整式与因式分解教师版
苏教版七年级下期末复习三因式分解
苏教版数学七年级下期中复习三---整式乘法与因式分解一、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd4、乘法公式：a)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a -b)2=a2-2ab+b2b)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b25、因式分解：i.把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
ii.多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
（3）因式分解的方法：①提公因式法；②运用公式法。
6、因式分解的应用：（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，a称为多项式各项的公因式。
（3）用提公因式法时的注意点：①公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：4a2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；②当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m3+8m2-12m= -2．m(m2-4m+6)；③提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
（4）运用公式法的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（5）因式分解的步骤和要求：把一个多项式分解因式时，应先提公因式．．．，注意公因式要提尽．．，然后再应用公式，如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。
初中整式与因式分解教案
初中整式与因式分解教案教学目标：1. 知识与技能：- 学生能够理解整式的概念，掌握整式的加减乘除运算。
- 学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法和技巧。
2. 过程与方法：- 学生能够通过观察、分析和推理，探索整式运算的规律和性质。
- 学生能够运用因式分解的方法，将多项式分解为几个整式的乘积形式。
3. 情感态度价值观：- 学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，体验到数学的乐趣。
- 学生能够通过解决实际问题，感受到数学与生活的紧密联系。
教学内容：1. 整式的概念和运算：- 学生首先需要了解整式的定义，包括单项式和多项式。
- 学生需要掌握整式的加减乘除运算规则，例如同类项的合并、系数的乘除等。
2. 因式分解的概念和方法：- 学生需要了解因式分解的定义，即将一个多项式分解为几个整式的乘积形式。
- 学生需要学习不同的因式分解方法，如提公因式法、十字相乘法、平方差法等。
教学过程：1. 导入：- 教师可以通过实际生活中的例子，如购物问题，引出整式和因式分解的概念。
- 教师可以提问学生是否曾经遇到过类似的问题，让学生思考和参与进来。
2. 整式的概念和运算：- 教师可以通过示例和练习，引导学生理解和掌握整式的概念和运算规则。
- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对整式的理解。
3. 因式分解的概念和方法：- 教师可以通过讲解和示例，引导学生理解和掌握因式分解的概念和方法。
- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对因式分解的理解。
4. 应用和拓展：- 教师可以提供一些实际问题或综合题目，让学生运用整式和因式分解的知识进行解决。
- 教师可以引导学生思考和探索更高级的因式分解方法，如差平方、完全平方等。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的情况，对整式和因式分解的理解和应用能力。
3. 学生互评和自我评价：鼓励学生进行互评和自我评价，反思自己的学习过程和进步。
第02课时 整式及因式分解 23年中考一轮复习数学苏教版
11.[2022·沭阳县一模]已知长方形的周长为12,面积为8.若长方形
的长为a,宽为b,则a2b+ab2=
48
.
[解析] ∵长方形的周长为12,面积为8,∴2(a+b)=12,ab=8.
∴a+b=6,ab=8.∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×8=48.
考向五
乘法公式的几何背景
例 9 如图2-1,根据图形计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪
∴第9行最后一个数为90.
∴第10行第5个数是90+2×5=100.
图2-3
通性通法
(1)若一列正整数1,2,3,4,5,…,n(n≥1,且n为整数),则这n个数的和为
(+)
;
(2)若一列数:1,3,5,7,9,…,2n-1(n≥1,且n为整数),则这n个数的和为
n2
;
(3)若一列数:2,4,6,8,10,…,2n(n≥1,且n为整数),则这n个数的和为
[解析] ∵m+2n=1,
∴3m2+6mn+6n=3m(m+2n)+6n=3m×1+6n
=3m+6n=3(m+2n)=3×1=3.
3
.
考向精练
10.[2018·菏泽]若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为
-12
.
[解析] ∵a+b=2,ab=-3,
∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×4=-12.
∴(a+b)(a-b)=a2-b2.
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。
因式分解教案模板(10篇)
因式分解教案模板（10篇）因式分解教案 1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1)._2-4y2=(_+2y)(_-2y)因式分解(2).2_(_-3y)=2_2-6_y整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)._2+4_+4=(_+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点：(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6_2+6_y+3_=-3_(2_-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。
现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。
下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案一、教学目标：1. 理解整式乘法的基本概念和方法，能够熟练进行整式的乘法运算。
2. 掌握因式分解的基本原理和方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。
3. 能够应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
二、教学内容：1. 整式乘法的基本概念和方法。
2. 整式乘法的运算规则。
3. 因式分解的基本原理和方法。
4. 因式分解的运算规则。
5. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 整式乘法的运算规则。
2. 因式分解的方法和技巧。
3. 应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解整式乘法与因式分解的基本概念和方法。
2. 采用示范法，示范整式乘法与因式分解的运算过程。
3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。
4. 采用问题解决法，引导学生应用整式的乘法与因式分解解决实际问题。
五、教学准备：1. 教案、教材、PPT等教学资源。
2. 练习题、测试题等教学资料。
3. 教学黑板、粉笔等教学工具。
4. 投影仪、电脑等教学设备。
六、教学进程：1. 导入：通过复习整式的加减法，引出整式乘法的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解整式乘法的基本概念和方法，重点讲解运算规则。
3. 示范：示范整式乘法的运算过程，让学生理解并掌握运算规则。
4. 练习：布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调整式乘法的重要性。
七、作业布置：1. 完成练习题，巩固整式乘法的运算规则。
2. 预习下一节课的内容，为学习因式分解做准备。
八、课堂反馈：1. 课堂提问：通过提问了解学生对整式乘法的掌握情况。
2. 练习批改：及时批改学生的练习题，指出错误并给予讲解。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，调整教学方法。
九、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的优缺点。
2. 根据学生的反馈，调整教学策略，提高教学质量。
整式的乘法与因式分解教案
整式的乘法与因式分解教案一、整式的乘法1.1 基本概念整式是由常数和变量按照一定的规律组成的代数式，例如3x2+2xy−5就是一个整式。
整式的乘法就是将两个或多个整式相乘的运算。
1.2 乘法法则整式的乘法法则有以下几种：1.2.1 乘法分配律对于任意的整数a,b,c，有a(b+c)=ab+ac。
例如：2(x+3)=2x+6。
1.2.2 乘法结合律对于任意的整数a,b,c，有(ab)c=a(bc)。
例如：(2x)(3y)=(2⋅3)(x⋅y)=6xy。
1.2.3 乘法交换律对于任意的整数a,b，有ab=ba。
例如：2x⋅3y=3y⋅2x。
1.3 例题解析例题1将(2x+3)(x−4)相乘。
解：按照乘法分配律展开，得到：(2x+3)(x−4)=2x⋅x+2x⋅(−4)+3⋅x+3⋅(−4)=2x2−5x−12例题2将(3x2−2xy+5)(x+2y)相乘。
解：按照乘法分配律展开，得到：(3x2−2xy+5)(x+2y)=3x2⋅x+3x2⋅(2y)−2xy⋅x−2xy⋅(2y)+5⋅x+5⋅(2y)=3x3+4xy2+5x−4y2x+10y二、整式的因式分解2.1 基本概念整式的因式分解就是将一个整式分解成若干个整式的乘积的形式，例如6x2+9x可以分解成3x(2x+3)的形式。
2.2 因式分解法则整式的因式分解法则有以下几种：2.2.1 公因式法如果一个整式的每一项都有一个公因式，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个公因式和一个新的整式，再对新的整式进行因式分解。
例如：6x2+9x可以提取出3x，得到3x(2x+3)。
2.2.2 分组分解法如果一个整式中有两个或多个项可以分成一组，那么可以将这些项分成一组，然后将每组的公因式提取出来，得到一个公因式和一个新的整式，再对新的整式进行因式分解。
例如：3x2+5xy+2y2可以分成(3x2+3xy)+(2xy+2y2)，然后提取出公因式得到3x(x+y)+2y(x+y)，再将公因式(x+y)提取出来，得到(x+y)(3x+2y)。
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。
1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。
1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。
1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。
第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。
(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。
2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。
2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。
3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。
3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。
采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。
4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(教师版)
A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（B）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（B）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（C）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3-b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是等边三角形三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。
整式的乘法与因式分解教案
整式的乘法与因式分解教案教案主题：整式的乘法与因式分解一、教学目标：1. 了解整式的乘法与因式分解的定义和性质；2. 掌握整式的乘法与因式分解的基本方法；3. 能够灵活运用整式的乘法与因式分解求解实际问题。
二、教学重点与难点：1. 整式的乘法的性质与运算方法；2. 整式的因式分解的基本步骤与方法。
三、教学过程：1. 导入新课：通过简单的代数表达式相加、相减等练习，引导学生思考整式的性质和运算法则。
2. 整式的乘法：a. 讲解整式的乘法的定义和性质，包括同底数相乘、同指数相乘、不同底数相乘、几个常见特殊情况的乘法性质等；b. 通过实例演示整式的乘法的具体计算方法；c. 练习：学生完成一些简单的整式乘法计算题，加深对整式乘法规则的理解。
3. 整式的因式分解：a. 讲解整式的因式分解的定义和性质，包括提取公因式、配方法、特殊公式等；b. 通过实例演示整式的因式分解的具体步骤和方法；c. 练习：学生完成一些简单的整式因式分解题，加深对整式因式分解的掌握。
4. 综合运用：a. 学生运用整式的乘法与因式分解方法，解决一些实际相关问题；b. 教师引导学生总结整式的乘法与因式分解的应用场景和意义。
四、教学方法：1. 演讲讲解：通过讲解整式的定义、性质和运算法则，引导学生理解整式的乘法与因式分解的思想与方法。
2. 实例演示：通过实例演示整式的乘法与因式分解的具体计算过程，帮助学生掌握乘法的规则和因式分解的步骤。
3. 练习操作：通过练习题目，提高学生对整式的乘法与因式分解的运用能力和问题解决能力。
4. 问题引导：通过引导学生解决实际问题，提高学生的综合运用能力和创造性思维。
五、教学评估：1. 教师通过课堂观察，评估学生的学习态度和参与度；2. 教师布置作业，评估学生对整式乘法与因式分解的掌握程度；3. 教师组织课堂小测验，评估学生对整式乘法与因式分解的运用能力和问题解决能力。
六、教学拓展：教师可以引导学生扩展整式乘法与因式分解的应用，例如多项式乘法与多项式因式分解、整式的乘法公式与因式分解等内容，拓宽学生的知识广度。
第十四章整式的乘法与因式分解大单元(教案)
2.教学难点
（1）多项式乘法的运算顺序和法则记忆。
-难点分析：学生容易混淆不同类型的乘法法则，忘记分配律。
-解决方法：通过直观图示和反复练习，加深记忆。
（2）完难点分析：学生难以区分两个公式，以及何时使用哪个公式。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘法与因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-练习：应用完全平方公式进行乘法和因式分解。
（3）平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
-举例：解释公式中a和b的含义，展示公式的应用。
-练习：设计平方差公式的应用题目，加强理解。
（4）因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法。
