高考数学试题研究---不动点与稳定点1

- 1 ± 5 ⎩

⎩ ⎩

不动点：已知函数 y = 高考数学试题研究

f (x ) ， x ∈ I ，若存在 x 0 ∈ I ，使得 f (x 0 ) = x 0 ，则称 x 0

为函

数 y = f (x ) 的不动点。

⎧ y = f (x )

不动点实际上是方程组⎨ y = x 当然，这个方程组根据函数 y =

⎧ y = 2x - 1

的解(x 0 , y 0 ) 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标

f (x ) 的不同，可能有多解。

例如 1： ⎨ y = x

的解只有一个(1,1) ，故函数 y = 2x - 1 有一个不动点 x 0 = 1

⎧ y = 2x 2 - 1 例如 2： ⎨ y = x

的解为(- 1 , 1 2 2 ) ， (1,1) ，故函数 y = 2x 2

- 1 有两个不动点- 1 ,1 2

稳定点：已知函数 y = f (x ) ， x ∈ I ，若存在 x 0 ∈ I ，使得 f ( f (x 0 )) = x 0 ，则称 x 0 为

函数 y = f (x ) 的稳定点。

很显然，若 x 0 为函数 y = f (x ) 的不动点，则 x 0 必为函数 y = f (x ) 的稳定点。

证明是非常简单的！因为 f (x 0 ) = x 0 ，所以 f ( f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0 ，

即 f ( f (x 0 )) = x 0 ，故 x 0 也是函数 y = f (x ) 的稳定点。

反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！ 例如 3：设 f (x ) = 2x - 1，令2(2x - 1) - 1 = x ，解得 x = 1

故函数 y = 2x - 1 有一个稳定点 x 0 = 1

例如 4： f (x ) = 2x 2 - 1，令2(2x 2 - 1)2

- 1 = x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一

定有两解 x = - 1

,1，由此因式分解，可得(x - 1)(2x + 1)(4x 2

+ 2x - 1) = 0

2

还有另外两解 x = ，故函数 y = 2x 2

4 - 1 的稳定点有- 1 ,1 ，

2 4

其中

是稳定点，但不是不动点。

4

- 1 ± 5 - 1 ± 5

图-1

图-2

请看下面四个图形，分别对应例 1、2、3、4.

y

y = 2x - 1

y = x

y

y = 2x 2 - 1

y = x

x x

y

y = 2x - 1

y = 1 x + 1

2 2

x

y = x

由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线 y = x 的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标. 根据例 1 和例 3，我们可以给出命题：

若函数 y = f (x ) 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。

证明：若函数 y = f (x ) 有不动点 x 0 ，显然它也有稳定点 x 0 ；

若函数 y = f (x ) 有稳定点 x 0 ，即 f ( f (x 0 )) = x 0 ，设 f (x 0 ) = y 0 ，则 f ( y 0 ) = x 0

即(x 0 , y 0 ) 和( y 0 , x 0 ) 都在函数 y = f (x ) 的图象上，

假设 x 0 > y 0 ，因为 y =

假设 x 0 < y 0 ，因为 y = f (x ) 是增函数，则 f (x 0 ) >

f (x ) 是增函数，则 f (x 0 ) < f ( y 0 ) ，即 y 0 > x 0 ，与假设矛盾；

f ( y 0 ) ，即 y 0 < x 0 ，与假设矛盾；

故 x 0 = y 0 ，即 f (x 0 ) = x 0 ， y = f (x ) 有不动点 x 0 .

y

y = 2x 2 - 1

y = x x y = ±

x + 1

2

图-4

图-3

e x

+ x - a e x

+ x - a e x

+ x - a e x

+ x - a 【2013 年• 四川卷 （文科）第 10 题】

1.设函数 f (x ) = （ a ∈ R ， e 为自然对数的底数）.

若存在b ∈[0,1] 使

f ( f (b )) = b 成立，则 a 的取值范围是（

）

A. [1, e ]

B. [1, e + 1]

C. [e , e + 1]

D.[0,1]

解析: f (x ) = ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在b ∈[0,1] 使 f ( f (b )) = b ，即有稳定点b ， 所以它必有不动点b ∈[0,1] ，使得 f (b ) = b 即 f (x ) = = x 在 x ∈[0,1] 有解, 整理可得， a = e x

+ x - x 2

，在 x ∈[0,1] 有解令 g (x ) = e x

+ x - x 2 ， x ∈[0,1]

∵ g '(x ) = e x + 1 - 2x > 1 + 1 - 2 = 0 ，∴ g (x ) 在 x ∈[0,1] 单调递增

g (0) = 1， g (1) = e ， a ∈[1, e ] ，故选择 A.

【2013 年• 四川卷 （理科）第 10 题】

设函数 f (x ) = （ a ∈ R ， e 为自然对数的底数）.

若曲线 y = sin x 上存在点

(x 0 , y 0 ) 使 f ( f ( y 0 )) = y 0 成立，则 a 的取值范围是（

）

A. [1, e ]

B. [e -1

- 1,1]

C. [1, e + 1]

D. [e -1

- 1, e + 1]

解析: f (x ) = ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在 y 0 ∈[-1,1] 使 f ( f ( y 0 )) = y 0 ，即有稳定点 y 0 ， 所以它必有不动点 y 0 ∈[-1,1] ，使得 f ( y 0 ) = y 0

即 f (x ) = = x 在 x ∈[-1,1] 有解，显然 x ∈[-1,0) 是无解的. 整理可得， a = e x

+ x - x 2

，在 x ∈[0,1] 有解令 g (x ) = e x

+ x - x 2 ， x ∈[0,1]

∵ g '(x ) = e x + 1 - 2x > 1 + 1 - 2 = 0 ，∴ g (x ) 在 x ∈[0,1] 单调递增

g (0) = 1， g (1) = e ， a ∈[1, e ] ，故选择 A.

e x

+ x - a e x

+ x - a