第三章流体运动学与动力学基础(第1、2、3节)
第三章流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
03 流体动力学基础
第三章 流体动力学基础本章研究流体运动的基本规律及其在工程中的应用基础，介绍流体动力学的基本知识、基本原理和基本方程。
第一节 描述流体运动的两种方法表征运动流体的物理量称为流体的流动参数。
描述流体运动就是要表达流体质点的流动参数在不同空间位置上随时间连续变化的规律。
在流体力学中，描述流体运动的方法有拉格朗日(Lagrange)法和欧拉(Euler)法。
一、拉格朗日法充满流体质点运动的空间称为流场。
拉格朗日法从分析流体质点的运动着手，分析流动参数随时间的变化规律，然后综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。
这种方法与理论力学中描述质点或质点系的方法一样。
显然，这个方法可以了解每个流体质点的运动规律。
由于拉格朗日方法着眼于每个流体质点，需要找到一种方法用以区分不同的流体质点。
通常采用的方法是以初始时刻0t 时，各质点的空间坐标（a ，b ，c ）作为不同质点的区别标志。
在流体运动过程中，每一个质点的运动坐标不是独立变量，而是起始坐标（a ，b ，c ）和时间变量t 的函数。
人们把a ，b ，c ，t 叫做拉格朗日变数。
流体质点的空间位置（z y x ,,），可以表示为⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （3-1） 运动坐标对时间求导，则可得流体质点的速度d d d d d d (,,,)(,,,)(,,,)x y z x x x a b c t v t t t y y y a b c t v t t t z z z a b c t v t t t ∂∂⎫===⎪∂∂⎪∂∂⎪===⎬∂∂⎪∂∂⎪===⎪∂∂⎭ （3-2） 因为c b a ,,不随时间变化，所以tz t z t y t y t x t x ∂∂=∂∂=∂∂=d d ,d d ,d d 。
而在微分之后将c b a ,,看成变数，把t 看成常数，将得到t 时刻流体质点的速度分布。
第3章1 流体运动学基础
2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )
第三章 流体动力学基础
v
qV q
udA
A
u 体积流量
断面平均速度 v（均速）：v qv
udA
A
AA
qv vA
过流断 面面积
注：断面平均流速 v 为假想流速，用于求解其它量时会 产生误差，应进行修正。
均匀流与非均匀流
均匀流
均匀流：流场中各流体质点流速大小、方向沿程不变，流线 为相互平行的直线。
非均匀流：流速大小或方向沿程变化，流线不平行。 均匀流一定是恒定流，恒定流不一定是均匀流
方程的意义：恒定流时流体总是从能量高的断面流向能量低 的断面。
2020/3/22
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元流能量方程的特例 ： z1＋
p1
＋
u12 2g
z2＋
p2
＋
u
2 2
2g
hw12
1） 理想流体：没有粘性力，没有能耗，h′w 1－2＝0，
z1＋
p1
＋ u12 2g
z2＋
p2
＋ u22 ＝const
2g
——称不可压缩理想流体元流恒定流单重流体能量方程
mt2 mt3
二 迹线与流线
迹线（Path Line）——是指质点在某一时段内的运动轨迹线。
迹线是拉格朗日法对流体运动的描述。
为了形象描述流场中的流动情况引入的流线的概念
某时刻，在流场中任取一 流体质点A1，绘出该时刻流体
质点的流速矢量u1，在u1矢量
线上再画出距A1 点很近的A2点， 绘出在同一时刻通过A2点的流 体质点的流速矢量……
欧拉法描写流场时运动要素是时、空（x,y,z,t）的连续函数：
uuxy
ux (x, y, z,t) uy (x, y, z,t)
流体力学 3-1-2流体运动学-33页PPT资料
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
第三章流体运动学与动力学基础
第三章 流体运动学与动力学基础
掌握
四、有效断面、流量和断面平均流速
有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。