-举例：详细讲解每种方法的步骤，如提取公因式时如何找到最大公因式。
第十四章整式的乘法与因式分解大单元（教案）
一、教学内容
第十四章整式的乘法与因式分解大单元（教案）
1.多项式乘以多项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
2.单项式乘以多项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
3.多项式乘以单项式
-乘法法则
-举例说明
-练习
4.完全平方公式
-公式推导
-应用实例
-练习
5.平方差公式
-公式推导
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
新人教版整式的乘法与因式分解教案
同底数幂的乘法1教学目标：“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律。
教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。
教学难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围。
教学过程：一、回顾幂的相关知识：a n 的意义：a n表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数． 二、导入新知：1．问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ 2．学生分析：总次数=运算速度×时间 3．得到结果：1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015．4．通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．5.观察式子：1012×103=1015，看底数和指数有什么变化？ 三、学生动手：1．计算下列各式：（1）25×22 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n（m 、n 都是正整数） 2．得到结论：（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．3.a m ·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n=()a aa m 个a·()a aa n 个a=a aa (m+n)个a=a m+na m·a n=a m+n（m 、n 都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 四、学以致用：1.计算：（1）x 2·x 5 （2）a·a 6 （3）x m ·x3m+12.计算：（1）2×24×23 （2） a m ·a n ·ap3.计算：（1）（-a ）2×a6（2）（-a ）2×a4（3）（-21）3×21 64.计算：（1）（a+b ）2×(a+b)4×[-(a+b)]7（2）（m-n ）3×(m-n)4×(n-m)7（3）a 2×a ×a 5+a 3×a 2×a 2五、小结：1.同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．2.注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m ·a n =a m+n（m 、n 是正整数）．幂的乘方2课时教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会 幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
中考一轮复习 数学专题02 整式与因式分解(老师版) 教案
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·福建）化简()223a 的结果是（ ） A ．29aB ．26aC ．49aD ．43a【答案】C 【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】()()222224339a a a ==，故选：C ． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·湖南永州）下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+【答案】B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3．（2022·四川内江）下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．（a 3）2＝a 6C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．x 6÷x 3＝x 2【答案】B【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．【详解】A.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；B.（a 3）2＝a 6，故B 符合题意；C.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，故C 不符合题意；D.63633x x x x ÷==﹣，故D 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，是解题的关键．4．（2022·山东临沂）计算()1a a a +-的结果是（ ）A ．1B ．2aC ．22a a +D ．21a a -+【答案】B【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：()1a a a +- 22a a a a ．故选B【点睛】本题考查的是整式的混合运算，单项式乘以多项式，掌握“单项式乘以多项式的运算”是解本题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰）已知()()2221x x x +--=，则2243x x -+的值为（ ）A ．13B ．8C ．－3D ．5【答案】A【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．【详解】∵()()2221x x x +--=∴225x x -=∴222432(2)313x x x x -+=-+=故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．6．（2022·江苏泰州）下列计算正确的是( )A ．325ab ab ab +=B ．22523y y -=C ．277a a a +=D ．2222m n mn mn -=-【答案】A【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．【详解】解：A 、325ab ab ab +=，故选项正确，符合题意；B 、222523y y y -=，故选项错误，不符合题意；C 、78a a a +=，故选项错误，不符合题意；D 、222m n mn 和不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．7．（2022·湖北鄂州）下列计算正确的是（ ）A ．b +b 2＝b 3B ．b 6÷b 3＝b 2C ．（2b ）3＝6b 3D ．3b ﹣2b ＝b 【答案】D【分析】根据积的乘方“把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，合并同类项“把同类项的系数相减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变”，同底数幂的除法“底数不变，指数相减”进行计算即可得．【详解】解：A 、22b b b b +=+，选项说法错误，不符合题意；B 、63633b b b b -÷==，选项说法错误，不符合题意；C 、33(2)8b b =，选项说法错误，不符合题意；D 、32b b b -=，选项说法正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解题的关键是掌握这些知识点． 8．（2022·辽宁锦州）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．22(2)4x x -=C ．22m mn n -= D ．2ab ab b -=【答案】B【分析】由同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：235a a a ⋅=，故A 错误；22(2)4x x -=，故B 正确；22m mn n -=，故C 错误； 2ab ab -不能合并，不D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．9．（2022·广西贵港）下例计算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．2222a b a b +=C ．33(2)8a a -=D ．()236a a -= 【答案】D【分析】分别根据合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算即可求解．【详解】解：A. 2a −a =a ，故原选项计算错误，不符合题意；B. 2222a b a b +≠，不是同类项不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；C. 33(2)-8a a -=，故原选项计算错误，不符合题意；D. (-a 3)2=a 6，故原选项计算正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方等运算，熟知运算法则是解题关键．10．（2022·湖北恩施）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．321a a ÷=C ．32a a a -=D ．()236a a = 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，则此项错误，不符题意；B 、32a a a ÷=，则此项错误，不符题意；C 、3a 与2a 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符题意；D 、()236a a =，则此项正确，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 11．（2022·黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A ．()22346a b a b =B ．22434b b b +=C ．()246a a =D ．339a a a ⋅=【答案】A【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论．【详解】解：A 、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知()22346a b a b =，该选项符合题意； B 、根据合并同类项运算可知2224344b b b b +=≠，该选项不符合题意；C 、根据幂的乘方运算可知()244286⨯==≠a a a a ，该选项不符合题意； D 、根据同底数幂的乘法运算可知333369a a a a a +⋅==≠，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．12．（2022·内蒙古包头）若42222m ⨯=，则m 的值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．2【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法运算计算4242622222m +⨯===，即可求解．【详解】4242622222m +⨯===，6m ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即m n m n a a a +⋅=（m 、n 为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2022·湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本的费用为（ ）A ．8x 元B ．10(100)x -元C ．8(100)x -元D ．(1008)x -元 【答案】C【分析】根据题意列求得购买乙种读本()100x -本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x 本，则购买乙种读本()100x -本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100)x -元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．14．（2022·山东聊城）下列运算正确的是（ ）A ．()22233xy x y -=B ．2243474x x x +=+C ．()2323131t t t t t -+=-+ D ．()()43341a a -÷-=- 【答案】D【分析】A 选项根据积的乘方等于乘方的积即可判断；B 选项合并同类型：字母和字母的指数比不变，系数相加；C 选项利用乘方的分配律；D 选项先用幂的乘方化简，在运用整式的除法法则．【详解】解：A 、原式229x y =，不合题意；B 、原式27x =，不合题意；C 、原式323t t t =-+，不合题意；D 、原式=-1，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方、合并同类型、乘法分配律、整式的除法，掌握相应的运算法则是解题的关键，其中每一项的符号是易错点．15．（2022·湖南岳阳）下列运算结果正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．55a a a ÷=C ．236a a a ⋅=D ．437()a a =【答案】A【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的除法判断B 选项；根据同底数幂的乘法判断C 选项；根据幂的乘方判断D 选项．【详解】解：A 选项，原式3=a ，故该选项符合题意；B 选项，原式4a =，故该选项不符合题意；C 选项，原式5a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式12a =，故该选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握()m n mn a a =是解题的关键． 16．（2022·内蒙古包头）若a ，b 互为相反数，c 的倒数是4，则334a b c +-的值为（ ）A ．8-B ．5-C ．1-D ．16 【答案】C【分析】根据a ，b 互为相反数，可得0a b +=，c 的倒数是4，可得14c =，代入即可求解． 【详解】∵a ，b 互为相反数，∴0a b +=，∵c 的倒数是4，∴14c =， ∴334a b c +-()34a b c =+-130414=⨯-⨯=-，故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得0a b +=，14c =是解题的关键． 17．（2022·贵州遵义）下列运算结果正确的是（ ）A ．3412a a a ⋅=B ．321ab ab -=C ．()232624ab a b -=D ．()222a b a b -=- 【答案】C 【分析】分别利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式分别判断即可．【详解】A ．347a a a ⋅=，故此选项计算错误，不符合题意；B ．32ab ab ab -=，故此选项计算错误，不符合题意；C ．()232624ab a b -=，此选项计算正确，符合题意；D ．()2222a b a ab b -=-+，故此选项计算错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方法则及完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，只把系数相加，所得结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；222()2a b a ab b +=++与222()2a b a ab b -=-+都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．