定义域练习题及解答

函数的定义域练习题
一、知识要点：
1．函数的定义域问题常从以下几方面考虑：①分式的分母不等于
0；
②偶次根式的被开方数非负；
③对数式的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④指数为0时，底数不等于
0．
2．已知)]([x g f 的定义域，求)(x f 的定义域；已知)(x f 的定义域，求)]([x g f 的定义域．
二、例题分析：
1．求下列函数的定义域：①)13lg(1
3)
(2
x x
x x f ；②4
3)1ln()
(2
x x
x x f ；③)
432
(log )1()
()
12(0
2
x
x
x x f ；
④
)
1(log 222
x x
x
y
2．若函数)2(x
f 的定义域为],1,1[求)(lo
g 2x f 的定义域．3．当
k 为何值时，函数
3
47
2
kx kx kx y
的定义域是一切实数？三、练习：
1．下列各题中表示同一函数的是（）A ．
x
y
x
x
y
与2
B ．x
y
x y
与2
)(C ．x y
y
x
与lg 10
D ．)
1(1)1(1
12
x x y x x
x y
与2．设函数,1)
(2
x
x
x f 则)1
(x f （）
A.
)
(x f B.
)
(x f C.
)(1x f D.
)
(1x f 3．若函数),0(1)]
([,21
)(22
x
x x
x g f x x g 则)
2
1
(f （）
A.
1 B.
3
C. 15
D.30
4．若,R x 函数)(x f 是x y
x y
,22
这两个函数中的最小者，则
max
|)(x f （）
A. 2
B. 1
C.
1 D. 无最大值5．设)
10()],6([)10(,2)
(x
x
f f x x x f 则)5(f 的值为
（
）
A.
10 B. 11
C.
12 D.
13
6．已知定义域为R 的函数满足),,)(()()
(R b
a b f a f b a f 且)(x f >0，若,2
1
)1(f 则)2(f （）
A. 2
B.4
C.
2
1 D.
4
1二、填空题
7．设函数
.)().
0(1),
0(121
)
(a a f x
x
x x x f 若则实数a 的取值范围是
.
8．.函数4
22
x
x y
的定义域
.
9．已知函数
,1
)
(2
2
x
x x f 则)41
()
4()3
1
()
3()2
1
()
2()1(f f f f f f f 10．已知函数
),0()
(ab b
ax x x f 且x x f f )(.1)
2(有唯一解，则函数
)(x f y
的解析式为
11．若函数)(x f y 的定义域为
2,2
1，则)(log 2x f 的定义域为
．
三、解答题
12．求下列函数的定义域：
①)82lg(4
12
3
x x x
x
x y
；②)34(log 2
1x
y
；③0
)3(12
x
y x
；
④4
3.02)32(log x x y
；⑤)
2(log ||53x
x y
13．解下列各题：①已知函数()f x 的定义域为15，，求(35)f x 的定义域．
②已知函数
2
(22)f x
x 的定义域为
03，，求函数()f x 的定义域．
③若()f x 的定义域为35，，求
()
()
(25)x f x f x
的定义域．
④已知函数()f x 的定义域是
0,1
,求
1
()()
()(2
g x f x a f x a <a ≤0)的定义域．
14.
如图，有一块半椭圆形钢板，
其长半轴长为2,r 短半轴长为r .计划将此钢板切割成等腰梯形的形状
,下底
AB
是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.记2CD
x ,梯形面积为S .
(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S 的最大值.
解（1）依题意，以
AB 的中点O 为原点建立直角坐标系
O-xy （如图），
则点C 的横坐标为x,点C 的纵坐标y 满足方程
142
22
2r
y r
x (y ≥0),
解得y=2
2
2
x r
(0<x<r).S=
2
1(2x+2r)·2
2
2
x
r
=2(x+r)·
2
2
x r ,其定义域为{x|0<x<r}.
（2）记f(x)=4(x+r)2
(r 2-x 2
),0<x<r,
则f ′(x)=8(x+r)
2
(r-2x).
令f ′(x)=0,得x=2
1r.因为当0<x<
2
r 时，f ′(x)>0;
当
2
r <x<r 时,f ′(x)<0，所以f （
2
1r ）是f(x)的最大值.
因此，当x=
2
1r 时，S 也取得最大值，最大值为
2
2
33)2
1(r r f .。