所有流线都垂直于有效断面，因此沿有效断面上没有流体流动。 有效断面可以是平面，也可以是曲面。
第三章 流体运动学与动力学基础
流量：单位时间内流过有效断面的流体量。
流量的表达方法：
意义：流线形象的描绘了流场中各质点的瞬时流动方向。 第三章 流体运动学与动力学基础
第三章 流体运动学与动力学基础
方程：以空间点为研究对象，基于欧拉 法推导流线方程：在M点沿流线方向取
有向微元长d s dxi dy j dzk ，质
点M速度为 u ux i uy j uz k 。因为：
掌握
欧拉法及其加速度表达式
第三章 流体运动学与动力学基础
基本概念
流体质点：一个物理点，即流体微团，是构成连续介质的流体的基
本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观 上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学 特性）。
空间点：一个几何点，表示空间位置。 质点与空间点之间的关系：流体质点是流体的组成部分，在运
第三章 流体运动学与动力学基础
i 总流过流断面上，流体速度、流量、压力等运动要素通常不相等； 微小流束过流断面上，认为流体运动要素相等。因此：可以对微小流 束进行数学积分求解相应的总流断面上的运动要素——元流分析法。
如：圆管内部层流的流速分布为旋转抛物面
u2 u1 umax
u2 u1 umax
图3-5 管流总流断面流 ux uy uz
第三章 流体运动学与动力学基础
流线：
定义：某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点的运动方向均与曲线 相切。
第三章流体运动理论与动力学基础[可修改版ppt]
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（2）其他物理量的时间变化率
d
v
dt t
密度：
d（ v）
dt t
d d t tvx xvy yvy z
三、两种方法的比较
由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法 优越，其原因有三。一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这 一数学工具来研究。二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格 朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微 分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分 方程求解容易。三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉 格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方便 的。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数 学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。 他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多 页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变 分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原 理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支 中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和
（1）加速度
a xd dxv t v tx v x xd d x t v y xd d y t v z xd dz t
a x
v x t
vx x
dx vx dt y
dy vx dt z
dz dt
a y
v y t
v y x
dx v y dt y
dy v y dt z
dz dt
a
第三章流体运动理论与动力学 基础
2）基本内容 （1）正确使用流体流动的连续性方程式； （2）弄清流体流动的基本规律——伯努利方程，得
流体动力学基础
（x,y,z,t）——欧拉变量
