函数与几何图形

函数与几何图形1. 如图4，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且0<x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ D ）2. （连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的ΔAOB ，ΔCOD 处，直角边OB ，OD 在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至ΔPEF 处时，设PE ，PF 与OC 分别交于点M ，N ，与x 轴分别交于点G ，H ．（1）求直线AC 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，．设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ······························································ 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+．……4分（2）①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等． 因为点C 的坐标为(21)，，所以，直线OC 所对应的函数关系式为12y x =． 又因为点P 在直线AC 上， 所以可设点P 的坐标为(3)a a -，．（第24题答图）过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有MK h =． 因为点M 在直线OC 上，所以有(2)M h h ，． ··················· 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥． 又EF PF ⊥，所以PH GH ⊥．法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，从而有12GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11(3)22GH PH a ==-．所以13222OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-． ························································· 8分所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，从而总有h BH =． ············································································································ 10分 法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得12GH EF PH PF =-． 故11(3)22GH PH a ==-． 所以13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ·············································· 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ·························································· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯-22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ········································································ 12分 当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，．3. （沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线y=ax 2+bx+c 过点A ，E ，D ．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O ，B ，P ，Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）点E 在y 轴上……1分理由如下：连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =，BO =，2AO ∴=1sin 2AOB ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可知：60AOE ∠=306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+=点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ·············································································· 3分 （2）过点D 作DM x ⊥轴于点M1OD =，30DOM ∠=∴在Rt DOM △中，12DM =，2OM =点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭， ································································································· 5分由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴的正半轴上∴点E 的坐标为(02)，∴点A的坐标为(···································································································· 6分抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=由题意，将(A，122D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入22y ax bx =++中得321312422a a ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得899a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线表达式为：28299y x x =--+ ·························································· 9分（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ·············································································· 10分 理由如下：矩形ABOC 的面积3AB BO ==∴以O B P Q ，，，为顶点的平行四边形面积为由题意可知OB 为此平行四边形一边， 又3OB =OB ∴边上的高为2 ··········································································································· 11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，点P在抛物线2829y x x =-+上28229m ∴-+=解得，10m=，28m =-1(02)P ∴，，22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，PQ OB == ∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q的坐标分别为1(Q，2Q ； 当点2P的坐标为28⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭时，点Q的坐标分别为328Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，428Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．4. （徐州）如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当CE1EA＝时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明. （2） 如图3，当CE2EA＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由. （3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA＝m 时，EP 与EQ 满足的数量关系式 为_________,其中m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC ＝30cm ，连续PQ ，设△EPQ 的面积为S(cm 2)，在旋转过程中： （1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值范围.x5. （河南）如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．6. 如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）．(1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=21AC ；(3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由． 解：(1)（4，0），（0，3）； ························································································· 2分 (2) 2，6； ························································································································ 4分 (3) 当0＜t ≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得OCONOA OM =， ∴ ON =t 43，S=283t ． ········································· 6分 当4＜t ＜8时，如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4． 方法一：由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(43-t ，∴ BM =6-t 43． ·································· 7分由△BMN ∽△BAC ，可得BN =BM 34=8-t ，∴ CN =t-4． ·········································· 8分 S=矩形OABC 的面积-Rt △OAM 的面积- Rt △MBN 的面积- Rt △NCO 的面积=12-)4(23-t -21（8-t ）（6-t 43）-)4(23-t =t t 3832+-． ········································································································ 10分方法二：易知四边形ADNC 是平行四边形，∴ CN =AD =t-4，BN =8-t ． ········································· 7分 由△BMN ∽△BAC ，可得BM =BN 43=6-t 43，∴ AM =)4(43-t ． ······················ 8分 以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一： 当0＜t ≤4时，∵ 抛物线S=283t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2483⨯=6； ································································ 11分当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 3832+-的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S ＜6． 综上，当t=4时，S 有最大值6． ················································································ 12分 方法二：∵ S=22304833488t t t t t ⎧<⎪⎪⎨⎪-+<<⎪⎩，≤，∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如图所示． ································· 11分 显然，当t=4时，S 有最大值6．7. （郴州）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．．