用电脑作二次函数的图像
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学几何画板是一种在绘制几何图形时使用的工具。
利用它可以直观地呈现出图形的性质，有助于学生理解和记忆。
本文将介绍如何利用几何画板构建二次函数图像的性质，以帮助教师进行直观教学。
一、画出一般式二次函数的图像y=ax^2+bx+c其中a、b、c为常数，a≠0。
我们以a=1，b=0，c=0为例，画出y=x^2的图像。
步骤如下：1. 打开几何画板，选取一个坐标系工具。
2. 选择函数曲线工具，并输入函数y=x^2。
3. 在坐标系上点击两个点，依次为(0,0)和(1,1)，即可画出一条y=x^2的图像。
示意图：二、观察二次函数图像的性质1. 零点和轴对称性将一般式二次函数y=ax^2+bx+c转化成标准式y=a(x-h)^2+k形式，其中(h,k)为顶点坐标。
利用几何画板，我们可以轻松地观察出二次函数图像的顶点坐标，从而得到零点和轴对称性。
(1) 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即使y=0的x值。
通过画板，我们可以很容易地标出二次函数图像的零点，如下图：(2) 轴对称性由于二次函数图像是关于顶点对称的，所以可以通过画板将其轴对称，得到关于y=h的对称图形。
以y=x^2为例，步骤如下：1. 标出顶点坐标为(0,0)。
2. 选取直线工具，过顶点的横坐标0画出垂直于x轴的一条直线。
3. 复制这条直线，将其平移到顶点横坐标的相反数处，即(-0,0)。
4. 双击直线，选择反转工具，即可得到关于y=0的对称图形。
2. 开口方向和函数值的正负二次函数的开口方向由a的正负决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
同时，当x趋近于无穷大或负无穷大时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大，具体取决于a的正负。
在画板上，我们可以通过修改一般式二次函数中的a的值，观察图像的变化来理解和记忆这个性质。
如下图所示：三、总结通过利用几何画板，我们可以直观地观察和理解二次函数图像的性质。
二次函数图像
12．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天 生产76件,每件利润10元,每提高一个档次,利润每件增加2元.
(1)当每件利润为16元时,此产品质量在第几档次?
(2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少4件.若生产第 档次产品一天的 总利润为y元(其中 为正整数,且1≤ ≤10),求出y关于 的函数关系式; 若生产某挡次产品一 天的总利润为1080元,该工厂生产的是第几档次的产品?
课堂总结： 1、让学生总结本节课的收获 2、老师点评本节课学生的表现 3、学生的努力方向
作业：
1.抛物线 y=2（x-3）2的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 轴上 D． 轴上 2．二 次函数y=ax2 与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ） 3. 已知抛物线y=-（x+2)2 ,当x 时, y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小. 4. 若点P （-1，a）和Q（1，b ）都在抛物 线y=-x2+1 上，则线段PQ 的长为 。
6．已知抛物线 的顶点为C,直线 与抛 物线交于A、B两点.试求 △ABC面积.
作业：
7. 抛物线y=-(x-8)2 的顶点坐标是 （ ）
A、（2，8）
B、（8，2） C、（—8，2） D、（—8，—2）
五点法绘制二次函数图像
五点法绘制二次函数图像二次函数的图像绘制可以通过多种方法，以下是一种常用的五步方法——五点法：五点法步骤1：确定顶点首先，根据二次函数的顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，可以直接确定顶点坐标为$(h, k)$。
在平面直角坐标系中描出这个顶点M，并用虚线画出对称轴$x = h$。
步骤2：求与x轴的交点当 $aeq 0$ 时，将 $y$ 设为0，解方程 $a(x - h)^2 + k = 0$，得到与x轴的交点。
这个方程可能有两个不相等的实根（两个交点A、B）、两个相等的实根（一个交点）或没有实根（与x轴无交点）。
步骤3：求与y轴的交点将 $x$ 设为0，求得与y轴的交点C的坐标 $(0, c)$，其中 $c = ah^2 + k$。
步骤4：求关于对称轴的对称点如果抛物线与x轴有两个交点A、B，找到点C关于对称轴$x = h$ 的对称点D。
如果抛物线与x轴只有一个交点或无交点，则只需考虑点C和它的对称点D。
步骤5：绘制图像将顶点M、与x轴的交点A、B（如果存在）、与y轴的交点C及其对称点D按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到了二次函数的图像。
注意事项●当描点作图时，原则上相邻x的差值应相等，但远离顶点的点可以适当减小差值，以提高作图精度。
●如果需要更精确的图像，可以在顶点两侧各取多对对称点，并顺次连接这些点来绘制图像。
总结五点法是一种直观且实用的绘制二次函数图像的方法，通过确定顶点、与x轴和y轴的交点及其对称点，可以快速、准确地绘制出二次函数的图像。
这种方法适用于大多数二次函数的作图，无论是开口向上还是开口向下，都可以使用。
1.2二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质(3)
2. 在同一直角坐标系中，分别画出函数 y=-0.3x2与y=-8x2 的图象，并分别说出它们的共同点和不同点.