控制体：将孤立点上旳观察站扩大为一种有合适规模旳连续区域。控制体相对于坐 标系固定位置，有任意拟定旳形状，不随时间变化。控制体旳表面为控制面，控制 面上有流体进出。
质点旳加速度
流体质点运动速度在欧拉法中，因为位置又是时间t旳函数，所以流速是t旳复合函 数，对流速求导可得加速度:
性质：不能相交 ，流体质点不能穿过流管表面。 在定常时，形状和位置不随时间变化而变化。 非定常时，形状和位置可能随时间变化而变化。
2、流束 流管内旳全部流体为流束。流束旳极限是一条流线。极限近于一条流线旳流束为微元流束。
3、总流 把流管取在运动液体旳边界上，则边界内整股液流旳流束称为总流。
4、过流断面 流束中到处与速度方向相垂直旳横截面称为该流束旳过流断面。
动量修正系数—K — 是d实mv际动A量ρv与2dA按断面平均流速计算旳动量旳比值。
β
ρv 2 dA
A
ρv 2 A
1
1 v2A
v2dA 1
A
动量修正系数是无量纲数，它旳大小取决于总流过水断面旳流速分布，分布越均匀，β 值越小，越接近于1.0。
层流流速分布 湍流流速分布
圆管层流 圆管紊流
断面流速分布 旋转抛物面
流线旳作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻经过该点旳流体质点旳流速矢量u1，再画出距1点很近
旳2点在同一时刻经过该处旳流体质点旳流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …， 若各点无限接近，其极限就是某时刻旳流线。
流线旳方程
根据流线旳定义，能够求得流线旳微分方程：
设ds为流线上A处旳一微元弧长:
z
想一想：恒定、不可压情况下，连续性方程旳微分形式。
3 流体运动学和动力学基础1
液体运动有两个特征。一个是“ 液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质； 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同” 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。 各不相同。
因此， 因此，液体运动的描述方法与理 论力学中刚体运动的描述方法就不可能 相同。那么， 相同。那么，这就给液体运动的描述带 来了困难。 来了困难。
t
（a，b，c，t0） ， ，
z a x y
占据起始坐标（ ， ， ） 设某一液体质点 在 t = t0 占据起始坐标（a，b，c1 拉格朗日法
t
） （x，y，z，t） ， ， （a，b，c，t0） ， ，
z a x y
t0 ：质点占据起始坐标： 质点占据起始坐标：
图3.1.1 拉格朗日法
t z y
x = x ( a , b, c , t ) y = y ( a , b, c , t ) z = z ( a , b, c , t )
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点起始坐标 ， ， ）
z M t0 c O b x a x y
图3.1.1 拉格朗日法
问题
x = x(a , b, c , t ) y = y(a , b, c , t ) z = z(a , b, c , t )
( a , b , c ) ∈ limited fluid points
1. 2. 3.
每个液体质点的运动规律都不 同，很难跟踪足够多质点。 很难跟踪足够多质点。 数学上存在难以克服的困难。 数学上存在难以克服的困难。 实用上不需要知道每个质点运 动情况，只需要知道关键之处。 动情况，只需要知道关键之处。
d x ( a , b, c , t ) ux = dt x = x(a , b, c , t ) d d y ( a , b, c , t ) ⇒⇒ u y = y = y(a , b, c , t ) dt dt z(a , ， 速度对 =求导b, c , t ) z t 求导，得到液体质点的加速度, b, c , t ) d z(a uz = dt d 2 x ( a , b, c , t ) d x ( a , b, c , t ) a x = ux = d t2 dt d d y ( a , b, c , t ) d 2 y ( a , b, c , t ) ⇒⇒ a y = uy = dt dt d t2 d z ( a , b, c , t ) d 2 z ( a , b, c , t ) uz = az = dt d t2
