高一年段数学培优教材第一讲二次函数
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高一年段数学培优教材第一讲 二次函数
一、基础知识:
1. 二次函数的解析式
(1)一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠ (2)顶点式:2()()f x a x h k =-+,顶点为(,)h k (3)两根式:12()()()f x a x x x x =-- 2.二次函数的图像和性质
(1)2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,顶点坐标是2
4(,)24b ac b a a
--,对称轴方程为
2b
x a
=-
,开口与a 有关。 (2)单调性:当0a >时,()f x 在(,]2b a -∞-
上为减函数,在[,)2b
a
-+∞上为增函数;0a <时相反。
(3)奇偶性:当0b =时,()f x 为偶函数。
延伸:若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立,则x a =为()f x 的对称轴。
(4)最值:当x R ∈时,()f x 的最值为2
44ac b a -,当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时,()f x 的最值可从
(),(),()2b f m f n f a -
中选取;当[,],[,]2b
x m n m n a
∈-∉时,()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。 3.三个二次之间的关联及根的分布理论:
二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题,一般情况需要从三个方面考虑:判别式、区间端点函数值的符号;对称轴与区间端点的关系。 二、综合应用:
例1:已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --,求()f x 的解析式。
例2:设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件:(1)当x R ∈时,(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且,(2)当
2
1(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭
时, (3)()f x 在R 上的最小值为0。①求()f x 的解析式。
例3:已知2()3f x x ax a =++-,若[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围。
例4:方程()0112=+-+x m x 在区间(0,1)内有两个不同实根,求m 的取值范围。
例5:已知函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()f x x =的两根是12211
,,x x x x a
->且,又若10t x <<,试比较1()f t x 与的大小。
三、强化训练:
1.二次函数()y f x =满足(3)(3)f x f x +=-,且()0f x =又两个实根12,x x ,则12x x +等于( ) A . 0 B 3 C. 6 D. 12
2.已知()()()2()f x x a x b a b =---<,并且,αβ是方程()0f x =的两根,则实数,,,a b αβ的大小关系可能是( )
....A a b B a b C
a b D a b
αβ
αβα
βα
β<<<<<<<<<
<<<
3.已知函数223,[0,]y x x x m =-+∈上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是( )
.[1,)
.
[0,2]
.
[1,2]
.(,2]A B C D +∞-∞
4.设函数2()(0)f x x x a a =++>,若()0,f m <则(1)f m +的值的符号是________________
5.已知2
()(l g 2)l g ,(1)2,()2f x x m x n f f x x =+++-=-≥且对
于一切实数x 都成立,则
m n +=______
6.已知2()lg(21)f x ax x =++的值域是R ,则实数a 的取值范围是______________________ 7.函数
20.3()log ()f x x ax a =--的递增区间为(,1-∞,则实数a 的值是______________ 8.若函数2113
()2
2
f x x =-+在区间[,]a b 上的最大值为2b ,最小值为2a ,求a ,b 。
9.设2()1(0)f x ax bx a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x ,若1224x x <<<,设()y f x =的对称轴为0x x =,求证01x >-
10.已知2(),[0,1],02
a f x x ax x a =-+∈>,求()f x 的最小值()g a 的表达式,并求()g a 的最大值。
11.是否存在二次函数()f x ,同时满足: (1)(1)0f -=; (2)对于一切x R ∈都有
21
()(1)2
x f x x ≤≤
+?若存在,写出满足条件的函数的解析式;若不存在,说明理由。
参考答案:
例1:()2(1)( 2.5)f x x x =+-
例2: min
()()072f x g a a =≥⇒-≤≤; 其中273(4)()3(44)47(4)
a a a g a a a a a ->⎧⎪
⎪
=---≤≤⎨⎪
+<-⎪⎩
例3:2
(1)10,[0,2]x m x x +-+=∈,(2)012f m ∆≥⎧⎪
∴≤⇒≤-⎨<⎪⎩0或m-1
0<-2
例4:(1)由①②得:1(1)1(1)1f f ≤≤⇒=;21
()(1)4
f x x =+
(2)结合图像可以知道:m 为方程21
(1)4
x t x ++=的两根,从而1,9t m =-=
例5
:设sin cos ,[1,t t θθ=+∈,原不等式化为:2221
(2)()8x t x at ++++≥恒成立
记22
2
()(2)()f x x t x at =++++,则min 1
()8
f x ≤ ,
222
2
2
()(2),()22
a b t at a b f x -+-+≥∴≥
22
221(2)2230225082
t at t at t at +-∴≤⇒-+≥-+≤或, 3522a t a t t t ∴≤+≥+或
min max 357
7
1();()222
2t t t a a t t ≤≤∴+
=+=∴≤≥
例6:提示:22111111()()()()[()]f t x f t f x at bt c ax bx c a t x a t x b -=-=++---=-++ 1()f t x >
例7:方法同例6,本题使97年全国高考理可题。 强化训练:
1.C 2. A 3. C 4. 正 5. 110 6. [0,1] 7. 2a = 8. [1,9] 9.分析对称轴:(1)()201,3()2f a b b a a b f b a =⎧>≥⇒⇒==⎨=⎩, (2)()20()2f a a
a b f b b
=⎧<≤⇒⇒⎨=⎩无解
(
3)13202
()2b a b f a a
⎧
=
⎪<<⇒⎨⎪=⎩13213224()2b a b f b a
⎧
=
⎪⇒=-=⎨
⎪=⎩ 10.构造2(2)0
()()(1)1,(4)0g g x f x x ax b x g <⎧=-=+++⎨>⎩
可以推出结论。
11.同例2解法 12.2111
()424
f x x x =
++