高一年段数学培优教材第一讲二次函数

高一年段数学培优教材第一讲 二次函数

一、基础知识：

1． 二次函数的解析式

（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- 2．二次函数的图像和性质

（1）2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴方程为

2b

x a

=-

，开口与a 有关。 （2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-

上为减函数，在[,)2b

a

-+∞上为增函数；0a <时相反。

（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数。

延伸：若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。

（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为2

44ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从

(),(),()2b f m f n f a -

中选取；当[,],[,]2b

x m n m n a

∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。 3．三个二次之间的关联及根的分布理论：

二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 二、综合应用：

例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。

例2：设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且，（2）当

2

1(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭

时， （3）()f x 在R 上的最小值为0。①求()f x 的解析式。

例3：已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

例4：方程()0112=+-+x m x 在区间（0，1）内有两个不同实根，求m 的取值范围。

例5：已知函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根是12211

,,x x x x a

->且，又若10t x <<，试比较1()f t x 与的大小。

三、强化训练：

1．二次函数()y f x =满足(3)(3)f x f x +=-，且()0f x =又两个实根12,x x ，则12x x +等于（ ） A . 0 B 3 C. 6 D. 12

2．已知()()()2()f x x a x b a b =---<，并且,αβ是方程()0f x =的两根，则实数,,,a b αβ的大小关系可能是（ ）

....A a b B a b C

a b D a b

αβ

αβα

βα

β<<<<<<<<<

<<<

3．已知函数223,[0,]y x x x m =-+∈上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）

.[1,)

.

[0,2]

.

[1,2]

.(,2]A B C D +∞-∞

4．设函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0,f m <则(1)f m +的值的符号是________________

5．已知2

()(l g 2)l g ,(1)2,()2f x x m x n f f x x =+++-=-≥且对

于一切实数x 都成立，则

m n +=______

6．已知2()lg(21)f x ax x =++的值域是R ，则实数a 的取值范围是______________________ 7．函数

20.3()log ()f x x ax a =--的递增区间为(,1-∞，则实数a 的值是______________ 8．若函数2113

()2

2

f x x =-+在区间[,]a b 上的最大值为2b ，最小值为2a ，求a ，b 。

9．设2()1(0)f x ax bx a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x ，若1224x x <<<，设()y f x =的对称轴为0x x =，求证01x >-

10．已知2(),[0,1],02

a f x x ax x a =-+∈>，求()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值。

11．是否存在二次函数()f x ，同时满足： （1）(1)0f -=； （2）对于一切x R ∈都有

21

()(1)2

x f x x ≤≤

+？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。

参考答案：

例1：()2(1)( 2.5)f x x x =+-

例2： min

()()072f x g a a =≥⇒-≤≤； 其中273(4)()3(44)47(4)

a a a g a a a a a ->⎧⎪

⎪

=---≤≤⎨⎪

+<-⎪⎩

例3：2

(1)10,[0,2]x m x x +-+=∈，(2)012f m ∆≥⎧⎪

∴≤⇒≤-⎨<⎪⎩0或m-1

0<-2

例4：（1）由①②得：1(1)1(1)1f f ≤≤⇒=；21

()(1)4

f x x =+

（2）结合图像可以知道：m 为方程21

(1)4

x t x ++=的两根，从而1,9t m =-=

例5

：设sin cos ,[1,t t θθ=+∈，原不等式化为：2221

(2)()8x t x at ++++≥恒成立

记22

2

()(2)()f x x t x at =++++，则min 1

()8

f x ≤ ，

222

2

2

()(2),()22

a b t at a b f x -+-+≥∴≥

22

221(2)2230225082

t at t at t at +-∴≤⇒-+≥-+≤或， 3522a t a t t t ∴≤+≥+或

min max 357

7

1();()222

2t t t a a t t ≤≤∴+

=+=∴≤≥

例6：提示：22111111()()()()[()]f t x f t f x at bt c ax bx c a t x a t x b -=-=++---=-++ 1()f t x >

例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。 强化训练：

1．C 2. A 3. C 4. 正 5. 110 6. [0,1] 7. 2a = 8. [1,9] 9．分析对称轴：（1）()201,3()2f a b b a a b f b a =⎧>≥⇒⇒==⎨=⎩， （2）()20()2f a a

a b f b b

=⎧<≤⇒⇒⎨=⎩无解

（

3）13202

()2b a b f a a

⎧

=

⎪<<⇒⎨⎪=⎩13213224()2b a b f b a

⎧

=

⎪⇒=-=⎨

⎪=⎩ 10．构造2(2)0

()()(1)1,(4)0g g x f x x ax b x g <⎧=-=+++⎨>⎩

可以推出结论。

11．同例2解法 12．2111

()424

f x x x =

++