垂径定理学案
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
垂径定理教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的定义和几何意义；2. 掌握垂径定理的基本运用；3. 培养学生的几何思维和逻辑推理能力。
二、教学内容：垂径定理是平面几何中的重要定理，它为解决与圆相关的问题提供了有力的工具。
垂径定理是指，如果一个直径的两个端点与圆上的两点相连，并且这两条线段相互垂直，则这两条线段的中点一定在圆上。
三、教学过程：1. 理论讲解（15分钟）a. 引入垂径定理的概念，解释定理的定义和意义；b. 对与垂径定理相关的基本术语进行解释，如直径、垂直等；c. 展示垂径定理的证明过程，说明定理的正确性和普适性。
2. 实例演示（20分钟）a. 通过几个具体的实例，演示垂径定理的运用方法；b. 教师可以将实例分为直接应用和间接应用两种情况，让学生思考不同情况下如何运用垂径定理解决问题；c. 引导学生进行讨论和解答，帮助他们理解垂径定理的应用。
3. 案例分析（25分钟）a. 布置几个与垂径定理相关的问题；b. 学生以小组形式进行分析和解答，并展示他们的思路和解题过程；c. 教师根据学生的表现和分析结果，对解题思路进行点评和指导。
4. 提升拓展（20分钟）a. 强化学生对垂径定理的理解，通过练习题检验学生的掌握程度；b. 针对高阶问题和拓展思考，引导学生运用垂径定理解决更复杂的几何问题；c. 鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的逻辑推理能力和创新思维。
四、教学评价：1. 在教学过程中，教师可以通过观察学生的参与度和回答问题的准确度，进行个别或整体评价；2. 在案例分析环节，教师可以根据学生的表现，评价他们的分析能力和解题思路；3. 练习题的考查结果可以用来评价学生对垂径定理掌握的程度。
五、教学反思：垂径定理是一个相对简单但重要的定理，通过教学设计和教学过程的安排，可以提高学生对该定理的理解和应用能力。
在教学中，要注意引导学生进行思辨和探究，并关注学生的自主学习能力的培养。
此外，可增加一些趣味性的教学方法，如游戏、实验等，以激发学生的学习兴趣和主动性。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
初中垂径定理的应用教案
初中垂径定理的应用教案教学目标：1. 理解并掌握垂径定理的内容及应用。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 垂径定理的理解和应用。
2. 培养学生的解决问题的能力。
教学难点：1. 如何正确运用垂径定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示垂径定理的定义和图像。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用垂径定理。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念，如圆、半径、弦、直径等。
2. 提问：你们认为圆有什么特殊的性质吗？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义和图像，解释垂径定理的意义。
2. 通过示例，演示如何应用垂径定理解决实际问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些应用垂径定理的实际问题。
2. 引导学生分组讨论，互相解答疑问。
四、总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结垂径定理的应用方法和步骤。
2. 提问：你们还能想到其他的应用垂径定理的问题吗？五、课后作业（5分钟）1. 布置一些应用垂径定理的实际问题，让学生回家练习。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义和图像，引导学生理解并掌握垂径定理的应用方法。
通过课堂练习和分组讨论，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生正确应用垂径定理，解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
同时，教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
初中垂径定理教案
初中垂径定理教案教学目标：1. 理解垂径定理的概念及其实际应用。
2. 学会运用垂径定理解决相关几何问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
教学内容：1. 垂径定理的定义及证明。
2. 垂径定理的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学习过的等腰三角形的性质，如等腰三角形的底角相等、中线垂直于底边等。
2. 提问：圆是否有类似的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义：圆中，如果一条直线垂直于一条弦，那么这条直线必过圆心。
2. 证明垂径定理：a. 画出圆和一条垂直于弦的直线。
b. 连接圆心和直线上的点。
c. 利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质，得出结论。
3. 讲解垂径定理的逆定理：如果一条直线过圆心，那么这条直线必垂直于某条弦。
三、例题解析（15分钟）1. 给出例题，让学生尝试运用垂径定理解决问题。
2. 引导学生分析题目，画出图形，并逐步解题。
3. 讲解解题思路和技巧。
四、课堂练习（10分钟）1. 给出几道练习题，让学生独立完成。
2. 挑选部分学生的作业进行讲解和评价。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结垂径定理的重点和难点。
2. 提问：垂径定理在实际应用中还有哪些作用？3. 引导学生思考和探索垂径定理在其他领域的应用。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对垂径定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解其掌握程度。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法。
教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义、证明和应用，使学生掌握了垂径定理的基本知识。
在课堂练习环节，学生能够独立解决问题，对垂径定理有一定的掌握。
但在拓展环节，学生对垂径定理在其他领域的应用思考不够深入，需要在今后的教学中加强引导和培养。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
27.1.2 第2课时 垂径定理 华师版九年级数学下册学案