18．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．222()2a b a ab b +=++B ．222()2a b a ab b -=-+C ．22()()a b a b a b +-=-D ．222()ab a b = 【答案】A【分析】根据大正方形的面积=边长为a 的正方形的面积+两个长为a ，宽为b 的长方形的面积+边长为b 的正方形的面积，即可解答．【详解】根据题意得：(a +b )2=a 2+2ab +b 2，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 19．（2022·广东深圳）下列运算正确的是（ ）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab +=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．【详解】解：268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2022·上海）下列运算正确的是……（ ）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2 【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A.a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab ）2 =a2b 2，故此选项不符合题意；C.（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D.（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．二．填空题21．（2022·湖南长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2002个不同的数据二维码，现有四名网友对2002的理解如下：YYDS （永远的神）：2002就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD （懂的都懂）：2002等于2200；JXND （觉醒年代）：2002的个位数字是6；QGYW （强国有我）：我知道10321024,101000==，所以我估计2002比6010大．其中对2002的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS （永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2002化为1002(2)，再与2200比较，即可判断DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND （觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得2001020603202(2),10(10)==，即可判断QGYW （强国有我）的理解是正确的．【详解】2002是200个2相乘，YYDS （永远的神）的理解是正确的；200100222(2)200=≠，DDDD （懂的都懂）的理解是错误的；1234522,24,28,216,232=====，∴2的乘方的个位数字4个一循环，200450÷=，∴2002的个位数字是6，JXND （觉醒年代）的理解是正确的；2001020603202(2),10(10)==，10321024,101000==，且103210>20060210∴>，故QGYW （强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD ．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．22．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy ∴=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．23．（2022·黑龙江大庆）已知代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，则实数t 的值为____________．【答案】52或32- 【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式22(21)4a t ab b +-+是一个完全平方式，∴()()()222222(21)4222a t ab b a b a b a b +-+++±=±±⋅⋅=，∴214t -=±， 解得52t =或32t =-， 故答案为：52或32- 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．24．（2022·四川广安）已知a +b =1，则代数式a 2﹣b 2 +2b +9的值为________．【答案】10【分析】根据平方差公式，把原式化为()()29a b a b b +-++，可得9a b ++，即可求解．【详解】解：a 2﹣b 2 +2b +9()()29a b a b b =+-++29a b b =-++9a b =++19=+10=故答案为：10【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 25．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m 元，一共需要__________元．（用含m 的代数式表示）【答案】10m【分析】根据“总费用=购买篮球的数量⨯每个篮球的价格”即可得．【详解】解：由题意得：一共需要的费用为10m 元，故答案为：10m ．【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键．26．（2022·湖北恩施）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为n a ，且满足21112n n n a a a +++=．则4a =________，2022a =________． 【答案】15 13032【分析】由已知推出1211111n n n n a a a a +++-=-，得到202220211132a a -=，202120201132a a -=，431132a a -=，211132a a -=，上述式子相加求解即可． 【详解】解：∵21112n n n a a a +++=；∴1211111n n n n a a a a +++-=-， ∵21111113212222a a -=-=-=， ∵43411113227a a a -=-=， ∴a 4=15， ∴202220211132a a -=，202120201132a a -=，211132a a -=，把上述2022-1个式子相加得2022111320212a a ⨯-=， ∴a 2022=13032， 故答案为：15，13032．【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出1211111n n n n a a a a +++-=-，利用裂项相加法求解． 27．（2022·江苏常州）计算：42÷=m m _______． 【答案】2m【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出． 【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 28．（2022·辽宁锦州）分解因式：2232x y xy y -+=____________． 【答案】2()y x y -【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2． 【详解】解：222223(2)(2)=-++=--x y xy y x xy y y x y y ；故答案为：2()y x y -【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 29．（2022·江苏常州）分解因式：22x y xy +=______． 【答案】xy (x +y )【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键． 30．（2022·四川内江）分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____． 【答案】（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为()()2214a a +- ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．【详解】解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）， 故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 31．（2022·贵州遵义）已知4a b +=，2a b -=，则22a b -的值为__________．【答案】8【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．【详解】解：∵4a b +=，2a b -=，∴22a b -()()428a b a b =+-=⨯= 故答案为：8 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 32．（2022·北京）分解因式：2xy x -=______． 【答案】()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 33．（2022·湖北恩施）因式分解：3269x x x -+＝_______． 【答案】2(3)x x -【分析】先提公因式，再利用完全平方公式解题． 【详解】解：322269(69)(3)x x x x x x x x -+=-+=- 故答案为：2(3)x x -．【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．34．（2022·山东临沂）因式分解2242x x -+=______． 【答案】22(1)x -． 【详解】解：2242x x -+ =22(21)x x -+ =22(1)x -， 故答案为22(1)x -．35．（2022·浙江台州）分解因式：21a -=____． 【答案】()()11a a +-．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【详解】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 36．（2022·江苏苏州）计算：3a a ⋅= _______． 【答案】a 4【分析】本题须根据同底数幂乘法，底数不变指数相加，即可求出答案． 【详解】解：a 3•a ， =a 3+1， =a 4．故答案为：a 4．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，在解题时要能灵活应用同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．37．（2022·黑龙江牡丹江）如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．【答案】OC【详解】解∶∵1在射线OA 上，2在射线OB 上，3在射线OC 上，4在射线OD 上，5在射线OE 上，6在射线OF 上，7在射线OA 上，… ∴每六个一循环． ∵2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样． ∴所描的第2013个点在射线OC 上． 故答案为：OC38．（2022·吉林）计算：2a a ⋅=____．【答案】3a【详解】试题分析：根据同底数幂的乘法性质，底数不变，指数相加，可直接结算，2123a a a a +⋅==. 考点：同底数幂的乘法39．（2022·黑龙江牡丹江）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第5个图形中所以等边三角形的个数是__________．【答案】485【详解】解： 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形， 第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形， 第五个图形中161×3+2=485个正三角形． 故答案为：48540．（2022·湖北十堰）如图，某链条每节长为2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为_________cm ．【答案】91【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是2.8cm ，2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ，3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ，n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ，据此解答即可求解． 【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1）cm ， 3节链条的长度是（2.8×3-1×2）cm ， n 节链条的长度是2.8n -1×（n -1）cm ， 所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1） =140-1×49=91(cm) 故答案为：91【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n 节链条长度为2.5×n -0.8×（n -1）． 41．（2022·广西贺州）因式分解：2312m -=__________． 【答案】3(2)(2)m m +-【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)； 故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 42．（2022·广西玉林）计算：3a a -=_____________． 【答案】2a【分析】按照合并同类项法则合并即可． 【详解】3a -a =2a ， 故答案为：2a ．【点睛】本题考查了合并同类项，解题关键是熟练运用合并同类项法则进行计算． 43．（2022·广东）单项式3xy 的系数为___________． 【答案】3【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案． 【详解】3xy 的系数是3， 故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 44．（2022·黑龙江大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．【答案】49【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个， 第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个， 第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个， ……∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个， 故答案为：49．【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题． 45．（2022·江苏泰州）已知22222,2,()a m mn b mn n c m n m n =-=-=-≠ 用“＜”表示a b c 、、的大小关系为________. 【答案】b c a <<【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：222222222)(2))(()(22m n mn m n a b m mn mn n m n m n ，∵m n ≠， ∴222()0m n m n ，∴b a <；22222223)()2)(4(2n m mn a c m mn n mm n n ，当且仅当002nm n 且时取等号，此时0m n ==与题意m n ≠矛盾，∴223()024n mn ∴c a <；22222223)()()24(2n m c b m n m n n mn n m n ，同理b c <， 故答案为：b c a <<．