第三章流体运动学与动力学基础(第1、2、3节)
ux=ux(x,y,z,t)，
uy=uy(x,y,z,t)， uz=uz(x,y,z,t)， p=p(x,y,z,t)。 式中（x，y，z）是液体质点在t时刻的位置坐标。对同一
液体质点来说，坐标（x，y，z）不是独立的，而是时间t的
函数。于是，加速度的三个坐标分量需要通过相应的三个速 度分量复合求导得到，即
为容器内设有充流体和溢流装置来保持流体位
恒定，液体经孔口出流的流速、压强及来自射流 的形状都不随时间变化，属于恒定流。
2.不稳（非恒）定流
如在流场中，液体质点通过任一空间位置时，只要有任何一
个运动要素是随时间改变的，就称非恒定流。图2-4所示的容器，
由于液体经孔口出流时，容器中流体位逐渐下降，其流速、压
§3-2 流体运动的基本概念
（一）稳（恒）定流与不稳（非恒）定流
1.稳（恒）定流
如在流场中，液体质点通过任一空间位置 时，所有运动要素都不随时间而改变，即对时 间偏导数应等于零，如 等， 这种流动称为恒定流。恒定流时，流速、压强 等运动要素仅是随坐标位置改变，而与时间无 关，所以不存在当地加速度。如图2-3所示，
由于液体质点的运动轨
迹非常复杂，用这种方法
研究液体运动时，数学上 也会遇到很多困难，况且 实用上也不需要知道个别 质点的运动情况。所以除
了少数情况（如波浪运动）
外，在流体力学中通常不 采用这种方法，而采用较 简便的欧拉法 。
（二）欧拉法
欧拉法不是研究每个质点的运动过程，而是研究不同时
刻，在无数个给定空间位置上不同液体质点的运动情况，
强及射流形状都随时间变化，属于非恒定流。 在枯流体期，河道中的流体位、流速和流量随时间变化较小， 可近似认为是恒定流；而在洪流体期，河道中的流体位、流速 和流量随时间有显著变化，即为非恒定流。
第三章 流体运动学与动力学基础2
实际流体总流与理想流体流束的比较
1、能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能
方程的物理意义和几何意义。 1、几何意义 理想流体的伯努利方程式（3-43）中，左端前两项的几 何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重 量流体的位置水头，第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压力 水头，第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表 示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重 量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。
1 gdz dp d(V 2 ) 0 2 1
(3-42)
又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得
V2 gz 常数 2 p V2 z 常数 g 2 g p
或
(3-43)
3.4 理想流体运动微分方程及伯努利方程
式（3-43）称为单位重量不可压缩理想流体在稳定流条件下 沿流线的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同 的值。该方程的适用范围是：理想不可压缩流体在重力作用 下沿同一流线（或微元流束）作稳定流动。若1、2为同一条 流线（或微元流束）上的任意两点，则式（3-43）也可写成
式（3-37）中有三个方程，再加上流体的连续性方
程 d dt divV 0，结合流体的状态方程f(p,ρ,T)=0，就构成了 一个封闭的微分方程组，从理论上提供了求解这四个未知数
的可能性。
3.4 理想流体运动微分方程及伯努利方程
公式说明：
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与 表面力之代数和等于加速度。 （2）适用条件： ① 理想流体：无粘性、无能量消耗。 ② 可压缩、不可压缩流体 ③ 稳定流、不稳定流
上次课复习
流体力学第三章流体运动学与动力学基础