27.2 圆的对称性2.圆的对称性第2课时垂径定理学习目标：1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）自主学习一、知识链接1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________.2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴=_______.二、新知预习（预习课本P39-40）填空并完成练习：(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧.(3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦.练习：合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做 1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，和，和，你有什么发现？请证明你的结论.【要点归纳】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，，.想一想下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）（2）（3）（4）归纳总结：垂径定理的几个基本图形【典例精析】例1 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm.【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件.思考探索如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？命题1 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1) CD⊥AB吗？为什么？(2) 与相等吗？与相等吗？为什么?【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.命题2 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为的中点.(1) CD⊥AB吗？请说明理由；(2) AE=BE吗？请说明理由.【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.【典例精析】例2 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.方法一：证明：作直径MN⊥AB.方法二：证明：取的中点M，连结OM.度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．【方法归纳】在圆中涉及弦长a，半径r，弦心距(圆心到弦的距离)d，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、课堂小结内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”).辅助线两条辅助线：半径，弦心距.垂径定理基本图形及变式图形构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解.当堂检测1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=____cm.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm.3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________.4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长.5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径.6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．参考答案自主学习一、知识链接1.轴直径所在的直线2.OB等腰BE∠BOD二、新知预习（1）平分平分（2）垂直于平分（3）垂直平分练习：（1）12 5 （2）12 24 （3）13合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做：1.AE=BE，，证明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴.想一想：解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆心.【典例精析】例1 16【针对训练】解: 连结OA，∵CE⊥AB于点D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5cm.即半径OC的长为5cm.思考探索命题1 解：（1）CD⊥AB. 连结AO、BO，则AO=BO，又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得= ，= .命题2 解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D为的中点，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB.（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，则AE=BE.【典例精析】则（垂，∴∴.方法二：证明：取的中点M，连结OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴，∴∴.径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连结OA OD．根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，则OD=r-4.根据勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5，答：拱桥的半径是6.5米．【针对训练】解：连结OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2．解得x=13．∴⊙O的半径为13．当堂检测1. 32. 53. 24.解：连结OB，∵AO⊥BC，垂足为D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°.由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=5.解：（1）画出弦CD，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连结OD，∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5．6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O 于点E，则AD=BD=AB=×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=cm，∴输水管的半径为cm．。
