一元二次方程培优提高题.doc

学习必备 欢迎下载

第一节

求根公式

【例题求解 】

【例 1】满足 (n 2

n 1)

n 2

1的整数 n 有

个．

【例 2】设 x 1 、 x 2 是二次方程 x 2

x 3 0 的两个根，那么 x 1 3 4x 2

2

19 的值等于（

）

A ． 一 4

B ．8

C ． 6

D ． 0

【例 3】 解关于 x 的方程 (a 1) x 2 2ax a 0 ．

【例 4】

设方程 x 2 2 x

1

4 0 ，求满足该方程的所有根之和．

【练习题 】

1. 已知 a 、 b 是实数，且 2a 6 b

2 0 ，那么关于 x 的方程 (a

2)x 2 b 2 x a 1 的根

为

．

2. 已知 x

2

3x

2 0 ，那么代数式 (x 1)3

x 2 1

的值是

．

x 1

3. 若两个方程 x

2

ax b

0 和 x 2 bx a 0 只有一个公共根，则 (

)

A ． a b

B ． a b 0

C ． a b 1

D ． a b 1 4. 若 x 2 5x 1 0 ，则 2x 2 9 x 3

5

1 ＝

．

x 2

5. 已知 m 、 n 是有理数，方程 x 2

mx n 0 有一个根是

5 2 ，则 m n 的值为 ．

6. 已知 a 、 b 都是负实数，且

1 1 1 b 0 ，那么 b

的值是 ( )

a b a a

A ． 5 1

B ．

1 5

C ． 1 5

D ．

1 5

2

2

2

2

7. 已知 x 2

2x 2 0 ，求代数式 (x 1)2

( x 3)( x 3)

( x 3)( x 1) 的值．

8. 已知 x

19

8 3 ，求

x 4 6x

3 2x

2

18 x

23

的值．

x

2

8x 15

9. 已知 m 、n 是一元二次方程

x 2

2001 7 0 的两个根，求 ( m 2

2000m 6)(m

2

2002n 8)

x

的值．

10. 已知方程 x 2

3x

1 0 的两根 、 也是方程 x

4

px 2 q 0 的根，求 p 、 q 的值．

第二节 根的判别式

【例题求解 】

【例 1】已知关于 x 的一元二次方程 (1

2 ) x 2 2 k

1 1 0

有两个不相等的实数根，那么

k

x

k 的取值范围是 ．

【例 2】已知关于 x 的方程 x 2

(k 2)x

2 k 0，

(1) 求证：无论 k 取任何实数值，方程总有实数根；

(2) 若等腰三角形△ ABC 的一边长 a ＝ 1，另两边长 b 、 c 恰好是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长．

【例 3】设方程 x 2 ax 4 ，只有 3 个不相等的实数根，求 a 的值和相应的 3 个根．

【例 4】已知关于 x 的方程 x 2

2(2 m) x 3 6m 0

(1) 求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根；

(2) 如果方程的两实根分别为 x 1 、 x 2 ，满足 x 1 =3 x 2 ，求实数 m 的值．【练习题 】

1. 已知 a 4 b 1

0 ，若方程 kx 2 ax b 0 有两个相等的实数根，则 k = ． 2. 若关于 x 的方程 x

2

2 k x 1 0有两个不相等的实数根，则

k 的取值范围是

．

3. 已知关于 x 方程 x

2

2 k

4x k 0

有两个不相等的实数解， 化简 k 2

k 2 4k 4 =．

4. 若关于 x 的一元二次方程 (m

2) 2 x 2 (2m 1) x 1 0 有两个不相等的实数根，则

m 的取值

范围是 (

)

A ． m

3 B ． m

3 C ． m

3

且 m 2

D ． m

3

且 m 2

4

4

4

4 5. 已 知 一 直 角 三 角 形 的 三 边 为 a 、 b 、 c ， ∠ B ＝ 90 ° ， 那 么 关 于 x 的 方 程

a(x 2 1) 2cx b( x 2 1) 0 的根的情况为 (

)

A ．有两个相等的实数根

B ．没有实数根

C ．有两个不相等的实数根

D ．无法确定

6. 如 果 关 于 x 的 方 程

(m

2)x 2 2(m 1)x m

0 只 有 一 个 实 数 根 ， 那 么 方 程

mx 2 ( m 2) x (4 m)

0 的根的情况是 ()

A ．没有实数根

B ．有两个不相等的实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．只有一个实数根

7. 在等腰三角形 ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 a 3 ， b 和 c 是 关于 x 的方程 x

2

mx

2 1 m 0

的两个实数根，求△ ABC 的周长．

2