解：
共同点：均开口向下；对称轴 均为y轴；对称轴与图象的交点 是(0，0)；图象均是“左升” “右降”；当x=0时，函数值最 大，为0； 不同点： y=-8x2的图象开口比 y=-0.3x2的图象开口小.
.
因此，所求的二次函数的表达式为
y= 3 (x + 2 )2+ 1 = 3 x 2+ 3 x 4 .
4
4
练习
1. 说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向： （ 1） y=5 2(x-9)2+7； 答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
（ 2） y=-1 3 (x+ 18) 2-13. 答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
y=12(x-1)2+3 y=12(x-1)2
物线，因它此的，对二称次轴函为数直y=线12(xx=-11()与2+抛3的物图线象y=也12(是x-抛1)2 的对称轴一样)，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物 线 y=12(x-1)2 的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)， 它的开口向上.
结论
一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线， 它具有下述性质：
例5 已知某抛物线的顶点坐标为（-2，1），且与y 轴 相交于点（0，4），求这个抛物线所表示的二次 函数的表达式.
解 由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个 抛物线所表示的二次函数的表达式为 y=a(x+2)2+1.
由函数图象过点（0，4）， 可得 4=a(0+2)2 + 1，
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学几何画板是一种数字工具，可以帮助学生直观地理解和探索数学概念。
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学，可以帮助学生更好地理解二次函数的特点，提高他们的数学学习兴趣和理解能力。
本文将从几何画板的使用方法和二次函数的性质入手，探讨如何利用几何画板进行二次函数图像性质的直观教学。
一、几何画板的使用方法几何画板是一种基于计算机的绘图软件，可以通过鼠标或触摸屏操作，绘制各种几何图形和函数图像。
在教学中，可以利用几何画板展现二次函数的图像，调整函数参数，让学生直观地感受二次函数的性质，并且可以进行实时交互，方便学生进行实践操作和思维拓展。
二、二次函数的性质二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数图像为抛物线，具有以下性质：1.开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为顶点的纵坐标。
3.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
4.零点：二次函数的零点即为方程y=ax^2+bx+c=0的根，可以通过求解方程得到。
5.判别式：二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。
利用几何画板，可以直观地展现二次函数的图像和性质，帮助学生更深入地理解和掌握这些性质。
1. 开口方向的直观呈现可以让学生通过调整a的取值，观察抛物线的开口方向如何改变。
当a>0时，抛物线向上开口，可以引导学生联想到一个碗的形状；当a<0时，抛物线向下开口，可以让学生将其想象为一个水槽的形状。
通过这样的直观呈现，学生可以更好地理解二次函数开口方向与参数a的关系，巩固二次函数开口方向的性质。
2. 顶点坐标的实时调整可以让学生自由调整二次函数的a、b、c的取值，观察顶点坐标的变化。
在几何画板上，学生可以直观地看到顶点的位置在坐标轴上的变化，并且可以比较不同函数之间的顶点坐标。
用计算机绘制函数的图像(王伟)
《用计算机绘制函数的图像》教案设计学校：西丰职专教师：王伟一、教案背景1、面向学生：中职生一年级2、学科：数学语文出版社中等职业教育课程改革国家规划教材基础模块上册3、课时：第3课时4、学生课前准备：（1）预习本课时教学内容。
（2）利用网络搜索几何画板5.01软件及简明教程，进行自学。
二、教学课题教养方面：1、认识并掌握几何画板5.01软件的界面组成，并能够进行简单的绘图操作。
2、掌握二次函数y=x2 与y=-x2图像及性质，抛物线的定义，理解并掌握二次函数y=ax2的图像及性质，并能解释解决一些简单的抛物线的现象和问题。
教育方面：1、培养学生观察、思考身边的事物、现象的习惯和能力，体会实际生活与数学的紧密联系。
2、培养学生数形结合的思想和方法，类比的思想和方法，实验的思想和方法。
提高学生分析问题、解决问题的能力。
发展方面：培养学生自主学习的态度和能力，动手操作的实践能力，大胆的想象力和合作交流的能力。
三、教材分析《用计算机绘制函数的图像》是语文出版社出版，中等职业教育课程改革国家规划教材基础模块上册63页的教学内容。
需要运用的软件是几何画板5.01。
几何画板一个通用的数学、物理教学环境，提供丰富而方便的创造功能使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件，是最出色的教学软件之一。
它主要以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形，是数学、物理教学中强有力的工具。