垂径定理优秀教学设计(教案)
垂径定理优秀教学设计(教案)一、教学内容本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理，并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生通过观察、操作、探究，掌握垂径定理，提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：掌握垂径定理及运用。
难点：理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程1. 情境引入：利用PPT展示生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的性质。
提问：“你们知道圆有哪些性质吗？”2. 自主探究：3. 小组交流：4. 例题讲解：利用PPT展示例题，如：“在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
”让学生独立思考，然后讲解解题思路，引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，如：“已知圆的直径为10cm，求证：垂直于直径的线段也是10cm。
”学生独立完成练习，教师巡回指导，及时纠正错误。
6. 巩固提高：出示拓展题目，如：“在圆中，已知一条弦长为8cm，求证：垂直于该弦的线段也是8cm。
”学生分组讨论，运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结：六、板书设计板书垂径定理板书内容：1. 圆的性质：圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计1. 请用文字和图形描述垂径定理。
答案：垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
答案：略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理。
在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、观察能力和空间想象能力。
课堂练习和拓展延伸环节，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
1.2 过程与方法：通过观察、猜想、证明的过程，让学生体验数学的探究过程。
运用图形计算器或信息技术工具，帮助学生更好地理解垂径定理。
1.3 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心。
培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。
理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。
2.2 学情分析：了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。
了解学生对几何证明的掌握程度，为学生提供必要的支持。
第三章：教学重难点3.1 教学重点：让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。
能够运用垂径定理解决相关的几何问题。
3.2 教学难点：理解并证明垂径定理。
灵活运用垂径定理解决实际问题。
第四章：教学方法与手段4.1 教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、猜想、证明。
运用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论。
4.2 教学手段：使用图形计算器或信息技术工具，展示几何图形，帮助学生更好地理解垂径定理。
提供相关的练习题和案例，供学生实践和应用垂径定理。
第五章：教学过程5.1 导入：通过引入实际问题或情境，激发学生的兴趣和好奇心。
引导学生观察和猜想垂径定理的内容。
5.2 探究与证明：引导学生进行小组合作学习，共同探究垂径定理的证明过程。
引导学生运用几何知识和证明方法，进行逻辑推理和证明。
5.3 应用与练习：提供相关的练习题和案例，让学生运用垂径定理解决问题。
引导学生进行自主学习和合作交流，解答练习题和案例。
鼓励学生反思自己的学习过程，提出问题和建议，为后续学习做好准备。
1. 导入新课通过展示实际问题，引入垂径定理的概念和意义。
提供具体的垂径定理案例，让学生观察和分析，引导学生猜想垂径定理的内容。
第五章：垂径定理的证明通过引导学生运用已有知识，尝试证明垂径定理。
垂径定理学案
BACOM 3.2.1圆的对称性（垂径定理）课标转述：1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
2、理解圆的对称性及相关性质。
3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
学习目标１、知道圆是轴对称图形．２、能说出弧、弦、直径等和圆有关的定义，并能说出他们之间的区别和联系． 3、能背诵垂径定理的的内容，并会对垂径定理进行推导证明．4、能熟练运用垂径定理解决有关弦、弧以及半径之间的证明和计算问题． 学习过程一、自学教材96—98页，弄懂下列问题： 1、（回忆）：点与圆有哪几种位置关系？2、什么是圆？圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？3、快速填空弧： 弦： 直径： 优弧： ，如右图，记作： 劣弧： ，如右图，记作： 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
4、垂径定理的的内容是什么？（背诵） 二、探究一：研究圆的对称性，完成“目标一”1、你是用什么方法解决上面第2个问题的？与同伴交流并在班里展示 结论：圆是 图形，对称轴是 ．针对训练：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）注意：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．三、探究二：牢记与圆有关的定义，并能区分它们之间的区别和联系，完成“目标二”： 根据弧、弦、直径的定义，讨论以下问题 1）直径和弦的关系是什么？ 2）半圆和弧的关系是什么？ 3）半圆是优弧吗？是劣弧吗？结论： ； ； ； 四、探究三：牢记并证明垂径定理，完成“目标三” 如图：1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 你能用所学过的几何知识进行证明吗？先在小组内交流，然后在班级展示。
