垂径定理学案

B C=

C D=

D E

(5题图）

(1---4题图）D 圆的对称性 （垂径定理）

学习目标：

1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。

2.通过对垂径定理以及推论的探索，加强推理能力。

3.会利用垂径定理及其推论，解决圆中的有关计算问题 。 学习重点，难点：

垂径定理及其推论的探索及应用。

学习过程：

一、 上节知识回顾：

1、弦AB 等于圆的半径，则弦AB 所对的圆心角为＿＿。

图2

图1

2、 如图1，AB 是直径，∠BOC=40°，则∠AOE=＿＿。

3、 如图2，在⊙O 中 ，弧AB=弧AC,∠B=70°，则∠C=＿＿，∠A=＿＿。 二、学习（自学）过程：

1.圆既是＿＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形，它有＿＿条对称轴，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

2.垂径定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3.垂径定理推论1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 垂径定理推论2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 三、典型例题学习：

1. ∵ CD 是直径 ，C D ⊥AB

∴＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。 2．∵ CD 是直径，AB 是非直径的弦，AE=BE ∴ ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。 3. ∵ CD 是直径，弧AD=弧BD ∴ ＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿＿.

垂径定理及其推论可概括为：

对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个性质中任何两个性质，那么就具备其余三个性质，这五个性质分别为：（1）经过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧。

4、 如图，已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10，AB=8，则DE 的长为＿

＿。

5、 如图，已知⊙O 的直径为12㎝，弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为＿＿＿。

(9题图）

(8题图）

(7题图）

(6题图）

6、 如图，⊙O 的直径为34，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8，则弦AB 的长是＿＿＿。

7、 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，SinA=

3

2

，则弦AB 的长为＿＿＿＿＿。 8、 如图，是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，

净高CD=7米，则此圆的半径OA=＿＿＿＿。

9、 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB 的长是（ ）

A.22

B.23

C.5

D.35

四、课堂小结： 1.圆的对称性。

2.垂径定理及其推论。 五、课堂小测：

1.下列命题中，正确的是（ ）

A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧。

B.过弦的中点的直线必过圆心。

C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心。 D ．弦的垂线平分弦所对的弧。

2.如图1，在⊙O 中，AB 为弦，C 、D 两点在AB 上，且AC=BD,求证：△OCD 是等腰三角形。

图1

A

E 六、作业： 一、选择题．

1．如图1，⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则AB 的长是（ ）

A ．3

B ．4 C

．6 D ．8

A

(1) (2) (3) (4) （5） 2．如图2，⊙O 的半径等于4，半径OC

与弦AB 互相平分，AB 的长为（ ）

A.

B.

C.3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不一定正确的

是（ ）

A ．A

B ⊥CD B ．∠AOB=2∠AOD

C ．弧AD=弧DB

D ．PO=PD 二、填空题

4．⊙O 的半径是4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120。

，则AB 的长是______；

5． P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最长弦长为_______，最短弦长为________；

6．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB=2DE ，∠E=18°，∠C=______,∠AOC=________；

7．如图5，AB 为⊙O 直径，E 是弧BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____； 三、解答题

8．在⊙O 中，直径AB ⊥弦EF ，垂足为P ，AP=2cm ，BP=4cm ，求EF ．

9．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB 与点B 运动所形成的⊙O 交于点A ，测得PA=4cm ，AB=5cm

，⊙O 半径为4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离．

10．为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，截面如图，若管内污水的面宽AB=40cm，污水的最大深度为10cm，则圆柱型水管的直径为多少cm？

11.如图2，⊙O的直径AB=16㎝，P是OB的中点，CD为过点P的一条弦，∠APC=30°，求CD的长。

图2

B

12.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD,若AB=6㎝，CD=8㎝，求弦AB和CD间的距离。（提示：

有两种情况。）

（1）

（2

）