中考数学专题突破

【点拨交流】
(1)在一般三角形中，如何求边长？ (2)在 Rt△ACD 中，如何求 AD? (3)在 Rt△BCD 中，如何求 BD? (4)如何求 AB 的长？
解
(1)一般是作三角形的高(本题中过点 C 作 CD⊥AB 于 D)， 构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系解题．注意尽量 不要分割已知的特殊角．
【方法总结】
专题二 数学建模
解决生活中的实际问题，往往离不开数学建模，方程与函数 是常用的数学建模．列方程(组)解应用题和由实际问题建立函数 关系式，利用函数的性质解决问题是安徽中考试题考查的热点题 型之一，主要涉及一次方程(组)的应用、一元二次方程的应用、 分式方程的应用、函数的图象与性质及函数的实际应用等．
一、 选择题难题分析
例 1 [2013·安徽] 如图 X1－1，点 P 是等边三角形 ABC 外
接圆⊙O 上一点，在以下判断中，不．正．确．的是
(C )
图 X1－1 A．当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形 B．当△APC 是等腰三角形时，PO⊥AC C．当 PO⊥AC 时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC 是直角三角形
【点拨交流】 (1)对于分段函数，如何求函数值对应的自变量取值？ (2)如何确定该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系 式？ (3)对于二次函数如何确定它的最值？ (4)对于一般的函数，如何确定它的最值？ (5)最终如何确定最大利润？
解 (1)根据分段函数的解析式，分别求出各个函数解析式中函数 值所对应的自变量的取值，并结合自变量的取值范围进行取舍．对
解析
A．当弦 PB 最长时，PB 是⊙O 的直径，O 既是等边△ABC 的内心，也是外心，所以∠ABP＝∠CBP，根据圆周角性质， 弧 PA＝弧 PC，所以 PA＝PC，选项 A 正确；B.当△APC 是等 腰三角形时，点 P 是弧 AC 的中点或与点 B 重合，由垂径定理， 都可以得到 PO⊥AC，选项 B 正确；C.当 PO⊥AC 时，由点 P 是弧 AC 的中点或与点 B 重合，易得∠ACP＝30°或∠ACP＝ 60°.选项 C 错误；D.当∠ACP＝30°时，分两种情况，点 P 是弧 AC 或弧 AB 的中点，都可以得到△BPC 是直角三角形， 选项 D 正确．故选 C.
(3)若折痕 EF＝ 2，EF 一定经过点 B 吗？此时四边形 A′CDF 的形状是什么？
(4)EF＝ 5时，折痕 EF 有什么特殊性？四边形 BA′CD 的形状 是什么？
(5)四边形 BA′CD 为等腰梯形时，怎样求折痕 EF 的长？
解 (1)图形的折叠能得到全等形． (2)此时折痕 EF 经过点 B(点 E 与点 B 重合)，且平分∠ABC， 即△ABF 是等腰直角三角形，根据勾股定理 EF＝ 12＋12＝ 2.
【点拨交流】
(1)要判断△APC 是等腰三角形，应具备什么条件？ (2)怎样得到 PO⊥AC 呢？ (3)当 PO⊥AC 时，点 P 在⊙O 的位置有几种情况？此 时∠ACP 的大小是多少？ (4)当∠ACP＝30°时，点 P 在⊙O 的位置有几种情况？ 此时△BPC 的形状有什么特征？
专题一┃ 选择、填空题难题分析
－12x2＋15x＋500（1≤x≤20）， 262x50－525（21≤x≤40）.
(3)对于二次函数，一般用配方的方法配成顶点形式，结合 抛物线的开口方向和自变量的取值范围确定最值．当 1≤x≤20
时，y＝－21x2＋15x＋500＝－21(x－15)2＋612.5，∵－12＜0， ∴当 x＝15 时，y 最大值＝612.5(元)；
于 q＝30＋12x，当 q＝35 时，x＝10，在 1≤x≤20 范围内；对于 q
＝20＋5x25，当 q＝35 时，x＝35，在 21≤x≤40 范围内． (2)根据利润公式：总利润＝每件商品的利润×销售的数量，
每件商品的利润＝销售价格－成本价，由于销售单价与 x 之间是 分段函数关系，所以利润 y 也是关于 x 的分段函数．y＝
(3)把方程两边同乘以 x(x＋20)，化为整式方程 2000(x＋20) ＝(2000＋25x)x，解得 x＝±40，经检验：x＝±40 都是原方程的 解，但 x＝－40 不合题意，应舍去，只取 x＝40.