流体力学第三章流体运动学与动力学基础第三章流体运动学与动力学基础主要内容 ? 基本概念 ? 欧拉运动微分方程 ? 连续性方程——质量守恒* ?伯努利方程——能量守恒** 重点 ? 动量方程——动量守恒** 难点 ? 方程的应用第一节研究流体运动的两种方法? 流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
? 空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t) y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t) 4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerianmethod1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
工程流体力学 (袁恩熙 著) 石油工业出版社 课后答案
第一章 流体及其主要物理性质1-1.轻柴油在温度15ºC 时相对密度为0.83，求它的密度和重度。
解：4ºC 时所以，33/8134980083.083.0/830100083.083.0mN m kg =⨯===⨯==水水γγρρ1-2.甘油在温度0ºC 时密度为1.26g/cm3，求以国际单位表示的密度和重度。
333/123488.91260/1260/26.1m N g m kg cm g =⨯==⇒==ργρ 1-3.水的体积弹性系数为1.96×109N/m 2，问压强改变多少时，它的体积相对压缩1％？MPa Pa E E VVVV p p6.191096.101.07=⨯==∆=∆=∆β 1-4.容积4m 3的水，温度不变，当压强增加105N/m 2时容积减少1000cm 3，求该水的体积压缩系数βp 和体积弹性系数E 。
解：1956105.2104101000---⨯=⨯--=∆∆-=Pa p V V p β Pa E p89104105.211⨯=⨯==-β 1-5. 用200L 汽油桶装相对密度为0.70的汽油，罐装时液面上压强为1个大气压，封闭后由于温度变化升高了20ºC ，此时汽油的蒸气压为0.18大气压。
若汽油的膨胀系数为0.0006ºC －1，弹性系数为14000kg/cm 2。
试计算由于压力及温度变化所增减的体积？问灌桶时每桶最多不超过多少公斤为宜？解：E ＝E ’·g ＝14000×9.8×104PaΔp ＝0.18atdp pVdT T V dV ∂∂+∂∂=00V TVT V V T T ββ=∂∂⇒∂∂=00V p V p V V p p ββ-=∂∂⇒∂∂-= 所以，dp V dT V dp pVdT T V dV p T 00ββ-=∂∂+∂∂=从初始状态积分到最终状态得：LL L V p p E V T T V V dpV dT V dV T p pp T T T VV 4.21057.24.2200108.914000108.918.020*******.0)(1)(34400000000≈⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=---=--=-⎰⎰⎰βββ即()kg V V M 32.13810004.220010007.0=-⨯⨯=∆-=ρ另解：设灌桶时每桶最多不超过V 升，则200=++p t dV dV VV dt V dV t t 2000061.0⨯=⋅⋅=βV dp V dV p p 18.0140001⨯-=⋅⋅-=β（1大气压＝1Kg/cm 2） V ＝197.6升 dV t ＝2.41升 dV p ＝2.52×10-3升G ＝0.1976×700＝138Kg ＝1352.4N 1-6.石油相对密度0.9，粘度28cP ，求运动粘度为多少m 2/s?解：s Pa P sPa s mPa P cP ⋅=⋅=⋅==--1.0110110132()cSt St s m 3131.0/101.310009.01028253==⨯=⨯⨯==--ρμν 1-7.相对密度0.89的石油，温度20ºC 时的运动粘度为40cSt ，求动力粘度为多少？ 解：89.0==水ρρd ν＝40cSt ＝0.4St ＝0.4×10-4m 2/s μ＝νρ＝0.4×10-4×890＝3.56×10-2 Pa ·s 1-8.图示一平板在油面上作水平运动，已知运动速度u=1m/s ，板与固定边界的距离δ=1，油的动力粘度μ＝1.147Pa ·s ，由平板所带动的油层的运动速度呈直线分布，求作用在平板单位面积上的粘性阻力为多少？