【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．46．（2022·黑龙江绥化）因式分解：()()269m n m n +-++=________． 【答案】()23m n +-【分析】将m n 看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：()()269m n m n +-++()()22233m n m n =+-⨯⨯++()23m n =+-．【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．47．（2022·广西梧州）若1x =，则32x -=________． 【答案】1【分析】将1x =代入代数式求解即可．【详解】解：∵1x =， ∴323121x -=⨯-=， 故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 48．（2022·贵州黔东南）分解因式：2202240442022x x -+=_______． 【答案】()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．49．（2022·黑龙江绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案． 【答案】3##三【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124yx =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可． 【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件， 4348x y +=，解得3124y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数， ∴y 是4的整数倍， ∴4y =时，341294x ⨯=-=，8y =时，381264x ⨯=-=， 12y =时，3121234x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-=，不符合题意， 故有3种购买方案， 故答案为：3．【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 50．（2022·海南）因式分解：ax ay +=___________． 【答案】()a x y +【分析】原式直接提取a 即可．【详解】解：ax ay +=()a x y +． 故答案为：()a x y +．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确确定公因式是解答本题的关键． 三．解答题51．（2022·广西）先化简，再求值2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+，其中11,2x y ==． 【答案】x 3-2xy +x ，1【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x 、y 值代入计算即可．【详解】解：2()()(2)x x y x y xy xy x +-+-+ =x (x 2-y 2)+xy 2-2xy +x =x 3-xy 2+xy 2-2xy +x =x 3-2xy +x ，当x =1，y =12时，原式=13-2×1×12+1=1．【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 52．（2022·湖南岳阳）已知2210a a -+=，求代数式()()()4111a a a a -++-+的值． 【答案】-2【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【详解】解：()()()4111a a a a -++-+ 22411a a a =-+-+224a a =-()222a a =-，∵2210a a -+=， ∴221a a -=-， ∴原式()212=⨯-=-．【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键． 53．（2022·江苏无锡）计算：(1)(21cos 602-⨯-；(2)()()()()23a a a b a b b b +-+---．【答案】(1)1 (2)2a +3b【分析】（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可． (1) 解：原式=11322⨯- =3122- =1； (2)解：原式=a 2+2a -a 2+b 2-b 2+3b =2a +3b ．【点睛】本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．54．（2022·广西梧州）（125(3)(2)+-⨯- （2）化简：232()23a a a a a +--⋅． 【答案】（1）14-；（2）24a a -【分析】（1 （2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）解：原式=235(3)(2)-+-⨯- =35(3)4-+-⨯ =3512-- =14-；（2）原式=223226a a a a +-- =24a a -．【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 55．（2022·北京）已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值． 【答案】５【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：∵2220x x +-=， ∴222x x +=， ∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++ 2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．56．（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】(1)43(2)2x +2【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．(1)201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43； (2)2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．57．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A 是关于m 的多项式．请写出多项式A ，并将该例题的解答过程补充完整．【答案】6A m =+，解答过程补充完整为26m -【分析】利用26m m +除以m 可得A ，再根据合并同类项法则补充解答过程即可．【详解】解：观察第一步可知，()26A m m m =+÷， 解得6A m =+，将该例题的解答过程补充完整如下：(6)6(1)m m m +-+2666m m m =+--26m =-，故答案为：26m -．【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．58．（2022·吉林长春）先化简，再求值：()()()221a a a a +-++，其中4a =．【答案】4a +【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将4a 代入求值即可求解．【详解】解：原式＝224a a a -++4a =+当4a =时，原式44=【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．。
整式乘法与因式分解教案
整式乘法与因式分解教案一、教学目标1. 让学生掌握整式乘法的基本运算法则，能够熟练地进行整式乘法运算。
2. 让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法和技巧。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 整式乘法的基本概念和运算法则。
2. 因式分解的定义和基本方法。
3. 常见的因式分解技巧。
三、教学重点与难点1. 整式乘法的正确运算。
2. 因式分解的方法和技巧。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解整式乘法和因式分解的概念和方法。
2. 采用案例分析法，通过具体的例题，让学生掌握整式乘法和因式分解的运算技巧。
3. 采用练习法，让学生在实践中巩固所学知识。
五、教学准备1. 教学PPT。
2. 练习题。
3. 黑板和粉笔。
教案内容：一、整式乘法的基本概念和运算法则1. 定义：整式乘法是指将两个整式相乘的运算。
2. 运算法则：(1) 相同字母相乘，指数相加。
(2) 不同字母相乘，直接相乘。
(3) 系数相乘。
二、因式分解的定义和基本方法1. 定义：因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积的形式。
2. 基本方法：(1) 提取公因式法。
(2) 公式法。
(3) 试错法。
三、常见的因式分解技巧1. 提取公因式法：找出多项式中的公因式，将其提取出来。
2. 公式法：运用已知的公式进行因式分解。
3. 试错法：通过尝试不同的因式分解方法，找出正确的方法。
四、整式乘法的运算实例例1：计算(x+2)(x+3) 的结果。
解：根据整式乘法的运算法则，将两个整式相乘，得到x^2+5x+6。
五、因式分解的运算实例例2：对多项式x^2+5x+6 进行因式分解。
解：根据因式分解的基本方法，提取公因式x+2，得到(x+2)(x+3)。
六、教学过程1. 导入：通过复习整式乘法的基本概念和运算法则，引导学生进入本节课的学习。
2. 知识讲解：讲解因式分解的定义和基本方法，并通过具体的例题展示因式分解的过程。
3. 案例分析：分析常见的因式分解技巧，并通过例题讲解如何运用这些技巧进行因式分解。
2022年最新中考数学知识点梳理 考点02 整式与因式分解(教师版)
2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点02 整式与因式分解考点总结一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等. 二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.注：○1单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如2143a b -，这种表示就是错误的，应写成2133a b -；○2一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如325a b c -是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. 3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6．幂的运算：a m ·a n =a m +n ；（a m ）n =a mn ；（ab ）n =a n b n ；a m ÷a n =m n a -.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘：m （a +b +c ）=ma +mb +mc . （3）多项式与多项式相乘：（m +n ）（a +b ）=ma +mb +na +nb . 8．乘法公式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b +-=-. （2）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++.（2）公式法：运用平方差公式：²²()()a b a b a b -=+-. 运用完全平方公式：22²2()a ab b a b ±+=±. 3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）若（9m）2＝312，则m的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】化为同底数的幂的形式，列方程即可得到答案．【解答】解：∵（9m）2＝312，∴34m＝312，∴4m＝12，∴m＝3，故选：A．2．（2021•开平区一模）如果（）•m＝m6，那么（）＝（）A．m7B．m6C．m5D．5m【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．【解答】解：根据同底数幂的乘法，得m5•m＝m6．故选：C．3．（2021•桥东区二模）关于﹣a﹣b进行的变形或运算：①﹣a﹣b＝﹣（a+b）；②（﹣a﹣b）2＝（a+b）2；③|﹣a﹣b|＝a﹣b；④（﹣a﹣b）3＝﹣（a﹣b）3．其中不正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】利用完全平方公式，绝对值的定义，去括号和添括号法则逐一判断即可．【解答】解：①﹣a﹣b＝﹣（a+b），正确；②（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，正确；③|﹣a﹣b|＝a+b，故原说法错误；④（﹣a﹣b）3＝﹣（a+b）3，故原说法错误．其中不正确的有③④，故选：B．4．（2021•河北模拟）若k为正整数，则（k3）2表示的是（）A．2个k3相加B．3个k2相加C．2个k3相乘D．5个k相乘【分析】根据幂的定义判断即可． 【解答】解：（k 3）2表示的是2个k 3相乘． 故选：C ．5．（2021•安次区一模）计算a 6×（﹣a 2）的结果是（ ） A ．a 4B ．﹣a 8C ．a 8D ．﹣a 4【分析】利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案． 【解答】解：a 6×（﹣a 2）＝﹣a 8， 故选：B ．6．（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n （n 为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（ ）A ．n +n +2＝n 2B ．n （n +3）＝n 2C ．（n +1）（n ﹣1）＝n 2﹣1 D ．n(n+1)2+(n+1)(n+1+1)2=(n +1)2【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题． 【解答】解：第1个图形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）； 第2个图形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）； 第3个图形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）； 第4个图形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）； …第n ﹣1个图形，（n ﹣1+1）2＝n 2＝1+2+3+…+n ﹣1+（1+2+3+…+n ）； 第n 个图形，（n +1）2＝1+2+3+…+n +（1+2+3+…+n +n +1）． ∴(n +1)2=n(n+1)2+(n+1)(n+2)2． 故选：D ．7．（2021•桥东区二模）若33+33+33+⋯+33︸k 个33=3m （k ＞1，k ，m 都是正整数），则m 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9【分析】提取公因式33，原式化为：33⋅(1+1+1+⋯+1)︷k=3m，根据k ＞1，k ，m 都是正整数，求出k 的最小值，进而求出m 的最小值．【解答】解：原式化为：33⋅(1+1+1+⋯+1)︷k=3m， ∴k ＝3m÷33＝3m ﹣3，∵k ＞1，k ，m 都是正整数， ∴k 的最小值为3， ∴m ﹣3＝1， ∴m 的最小值为4， 故选：B ．8．（2021•唐山一模）若1052﹣210×5+52＝k +992﹣1，则k 的值是（ ） A ．100B ．105C ．200D ．205【分析】由1052﹣210×5+52＝（105﹣5）2＝1002＝k +992﹣1＝k +100×98，可得k 的值． 【解答】解：∵1052﹣210×5+52＝（105﹣5）2＝1002，k +992﹣1＝k +（99+1）×（99﹣1）＝k +100×98，∴k +100×98＝1002， ∴k ＝200． 