导数及定积分知识点的总结及练习(经典)

导数的应用及定积分

（一）导数及其应用

1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim

Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim

Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。 2．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝lim

Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

3．函数的导数

对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim

Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。

5．常见函数的导数

(x n )′＝__________.(1

x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.

(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：

(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛

⎭⎫

f (x )

g (x )′＝___________________.

（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

6．函数的单调性

设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，

(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．

(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．

7．函数的极值

x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．

8．函数的最值

假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．

9．生活中的实际优化问题

（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．

（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分

1．曲边梯形的面积

(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．

(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ②近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；

③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；

④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．

2．求变速直线运动的路程

如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.

3．定积分的概念

如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

i 1f(ξi )Δx

＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作

⎰

b

a

f (x)dx ，即⎰b

a

f (

x )d x ＝_________．