解：233/10147.11011147.1m N dy du ⨯=⨯⨯==-μτ 1-9.如图所示活塞油缸，其直径D ＝12cm ，活塞直径d ＝11.96cm ，活塞长度L ＝14cm ，油的μ＝0.65P ，当活塞移动速度为0.5m/s 时，试求拉回活塞所需的力F=？解：A ＝πdL , μ＝0.65P ＝0.065 Pa ·s , Δu ＝0.5m/s , Δy=(D-d)/2()N dy du AF 55.821096.11125.010141096.1114.3065.0222=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---μ第二章 流体静力学2-1. 如图所示的U 形管中装有水银与水，试求：（1）A 、C 两点的绝对压力及表压各为多少？ （2）A 、B 两点的高度差为多少？解：① p A 表＝γh 水＝0.3mH 2O ＝0.03at ＝0.3×9800Pa ＝2940Pap A 绝＝p a + p A 表＝（10+0.3）mH 2O ＝1.03at ＝10.3×9800Pa＝100940Pap C 表＝γhg h hg + p A 表＝0.1×13.6m H 2O+0.3mH 2O ＝1.66mH 2O ＝0.166at＝1.66×9800Pa ＝16268Pap C 绝＝p a + p C 表＝（10+1.66）mH 2O ＝11.66 mH 2O ＝1.166at ＝11.66×9800Pa ＝114268Pa ② 30c mH 2O ＝13.6h cmH 2O ⇒h ＝30/13.6cm=2.2cm题2-2 题2-32-2.水银压力计装置如图。
2-第2讲 流体动力学基础
dx(a, b, c, t ) u dt dy (a, b, c, t ) v dt dz (a, b, c, t ) w dt
（3-2）
式中，u，v，w 分别为流体质点沿 x，y，z 方向的分速度。 由于有无限多的流体质点， 必须选择有代表性的质点进行逐一的研究， 所建立的数学方 程组很大，求解也比较困难，故除特殊情况外，一般很少使用。 2、 欧拉法
问题讨论：水在一渐缩管道中做定常（与时间无关）的流动如图 3-1 所示。问某截面处 水流的加速度是否为零？（否，当地加速度为 0，但迁移加速度不等于 0）
D
V0
O
u
d
x
x
L
图 3-1 渐缩管道内的加速度
在图示的渐缩管道中，入口处平均流速为 V0 ，入口处断面面积为
A0
D 2
4
设 x 轴坐标原点在入口中心处，则在坐标为 x 处的截面积为
V dl 0 dx dy dz u v w
（3-12）
这就是流线方程。由于式中的 dl 不是位移，所以它并不表示某一个流体质点的运动轨迹。 它是和照相一样，给出了某一瞬间 t 一些流体质点的运动图像。 流线具有如下的性质： （1） 一般情况下，流线不能相交，也不能突然转折，流线只能是一条光滑的曲线。因 为若两条流线相交则在交点处产生速度的不确定性问题。 若两条流线相交于 A 点，如图 3-4 所示，则在 A 点的质点同时有两个运动方向，这显 然是不能成立的。同理，流线也不能突然转折，故只能是一条光滑的曲线或直线。 注：流线可能相交在驻点或流场中的奇点处。
dl V ui vj wk dt
u
则有
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由于实际液体存在粘滞性使液流运动的分析比较复杂。
所以本章先以忽略粘滞性的理想液体模型作为研究对象，
着重研究和分析理想液体运动的基本规律。然后在此基础 上进一步研究实际液体。 本章主要内容讨论液流运动规律的三大基本方程，即 质量方程（连续方程）、能量方程和动量方程。它是学习
压强及射流形状都随时间变化，属于非恒定流。
在枯流体期，河道中的流体位、流速和流量随时间变化较小， 可近似认为是恒定流；而在洪流体期，河道中的流体位、流速 和流量随时间有显著变化，即为非恒定流。
（二）迹线与流线
1.迹线 用拉格朗日法描述液体运动是研究每个液体质点在不 同时刻的运动情况。如果将某一质点在连续时间过程内所 占据的空间位置连成线，即为迹线，迹线就是液体质点运 动的轨迹线。 2.流线
由于
故