《用计算机绘制函数的图像》是学生们在系统的学习了函数的概念及表示法后，利用函数的图像，系统的学习研究二次函数y=ax2的图像和性质。
教学重点是二次函数y=ax2的图像及性质。
教学难点是通过系统的学习研究二次函数y=ax2的图像和性质培养学生数形结合的思想和方法，类比的思想和方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，丰富他们的想象力，增强他们对数学的兴趣。
教学之前用百度在网上搜索二次函数的图像和性质的相关教学材料，在百度上搜索到《数学实验二次函数的图像和性质》课件，教学软件几何画板5.01，几何画板5.01中文最强版，画版实例 5.x平抛运动课件，视频《被苹果砸中的牛顿》。
实例1 二次函数图像的制作
新课标数学几何画板课件制作实例教程新课标数学几何画板课件制作实例教程实例1二次函数的图像朱俊杰二次函数是中学数学的重点，也是一个难点，要学好二次函数，很多老师都利用数形结合法来讲解，下面我们就学习一下如何利用几何画板制作二次函数图像【设计要点】建立坐标系，在x轴上任画3点A、B、C，过点A、B、C构造x轴的垂线j、k、l，在直线j上任画一点a，在直线k上任画一点b，在直线l上任画一点c，分别度量出点a、b、c的纵坐标，以这3个点的纵坐标为系数，构造出函数f(x)=a⋅x2+b⋅x+c，然后构造出这个函数的图像，即完成课件的制作。
【操作步骤】(1) 运行几何画板软件，新建一个几何画板文件。
(2) 选择“图表”→“定义坐标系”菜单命令，定义一个新坐标系。
选择“图表”→“隐藏网格”菜单命令，将画板上的网格隐藏。
(3) 选择“画点”工具，在x轴负半轴上任画3点A、B、C。
同时选中点A、B、C和x轴，选择“作图”→“垂线”菜单命令，过点A、B、C构造出x轴的垂线j、k、l。
(4) 选择“画点”工具，分别在直线j上画一点D，利用“文本”工具，将点D的标签改为a，在直线k上任画一点E，并将点E的标签改为b，在直线l上任画一点F，并将点F的标签改为c。
(5) 同时选中点a、b、c，选择“度量”→“纵坐标”菜单命令，度量出点a、点b、c的纵坐标，利用“文本”工具，将三个表达式标签改为a、b、c。
(6) 同时选中a=**、b=**、c=**，选择“图表”→“绘制新函数”菜单命令，打开“新建函数”对话框，依次单击“a=**”→“”→“”→“”→“”→“”→“b=**”→“”→“”→“”→“c=**”按钮，单击“确定”按钮，绘制出函数f(x)=a⋅x2+b⋅x+c的图像，如图1所示。
1新课标数学几何画板课件制作实例教程2 图1(7) 同时选中直线j、k、l，选择“显示”→“隐藏垂线”菜单命令，将这3条直线隐藏。
（8）拖动课件中的点a、点b、点c，可改变二次函数的系数，从而达到改变函数图像的效果。
几何画板作二次函数的图像
如何用几何画板作二次函数图像几何画板作为数学方面的得力工具，首先体现在各种函数图的制作上，下面我们以二次函数图为例，讲一讲几何画板的使用。
具体步骤：1.新建一个绘图，选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。
2.选择工具栏里的“画点”工具，鼠标指针变成十字形，在坐标轴的横轴上点击一下，画出一个点，确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“C”）。
确保C点处于被选中状态，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“坐标”，得到C点的坐标。
3.选择工具栏里的“选择&平移”工具，鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，再选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点C”上，选择x，然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮，这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。
如果用鼠标拖动点C 的话，你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。
4.下面我们把界面稍微整理一下，用鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，然后同时按下Ctrl和H键，把C点的坐标隐藏掉。
再选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，用鼠标双击C点横坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”，出现两个文本框，将左面文本框内的“X[C]=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。
经过上面的工作，我们已经把二次函数的自变量构造出来了，下面我们再来构造二次函数的系数a、b、c。
系数a、b、c的构造过程是完全一样的，故我们只详细介绍系数a的构造过程。
5.选择工具栏里的“画点”工具，在坐标轴的横轴上画一个点，选择工具栏里的“标出文本&标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“D”）。
然后选择工具栏里的“选择&平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击坐标轴的横轴，使D点和坐标轴的横轴同时处于选中状态（如果要选择多个对象，要先按住Shift 键，再用鼠标进行选择。
二次函数的图像_PPT
又 f(0)＝c>0，∴abc>0.故选 D.
