高一年段数学培优教材第一讲二次函数

高一年段数学培优教材第一讲 二次函数
一、基础知识：
1． 二次函数的解析式
（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- 2．二次函数的图像和性质
（1）2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是2
4(,)24b ac b a a
--，对称轴方程为
2b
x a
=-
，开口与a 有关。

（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-
上为减函数，在[,)2b
a
-+∞上为增函数；0a <时相反。

（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数。

延伸：若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。

（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为2
44ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从
(),(),()2b f m f n f a -
中选取；当[,],[,]2b
x m n m n a
∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。

常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。

3．三个二次之间的关联及根的分布理论：
二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。

二、综合应用：
例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。

例2：设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且，（2）当
2
1(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭
时， （3）()f x 在R 上的最小值为0。

①求()f x 的解析式。

例3：已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

例4：方程()0112=+-+x m x 在区间（0，1）内有两个不同实根，求m 的取值范围。

例5：已知函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两根是12211
,,x x x x a
->且，又若10t x <<，试比较1()f t x 与的大小。

三、强化训练：
1．二次函数()y f x =满足(3)(3)f x f x +=-，且()0f x =又两个实根12,x x ，则12x x +等于（ ） A . 0 B 3 C. 6 D. 12
2．已知()()()2()f x x a x b a b =---<，并且,αβ是方程()0f x =的两根，则实数,,,a b αβ的大小关系可能是（ ）
....A a b B a b C
a b D a b
αβ
αβα
βα
β<<<<<<<<<
<<<
3．已知函数223,[0,]y x x x m =-+∈上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）
.[1,)
.
[0,2]
.
[1,2]
.(,2]A B C D +∞-∞
4．设函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0,f m <则(1)f m +的值的符号是________________
5．已知2
()(l g 2)l g ,(1)2,()2f x x m x n f f x x =+++-=-≥且对
于一切实数x 都成立，则
m n +=______
6．已知2()lg(21)f x ax x =++的值域是R ，则实数a 的取值范围是______________________ 7．函数
20.3()log ()f x x ax a =--的递增区间为(,1-∞，则实数a 的值是______________ 8．若函数2113
()2
2
f x x =-+在区间[,]a b 上的最大值为2b ，最小值为2a ，求a ，b 。

9．设2()1(0)f x ax bx a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x ，若1224x x <<<，设()y f x =的对称轴为0x x =，求证01x >-
10．已知2(),[0,1],02
a f x x ax x a =-+∈>，求()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值。

11．是否存在二次函数()f x ，同时满足： （1）(1)0f -=； （2）对于一切x R ∈都有
21
()(1)2
x f x x ≤≤
+？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。

参考答案：
例1：()2(1)( 2.5)f x x x =+-
例2： min
()()072f x g a a =≥⇒-≤≤； 其中273(4)()3(44)47(4)
a a a g a a a a a ->⎧⎪
⎪
=---≤≤⎨⎪
+<-⎪⎩
例3：2
(1)10,[0,2]x m x x +-+=∈，(2)012f m ∆≥⎧⎪
∴≤⇒≤-⎨<⎪⎩0或m-1
0<-2
例4：（1）由①②得：1(1)1(1)1f f ≤≤⇒=；21
()(1)4
f x x =+
（2）结合图像可以知道：m 为方程21
(1)4
x t x ++=的两根，从而1,9t m =-=
例5
：设sin cos ,[1,t t θθ=+∈，原不等式化为：2221
(2)()8x t x at ++++≥恒成立
记22
2
()(2)()f x x t x at =++++，则min 1
()8
f x ≤ ，
222
2
2
()(2),()22
a b t at a b f x -+-+≥∴≥
22
221(2)2230225082
t at t at t at +-∴≤⇒-+≥-+≤或， 3522a t a t t t ∴≤+≥+或
min max 357
7
1();()222
2t t t a a t t ≤≤∴+
=+=∴≤≥
例6：提示：22111111()()()()[()]f t x f t f x at bt c ax bx c a t x a t x b -=-=++---=-++ 1()f t x >
例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。

强化训练：
1．C 2. A 3. C 4. 正 5. 110 6. [0,1] 7. 2a = 8. [1,9] 9．分析对称轴：（1）()201,3()2f a b b a a b f b a =⎧>≥⇒⇒==⎨=⎩， （2）()20()2f a a
a b f b b
=⎧<≤⇒⇒⎨=⎩无解
（
3）13202
()2b a b f a a
⎧
=
⎪<<⇒⎨⎪=⎩13213224()2b a b f b a
⎧
=
⎪⇒=-=⎨
⎪=⎩ 10．构造2(2)0
()()(1)1,(4)0g g x f x x ax b x g <⎧=-=+++⎨>⎩
可以推出结论。

11．同例2解法 12．2111
()424
f x x x =
++
13．
1111
(1)
(1)4444
113
(0)()(1)(0)
2444 1111
()()
242242
f a b c
f a b c
b
f c f f f
b b
f a c f a c
⎧=++
⎪=++
⎪
=⇒⇒-=+
⎨
⎪
⎪=++=++
⎩
11
4()(1)3(0)||4|()||(1)|3|(0)|8
22
b f f f b f f f
∴=--⇒≤++=，所以A的最小值为8 14．略。