重庆南开中学2014—2015学年度上期高二半期考试数学(理)试题

重庆南开中学2014—2015学年度上期半期考试
高二数学（理）试题
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．复数i
z +=12
的虚部为（ ） A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
2．命题“21
),,0(>++∞∈∀x
x x ”的否定为（ ） A ．21),,0(≤+
+∞∈∀x x x B ．21),,0(<++∞∈∀x x x C ．21),,0(≤++∞∈∃x x x D ．21
),,0(<++∞∈∃x x x
3．抛物线0212
=+x y 的准线方程为（ ）
A ．21=y
B ．2
1
=x C ．2=y D ．2=x
4．“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切”是“3=k ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知向量)1,0,1(-=a ，则下列向量中与a 所成夹角为0
120的是（ ） A ．)1,0,1(
B ．)0,1,1(-
C ．)1,1,0(--
D ．)0,1,1(-
6．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点为21F F 、，离心率为35
，过2F 的直
线l 交C 于B A 、两点。

若B AF 1∆的周长为12，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．1592
2=+y x B ．1592
2=+x y C ．1492
2=+y x D ．14
92
2=+x y 7．已知斜率为1的直线l 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 相交于B A 、两点，且AB 的中
点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．x y 3±=
B ．x y 3±=
C ．x y 3
1
±
= D ．x y 3
3±
=
8．三棱锥ABC O -的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是
)1,1,0()0,1,1()1,0,1()0,0,0(C B A O 、、、，则点C 到平面OAB 的距离为（ ）
A ．
3
3
2 B ．
2
3 C ．
3
6 D ．2
9．已知21F F 、是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且3
21π
=∠PF F ，则
椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为（ ） A ．
3
3 B ．
2
3 C ．3 D ．32
10．已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的内切球为球P O ，为球O 的球面上动点，
,1BC DP ⊥则点P 的轨迹的周长为（ ）
A ．π
B ．π2
C ．π3
D ．π2
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分） 11．=+++4
3
2
i i i i
12．过抛物线x y 42
=的焦点F 作直线l 与抛物线B A 、两点，若AB 中点M 的横坐标为2
3
，则=AB
13．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，61=AA ，异面直线1BC 与
1AA 所成角的大小为
6
π
，则该三棱柱的体积为 14．设Q P 、分别为圆1)1(2
2
=-+y x 和椭圆17
142
2=+y x 上的动点， 则PQ 的最大值为
15．已知21F F 、是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点，点P 在双曲线上且不与顶
点重合，过2F 作21PF F ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若b OA =，则该双曲线的离心率为
三、解答题：（本大题6个小题，共75分） 16．已知R m ∈，复数i m m m m z 3
1
22
+-+-+= （1）若z 为纯虚数，求实数m 的值
（2）若复数z 在复平面中所对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围
17．已知实数0>m ，命题:p 方程13
2
2=+y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，命题:q m x y +=与圆222=+y x 有两个交点，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围
18．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，1,1,21===AA AD AB （1）求证：直线1BC //平面1ACD
（2）求直线AB 与平面1ACD 所成角的正弦值
19．已知动圆过定点)0,1(F ，且与直线1:-=x l 相切 （1）求动圆圆心C 的轨迹方程
（2）过点)0,2(P 作直线交C 的轨迹于B A 、两点，交l 于点M ，若点M 的纵坐标为3-，求AB 的长
20．如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面,22,=AC ABCD
E PA ,2=是线段PC 上一点。

（1）若⊥PC 平面BDE ,求
EC
PE
的值 （2）若二面角C PB A --的余弦值为3
3
-
，求线段BD 的长
21．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的左焦点为F ，离心率为23
，过点F 且与x 轴垂直
的直线被椭圆截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程
（2）已知p 为非零常数，若过点)0,(p P 的直线l 与椭圆C 相交于不同于椭圆长轴顶点的两点
N M 、，且PN MP λ=，问在x 轴上是否存在定点Q ，使QN QM λ-与x 轴垂直？若存在，
求定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。