题型三 求二次函数解析式 例3 (本题满分10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0),对称轴为x＝ －1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析 式． 【思路点拨】 该题给出了三个条件，但实际上此 题还有一个隐含条件，如利用A点关于对称轴x＝ －1审题时画出简易图，
∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，
顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x －1 0
1
23
y 0 －6 －8 －6 0
描点并画图，得函数 y＝2x2－4x－6的图像， 如图所示．
(2)由图像得，函数图像与 x 轴的交点坐标为 A(－1,0)、B(3,0)，与 y 轴的交点坐标为 C(0， －6)． S△ABC＝12|AB|·|OC|＝12×4×6＝12. (3)由函数图像知，当 x<－1 或 x>3 时，y>0； 当 x＝－1 或 x＝3 时，y＝0；当－1<x<3 时， y<0.
变式训练 2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示， 有下列结论： ①a＋b＋c<0； ②a－b＋c>0； ③abc>0； ④b＝2a. 其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 D.由题图可得 f(1)＝a＋b＋c<0，f(－
1)＝a－b＋c>0，－2ba＝－1，∴b＝2a，ab>0，
题型二 二次函数图像特征 设例b2>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1
(a≠0)的图像为如图所示的四个图像之一,则a的值 为( )
A．1
二次函数图像的绘制
二次函数图像的绘制二次函数是高中数学中重要的一种函数类型。
学习二次函数图像的绘制，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍如何使用一些基本的数学知识和技巧来绘制二次函数的图像。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，其形状和位置在一定程度上由a、b、c 的值决定。
二、确定二次函数图像的基本步骤绘制二次函数的图像一般需要以下几个步骤：1. 确定平移、缩放和翻转平移、缩放和翻转是确定二次函数图像位置和形状的重要因素。
平移表示图像在坐标平面上的上下左右移动，缩放表示图像在x轴或y轴的拉伸或压缩，翻转表示图像以x轴或y轴为对称轴的镜像。
2. 确定顶点和对称轴对于一般形式的二次函数，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数。
对称轴为顶点的对称轴。
3. 确定x轴和y轴的截距求解方程y = 0可得到函数与x轴的交点，即x轴截距。
求解f(0)可得到函数与y轴的交点，即y轴截距。
4. 确定开口方向当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
5. 确定对称性y = ax^2 + bx +c 关于对称轴对称，即f(x) = f(-x)。
三、绘制二次函数图像的实例为了更好地理解绘制二次函数图像的具体步骤，我们以函数y = x^2为例进行说明。
1. 平移、缩放和翻转对于y = x^2，没有平移、缩放和翻转操作。
2. 确定顶点和对称轴由于a = 1, b = 0, c = 0，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) = (0, 0)。
对称轴为x = 0。
3. 确定x轴和y轴的截距函数与x轴的交点在原点(0, 0)，函数与y轴的交点也在原点(0, 0)。
4. 确定开口方向由于a = 1 > 0，所以抛物线开口向上。
5. 确定对称性y = x^2 关于对称轴x = 0对称。
4.1 二次函数的图像(北师大版)
[思路点拨]
对每个函数列表、描点、连线作出相应
的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．
[精解详析]
(1)列表：
－2 4 2 16 －1 1 －1 6 0 0 －2 0 1 1 －1 2 4 2 0 3 9 7 6
x y＝x2 y＝x2－2 y＝2x2－
一般式y＝ax2＋bx＋c，a、b、c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与
最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k
(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为 (x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1) (x－x2)(a为常数，且a≠0)．
给定下面几个函数
f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1
问题1：由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？
提示：f(x)＝x2的图像上各点横坐标不变，纵坐标变
为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图像．
问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的
[一点通]
任意抛物线y＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得
到，具体平移方法，如图所示．
即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时
左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，
减时下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？
a－b－6＝－4， 故 a＋b－6＝－6，
① ②
由①②可得 a＝1，b＝－1， 故该函数的解析式为 y＝x2－x－6.