二、 函数应用题
例 2 [2013·安徽] 某大学生利用暑假 40 天社会实践参
与了一家网店的经营，了解到一种成本为 20 元/件的新型商
(3)①当 1≤x≤20 时， y＝－21x2＋15x＋500＝－21(x－15)2＋612.5，
∵－12＜0， ∴当 x＝15 时，y 最大值＝612.5(元)； ②当 21≤x≤40 时，y＝262x50－525，
∵262x50随 x 的增大而减小，
∴当 x＝21 时，y 最大值＝2622150－525＝725(元)． 综上所述，这 40 天中该网店第 21 天获得的利润最大，最大 利润是 725 元.
专题三 解直角三Baidu Nhomakorabea形的应用
解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化 为数学模型，通过构建直角三角形，利用勾股定理、锐角三 角函数、直角三角形的边角关系来解决问题．安徽中考题常 与航海、坡面、楼高的测量等问题相结合，体现了数学的应 用价值．预计 2014 年仍会出现解直角三角形的问题．
一、 直接考查解直角三角形知识 例 1 如图 X3－1，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，
(2)根据直角三角形的边角关系：cos30°＝AADC，求得 AD ＝ 23×2 3＝3；
(3)先根据勾股定理或直角三角形的边角关系，求得 CD＝ 3，再根据 tan45°＝CBDD，BD＝CD＝ 3；
解 (1)①当 1≤x≤20 时，由 q＝35 得：30＋12x＝35，解得 x＝10； ②当 21≤x≤40 时，由 q＝35 得：20＋5x25＝35，解得 x＝35. 综上所述，当第 10 天或第 35 天该商品的销售单价为 35 元/件； (2)①当 1≤x≤20 时，y＝30＋12x－20(50－x)＝－12x2＋15x＋500； ②当 21≤x≤40 时，y＝20＋5x25－20(50－x)＝262x50－525. 综上：y＝－ 26x2125x02＋－1552x5＋（52010≤（x1≤≤4x0≤）2. 0），
(4)一般的函数通常没有最值，但如果自变量的取值范围有 特别规定，可结合函数的增减性确定最值．当 21≤x≤40 时，
y＝262x50－525，∵262x50随 x 的增大而减小，∴当 x＝21 时，
y 最大值＝2622150－525＝725(元)． (5)综合考虑(3)、(4)两种情况下，比较得出结论．这 40 天中该 网店第 21 天获得的利润最大，最大利润是 725 元．
解
(1)总费用中包括该校购买乒乓球拍的费用和购买羽毛球拍 的费用，由于购买乒乓球拍的费用是 2000 元，购买羽毛球拍的 费用是(2000＋25x)元，所以总费用＝2000＋(2000＋25x)＝4000 ＋25x(元)；
(2)根据问题中的相等关系“购买乒乓球拍的数量＝购买羽毛
球拍的数量”，可建立方程“20x00＝20x0＋0＋2025x”．
与①中的折痕平行时，折痕 EF＝ 2，此时四边形 A′CDF 为
直角梯形，故②不正确；当 EF＝ 5时，折痕为对角线 BD， 此时四边形 BA′CD 为等腰梯形，故③正确；当四边形 BA′CD 为等腰梯形时，折痕 EF 就是矩形 ABCD 对角线 BD 的长，此 时 EF 一定等于 5，故④正确.
【点拨交流】 (1)图形的折叠能得到什么性质？ (2)当四边形 A′CDF 为正方形时，折痕 EF 具有什么特征？怎 样求 EF?
