∵x＞0，y＞0，∴矩形的面积，当且仅当x=y=9时取“=”，∴当长和宽都为9m时，面积最大为81m2．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】设长和宽分别为x，y，根据题意得到x+y=18，面积S=xy，利用基本不等式即可求解．22.【答案】解：设水池的长为xm，由已知得池底的面积为（m2），∴水池的宽为（m），依题意得：0；化简得x+=14；解得x=8或x=6（舍去）；答：当水池的长与宽分别为8m和6m时，水池的总造价为42000元【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】可设水池的长为xm，从而可以求出水池的底面积为48（m2），水池的宽为（m），这样根据题意即可建立关于x的方程，解方程便可得出使得水池总造价为42000元时的水池的长和宽．23.【答案】解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴y=＞0，解得．∴3x+4y=3x+=f（x），f′（x）=3+=，∴当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当1＞x＞时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．∴3x+4y的最小值为1．（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴5xy≥2，解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．∴xy的最小值为．【考点】基本不等式【解析】【分析】（1）法一：由正数x，y满足x+3y=5xy，可得y=＞0，解得.3x+4y=3x+=f （x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．24.【答案】解：（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°﹣θ，DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，∴PQ===，∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2，是定值（Ⅱ）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×，=1﹣t﹣•=1﹣t﹣（﹣1+），=1+﹣﹣，=2﹣（+），由于1+t＞0，则S=2﹣（+）≤2﹣2=2﹣，当且仅当=，即t=﹣1时等号成立，故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2﹣平方百米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°﹣θ，分别求出CP，CQ，PQ即可得到求出周长l=2，问题得以解决；（Ⅱ）根据S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣（+），根据基本不等式的性质即可求出S的最大值．25.【答案】解：（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，故|x+1|≤3，故﹣4≤x≤2，故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，即|x﹣a|≥﹣5x，即（x﹣a）2≥25x2，即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，即（4x+a）（6x﹣a）≤0，当a=0时，解4x×6x≤0得x=0，不成立；当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，﹣≤x≤，故只需使﹣≤﹣1，解得，a≥4；当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，≤x≤﹣，故只需使≤﹣1，解得，a≤﹣6；综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．【考点】其他不等式的解法【解析】【分析】（1）当a=﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，从而解得；（2）当x≥0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0恒成立，从而转化为故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）=|x﹣a|+5x≥0，从而化简可得（4x+a）（6x﹣a）≤0，从而分类讨论解得．11 / 11。