2020-2021学年人教版高中数学必修4平面向量知识点复习课件
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高中数学必修四人教版2.3.1平面向量基本定理10ppt课件
1．平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个_不 __共 __线 ___向量，那么对于 这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1 ＋λ2e2，其中不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组_基 __底 ____．
[破疑点](1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯 一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而 零向量的分解式是唯一的，即 0＝λ1e1＋λ2e2，且 λ1＝λ2＝0.
与
→ CA
的夹角，
→ AC
与
→ CB
的起点不同，
则∠ACB不是夹角．
[思路分析]
当且仅当a与b的起点相同，且a＝
→ OA
，b＝
O→B时，∠AOB才是向量a与b的夹角．
谢谢观看！
[正解]
如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则
→ AC
＝
C→D，∠BCD是A→C与C→B的夹角，
由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°， 则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.
试指出图中向量的夹角． [解析] ①∠AOB＝θ为两向量O→A与O→B的夹角； ②O→A与O→B的夹角为0°，两向量同向； ③O→A与O→B的夹角为180°，两向量反向； ④两向量O→A与A→B的夹角为θ.
名师辨误作答
1.忽略两个向量作为基底的条件
已知 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则 a 与 b 共线的条
[答案] A
新课引入
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌 曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们 不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有 7 个基本音符：
必修四_平面向量知识点梳理58页PPT
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：2-3-1 平面向量基本定理
∵a 与 b 不共线，∴131211－ －mn＝＝mn， ， ∴O→P＝15a＋25b.
∴n＝15.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两 种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至 用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的 唯一性求解.
[变式训练 2] 如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝ 2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用 a， b 表示D→C，E→F，F→C.
解析：①中，设 e1＋e2＝λe1，则λ1＝＝10，， 无解．所以 e1＋e2 与 e1 不共线，故 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底；
同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底； ③中的两个向量共线，不可作为一组基底．
类型二 用基底表示向量 [例 2] 如图所示，在△OAB 中，O→A＝a，O→B＝b，M、N
分别是边 OA、OB 上的点，且O→M＝13a，O→N＝12b，设A→N与B→M交 于点 P，用向量 a、b 表示O→P.
[分析] 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定 λ1， λ2.
[解] ∵O→P＝O→M＋M→P，O→P＝O→N＋N→P， 设M→P＝mM→B，N→P＝nN→A， 则O→P＝O→M＋mM→B＝13a＋m(b－13a)＝13(1－m)a＋mb， O→P＝O→N＋nN→A＝12(1－n)b＋na.
[解析] (1)在 B 中，因为 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， 所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以 3e1－4e2 和 6e1－8e2 不能 作为基底，其它三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作 为一组基底．
(2)因为 a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②， 显然 a 与 b 不共线，①＋②得 a＋b＝3e2， 所以 e2＝a＋3 b代入②得 e1＝e2－b＝a＋3 b－b＝13a－23b， 故有 e1＋e2＝13a－23b＋13a＋13b＝23a－13b.
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
专题一 向量的综合运算
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
人教A版高中数学必修4课件：第二章《平面向量》复习课(共23张PPT)
uur a0 (
2, 2
2) 2
ur b0
(
4
41 41
,
5
41 ) 41
题型二：利用向量知识证明
例27.（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
r
r
证则明rar：arr2 设bra1r2aa1ra2b21,(bar a212,abb2122r,),
b
rb22
(b1,
b2
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
3)坐标表示 a xi y j (x, y)
r uuur a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
r
在正八r边形A1Ar2Ar3……A8中，设A1A2= a ，
A1A8u=uubu，r 试uu用uuuar
，b表示：
uuuuur uuuur
uuuuur
uuuur
A2 A3, A2 A4, A4 A5, A5 A6, A6 A7 , A7 A8
A6 A7
A5 A4
A8
A3
b
A1 a A2
uuuur r r A2 A3 2a b
|a|
可正可负可为零
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
(完整版)数学必修4-第二章-平面向量知识点,推荐文档
形法则”
① 三量角b 的形终法点则指：向当被a,减b 有向共量同a起的点终时点，的向a 量b 表。示为从减向
② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图
所示的对角线。设
AB
a,
AC
b
则
a
-
b
=
AB
AC
CB
.
3.实数与向量的积
（1）
定义：实数
λ
与向量
a
的积是一个向量，记作
4.平面向量的坐标运算：
①若
a
( x1 ,
y1
),
b
( x2
,
y2
)
，则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
；
②若
Ax1 ,
y1
,
Bx2
,
y2
，则
AB
x2
x1,
y2
y1
；
③若
a
=(x,y)，则
a
=(
x,
y)；
④若
a
( x1 ,
y1 ), b
(x2 ,
y2
)
，则
a
//
b
x1 y2
x2
y1
1.平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
λ1，λ2
使
a
=λ1
e1
+λ2
e2
.