故选：C ．9．（2021•鸡泽县模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项和（a +b ）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． （a +b ）0…① （a +b ）1…①①（a+b）2…①②①（a+b）3…①③③①（a+b）4…①④⑥④①（a+b）5…①⑤⑩⑩⑤①…根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，故选：D．10．（2021•平泉市一模）下列运算正确的是（）A．x3+x3＝2x6B．（2x）3＝6x3C．2x2•3x＝6x3D．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2【分析】根据整式的加减运算以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2x3，故A不符合题意．B、原式＝8x3，故B不符合题意．C、原式＝6x3，故C符合题意．D、原式＝4x2﹣4xy+y2，故D不符合题意．故选：C．二．填空题（共5小题）11．（2021•河北模拟）已知a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4．（1）3ab﹣b2＝﹣4 ；（2）a﹣b＝±2 ．【分析】（1）加上一个负括号，然后整体代入；（2）已知两式相加，构成完全平方式，利用直接开平方法求解．【解答】解：（1）3ab ﹣b 2＝﹣（b 2﹣3ab ） ＝﹣4； 故答案为：﹣4；（2）∵a 2+ab ＝0，b 2﹣3ab ＝4， ∴a 2+ab +b 2﹣3ab ＝4． 即a 2﹣2ab +b 2＝4． ∴（a ﹣b ）2＝4． ∴a ﹣b ＝±2． 故答案为：±2．12．（2021•顺平县二模）如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a ），例如：a ＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：ω（23）＝ 5 ．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2（k +1），且ω（b ）＝8，则“跟斗数”b ＝ 26 ．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n ＝100，则ω（m ）+ω（n ）＝ 19 ． 【分析】（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出f （23）的值；（2）根据题意，可以得到关于k 的方程，从而可以求得k 的值，然后即可得到b 的值； （3）根据题意，可以表示出m 、n ，然后即可计算出f （m ）+f （n ）的值． 【解答】解：（1）ω(23)=23+3211=5． 故答案为：5；（2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2（k +1），且ω（b ）＝8， ∴[10k+2(k+1)]+[10×2(k+1)+k]11=8，解得k ＝2， ∴2（k +1）＝6，∴b＝26．故答案为：26；（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），∴ω（m）+ω（n）=(10x+y)+(10y+x)11+[10(9−x)+(10−y)]+[10(10−y)+(9−x)]11=10x+y+10y+x11+90−10x+10−y+100−10y+9−x11=11x+11y11+209−11x−11y11＝x+y+19﹣x﹣y＝19．故答案为：19．13．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；（2）利用完全平方公式可求解．【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，故答案为：a2+b2；（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，∴x为4，故答案为：4．14．（2021•丰润区一模）计算：（﹣a）6÷a3＝a3．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减．据此计算即可．【解答】解：（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3．故答案为：a3．15．（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2＝4x2﹣2（m﹣1）xy+16y2，则m的值为﹣7 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵（2x+4y）2＝4x2+16xy+16y2＝4x2﹣2（m﹣1）xy+16y2，∴﹣2（m﹣1）＝16，∴m＝﹣7．故答案为：﹣7．三．解答题（共3小题）16．（2021•河北模拟）在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当a=12，b＝﹣3时，求多项式2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出：“a=12，b＝﹣3是多余的条件．”师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的．（1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，王老师又出示了一道题目：“已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，求m+n的值．”请你解决这个问题．【分析】（1）去括号合并同类项可得代数式的值与a、b无关，即可得结论；（2）先求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）＝2a2+4ab+2b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2+2＝2，∴该多项式的值为常数．与a和b的取值无关，小明的说法是正确的；（2）2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6＝（2﹣n）x2+（﹣m﹣3）y+18，∵已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，∴2﹣n＝0，﹣m﹣3＝0，解得n＝2，m＝﹣3，∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．17．（2021•南皮县一模）已知：整式A＝2x+1，B＝2x﹣1．（1）化简A﹣2B；（2）若无论x为何值，A•B+k（k为常数）的值都是正数，求k的取值范围．【分析】（1）把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及合并同类项的法则进行运算即可；（2）利用多项式乘多项式的法则进行运算，并结合条件进行分析即可．【解答】解：（1）A﹣2B＝（2x+1）﹣2（2x﹣1）＝2x+1﹣4x+2＝﹣2x+3；（2）A•B+k＝（2x+1）（2x﹣1）+k＝4x2﹣1+k，∵无论x为何值时，4x2≥0，若A•B+k的值是正数，则﹣1+k＞0，解得：k＞1．18．（2021•开平区一模）（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．【分析】（1）先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值；（2）先化简，再根据计算后说这个题的最后结果与x的取值无关这个条件，列等式求出a．【解答】解：（1）（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2）＝﹣m2+3+2m﹣5m+4﹣3m2＝﹣4m2﹣3m+7；把m＝﹣2代入原式得，﹣4×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+7＝﹣3．（2）（5x2﹣9）+（2+ax2）＝5x2﹣9+2+ax2＝﹣7+（5+a）x2，∵计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，∴5+a＝0，∴a＝﹣5．。
整式的乘法与因式分解全章教案
整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。
掌握单项式乘以单项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。
掌握单项式乘以多项式的计算方法。
教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。
教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。
讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。
掌握提公因式法的运用。
教学重点：提公因式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。
掌握公式法的运用。
教学重点：公式法的概念和运用。
教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾整式的乘法。
讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。
掌握十字相乘法的步骤。
教学重点：十字相乘法的原理和步骤。
如何正确运用十字相乘法分解因式。
教学准备：教材、黑板、投影仪。
教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。
讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。
练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。
(完整版)因式分解复习教案(教师版)
因式分解复习教案(教师教学案)教学目标： 1。
复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。
2.会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式.教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。
教学难点 ：根据题目的结构特点，合理选择方法。
教师活动一、引入本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法？下面我们一起带着这些问题进行复习二、教授新课知识点1：分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系） 思考：什么是分解因式?因式分解与整式的乘法有何关系分解因式的特征,左边是 , 右边是 。
针对练习:下列选项,哪一个是分解因式（ ）（学生自主完成此题，并指出错在哪里）A ．x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 。
103)2)(5(2-+=-+x x x xC 。
22)4(168-=+-x x xD 。
y x x y x ⋅⋅=552知识点2：分解因式的第一种方法—-——--提公因式法思考：如何提公因式?（教师强调公因式公有的意思-——你有我有大家有才是公有）注意：(学生一起读一遍）公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数:取系数的最大公约数； （3）字母:取字母(或多项式）的指数最低的;（4）所有这些因式的乘积即为公因式 （5）某一项被作为公因式完全提出时,应补为例如:1．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．24ab c -B ．38ab -C ．32abD ．3324a b c3。
342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________提公因式法分解因式分类：1.直接提公因式的类型：（1)3442231269b a b a b a +-=________________；（2）11n n n a a a +--+=____________（3）423)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2.首项符号为为负号的类型：（1)33222864y x y x y x -+- =_________（2)若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） 如： 22188y x +-练习：1．多项式：aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-，那么另一个因式是( ）y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D 。
整式的乘法与因式分解教案
课题：9.1 单项式乘单项式日期_______________教学目标:1.知道“乘法交换律，乘法结合律，同底数幂的运算性质“是进行单项式乘法的依据。
2.会进行单项式乘法的运算。
3. 经历探索单项式乘单项式运算法则的过程，发展有条理思考及语言表达能力。
教学重点：单项式乘法性质的运用教学难点：单项式乘法性质的运用教学过程：可以把两个算式间划等号连接你是怎样看待这个等式的？能用数学知识解释它的正确性吗？教学目标:1、知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式；2、会进行单项式乘多项式的运算；3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：单项式乘以多项式法则。
教学难点：灵活运用单项式乘以多项式法则。
教学过程：）这两种方法求得的是同一个长方形的面积，可以把两个算式间划等号连）你是怎样看待这个等式的？能用数学知识解释它的正确性吗？课题：9.3 单项式乘多项式日期_______________教学目标:1．理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程。
2．熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算。
教学重点：单项式与多项式乘法法则。
教学难点：利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则。
教学过程：课题：9.4乘法公式（1）（完全平方公式）日期__________教学目标:(1) 探索并推导完全平方公式、并能运用公式进行简单的应用。
(2) 引导学生感受转化的数学思想以及知识间的内在联系。
教学重点：完全平方公式。
教学难点：正确的应用完全平方公式、进行计算。
教学过程：课题：9.4乘法公式（2）（平方差公式）日期_______________教学目标:1．会推导平方差公式，并能应用公式进行简单的计算。
2. 经历探索平方差公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。
教学重点：认识并应用平方差公式进行简单的计算。
教学难点：平方差公式的推导，平方差公式的应用。
教学过程：课题：9.4 乘法公式(3)（完全平方与平方差公式）日期_______________教学目标:1. 使学生进一步熟练掌握乘法公式，能灵活运用进行混合运算和化简、求值。
_七年级秋季班-第6讲：因式分解(一)-教师版