式中等号右侧第一项 是指同 一地点（位置坐标不变）由于时间变化而形成的加 速度，称为当地加速度；等号右侧后三项之和是指 同一时刻因地点变化而形成的加速度，称为迁移加 速度。所以，欧拉法定义流场中液体质点的加速度 是当地加速度与迁移加速度之和。例如，由流体箱 侧壁接出一根收缩管（图2-2），流体流经该管时， 由于箱中流体位逐渐下降，收缩管内同一点的流速 随时间不断减小，从而产生加速度就是当地加速度 （此值为负）；另一方面，由于管段收缩，同一时 刻收缩管内各点的流速又沿程增加，如A点经过dl距 离到B点，由于VB＞VA，所产生的加速度就是迁移加 速度（此值为正）。
分布曲线与过流体断面所围的体积（图2-9），即
（五）有压流和无压流 没有自由液面的液流称为有压流或管流，具有自由液面的 液流称为无压流或明渠流。
（六）均匀流和非均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流；反之，称非均匀流。例
如，液体在等截面直管中的流动，或液体在断面形式与大小沿
程不变的直长渠道中的流动都是均匀流。液体在收缩管、扩散 管或弯管中的流动，以及液体在断面形式或大小变化的渠道中 的流动都形成非均匀流。在均匀流时不存在迁移加速度， 即 ，其总流的流线簇为彼此平行的直线簇。
（七）一元流、二元流和三元流
客观存在的液流运动，其主要趋势总是向某一定方向流动，
也就是说它在某一方向上的流动是非常明显的。人们常说， “长江滚滚向东流”，指的是它的主要趋势。但对实际液流进 行仔细观察就会发现，液体在流动过程中，并不是仅仅沿着一 个方向，而是沿着两个方向甚至三个方向都有流速。
如果某种液流，在一个方向流动最为显著，而在其余两个
设某一时刻经过点1的流体质点的流速为u1，经过dt1 时间该质点运动到无限接近的点2时，在恒定流条件下， 仍以原来的流速u2运动，于是经过dt2时间，它必然到 达点3，……，如此继续下去，则曲线1-2-3-……即为
迹线。而前面已说明此曲线为流线，因此液体质点的
运动迹线在恒定流时与流线相重合。
流线具有以下特性：
（三）流管、流束（元流）与总流
1.流管
在液流中任意取一条微小的封闭曲线C（图2-7），通过该曲
线C上的每一个点作流线，这些流线所形成的一个封闭管状曲 面称为流管。 2.流束（元流） 充满在流管中的液流称为元流或微小流束。 3.总流 由无数元流组成的整个液流（如通过河道、
管道的流体流）称为总流，总流的边界就是一个大流管。
§3-2 流体运动的基本概念
（一）稳（恒）定流与不稳（非恒）定流
1.稳（恒）定流
如在流场中，液体质点通过任一空间位置 时，所有运动要素都不随时间而改变，即对时 间偏导数应等于零，如 等，
这种流动称为恒定流。恒定流时，流速、压强 等运动要素仅是随坐标位置改变，而与时间无 关，所以不存在当地加速度。如图2-3所示，
设起始时刻为to，液流中 各质点的起始位置为A1、A2、 A3、……（图2-1）， 其空间坐 标分别为（a1，b1，c1）， （a2，b2，c2）,（a3，b3， c3）……，经某一时段后，于 时刻t各质点运动到位置B1、B2、 B3、……，其坐标分别为（x1， y1，z1）,（x2，y2，z2）， （x3，y3，z3）……。因为不 同质点有不同的起始位置，同 一质点的位置又随时间而变化， 因此液体质点的坐标（x，y，z） 是起始坐标（a，b，c）和时间 t的函数，即
流线是某一瞬时在流场中绘出的曲线，在这条曲线上
所有各质点的流速矢量都和该曲线相切。因此流线表明了 某瞬时流场中各点的流速方向。
流线的作法如下：在流场中任取一点1（图），绘出在某
时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再在该矢量上取 距点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的液体质点的 流速矢量u2，……，如此继续下去，得一折12345……， 若折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流
方向的流动可以忽略，称为一元流。此时，运动要素只与一个 位置坐标有关。对于总流，若把过流体断面上各点的流速用断 面平均流速代替，这时总流可作为一元流。例如，管道或渠道 中的液流。
如果某种液流主要表现在两个方向的流动，而第三个方向
的流动可以忽略，称为二元流或平面流动。这种液流在某一方
向的尺度远远大于其余两个方向的尺度。图2-10a所示为在x方 向很长的滚流体流的溢流情况，可以认为沿x轴线方向没有流动， 仅在yoz一系列平行平面上流动，而且这些平面上各点的流动 状态相同，其运动要素只与位置坐标（y，z）有关，因而仅需 研究平行平面中任何一个平面上的液流运动情况。