垂径定理（文字语言）： 。
垂径定理（几何语言）：五、例题讲解，完成“目标四” 【例1】自学课本P99例1【例2】 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 解：小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的 主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．弦长、半径、弦心距 三个量中已知两个，就可以求出第三个． 六、当堂训练1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．2．如下左图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ） A ．3 B ．6cm C ． cm D ．9cm注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
3.3垂径定理-(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了垂径定理及其在实际问题中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出与生活密切相关的问题，激发了学生的兴趣。这种方法有助于吸引学生的注意力，使他们更快地进入学习状态。在今后的教学中，我将继续采用这种导入方式，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为垂径定理在建筑设计中有哪些应用？”
-理解垂径定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理过程往往感到困难。
-作图的准确性：学生在作图时难以精确地表示出直径垂直于弦，以及弦被平分的情况。
-弦、弦心距、半径之间数量关应用于不同题型。
-解决实际问题时构建数学模型的能力：学生需要学会将实际问题转化为数学问题，并运用垂径定理进行解决。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指出，圆的直径垂直于其所在的弦，并且平分这条弦。这个定理在几何学中非常重要，它不仅揭示了圆的内在性质，还在解决实际问题中有着广泛的应用。
《垂径定理》教学设计教案完整版
圆的性质包括圆心到圆上任意一点 的距离都等于半径，以及圆上任意 两点间的弧长与这两点间所夹圆心 角的大小成正比。
直径、半径和弧的概念
直径是穿过圆心、连 接圆上任意两点的线 段，其长度等于两倍 的半径。
弧是圆上两点间的部 分，根据圆心角的大 小可分为优弧、劣弧 和半圆。
半径是从圆心到圆上 任意一点的线段，其 长度等于圆的半径。
分享交流探究成果
分享方式
每个小组选派一名代表， 向全班展示他们的探究 过程和成果，可以通过 口头报告、PPT演示、 板书等方式进行。
交流内容
包括问题背景、解决方 法、遇到的困难、取得 的成果以及心得体会等。
互动环节
其他小组可以提问、补 充或发表不同看法，促 进全班范围内的深入交 流和讨论。
教师点评与总结
布置适量练习题，让学生独立完 成，检验学生的学习效果。
课程引入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
回顾本课所学内容，总结垂径定 理及其逆定理的应用方法，鼓励 学生课后继续探究相关问题。
02 基础知识回顾
圆的性质与定义
01
圆是平面上所有与定点（圆心）距 离等于定长（半径）的点的集合。
05 学生自主探究活动
分组探究垂径定理的应用
分组
将全班学生分成若干小组，每组4-6人，确保每组学生具有不同 的数学能力和背景。
探究任务
给每个小组分配一个与垂径定理相关的数学问题或应用场景，例 如求解圆的弦长、判断点与圆的位置关系等。
探究过程
学生小组内进行讨论、分析、尝试解决问题，并记录探究过程和 结果。
垂径定理的表述
在平面内，垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分 弦所对的两条弧。
垂径定理教学设计(共19篇)
垂径定理教学设计〔共19篇〕篇1：垂径定理教学反思垂径定理教学反思本节课的教学目的是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
垂径定理是圆的轴对称性的重要表达，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要根据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比拟，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。
这节课我通过七个环节来完本钱节课的教学目的，采用了类比，启发等教学方法。
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
这点学生理解的很好。
根据这个性质先按课本进展合作学习1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探究的根底上，得出结论：〔先介绍弧相等的概念〕①EA=EB；②AC=BC，AD=BD.理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。
∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。
垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB〔OC⊥AB〕∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由根底到进步，层层深化，学生很有兴趣。
做完题目后总计解题的主要方法：〔1〕画弦心距是圆中常见的辅助线；〔2〕半径〔r〕、半弦、弦心距〔d〕组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长本节课缺乏之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。
垂径定理教案
C
A
B
M
OA OB
O
OM OM
∴Rt△ OAM≌Rt△ OBM ∴AM=BM ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 ∵⊙O 关于直径 CD 对称
∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合，AC 与 BC 重合，AD 与 BD
重合． ∴ AC BC ， AD BD
三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.已知⊙O 的直径 AB=10，弦 CD ⊥AB，垂足为 M，OM=3，则 CD=
.