因式分解（一）内容分析本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．知识结构模块一：提取公因式法知识精讲1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式整式的积（积的形式）整式乘法2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab 中，6 、a 、b 就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式ma +mb- mc中都含有因式m ，则m 就是这个多项式的公因式．3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1 ）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—” 号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】 填空：（1）单项式12a 2b 2c ，- 8a 2b 3 ，4a 3b 2c 2 应提取的公因式是；（2）多项式2a 2b - 6ab 2c 应提取的公因式是；（3） 9(b - a )2(x - y ) - 21(a - b )2 ( y - x ) 应提取的公因式是 ；（4）多项式4a 3b - 8a 2b 2 +12ab 3 提取公因式后，另一个因式是 ； （5）多项式-9x 2 - 6xy + 3x 提取公因式后，另一个因式是；（6） 4x (x - y ) - 3( y - x )2 提取公因式(x - y )后，另一个因式是 ．【难度】★【答案】（1） 4a 2b 2 ； （2） 2ab ；（3） 3(a - b )2 (x - y ) ；（4） a 2 - 2ab + 3b 2 ； （5） 3x + 2y -1 ； （6） x + 3y ．【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“ + ”号或“－”号，使等式成立．（1） (a - b )2= (b - a )2 ；（2） (a - b )3= (b - a )3 ； （3） (-a - b )2 =(a + b )2 ；（4） (-a - b )3=(a + b )3 ；（5） (a -1)2 (2 - b )3 =(1- a )2 (b - 2)3 ；（6） (1- x )(2 - x ) = (x -1)(x - 2) ．【难度】★【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+． 【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析2【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（A .1+ 2x + 3x 2 = 1+ x (2 + 3x )B . 24 = 2⨯ 2⨯ 2⨯8C . xy -1 = xy (1 - 1)xyD . 1 4 a 2 - 3a + 9 = ⎛ 1 ⎝⎫2a - 3⎪⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式；B 选项左侧不是多项式；C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式a 2n - a 2 (n ≥ 1) 提取公因式后，另一个因式是（）．A . a n【难度】★ 【答案】DB ．a n -1C . a 2n -1 -1D . a 2n -2 -1【解析】原式= a 2 (a 2n -2 -1) ，故选择 D ．【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把 4 a 3b 3 - 2a 2b 4 分解因式的结果是．3 9 【难度】★ 【答案】 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【解析】原式= 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【总结】本题考察了提公因式法因式分解．）．【例6】（1）如果2x +y = 4, xy =3 ，那么2x2 y +xy2 的值是；（2）多项式5(a + 2b)2 -2a(a + 2b) 的值等于15 ，且3a +10b =3 ，则a + 2b = ．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5．【解析】（1）原式= xy(2x +y) = 12 ；（2）由已知得： (a + 2b)[5(a + 2b) - 2a] =15 ，即(a + 2b)(3a +10b) = 15 3a +10b = 3，∴a + 2b = 5 ．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）-15a3b3 + 45a2b -30ab ；（2）16a3b2c3 + 48a4b3c2 - 96a2b2c4 ；（3）-2ax2 + 6x - 4a ；（4）(m -n)( p -q) - (n -m)2 (q -p) ；3（5）3x(4x -y) - (4x +y)(-4x +y) ；（6）-p(q +r -1) -q(r +q -1) + (1-q -r)2 ；（7）x n+1-x n+2x n-1（n为大于1的整数）；（8）4x n+2y n+1-6x n y n+12x2y n-1（n是大于2的整数）．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= -15ab(a2b2 - 3a + 2) ；（2）原式=16a2b2c2 (ac + 3a2b - 6c2 ) ；（3）原式= -2(ax2 - 9x + 6a) ；3（4）原式= (m -n)( p -q) + (m -n)2 ( p -q) = (m -n)( p -q)[1+ (m -n)] = (m -n)( p -q)(1+m -n) ；（5）原式= 3x(4x -y) + (4x +y)(4x -y) = (4x -y)(7x +y)（6）原式= -p(q +r -1) -q(q +r -1) + (q +r -1)2= (q +r -1)(-p -q +q +r -1)= -(q +r -1)( p -r +1) ；（7）原式= x n-1 (x2 -x + 2) ；（8）原式= 2x2 y n-1 (2x n y2 - 3x n-2 y + 6) ；【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.78⨯12 + 47 ⨯5.78 + 5.78⨯41 ；（2）5⨯102017 -102016 ．【难度】★★【答案】（1）578；（2）4.9 ⨯102017 ．【解析】（1）原式= 5.78(12 + 47 + 41) = 578 ；（2）原式=102016 (50 -1) = 4.9 ⨯102017 ．【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式2x2 +mx +n 因式分解的结果是(2x -1)⎛x +1 ⎫，求m、n 的4 ⎪⎝⎭ 值．【难度】★★【答案】m =-1，n =-1．2 4【解析】由已知得：2x2 +mx +n = (2x -1)(x +1) ，4∴2x2 +mx +n = 2x2 -1x -1，2 4∴m =-1，n =-1．2 4【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断518 + 519 + 520 能否被31整除．【难度】★★【答案】能．【解析】原式= 518 (1+ 5 + 52 ) = 518 ⨯ 31 ，能被31 整除．【总结】本题考察了提公因式法的应用．（ （ （【例11】已知代数式 1 x +1) + 1 (x +1）+ 1 x +1) + 1 (x +1) + ··· + 1x + 1）的值是 27 ，求 x 的值． 【难度】★★★ 【答案】 x = 29 ．2 6 12 20 90【解析】由已知得： (x +1)(1 + 1 + + 1) = 272 6 90 (x +1)( 1 + 1 + ) = 27 1⨯ 2 2 ⨯ 3(x +1)(1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1) = 272 23 9 10 (x + 1)(1 - 1) = 2710解得： x = 29【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式 M = b (a - b )(a - c ) + c (a - b )(c - a ) ，且 a = b = c ，求 M的值．【难度】★★★2 3 4 abc 【答案】- 1．12【解析】 M = b (a - b )(a - c ) - c (a - b )(a - c ) = (a - b )(a - c )(b - c ) ，设a = 2k ，b = 3k ，c = 3k ， 则原式=(-k )(-2k )(-k ) =- 1 ．2k ⋅ 3k ⋅ 4k 12【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？+1 9 ⨯10模块二：公式法知识精讲1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．2、平方差公式： a2 -b2 = (a +b)(a -b)运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．3、完全平方公式： a2 ± 2ab +b2 = (a ±b)2运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2 倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．4、补充公式（1）a3 +b3 = (a +b)(a2 -ab +b2 ) ；（2）a3 -b3 = (a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（3）a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 = (a +b)3 ；（4）a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 = (a -b)3 ；（5）a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a +b +c)2 ．【例13】因式分解(x -1)2- 9 的结果是（）．A . (x + 8)(x +1)B . (x + 2)(x - 4)C . (x - 2)(x + 4)D . (x -10)(x + 8)【难度】★ 【答案】B【解析】原式= (x -1+ 3)(x -1- 3) = (x + 2)(x - 4) ． 【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）．A . x 2 + 4x + 4 = (x + 4)2B . 4x 2 - 2x +1 = (2x -1)2C . 9 - 6(m - n ) + (m - n )2 = (3 - m - n )2D . -a 2 - b 2 + 2ab = -(a - b )2【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为： (x + 2)2 ； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解；C 选项应为： [3 - (m - n )]2 = (3 - m + n )2 ；D 选项正确．【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）4a2 - 9b2 = ；（2）4 -x2n = ；（3）(a+b)2-(c-d)2=；（4）9a3b-ab=；（5）-9a2 +1=；（6）25a2 -80a + 64 =；9（7）-16-8xy-x2y2=；（8）(a+b)2-6(a+b)+9=．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (2a +3b)(2a -3b) ；（2）原式= (2 +x n )(2 -x n ) ；（3）原式= (a +b +c -d)(a +b -c +d) ；（4）原式= ab(9a2 -1) =ab(3a +1)(3a -1) ；（5）原式= -1(81a2 -1) =-1(9a +1)(9a -1) ；9 9（6）原式= (5a - 8)2 ；（7）原式= -(16 + 8xy +x2 y2 ) =-(4 +xy)2 ；（8）原式= (a +b - 3)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出264 -1 的两个因数．【难度】★【答案】(232+1)、(216+1)、255、17、5、3、1（任写两个）．【解析】∵264 -1 = (232 +1)(216 +1)(28 +1)(24 +1)(22 +1)(2 +1)(2 -1) ，∴264 -1的因数是：(232 +1) 、(216 +1) 、255 、17 、5 、3、1．【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）a6 -b6 ；（2）8x3 +y3 ；（3）9x5 - 72x2 y3 ．【难度】★★【答案】见解析；【解析】（1）原式= (a3 +b3 )(a3 -b3 ) = (a +b)(a2 -ab +b2 )(a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（2）原式= (2x +y)(4x2 - 2xy +y2 ) ；（3）原式= 9x2 (x3 - 8y3 ) = 9x2 (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2 ) ．【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式：（1）-4(x-y)2+25(x+y)2；（2）(x+y)4-(x-y)4；（3）(a+b)3-4a-4b；（4）xy -1 -x2 y2 ；4（5）x2 (m -n) - 4x(n -m) - 4(n -m) ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= [5(x +y) + 2(x -y)][5(x +y) - 2(x -y)] = (7x + 3y)(3x + 7y) ；（2）原式= [(x +y)2 + (x -y)2 ][(x +y)2 - (x -y)2 ] = 8xy(x2 +y2 ) ；（3）原式= (a +b)3 - 4(a +b) = (a +b)[(a +b)2 - 4] = (a +b)(a +b + 2)(a +b - 2) ；（4）原式= -1(4x2 y2 - 4xy +1) =-1(2xy -1)2 ；4 4（5）原式= x2 (m -n) + 4x(m -n) + 4(m -n) = (m -n)(x + 2)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式：（1） 7a m +1 -14a m + 7a m -1 ；（2） (a + b )2- 4(a + b -1) ；（3） (a 2 + 4a )2+ 8(a 2 + 4a ) +16 ； （4） (x 2 - y 2 )n +2-10(x 2 - y 2 )n +1+ 25(x 2 - y 2 )n．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= 7a m -1 (a 2 - 2a +1) = 7a m -1 (a -1)2 ；（2）原式= (a + b )2 - 4(a + b ) + 4 = (a + b - 2)2 ；（3）原式= (a 2 + 4a + 4)2 = (a + 2)4 ；（4）原式= (x 2 - y 2 )n [(x 2 - y 2 )2 -10(x 2 - y 2 ) + 25]= (x + y )n (x - y )n (x 2 - y 2 - 5)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1） 50420172- 20152； （2） 9982 - 4 ；（3）152 +15⨯10 + 52 ； （4）1982 - 2 ⨯198⨯ 98 + 982 ．【难度】★★【答案】（1） 116； （2）996000； （3）400； （4）10000．【解析】（1）原式= 504 =504 = 1 ； (2017 + 2015)(2017 - 2015) 4032⨯ 2 16（2）原式= (998 + 2)(998 - 2) = 996000 ； （3）原式= (15 + 5)2 = 400 ；（4）原式= (198 - 98)2 = 10000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⋅⋅⋅⎛1 -1 ⎫． 22 ⎪32 ⎪42 ⎪ n2 ⎪【难度】★★⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】n + 1．2n【解析】原式= (1 -1)(1 +1)(1 -1)(1 +1) (1 -1)(1 +1) 2 2 3 3 n n= 1⨯3⨯2⨯4 2 2 3 3= 1⨯n + 1n -1⨯n +1n n 2 n= n + 1．