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件
(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
高中数学人教A版必修4 平面向量专题复习PPT全文课件
途径二：“形”“数”相守 找坐标
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y A
B (O) C 2
x
图13
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练习1、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1
AD=2，
APABAD
动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
（五）等与不等寻定值
极化恒等式
2
2
4a b a b a b
绝对值三角不等式
因对任意实数 m,n，恒有 m n m n 成立
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（五）等与不等寻定值
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（五）等与不等寻定值
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数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休．
(2013 年浙江省数学竞赛)已知直线 AB 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点, M 为 AB的
中点, C 为抛物线上一个动点,若C0 满足 C0AC0B min CACB ,则下列一定成立的是
()
A. C0M AB C. C0 A C0B
纵观近五年的高考试题，平面向量的考查主要体现在2 个方面：
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：2-1 平面向量的实际背景及基本概念
解析：(1)错误，单位向量也可能平行； (2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合； (3)正确，a 与 b 只要有零向量，那么 a 与 b 都称为共线向量．
类型二 向量的几何表示
[例 2] 一辆汽车从 A 出发向西行驶了 100 km 到达 B 点， 然后改变方向向西偏北 50°走了 200 km 到达 C 点，又改变方向， 向东行驶了 100 km 到达 D 点．
1．下列命题正确的是( C ) A．向量A→B与B→A是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行
2．下面几个命题：
(1)若 a＝b，则|a|＝|b|.
(2)若|a|＝0，则 a＝0.
(3)若|a|＝|b|，则 a＝b.
(4)若向量 a，b 满足|aa∥|＝b|，b|， 则 a＝b.
2．向量的长度表示：向量A→B的长度记作：
→ |AB|
；向量 a
的长度记作： |a| .
3．特殊向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0，长度等于 1 个单位 的
向量，叫做单位向量．
[答一答] 3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定 相同．
[典例] 如图所示，已知在四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点，且A→B＝D→C，求证：四边形 AMCN 是平行四边 形．
[证明] ∵A→B＝D→C， ∴|A→B|＝|D→C|，且A→B∥D→C， ∴四边形 ABCD 为平行四边形． ∴A→D＝B→C. ∵M，N 分别是 BC，AD 的中点， ∴|A→N|＝12|A→D|，|M→C|＝12|B→C|， ∴|A→N|＝|M→C|. 又∵A→N∥M→C. ∴四边形 AMCN 是平行四边形．
类型二 向量的几何表示
[例 2] 一辆汽车从 A 出发向西行驶了 100 km 到达 B 点， 然后改变方向向西偏北 50°走了 200 km 到达 C 点，又改变方向， 向东行驶了 100 km 到达 D 点．
1．下列命题正确的是( C ) A．向量A→B与B→A是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行
2．下面几个命题：
(1)若 a＝b，则|a|＝|b|.
(2)若|a|＝0，则 a＝0.
(3)若|a|＝|b|，则 a＝b.
(4)若向量 a，b 满足|aa∥|＝b|，b|， 则 a＝b.
2．向量的长度表示：向量A→B的长度记作：
→ |AB|
；向量 a
的长度记作： |a| .
3．特殊向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0，长度等于 1 个单位 的
向量，叫做单位向量．
[答一答] 3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？
提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定 相同．
[典例] 如图所示，已知在四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点，且A→B＝D→C，求证：四边形 AMCN 是平行四边 形．
[证明] ∵A→B＝D→C， ∴|A→B|＝|D→C|，且A→B∥D→C， ∴四边形 ABCD 为平行四边形． ∴A→D＝B→C. ∵M，N 分别是 BC，AD 的中点， ∴|A→N|＝12|A→D|，|M→C|＝12|B→C|， ∴|A→N|＝|M→C|. 又∵A→N∥M→C. ∴四边形 AMCN 是平行四边形．
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一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示
向量的模
零向量
向 单位向量
量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
二、向量的运算
几
何
方
向法
量
的
运 算
法坐
标
方
加法 减法 实数与向量的积
加法 减法 实数与向量的积 平面向量数量积
几何方法：
B OC OA OB
A
B
C
OA
OB OA AB O A
O
B
BA OA OB
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
ab
4、向量垂直充要条件：a b 0
坐标表示：x1x2+y1y2=0
5、向量共线（平行）充要条件：b a
坐标表示：x1y2-x2y1=0
注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线） 垂直或平行的重要方法之一。
例4 已知 a =（1，2），b=（-3，2），当k为何
B
a
b
a( 0) a( 0)
a
O MA
实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。 a b | a | | b | cos
| OM | | OA |
坐标方法
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2 , y1 y2 )
（2）当 k a b与 a 3b平行时，存在唯一实数λ，
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
a 2b c，求 ，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
5
∴ λ= ，μ=-12
2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。
于这两个向量相应 坐标的和与差。
a （x1
,
y1）
说明：实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
a
b
(
x1x2
,
y1
y2
)