3.在⊙O 中，CD ⊥AB 于 M，AB 为直径，若 CD=10，AM=1，则⊙O 的半径
是
.
4 . 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D
两点。
求证：AC＝BD。
5.已知：在⊙O 中，AC,AB 为互相垂直的两条相等的弦，OD AB, OE AC 求证：四边形 ADOE 为正方形。
一、复习引入 大家知道赵州桥吗？它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人
民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形。假如知道它的跨度（弧所对的弦 的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2 米，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
二、探索新知 （实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由 此你能得到什么结论？ 结论： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． （学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M．
引导，协助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活
垂径定理教案范文
垂径定理教案范文一、教学目标1.知识目标：掌握垂径定理的概念和基本性质，理解垂径定理的证明方法。
2.技能目标：能够灵活应用垂径定理解决几何问题。
3.情感目标：培养学生对几何学习的兴趣和好奇心，激发学生的创造思维和解决问题能力。
二、教学重难点1.教学重点：掌握垂径定理的概念和性质，理解垂径定理的证明方法。
2.教学难点：能够运用垂径定理解决几何问题。
三、教学准备1.教具准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。
2.教材准备：教科书、练习册。
四、教学过程步骤一：导入问题1.教师出示一张图片，上面有一个圆，让学生思考并回答：如何确定一个圆上其中一点的切线？2.引导学生思考，如果有一个点在圆上的直径上，这个点与圆上其他点的位置关系又如何呢？步骤二：引出垂径定理1.教师指导学生完成以下实验：在黑板上画一个圆，并选择一个点作为圆上的直径的一端点。
2.学生观察并进行推理，由实验现象引出垂径定理的概念。
3.教师从定义的角度向学生解释垂线与直径的关系，引出垂径定理的定义。
步骤三：垂径定理的性质分析1.教师让学生通过练习册中的一道题目，完成以下实验：在黑板上画一个圆，并选择一个点作为圆上的直径的一端点。
2.学生观察并进行推理，得出当直径上的点与圆上的其他点连接时，可以得到什么性质。
3.教师总结学生的推理过程，引导学生得出垂径定理的性质。
步骤四：垂径定理的证明方法1.教师给出垂径定理的证明过程，引导学生理解证明中每一步的推理过程。
2.学生在理解的基础上，尝试自己为垂径定理寻找其他的证明方法，并与同学进行交流和讨论。
步骤五：应用垂径定理解决问题1.教师给出一些实际问题，引导学生运用垂径定理解决问题。
2.学生在解决问题的过程中，可以结合学习到的知识和方法，提出自己的解决方案，并与同学进行交流和讨论。
3.教师在学生完成问题后，进行解题分析和总结，帮助学生理解和掌握垂径定理的应用方法。
五、课堂小结1.教师对本节课的教学内容进行总结，并鼓励学生提出问题和疑惑进行讨论。
垂径定理教案
垂径定理教案[教案]主题：垂径定理教学方案教学目标：1. 了解垂径定理的概念和相关性质；2. 掌握垂径定理在几何问题中的应用方法；3. 提高学生的思维逻辑能力和问题解决能力。
教学重点：1. 掌握垂径定理的基本原理；2. 熟练应用垂径定理解决几何问题。
教学难点：1. 理解垂径定理的证明过程；2. 运用垂径定理解决复杂几何问题。
教学准备：1. 教学课件；2. 相关绘图工具；3. 示例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入垂径定理的概念，与学生分享一个相关的现实生活或几何问题，激发学生的兴趣；2. 提出问题，让学生思考并尝试解决，引入垂径定理。
二、理论讲解（15分钟）1. 通过课件或黑板，讲解垂径定理的定义和基本原理；2. 结合示意图，解释垂径定理的证明过程；3. 鼓励学生提问和互动，确保学生理解垂径定理的内涵。
三、例题演练（20分钟）1. 给出一个简单的几何问题，引导学生运用垂径定理解决；2. 逐步展示解题过程，引导学生思考和讨论；3. 鼓励学生展示自己的解题思路，培养合作学习和表达能力。
四、拓展练习（25分钟）1. 提供一些具有一定难度的练习题，要求学生独立解答；2. 学生在解答过程中可以相互交流和讨论，学习不同的解题方法；3. 教师及时给予指导和解答，引导学生更好地掌握垂径定理的应用。
五、归纳总结（10分钟）1. 教师帮助学生总结垂径定理的关键点和应用方法；2. 学生通过讨论和归纳，进一步理解和掌握垂径定理的本质；3. 教师给予肯定和激励，鼓励学生继续努力提高几何问题解决能力。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些相关的作业题目，要求学生独立完成；2. 鼓励学生自主思考和探索，加深对垂径定理的理解；3. 提醒学生按时提交作业，及时纠正错误。
教学反思：本节课通过引入实际问题、理论讲解、例题演练和拓展练习等环节，旨在帮助学生理解和应用垂径定理。
教学内容紧密结合实例，注重培养学生的思维逻辑能力和问题解决能力。