怎样利用PPT制作二次函数图像
y=2x^2+3
900 800 700 600 500 400
弹出的 excel表格
比如我们要做一个y=2x2+3二次函数的图像，那我们则需要在弹 出来的EXCEL表格中的x值下面的A2单元格输入x的一个值如20，A3单 元格输入18，再框选A2和A3两个单元格，把鼠标放到A3单元格的右下 角当鼠标显示实心的十字标时点击往下拉20格，就可以自动填充剩下 的A4：A22单元格，每个单元格差值为2。
y=2x^2+3
900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 -40 -20 0 20 40
把此进度条 拉到最右边
最后就是让函数曲线突显出来，这其实就是修改函数曲线 的颜色。右键单击函数曲线，出现右键菜单，再单击设置数据 系列格式，出现设置数据系列格式方框，选中左边栏中的线条 颜色，并选中线条颜色中的实线，把颜色改成你认为比较显眼 的就可以了。
点击线 条颜色 选中实线
y=2x^2+3
900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 -40 -20 0 20
右键单击此 函数曲线
左键单击设置 数据系列格式
在此选择你认为 比较显眼的颜色
40
y=2x^2+3
900
800 700 600
500
400 300 200
100
0 -30 -20 -10 0 10 20 30
怎样用几何画板画二次函数图像
怎样用几何画板画二次函数图像
函数图像在数学中占了半壁江山，利用几何画板绘制函数图像是很重要的一个技能，下面就简单介绍如何使用几何画板绘制二次函数图像。
以f(x)=2x2+3x-5为例，具体操作步骤如下：
一、绘制函数：
1.在“绘图”菜单中选择“绘制新函数”命令，出现“新建函数”对话框。
2.输入函数表达式。
在“新建函数”对话框中，按对话框上的数字按钮输入函数图像点击“确定”，自动生成f(x)=2x2+3x-5的函数图像。
3. f(x)=2x2+3x-5的图像如图所示。
二、调整图像：
1.整体移动。
单击“移动箭头工具”，在坐标系中按住坐标原点拖动可以移动整个坐标系的位置。
2.调整数据。
如果觉得数据不够精确，或者太详细了，你可以单击“移动箭头工具”，然后在选中X轴上的红点并拖动可以放大或者缩小刻度。
按照上面的方法就可以很快速地在几何画板中绘制出二次函数的图像，新用户们也可以很快地掌握这种简单的几何绘图方法。
二次函数及其作图
二次函数及其作图二次函数是数学中的一种特殊函数类型，其表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在数学及实际问题中都有广泛的应用，了解二次函数及其作图方法对于解决相关问题具有重要意义。
一、二次函数的基本形式及性质二次函数的基本形式为f(x) = ax^2 + bx + c，并且图像一定是抛物线。
根据a的正负及大小，可以得出以下性质：1. 当a > 0时，抛物线开口向上，图像在x轴上方有最小值。
2. 当a < 0时，抛物线开口向下，图像在x轴下方有最大值。
3. 当a的绝对值越大，抛物线的开口越宽。
4. 函数的零点即为二次方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求解该方程得到。
二、二次函数的作图方法为了更好地理解和应用二次函数，我们可以通过作图来展示其图像。
1. 确定基准点：找出抛物线的顶点，即最值点，可以通过求对称轴的坐标进行确定。
对称轴的坐标公式为x = -b / (2a)，将这个值代入函数中即可得到顶点的坐标。
2. 确定关键点：找出抛物线与x轴的交点，即零点。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到，求解出的根即为关键点的横坐标，将其代入函数中可以得到纵坐标。
3. 绘制抛物线：连接顶点和关键点，并逐渐绘制出整个抛物线的形状。
4. 补全图像：根据图像的开口方向和函数的定义域，补全抛物线的形状。
三、例题分析与实践例题：已知二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求解以下问题：1. 函数f(x)的最值点坐标和最值；2. 函数f(x)的零点坐标；3. 根据所得信息画出函数f(x)的图像。
答案：1. 首先求解对称轴的坐标。