2n【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知x2 -x = 2016，y2 -y = 2016 且x ≠y ，求x2 + 2xy +y2 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(x2 -x) - ( y2 -y) = 0 ，即x2 -y2 -x +y = 0 ，∴x2 -y2 - (x -y) = 0 ，即(x -y)(x +y -1) = 0 ．∴原式= (x +y)2 = 1．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式S = 4a + 4b - 2a+b+1 ，问：S 是否一定是非负数？请说明理由．【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】S = (2a )2 - 2 ⋅ 2a ⋅ 2b + (2b )2 = (2a - 2b )2 ≥ 0 ，∴ S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．x ≠y【例24】已知a2 + 2ab +b2 - 2a - 2b +1 = 0 ，求a2 -a +b -b2 的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由已知，得：(a +b)2 - 2(a +b) +1 = 0 ，即(a +b -1)2 = 0 ．∴a +b -1 = 0 ，∴原式= (a2 -b2 ) - (a -b) = (a -b)(a +b -1) = 0 ．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式： x4 - 6x2+1． 解： x4 - 6x2 +1 =x4 - 2x2 - 4x2 +1=(x4 - 2x 2 +1)- 4x 2=(x2 -1)2 - (2x)2=(x2 -1 + 2x)(x2 -1 - 2x)以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4 - 7a2 + 9 ．【难度】★★★【答案】(a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【解析】原式= a4 - 6a2 -a2 + 9= (a4 - 6a2 + 9) -a2= (a2 - 3)2 -a2= (a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式S=(a2 +b2 -c2 )2 -4a2b2 ，求：（1）对于S进行因式分解；（2）当a、b、c 是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）(a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）S < 0 ．【解析】（1）原式= (a2 +b2 -c2 + 2ab)(a2 +b2 -c2 - 2ab)= [(a +b)2 -c2 ][(a -b)2 -c2 ]= (a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）由已知得： a +b +c > 0，a +b -c >，a -b +c > 0，a -b -c < 0 ，∴S < 0 ．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】分解因式：（1）a(a +b)(a -b) -a(a +b)2 ；（2）a(1-b +b2 ) -1+b -b2 ；（3）-2x2 +1y2 ；（4）a4 -b4 ；2（5）x3 - 6x2 + 9x ；（6）3x2 (x -y)2 - 27( y -x)4 ；（7）(p-q)2m+1+(q-p)2m-1；（8）4(x+y)2+5-20(x+y-1)．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= a(a +b)(a -b -a -b) =-2ab(a +b) ；（2）原式= a(1-b +b2 ) - (1-b +b2 ) = (1-b +b2 )(a -1) ；（3）原式= -1(4x2 -y2 ) =-1(2x +y)(2x -y) ；2 2（4）原式= (a2 +b2 )(a2 -b2 ) = (a2 +b2 )(a +b)(a -b) ；（5）原式= x(x2 - 6x + 9) =x(x - 3)2 ；（6）原式= 3x2 (x -y)2 - 27(x -y)4= 3(x -y)2[x2 - 9(x -y)2 ]= 3(x -y)2[x + 3(x -y)][x - 3(x -y)]= -3(x -y)2 (4x - 3y)(2x - 3y) ；（7）原式= ( p -q)2m+1 - ( p -q)2m-1= ( p -q)2m-1[( p -q)2 -1]= ( p -q)2m-1 ( p -q +1)( p -q -1) ；（8）原式= 4(x +y)2 - 20(x +y) + 25 = (2x + 2y - 5)2 ．【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a2 +b2 -c2 - 2ab 的值( )．A．大于零B．小于零C．大于或等于零D．小于或等于零【难度】★【答案】B【解析】原式= (a -b)2 -c2 = (a -b +c)(a -b -c)a -b +c > 0, a -b -c < 0∴原式< 0 ，选择B．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】已知长方形的长为2x - 3y ，面积为4x2 - 9 y2 ，则此长方形的周长为．【难度】★【答案】8x ．【解析】4x2 - 9y = (2x + 3y)(2x - 3y) ，∴宽为：2x+3y，∴周长= 2(2x - 3y + 2x + 3y) = 8x ．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】已知x -y =1，xy = 2 ，则x3 y - 2x2 y2 +xy3 的值为．【难度】★【答案】2．【解析】原式= xy(x2 - 2xy +y2 ) =xy(x -y)2 = 2 ．【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】分解因式：（1）(a -b)7 + (b -a)5 ；（2）64x6 -y12 ；（3）4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd；（4）(x2 +4)2 +8x(x2 +4)+16x2 ；（5）x2 -y2 -z2 - 2yz ；【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (a -b)7 - (a -b)5= (a -b)5[(a -b)2 -1]= (a -b)5 (a -b +1)(a -b -1) ；（2）原式= (8x3 +y6 )(8x3 -y6 )= (2x +y2 )(4x2 - 2xy2 +y4 )(2x -y2 )(4x2 + 2xy2 +y4 ) ；（3）原式= (2a +c)2 - (b - 3d)2 = (2a +c +b - 3d)(2a +c -b + 3d) ；（4）原式= (x2 + 4 + 4x)2 = (x + 2)4 ；（5）原式= x2 - ( y +z)2 = (x +y +z)(x -y -z) ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．⎩【习题6】 分解因式：（1） (x - y )2n +1 - (x - z )(x - y )2n + 2( y - x )2n ( y - z ) ， n 为正整数；（2） (a + b )2 (b + c - a )(c + a - b ) + (a - b )2 (a - b + c )(a - b - c ) ；（3） x 3 (x + y - z )( y + z - a ) + x 2 z (z - x - y ) + x 2 y (z - x - y )(x - z - a ) ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= (x - y )2n (x - y - x + z + 2y - 2z ) = (x - y )2n ( y - z ) ；（2）原式= (b + c - a )(c + a - b )[(a + b )2 - (a - b )2 ]= (b + c - a )(c + a - b )(a + b + a - b )(a + b - a + b ) = 4ab (b + c - a )(a + c - b ) ；（3）原式= x 3 (x + y - z )( y + z - a ) - x 2 z (x + y - z ) - x 2 y (x + y - z )(x - z - a )= x 2 (x + y - z )[x ( y + z - a ) - z - y (x - z - a )]= x 2 (x + y - z )(xz - ax - z + yz + ay ) ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．⎧2x + y = 6 【习题7】 不解方程组⎨x - 3y = 1 ，求代数式7 y (x - 3y ) 2 - 2(3y - x )3的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式= 7 y (x - 3y )2 + 2(x - 3y )3= (x - 3y )2[7 y + 2(x - 3y )]= (x - 3y )2 (2x + y ) ，∴原式=12 ⨯ 6 = 6 ．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】利用分解因式证明：257 - 512 能被120 整除．【难度】★★【答案】略．【解析】原式= 514 - 512 = 512 (52 -1) = 512 ⨯ 24 = 511 ⨯120 ，∴原式能被120 整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】已知x = 3.43 ，y = 3.14 ，求-2x2 - 2xy -1y2 的值．2【难度】★★【答案】-50 ．【解析】原式= -1(4x2 + 4xy +y2 ) =-1(2x +y)2 ，2 2当x = 3.43 ，y = 3.14 时，原式= -1⨯102 =-50 ．2【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】求代数式的值：(3x -2)2 (2x +1) - (3x -2)(2x +1)2 +x(2x +1)(2 -3x) ，其中x =-2 ．3【难度】★★【答案】-4 ．【解析】原式= (3x - 2)2 (2x +1) - (3x - 2)(2x +1)2 -x(2x +1)(3x - 2) = (3x - 2)(2x +1)(3x - 2 - 2x -1-x)= -3(3x - 2)(2x +1) ，当x =-2时，原式= -3⨯ (-4) ⨯ (-4+ 1) =-4 ．3 3【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】 化简下列多项式：1+ x + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3+x )2016．【难度】★★★ 【答案】(1 + x )2016 ．【解析】原式= (1+ x ) + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2016= (1+ x )[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2015 ]= (1+ x )2[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2014 ]= (1+ x )2015 (1+ x )= (1 + x )2016 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】 已知a 2 + 4ab + 4b 2 - 2a - 4b +1 = m 2 ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★【答案】m = ±(a + 2b -1) ．【解析】化简得： (a + 2b )2 - 2(a + 2b ) +1 = m 2 ，即(a + 2b -1)2 = m 2 ，所以m = ±(a + 2b -1) ． 【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】 已知： b + c - a = -2 ，求2 a (a - b - c ) + b ( 2 c - 2 a + 2 b ) + 1c (2b + 2c - 2a ) 的值． 3 3 3 3 3 【难度】★★★ 8【答案】 ．3【解析】原式= 2 a (a - b - c ) + 2 b (c - a + b ) + 2c (b + c - a )3 3 3= 2 a (a - b - c ) - 2 b (a - b - c ) - 2c (a - b - c ) 3 3 3 = 2(a - b - c )(a - b - c ) 3 = 2(a - b - c )2 ， 3b +c - a = -2 ，∴原式= 2 ⨯ 22 = 8．3 3【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意观察所求的式子的特征．+ x (1+【习题14】若a ，b ，c 为正数，且满足a4 +b4 +c4 =a2b2 +b2c2 +c2a2 ，那么a 、b 、c 之间有什么关系？【难度】★★★【答案】a =b =c ．【解析】化简得：a4+b4 +c4 -a2b2 -a2c2 -b2c2 = 0 ，则1[(a2 -b2 ) + (a2 -c2 ) + (b2 -c2 )] = 0 ．2∴a2 =b2 =c2 ，∵ a ， b ， c 为正数，∴a =b =c ．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式-6m2n2 -12m3n4 +9n3 分解因式时，应提取的公因式是（）．A . -6m2 n2【难度】★【答案】D【解析】略B . -6n2C . -3m2 n2D . -3n2【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解1- 4x2 - 4y2 + 8xy 的结果是（）．A . (1+ 2x)(1- 2x)- 4y( y - 2x) C . (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y)B .1- (2x - 2 y)2D . (1+ 2x + 2y)(1- 2x - 2y)【难度】★【答案】C【解析】原式=1- 4(x2 - 2xy +y2 ) = 1- 4(x -y)2 = (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y) ，选择C；【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知x +y = 2 ，求1x2 +1y2 +xy 的值．2 2 【难度】★【答案】2．【解析】原式= 1(x2 + 2xy +y2 ) =1(x +y)2 =1⨯ 4 = 2 ．2 2 2【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x的多项式4(2x-1)2-7(ax+b)可提取公因式2x-1，且整数，则a = ，b = ．a -b = 3 ，a、b 为【难度】★【答案】2，－1．【解析】设a = 2k ，b =-k ，则：2k - (-k) = 3 ，解得：k =1，∴a = 2，b =-1 ．【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式：（1）xy3 - 4xy ；（2）-26xy3 z2 +13xy2 z2 + 52x5 y2 z4 ；（3）a2 (x -y) +b2 ( y-x) ；（4）(m + 5n)2 - 2(5n +m)(n -3m) + (n -3m)2 ；（5）9(a +b)2 + 6(a2 -b2 ) + (a -b)2 ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= xy( y2 - 4) =xy( y + 2)( y - 2) ；（2）原式= -13xy2 z2 (2y -1- 4x4 z2 ) ；（3）原式= (x -y)(a2 -b2 ) = (x -y)(a +b)(a -b) ；（4）原式= [(m + 5n) - (n - 3m)]2 = 16(m - 2n)2 ；（5）原式= (3a + 3b +a -b)2 = 4(2a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）1.1⨯102017 -102016 ；（2）105⨯ 95 ；（3）1.25⨯142 -125⨯8.62 ．