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B C=
C D=
D E
(5题图）
(1---4题图）D 圆的对称性 （垂径定理）
学习目标：
1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。
3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。
学习重点，难点：
垂径定理及其推论的探索及应用。
学习过程：
一、 上节知识回顾：
1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。
图2
图1
2、 如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。
3、 如图2，在⊙O 中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。
二、学习（自学）过程：
1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习：
1. ∵ CD 是直径 ，C D ⊥AB
∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。
3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.
垂径定理及其推论可概括为：
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。
4、 如图，已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE 的长为＿
＿。
5、 如图，已知⊙O 的直径为12㎝，弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为＿＿＿。
(9题图）
(8题图）
(7题图）
(6题图）
6、 如图，⊙O 的直径为34，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8，则弦AB 的长是＿＿＿。
7、 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，SinA=
3
2
，则弦AB 的长为＿＿＿＿＿。
8、 如图，是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，
净高CD=7米，则此圆的半径OA=＿＿＿＿。
9、 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB 的长是（ ）
A.22
B.23
C.5
D.35
四、课堂小结： 1.圆的对称性。
2.垂径定理及其推论。
五、课堂小测：
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧。
B.过弦的中点的直线必过圆心。
C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心。
D ．弦的垂线平分弦所对的弧。
2.如图1，在⊙O 中，AB 为弦，C 、D 两点在AB 上，且AC=BD,求证：△OCD 是等腰三角形。
图1
A
E 六、作业： 一、选择题．
1．如图1，⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则AB 的长是（ ）
A ．3
B ．4 C
．6 D ．8
A
(1) (2) (3) (4) （5） 2．如图2，⊙O 的半径等于4，半径OC
与弦AB 互相平分，AB 的长为（ ）
A.
B.
C.3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不一定正确的
是（ ）
A ．A
B ⊥CD B ．∠AOB=2∠AOD
C ．弧AD=弧DB
D ．PO=PD 二、填空题
4．⊙O 的半径是4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120。
，则AB 的长是______；
5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；
6．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；
7．如图5，AB 为⊙O 直径，E 是弧BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____； 三、解答题
8．在⊙O 中，直径AB ⊥弦EF ，垂足为P ，AP=2cm ，BP=4cm ，求EF ．
9．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB 与点B 运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm
，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．
10．为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，截面如图，若管内污水的面宽AB=40cm，污水的最大深度为10cm，则圆柱型水管的直径为多少cm？
11.如图2，⊙O的直径AB=16㎝，P是OB的中点，CD为过点P的一条弦，∠APC=30°，求CD的长。
图2
B
12.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD,若AB=6㎝，CD=8㎝，求弦AB和CD间的距离。
（提示：
有两种情况。
）
（1）
（2
）。