（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ （1） 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DG ························································································································ 1分 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△ ········································································································ 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ····································································· 4分 理由一：过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH 由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ··········································································································· 6分 理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====， 所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ················································· 6分（3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==- 所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=-- ········································ 8分 配方得：2655121()2566y x =--+． 所以，当556x =时，y 有最大值． ······················································································· 9分最大值为1216．AM xH GF EDCB8. （镇江）如图，在直角坐标系xoy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为（0，1），直线l 过B （0，-1）且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C ，Q ，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由．解:（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AOH QCH ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠， AOH QCH ∴△≌△．……（1分）OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． ········································································ （2分） 法二：(01)A ，，(01)B -，，OA OB ∴=． ···························································· （1分） 又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ··················································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ································································································ （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ···················································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114PQ m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，2114AP m PQ ====+=．∴平行四边形APQR 为菱形． ··················································································· （6分）（3）设直线PR 为y kx b =+，由OH CH =，得22m H ⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得：2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 221.4m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线PR 为2124m y x m =-． ····················· （7分） 设直线PR 与抛物线的公共点为214x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入直线PR 关系式得：22110424m x x m -+=，21()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线PH 与抛物线214y x =只有一个公共点P ． 9. （无锡）如图，已知点A 从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O ，A 为顶点作菱形OABC ，使点B ，C 在第一象限内，且∠AOC=600，；以P （0，3）为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求：（1）点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A 在运动过程中，所有使⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值． 解：（1）过C 作CD x ⊥轴于D ，1OA t =+，1OC t ∴=+，1cos602tOD OC +∴==，3(1sin 60DC OC ==，∴点C 的坐标为1)22t t ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． ··········· （2分） （2）①当P 与OC 相切时（如图1），切点为C ，此时PC OC ⊥， cos30OC OP ∴=，3132t∴+=， 12t ∴=-． ················ （4分） ②当P 与OA ，即与x 轴相切时（如图2），则切点为O ，PC OP =，过P 作PE OC ⊥于E ，则12OE OC =， ······························································· （5分） 133cos302t OP+∴==，1t ∴=． ························································ （7分） ③当P 与AB 所在直线相切时（如图3），设切点为F ，PF 交OC 于G ，则PF OC ⊥，FG CD ∴==， 3(1sin 30PC PF OP ∴==+．···································································· （8分） 过C 作CH y ⊥轴于H ，则222PH CH PC +=，22213322t ⎫⎛+⎛⎫∴+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简，得2(1)1)270t t +-++=，解得1t+=，9310t =-<， 1t∴=． ∴所求t的值是12-，1和1． 10. (辽宁)如图14，在Rt ΔABC 中，∠A=900,AB=AC,BC=42，另有一等腰梯形DEFG （GF ∥DE ）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB,AC 上，且G,F 分别是AB,AC 的中点．（1）求等腰梯形DEFG 的面积；（2）操作：固定ΔABC ，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D 与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF ′G ′（如图15）．探究1：在运动过程中，四边形BDG ′G 能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由．探究2：设在运动过程中ΔABC 与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．解：如图6，（1）过点G 作GM BC ⊥于M ．AB AC =，90BAC ∠=，BC =G 为AB 中点 GM ∴=又GF ，分别为AB AC ，的中点AFG12GF BC ∴==··································· 2分162DEFG S ∴==梯形∴等腰梯形DEFG 的面积为6． ······················································································ 3分（2）能为菱形 如图7，由BG DG '∥，GG BC '∥∴四边形BDG G '是平行四边形当122BD BG AB ===时，四边形BDG G '为菱形，此时可求得2x = ∴当2x =秒时，四边形BDG G '为菱形．（3）分两种情况：①当0x <≤方法一：GM =BDG GS'∴∴重叠部分的面积为：6y =∴当0x <≤y 与x的函数关系式为6y =- ······································· 10分②当x ≤设FC 与DG '交于点P ，则45PDC PCD ∠=∠= 90CPD ∴∠=，PC PD =作PQ DC ⊥于Q ，则1)2PQ DQ QC x ===∴重叠部分的面积为：221111)))82244y x x x x =⨯==-+11. 如图14，已知半径为1的⊙O1与x 轴交于A ，B 两点，OM 为⊙O1的切线，切点为M ，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x 2+bx+c 的图象经过A ，B 两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P ，O ，A 为顶点的三角形与ΔOO 1M 相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．F GAF 'G 'BCE图7MF GAF 'G 'BCE图8Q D P解：（1）圆心1O 的坐标为(20)，，1O 半径为1，(10)A ∴，，(30)B ，……1分二次函数2y x bx c =-++的图象经过点A B ，，∴可得方程组10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩……2分解得：43b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数解析式为243y x x =-+- ···················································· 3分（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ． ········································································· 4分 OM 是1O 的切线，M 为切点，1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 在1Rt OO M △中，1111sin 2O M O OM OO ∠== 1O OM ∠为锐角，130O OM ∴∠= ································ 5分1cos302OM OO ∴===，在Rt MOF △中，3cos3032OF OM ===． 1sin 3032MF OM ===． ∴点M 坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ······································································································ 6分设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠，由题意可知322k =，3k ∴= ······· 7分 ∴切线OM 的函数解析式为y x =·············································································· 8分 （3）存在． ··························································································································· 9分①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）113tan tan 30P A OA AOP =∠==11P ⎛∴ ⎝⎭·················································· 10分。