【难度】★★【答案】（1）102017 ；（2）9975；（3）－9000．【解析】（1）原式=102016 (1.1⨯10 -1) = 102016 ⨯10 = 102017 ；（2）原式= (100 + 5)(100 - 5) = 10000 - 25 = 9975 ；（3）原式=1.25⨯142 -1.25⨯862 = 1.25(142 - 862 ) = 1.25⨯100⨯ (-72) =-9000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知a = 96，b = 92 ，求a2 - 2ab +b2 - 6a + 6b + 9 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】原式= (a -b)2 - 6(a -b) + 9 = (a -b - 3)2 ，当a = 96，b = 92 时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知10x2+6xy+y2-2x+1=0，求(2x+y)2010 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(9x2 + 6xy +y2 ) + (x2 - 2x +1) = 0 ，即(3x +y)2 + (x -1)2 = 0 ．∴3x +y = 0，x -1 = 0 ，解得：x =1，y =-3 ，∴原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x=a-b，y=a+b时，求代数式(x2 +y2 )2 -(x2 -y2 )2 的值．【难度】★★【答案】4(a -b)2 (a +b)2 ．【解析】原式= (x2 +y2 +x2 -y2 )(x2 +y2 -x2 +y2 )= 4x2 y2 ，当x =a -b ，y =a +b 时，原式= 4(a -b)2 (a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：3(a-b)n-9(b-a)n+1．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式= 3(a -b)n + 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1+ 3a - 3b) ；（2）当n 为奇数时，原式= 3(a -b)n - 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1- 3a + 3b) ．【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，n3 -n 的值必定是6 的倍数．【难度】★★★【答案】略．【解析】原式= n(n2 -1) =n(n + 1)(n -1) ．n -1、n、n +1为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3 的倍数，∴n3 -n 必定是6 的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4 + 4 ．解： x4 + 4 =x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2=（x2+2x+2)(x2-2x+2)．以上解法中，在x4 + 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与x4 + 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）x4 +x2 y2 +y4 ；（2）x4 y4 + 64 ．【难度】★★★【答案】（1）(x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ； （2）(x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy)【解析】（1）原式= x4 + 2x2 y2 +y4 -x2 y2 = (x2 +y2 )2 --x2 y2 = (x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ；（2）原式= x4 y4 +16x2 y2 + 64 -16x2 y2 = (x2 y2 - 8)2 -16x2 y2= (x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy) ．。
整式的乘除与因式分解全单元的教案
整式的乘除与因式分解全单元的教案整式的乘除与因式分解全单元的教案范文第十五章整式的乘除与因式分解15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC 的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为 ?c?h．2．小王的平均速度是．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、 ch、是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x．（2）汽车走过的路程：vt．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．（4）n的相反数是－n．分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、ch都是二次单项式；a3是三次单项式．问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.12r2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．我们可以观察下列代数式：a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c的项分别是a、b、c．t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项．3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．ab-3.12r2的项分别是 ab、-3.12r2．x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．Ⅲ．随堂练习1．课本P162练习Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．2．预习“整式的加减”．课后作业：《课堂感悟与探究》15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
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整式与因式分解教师版
一、选择题
1下列运算正确的是（）
A．（﹣2a3）2=﹣4a6B．=±3C．m2•m3=m6D．x3+2x3=3x3
1解：A、（﹣2a3）2=（﹣2）2•（a3）2=4a6，故本选项错误；
B、=3，故本选项错误；
C、m2•m3=m2+3=m5，故本选项错误；
D、x3+2x3=3x3，故本选项正确．故选D．
2下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5ab B．（﹣2a2b）3=﹣6a6b3C．D．（a+b）2=a2+b2
2解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；
B、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，故此选项错误；
C、+=2+=3，正确；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误；故选：C．
3下列各式计算正确的是（）
A．a2•a3=a6B．（a2）3=a5C．a2+3a2=4a4D．a4÷a2=a2
3解：A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、a2+3a2=4a2，故本选项错误；
D、a4÷a2=a4﹣2=a2，故本选项正确．故选D．
4把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）
A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2
4解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．
5下列计算正确的是（）
A．x3﹣x2=x B．x3•x2=x6C．x3÷x2=x D．（x3）2=x5
5解：A、x3﹣x2，无法计算，故此选项错误；
B、x3•x2=x5，故此选项错误；
C、x3÷x2=x，正确；
D、（x3）2=x5，故此选项错误；故选：C．
6若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）A．4B．﹣4C．16D．﹣16
6解：∵x2﹣3y﹣5=0，∴x2﹣3y=5，
则6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故选：D．
7实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（）
7解：整理得，+（2a+b）2=0，
所以，a+1=0，2a+b=0，解得a=﹣1，b=2，所以，b a=2﹣1=．故选B．
8已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）
A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定
8解：∵M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），
∴，∴N＞M，即M＜N．故选A
9把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
9解：∵（x+1）（x﹣3）=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3∴a=﹣2，b=﹣3．故选：B．
二、填空题
1.分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．
【解答】解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
2. 分解因式：a3－16a＝_____________.2【答案】a(a＋4)(a－4).
3.分解因式：a3﹣9a=a（a+3）（a﹣3）．
3【解答】解：a3﹣9a=a（a2﹣32）=a（a+3）（a﹣3）．
4.观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017．
4【解答】解：（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，
故答案为：a2017﹣b2017
5把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是a（3a+b）（3a﹣b）．
5【解答】解：9a3﹣ab2=a（9a2﹣b2）=a（3a+b）（3a﹣b）．故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）．6分解因式3m4﹣48=3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
6【解答】解：3m4﹣48=3（m4﹣42）=3（m2+4）（m2﹣4）=3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
故答案为：3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
7.分解因式：ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b﹣2）2．
7【解答】解：ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2
8分解因式：ax2－ay2＝______．[答案]a(x－y)(x＋y)．
[解析]先提取公因式a，再用平方差公式分解．原式＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x＋y)．
9如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是1．
9解：∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2，∴m=±2，n=±1，∵m＞0，∴m=2∴n=1，
10分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．
11分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m=（m+3）（m﹣3）．
11【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．12若3x2n y m与x4﹣n y n﹣1是同类项，则m+n=．
12【解答】解：∵3x2n y m与x4﹣n y n﹣1是同类项，∴，解得：
则m+n=+=．故答案为：．
13）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是﹣4032．
13【解答】解：（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数，
根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．
故答案为﹣4032．
14分解因式：a3b﹣9ab=ab（a+3）（a﹣3）．
14【解答】解：a3b﹣9ab=a（a2﹣9）=ab（a+3）（a﹣3）．
15若实数x满足x2﹣x﹣1=0，则=10．
15【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，∴，∴，
∴，即，∴，故答案为：10．
16分解因式：2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y）．
16【解答】解：2x2﹣8y2=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
三、解答题
1.已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
1.【解答】解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2，
，①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，把x=﹣1代入①得：y=，
则原式=+=．
2先化简再求值：232()121
x x x x x x --
÷+++，其中x 满足220x x +-=. 2解析：原式=2(1)32121x x x x x x x +--÷+++ =2222112x x x x x x -++⨯+-=2
(2)(1)12
x x x x x -+⨯+- =)1(+x x =x x +2. 220x x +-=，∴22=+x x ，即原式=2.
3.先化简，再求值：（2x+1）（2x ﹣1）﹣（x+1）（3x ﹣2），其中x=
． 3.【解答】解：（2x+1）（2x ﹣1）﹣（x+1）（3x ﹣2），
=4x 2﹣1﹣（3x 2+3x ﹣2x ﹣2）=4x 2﹣1﹣3x 2﹣x+2=x 2﹣x+1 把x=
代入得：原式=（﹣1）2﹣（﹣1）+1
=3﹣2﹣+2=5﹣3． 4已知4x=3y ，求代数式（x ﹣2y ）2﹣（x ﹣y ）（x+y ）﹣2y 2的值． 4【解答】解：（x ﹣2y ）2﹣（x ﹣y ）（x+y ）﹣2y 2=x 2﹣4xy+4y 2﹣（x 2﹣y 2）﹣2y 2 =﹣4xy+3y 2=﹣y （4x ﹣3y ）．∵4x=3y ，∴原式=0．。