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
向量运算律
1、实数与向量的积运算律
（1）（a） ()a
（2）（ ）a a a （3）（a b） a b
1
SABC 2 bc sin A 2 ca sin B 2 absin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
六、余弦定理及其变形公式
2、平面向量数量积的运算律
思考：你能将此 运算律用坐标表 示出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
例1 判断下列命题及其逆命题的真假：
1、若| a|= | b| ，则 a与 b是共线向量； 2、若 a∥ b ，则 a在 b方向上的投影是 a；
2、平面向量基本定理
如果 e1, e2是同一个平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面的任一个向量 a，有且只有一对实
数 1, 2 ，使
a 1e1 2 e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
坐标表示： a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例6 （1）函数 y log 2 (x 2) 3的图象经过 怎样的平移，可以得到函数 y log 2 x的图象？
（2）函数 y cos(
平移，可以得到函数
x )
y 3cos
2的图象经过怎样的 x的图象？
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
1
1
a2 b2 c2 2bc sin A b2 c2 a2 2ca sin B 变形 c2 a2 b2 2ab sin C
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
中点公式
x
x1
x2 2
y
y1 2
y2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使 P1P 2 PP2 ，求点P 的坐标。
3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1； 4、若 a 0，则 0且 a 0
例2 判断下列运算律的正误
1、a 0, a b 0 b 0
2、a b b c,b 0 a c
3、(a b) c a (b c)
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, ，) 若
值时，
（1） k a b与 a 3b垂直； （2） k a b与 a 3b平行？平行时它们是同向还
是反向？
解：由已知 k a b=（k-3，2k+2），a 3b=（10，-4） （1）当 (k a b) (a 3b) 0时，这两个向量垂直。
由（k-3）×10+（2k+2）×（-4）=0，得：k=19
有向线段
向量的几何表示
向量的模
零向量
向 单位向量
量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
二、向量的运算
几
何
方
向法
量
的
运 算
法坐
标
方
加法 减法 实数与向量的积
加法 减法 实数与向量的积 平面向量数量积
几何方法：
B OC OA OB
A
B
C
OA
OB OA AB O A
O
B
BA OA OB
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
ab
4、向量垂直充要条件：a b 0
坐标表示：x1x2+y1y2=0
5、向量共线（平行）充要条件：b a
坐标表示：x1y2-x2y1=0
注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线） 垂直或平行的重要方法之一。
例4 已知 a =（1，2），b=（-3，2），当k为何
B
a
b
a( 0) a( 0)
a
O MA
实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。 a b | a | | b | cos
| OM | | OA |
坐标方法
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2 , y1 y2 )
（2）当 k a b与 a 3b平行时，存在唯一实数λ，
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
a 2b c，求 ，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
5
∴ λ= ，μ=-12
2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。
于这两个向量相应 坐标的和与差。
a （x1
,
y1）
说明：实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
a
b
(
x1x2
,
y1
y2
)
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
向量运算律
1、实数与向量的积运算律
（1）（a） ()a
（2）（ ）a a a （3）（a b） a b
1
SABC 2 bc sin A 2 ca sin B 2 absin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
六、余弦定理及其变形公式
2、平面向量数量积的运算律
思考：你能将此 运算律用坐标表 示出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
例1 判断下列命题及其逆命题的真假：
1、若| a|= | b| ，则 a与 b是共线向量； 2、若 a∥ b ，则 a在 b方向上的投影是 a；
2、平面向量基本定理
如果 e1, e2是同一个平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面的任一个向量 a，有且只有一对实
数 1, 2 ，使
a 1e1 2 e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
坐标表示： a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
例6 （1）函数 y log 2 (x 2) 3的图象经过 怎样的平移，可以得到函数 y log 2 x的图象？
（2）函数 y cos(
平移，可以得到函数
x )
y 3cos
2的图象经过怎样的 x的图象？
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
1
1
a2 b2 c2 2bc sin A b2 c2 a2 2ca sin B 变形 c2 a2 b2 2ab sin C
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cosB
2ca cosC a2 b2 c2
2ab
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
中点公式
x
x1
x2 2
y
y1 2
y2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使 P1P 2 PP2 ，求点P 的坐标。
3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1； 4、若 a 0，则 0且 a 0
例2 判断下列运算律的正误
1、a 0, a b 0 b 0
2、a b b c,b 0 a c
3、(a b) c a (b c)
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, ，) 若
值时，
（1） k a b与 a 3b垂直； （2） k a b与 a 3b平行？平行时它们是同向还
是反向？
解：由已知 k a b=（k-3，2k+2），a 3b=（10，-4） （1）当 (k a b) (a 3b) 0时，这两个向量垂直。
由（k-3）×10+（2k+2）×（-4）=0，得：k=19