②当 EF＝ 2时，四边形 A′CDF 为正方形；
③当 EF＝ 5时，四边形 BA′CD 为等腰梯形；
④当四边形 BA′CD 为等腰梯形时，EF＝ 5. 其中正确的是____①__③__④______(把所有正确结论的序号都 填在横线上)．
解 析 当四边形 A′CDF 为正方形时，折痕 EF 过点 B 且平分∠ABC，此时 EF＝ 2，故①正确；当折痕 EF 保持
解
(1)需满足 AP＝CP 或∠PAC＝∠PCA.由弦 PB 最长即为 ⊙O 直径，证得弧 AP＝弧 CP，进而得到 AP＝CP.
(2)根据垂径定理，只需满足点 P 是劣弧 AC 或优弧 ABC 的中点．由 PA＝PC，根据圆心角、弧、弦之间的关系，可得 到弧 AP＝弧 CP，即点 P 是劣弧 AC 或优弧 ABC 的中点．
(3)当 PO⊥AC 时，根据垂径定理，点 P 可能是劣弧 AC 中点，也可能是优弧 ABC 的中点，此时∠ACP＝30°或 60°；
(4)当∠ACP＝30°时，分两种情况：点 P 可能在劣弧 AC 上，也可能在劣弧 AB 上．根据圆周角定理，结合等边三角形 的性质易得到△BPC 均是直角三角形．
专题一┃ 选择、填空题难题分析 【方法总结】
(2)若购买的两种球拍数一样，求 x 的值．
解 (1)4000＋25x(元)；
(2)根据题意，得20x00＝20x0＋0＋2025x，
解得 x＝±40， 经检验 x＝±40 都是原方程的解，但 x＝－40 不合题意， 应舍去，只取 x＝40.∴x＝40.
【点拨交流】 (1)怎样用含 x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽 毛球拍的总费用？ (2)问题的相等关系是什么？能建立什么样的方程？ (3)怎样解这个分式方程？怎样验根？
品在第 x 天销售的相关信息如下表所示．
销售量 p(件)
p＝50－x
销售单价 q(元/件)
当 1≤x≤20 时，q＝30＋21x； 当 21≤x≤40 时，q＝20＋5x25.
(1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？ (2)求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式； (3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润 是多少？
专题一 选择、填空题难题分析 专题二 数学建模 专题三 解直角三角形的应用 专题四 规律性探索题 专题五 动态性问题 专题六 阅读理解题 专题七 探究性问题
专题一 选择、填空题难题分析
安徽中考题中的选择题和填空题属于基础题，重在考查 学生的基础知识和基本技能．选择题的最后一题可能是图形 变化结合函数题，也可能是多知识综合的试题，有时还要用 到分类讨论、数形结合等数学思想；填空题的最后一道题多 为多选题，一般难度较大．
一、 方程(组)及其应用
例 1 [2013·安徽] 某校为了进一步开展“阳光体育”活 动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一 副乒乓球拍贵 20 元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的 2000 元要多，多出的部分能购买 25 副乒乓球拍．
(1)若每副乒乓球拍的价格为 x 元，请你用含 x 的代数式 表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
(3)把①中的折痕 EF 向右平移，此时 EF＝ 2，折痕 EF 不 一定经过点 B，此时四边形 A′CDF 是正方形或直角梯形．
(4)EF＝ 5时，折痕 EF 就是矩形 ABCD 的对角线 BD，此 时四边形 BA′CD 是等腰梯形．
(5)运用逆向思维，当四边形 BA′CD 为等腰梯形时，折痕 EF 是矩形 ABCD 的对角线 BD，用勾股定理可求 EF＝ 12＋22＝ 5.
AC＝2 3，求 AB 的长．
图 X3－1
解
过点 C 作 CD⊥AB 于 D，在 Rt△ACD 中，∵∠A＝30°， ∴CD＝21AC＝ 3，由勾股定理得 AD＝ （2 3）2－（ 3）2 ＝ 9＝3.在 Rt△BCD 中，∵tan45°＝CBDD，∴BD＝CD＝ 3， ∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3.
二、 填空题难题分析 例 2 [2013·安徽] 如图 X1－2，已知矩形纸片 ABCD 中，
AB＝1，BC＝2，将该纸片折叠成一个平面图形，折痕 EF 不经 过 A 点(E，F 是该矩形边界上的点)，折叠后点 A 落在点 A′处， 给出以下判断：
图 X1－2
①当四边形 A′CDF 为正方形时，EF＝ 2；