《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式(第二课时基本不等式的应用)PPT课件
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《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件(第一课时基本不等式)
26
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费 总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a. y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a ＝0.2a(1.25－x)， 当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙； 当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙． 因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲 旅行社较优惠．
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
11
合作探究 提素养
12
用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的本步骤：
20
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
18
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
[解] 由题意知，500x＋400y≤20 000， 即5x＋4y≤200.
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT
2
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1
1
-1
1
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,
1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.
∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1
1
-1
1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.
1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1
1
-1
1
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,
1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.
∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1
1
-1
1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.
1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
2.2 基本不等式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A
人教高中数学A版必修一 《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT(第二课时基本不等式的应用)
第三页，共十九页。
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
第四页，共十九页。
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
第十页，共十九页。
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
第十五页，共十九页。
1．若 a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.( )
第二页，共十九页。
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc， 同理1b－1≥2 bac，1c－1≥2 cab. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
第四页，共十九页。
利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说， 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题 过程中尽量向模型 ax＋bx≥2 ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
第十页，共十九页。
1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位： 年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转 ________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
a＞0，所以4xy＋ayx≥2 4xy·ayx＝4 a，当且仅当4xy＝ayx时取等 号．由已知可得 4＋a＋4 a≥16，即 a＋4 a－12≥0，解得 a≥ 2 或 a≤－6(舍去)，所以 a≥4，即 a 的最小值为 4.
第十五页，共十九页。
1．若 a，b∈R，判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.( )
第二页，共十九页。
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1， 所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc， 同理1b－1≥2 bac，1c－1≥2 cab. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得1a－11b－11c－1≥2 abc·2 bac·2 cab＝8. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
基本不等式(第二课时)课件 高一上学期数学 必修第一册
索 引
4.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是__2__1_0___.
解析 a＋b≥2 ab＝2 10，当且仅当 a＝b＝ 10时等号成立.
索 引
5.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是__5_0_____.
解析 由m2＋n2≥2mn， ∴mn≤m2＋2 n2＝50. 当且仅当 m＝n＝±5 2时等号成立.
索 引
1、x>0，y>0，xy=16，求 x+2y 的最小值，
并说明此时x，y的值。
解： x 0, y 0 x 2 y 2 2xy 2 32 8 2
一正 二定
当且仅当 xxy21y6
x y
4 2
2时，等号成立 2
三相等
x 2y min 8 2
索
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引
2、x>0，y>0，2x+3y=2，求 xy 的最大值，
索 引
例题分析：
例2: 某工厂要建造一个长方 体无盖贮水池 ,其容积
为4800m3 , 深为3m, 如果池底每1m2的造价为150元,
池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总 造价最低, 最低总造价是多少?
解: 设矩形长为x m，宽为y m 总造价为W 元
4800 3xy
xy 1600
(1)当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
和 定 积
xy有最大值___1_S__2 _；
4
最 大
(2)当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， ，
x+y有最小值__2___P__。
积 定
用最值定理求最值的三个条件:
和
①各项皆为正数；
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式 图文
2
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
栏目导航
9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
栏目导航
10
合作探究 提素养
栏目导航
11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
栏目导航
[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
栏目导航
38
13
栏目导航
14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
栏目导航
33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
栏目导航
9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
栏目导航
10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
最新湘教版高中数学《基本不等式的应用》教学课件
2
创设情景
思考：我们如何利用已经学习的知识来解决这个问题呢？
3 思辨探索
3
思辨探索
思辨：从以上的两个小问题的解决过程中，我们能总结归纳出什么有用的结论呢？
4 例题讲解
4
例题讲解
问题二：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为 12 m2 的背景靠墙的小屋，房屋正面的造价为 1200 元/ m2 ，侧面的造价为 800 元/ m2 ，屋顶的造价为 5200 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面和底面 的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？
一元二次函数、方程和不等式
——2.1.3 基本不等式的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
课前任务
CONTENTS
2
创设情景
目
3
思辨探索
录
4
例题讲解
5
归纳总结
1 课前任务
1
课堂任务
我们已经学习了基本不等式及其变形，接下来，我们将要研究一下如何运用基本不等式来 解决一些实际问题．在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省，利润最高，成本 最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决．
2
创设情景
思考：我们如何利用已经学习的知识来解决这个问题呢？
2
创设情景
问题一：（2）把 25 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
2
创设情景
讨论：和刚才的第1个小问题类似，我们如何将第2个小问题转化为我们熟悉的问题？
2
创设情景
问题一：（2）转化为：设两个正数为 x, y ，则 x 0, y 0 ，且 x y 25，求 xy 的最大值．
首先，我们来复习一下基本不等式的相关知识：
人教版高中数学必修一《基本不等式》PPT课件
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化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
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记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
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栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为(
)
A．x≥2y
B．x>2y
C．x≤2y
D．x<2y
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab 均成立．( √ )
(2)若 a>0，b>0 且 a≠b，则 a＋b>2 ab.( √ )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.( √ ) (4)a，b 同号时，ba＋ab≥2.( √ )
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112， 当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等号成立． ∴当 x＝16时，函数取得最大值112.
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1．(1)已知 x>0，求函数 y＝x2＋5xx＋4的最小值； (2)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． [解] (1)∵y＝x2＋5xx＋4＝x＋4x＋5≥2 4＋5＝9，
当且仅当 x＝4x即 x＝2 时等号成立． 故 y＝x2＋5xx＋4(x>0)的最小值为 9.
第二章
一元二次函数、方程和不等式
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2ห้องสมุดไป่ตู้xy，
∴xy≤100.]
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合作探究 提素养
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11
2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的应用
2
学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数 1.通过基本不等式求最值，提升数学
的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用 题．(难点)
运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的 应用，培养数学建模素养.
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3
自主预习 探新知
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A.72 B．4 C.92 D．5
C [∵a＋b＝2，∴a＋2 b＝1. ∴1a＋4b＝1a＋b4a＋2 b ＝52＋2ba＋2ba≥52＋2 2ba·2ba＝92 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时，等号成立. 故 y＝1a＋4b的最小值为92.]
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2．若 x>0，则 x＋2x的最小值是
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
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(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
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利用基本不等式求条件最值 【例 2】 已知 x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求 x＋2y 的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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A.72
B．4
C.92
D．5
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C [∵a＋b＝2，∴a＋2 b＝1. ∴1a＋4b＝1a＋b4a＋2 b ＝52＋2ba＋2ba≥52＋2 2ba·2ba＝92 当且仅当2ba＝2ba，即b＝2a时，等号成立. 故 y＝1a＋4b的最小值为92.]
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1．已知 a＞0，b＞0， a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最 小值是( )
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已知 x、y 都是正数， (1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值S42. (2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
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1．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最小值是( )