根据公式x = -b / (2a)，代入a = 2，b = -4，得到对称轴的横坐标为 x = -(-4) / (2*2) = 1。
将x = 1代入函数中，得到最值点P的纵坐标：f(1) = 2 * 1^2 - 4 * 1 + 3 = 1。
二次函数的图像
二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明X=什么3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。
抛物线的性质轴对称1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。
开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数6.抛物线与x轴交点个数Δ= b*2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b*2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
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如何利用几何画板制作二次函数课件
二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
当然最好还是让他们直观地观看当函数中的几个参数a、b、c或参数h、k发生变化时，图形是如何变化的，看到在运动和变化的过程中变量之间的对应关系。
这个靠老师口头讲解、黑板上画图都很难达到这个要求，而利用多媒体技术可以帮助我们做到这一点。
几何画板与Z+Z教育平台可以让抽象的函数问题变得直观形象、化静为动，动态地演示作图过程，动态地演示函数值随自变量的变化而变化的情景，有利于学生理解函数的概念、图象与性质。
如何有效地把信息技术和数学教学进行整合？如何把几何画板与Z+Z教育平台这些新的教学工具完美地融合到二次函数的教学过程中？下面我简单介绍一下
用几何画板制作二次函数课件：
我想用几何画板制作课件的目标主要有三个：1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景，帮助学生理解二次函数的单调性与二次函数的极值问题。
一、利用几何画板作二次函数y=3x2－4x+1的图象。
这种形式的图象比较容易在几何画板窗口上画出，教师可以在上课过程中即兴作图。
1、建立平面直角坐标系。
在进入几何画板窗口后，单击编辑窗口上的“图面”选择“显示坐标轴”，此时你可以看到窗口上出现了一个坐标轴，你拉动x轴正半轴上的一个滑动点，可以改变单位长度的大小。
2、画点。
点击编辑窗口左侧的工具栏中的画点工具，在x轴上任意处单击，可以在x轴上做出一个点，如点A。
如果你想把这个点改为别的名字，你可以用手形工具，双击字母A，在出现的对话框中输入你想要的字母。
3、测算坐标。
单击点A，单击上编辑窗口的“测算”，选择“坐标”，可以看到编辑窗口左上角出现点A的坐标，如A(-2.18,0.00)
4、分离坐标。
把坐标A中的横坐标分离出来，当作二次函数y=3x2－4x+1的自变量x。
双击编辑窗口中的点A的坐标(-2.18,0.00)会出现一个计算器，然后单击计算器上的“值”，接着选择点A下拉菜单中的x，再按确定，就可以将A的横坐标X A=-2.18分离出来。
如下图所示：
5、更改横坐标名字。
单击编辑窗口左侧的“手”形工具，对着坐标X A=-2.18双击，则会出现一个对话框，上面有“数学格式”与“文本格式”两种选择，选择“文本格式”，把坐标X A改成X，此时二次函数的自变量X就算做成了。
6、求出当X=-2.18时函数y=3x2－4x+1的函数值。
单击工具栏上的箭头工具，双击编辑窗口上的任一坐标，则会弹出“计算器”，在计算器中输入3x2－4x+1，再按确定。
（计算器上的“*”表示乘号，“/”表示除号，“^”表示乘方；另外，我们只需单击一下编辑窗口中的横坐标
X=-2.18，就可以在计算器上输入变量X。
如3*X^2－4*X+1）再手形工具双击编辑窗口中的把它改为y=3x2－4x+1=23.98。
如图
7、描点。
顺次选定编辑窗口上的X=-2.18与y=3x2－4x+1=23.98，再单击菜单栏上的“图面”按钮，选择“P 画点-根据（x、y）”，则可以描出一个点B，如果看不见点B，你可以左右拖动点A，直至看到点B为止。
如图：
8、连线。
选定编辑窗口上的点A与点B，再单击菜单栏上的“构造”按钮，选择“轨迹”，就可以做出函数y=3x2－4x+1的图象。