四）有效（过流体）断面、流量与断面平均流速
1.有效（过流体）断面 垂直于元流或总流流向的横断面称为过流体断面。直的管 道和直的河道，其过流体断面是平面，如图a、b中a-a和b-b断 面；渐扩管、渐缩管及闸孔出流的过流体断面是曲面，如图28c、d、e中c-c、d-d、及e-e断面。 元流的过流体断面面积为无限小，它上面各点的运动要素， 如流速、压强等，在同一时刻可认为是相同的；而总流的过流 体断面上各点的运动要素一般是不同的。
当三个方向的流动都不能忽略的液流，即空间任何一
点的运动要素均不相同，或者说在液流中运动要素是三个 位置坐标的函数，称为三元流或空间流。例如图2-10b所示 液流流入喇叭口时的流动
。
§3-3 连续性方程
液流被看作连续介质的运动，同时又遵循质量守恒定律。 由连续介质的概念和质量守恒原理出发，则可导出流速和过 流体断面面积之间的关系式，即是恒定总流连续方程。 如图2-11所示， 从恒定的总流中任取一段，其进口过流 体断面1－1面积为A1，出口过流体断面2－2面积为A2；再从 中任取一束元流，其进、出口的过流体断面面积及流速分别 为dA1、dA2、u1、u2。在恒定流条件下，元流的形状和元流 段内的液体质量不随时间变化，不可能有液体经元流侧面流 进或流出，液流是连续介质，元流内部不存在空隙。
场中经过点1的流线。如果绘出在同一瞬时各空间点的一
簇流线，则这些流线的综合，就可以清晰地表示出整个空 间在该瞬时的流动图象。所以流线是欧拉法分析流动的重 要概念。
流线和迹线是两个完全不同的概念。非恒定流时 不同瞬时的流线是不同的，流线与迹线不相重合，但
恒定流时流线与量
单位时间内通过某一过流体断面的流体体积称为流量， 用符号Q表示。它的单位是米 /秒（m /s）或升/秒（l/s） 。有时也以单位时间内通过的流体重量表示流量大小，称为 重量流量，其表示式为γQ，它的单位是千牛/小时（kN/h） 。 因为元流过流体断面上各点的流速在同一时刻可认为是 相同的，而过流体断面又与流速矢量相垂直，所以元流的流 量为 dQ=udA 。 式中：A为过流体断面面积。 总流的流量等于所有元流的流量之总和,即
3.断面平均流速 因为总流过流体断面上各点的流速是不相同的， 例如
管道中靠近管壁处流速小，而中间流速大，如图2-9所示。所
以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称为断面平均 流速，用符号v表示。它是一个假想的流速。假设总流过流体 断面上的流速按v值均匀分布，由此算得的流量vA应等于实际 流量Q，其几何解释是：以底为A、高为v的柱体体积等于流速
从本章开始，将转入讨论流体动力学的问题。流体动力学 是研究液体的运动规律及其在工程中的应用。液体的运动 规律，主要是指液体在运动状态下，作用于液体上的力和 运动要素之间的关系，以及液体的运动特性与能量转换规 律等。 表征液体运动状态的物理量有速度、加速度、动流体
压强（即液体运动时某点的压强）、切应力与密度等，统
由于液体质点的运动
轨迹非常复杂，用这种方
法研究液体运动时，数学 上也会遇到很多困难，况 且实用上也不需要知道个 别质点的运动情况。所以
除了少数情况（如波浪运
动）外，在流体力学中通 常不采用这种方法，而采 用较简便的欧拉法
。
（二）欧拉法
欧拉法不是研究每个质点的运动过程，而是研究不同
时刻，在无数个给定空间位置上不同液体质点的运动情况，
第三章流体运动学与动力学基础
主要内容 §3-1 研究流体流动的方法 §3-2 流体运动的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 理想流体运动微分方程及伯努利方程 §3-5 实际流体总流的伯努利方程
§3-6 泵对流体能量的增加
§3-7 系统与控制体(不讲)
§3-8 稳定流的动量方程和动量矩方程
前一章讨论的液体静止问题仅仅是相对的特殊的情况。
（1）流线是代表流速方向的矢量线，其疏 密度代表流速的大小。 （2）流线不能相交，即液体质点不能穿越 流线。因为同一流体质点在同一瞬时不能有 两个流动方向。如果流线相交，那么交点处 的流速矢量应同时与这两条流线相切，显然 这是不可能的。 （3）流线是光滑曲线。流体假定为连续介 质，各运动要素在空间的变化应是连续的， 流速矢量在空间的变化亦应是连续的。因此 流线是不会发生转折，否则在转折点处，同 样将出现有两个流动方向的矛盾现象，所以 流线只能是一条光滑的曲线。如图2-6a，b 所示。