你若用选择工具右击图象，可以在出现的下拉菜单中选择图象的线型（粗、细）和图象的颜色。
假如图象精确度不够，你可以用工具双击图象，在出现的对话框中，把图象上的点数改多，就可以提高图象的精确程度，此时二次函数y=3x2－4x+1的图象就做成了。
如图：
只要重复上述几步，我们就可以类似地做出我们所想要画的二次函数的图象，所用的时间不会超过2分钟，可以在课堂上大量使用。
如果左右拖动点A，你也可以演示函数值y随着自变量x的变化而变化的情景，容易让学生理解二次函数的单调性与极值（最大值与最小值)问题。
二、利用几何画板作二次函数y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k与y=ax2+bx+c的图象。
制作这几种函数图象要比制作y=3x2－4x+1的图象多作几个参数h、k或a、b、c，只要变动参数h、k或a、b、c的值，图象就会发生变化，这个课件可以动态演示二次函数的图象。
（以制作y=ax2+bx+c的图象为例）
（一）制作参数a、b、c。
1、做X轴的垂线。
重复“一、”中的第1第2两步，在编辑窗口中建立平面直角坐标系，在X轴上任取一点M，然后选定X轴与点M，单击菜单栏上的“构造”按钮，选择下拉菜单中的“垂直线”就可以画出一条与X轴互相垂直的直线。
2、画点。
用画点工具在垂线上做出三个点，用手形工具分别“单击”这三个点，三个点的旁边会出现三个大写英文字母，再用手形工具“双击”它们，就可以在出现的对话框中把这三个字母改为a、b、c。
（另外，在出现的对话框中也可以设置字母的“字样”。
）
3、制作参数。
选定点a，单击菜单栏上的“测算”，再选择“坐标”测算出点a的坐标（9.71、6.32），然后用选择工具双击点a的坐标，在出现的计算器中把点a的纵坐标y a=6.32分离出来（可模仿“一、”中的第4步分离坐标），接着用手形工具把分离出来的纵坐标y a=6.32改名为a=6.32（可模仿|“一、”中的第5步），此时参数a制作完成，
上下拉动点a，你可以看到参数a的值也在变化。
（参数b和c的制作同a一样）
（二）、制作自变量x。
在X轴上任作一点P（-5.50、0.00），把点P的横纵标x p=-5.50分离出来，并改名为x=-5.50，此时变量X 的制作完毕，它的制作方式与制作参数a、b、c是一样的，只不过在分离坐标时不同而已。
（三）、计算二次函数y=ax2+bx+c的函数值（可模仿“一、”中的第6步）。
用选择工具双击任一个点的坐标弹出计算器，然后在计算器中依次输入a*x^2+b*x+c（只需点击编辑窗口中的参数a、b、c与自变量x就可以把它们输入计算器中），按确定，编辑窗口中就会出现，再用手形工具单击，在弹出地对话框里把它改为。
（四）、描点。
选定x=-5.50与单击编辑窗口上的菜单栏，选择“画点-根据（x，y）做出点Q，如图所示：
（五）、连线。
选定点P与点Q，再单击“构造”中的“轨迹”就可以做出y=ax2+bx+c的图象。
如下图所示（如果要更改图象，可模仿“制作二次函数y=3x2－4x+1的图象“中的第8步修改图象的线型、颜色与精确度）。
只要拉动垂线上的动点a、b、c就可以改变参数a、b、c的值，二次函数y=ax2+bx+c的图象也会随之而变化，使学生很直观地理解函数的图象及其性质，其中的数形结合，化静为动给学生带来了直观上的感受，也给学生以最直接的理性认识，清楚地看到图象的变化过程。
对于二次函数的其它形式如y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a （x－h）2+k图象，其课件制作方法与上面是一样的，只需做出函数的自变量与几个参数即可。
用几何画板动态演示y=ax2、y=ax2 +k、y=（x －h）2、y=a（x－h）2+k的图象可以让学生很方便地理解这几种函数之间的平移与对称关系，也为学生探索二次函数的图象的性质、探讨二次函数的单调性和函数的极值等问题争取了时间，函数二次函数的图象的开口方向如何？顶点坐标与图象的对称轴是什么？等问题，学生都可以在教师的动态演示之下获得解决。
几何画板参与下的二次函数的教学，学生很容易看到各个变量之间的依赖关系，使函数的图象与性质直观化、形象化，但我们应正确把握演示的时机，要让学生参与到函数的图象与性质的探究中来，要在学生充分动手与思考之后才给予演示，否则学生反而会成为观看演示的观众，信息技术反而会剥夺学生动手与思考的机会，与我们的目标相悖。