倒易点阵

故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
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倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
振幅，表示晶体的正点阵晶胞内所有原子的散射波在衍射方向上的合成振幅， 即： n Fhkl f j exp 2i hx j ky j lz j
j 1


式中 fj——晶胞中位于（xj，yj，zj）的第j个原子的原子散射因数（或原子散射 振幅） n——晶胞内原子个数。 结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶 胞内原子散射波的合振幅为零。 消光条件： 简单立方：Fhkl 恒不等于零，无消光现象。 面心立方：h、k、l为异性数时，Fhkl=0 体心立方：h+k+l=奇数时，Fhkl=0 密排六方：h+2k=3n，l=奇数时，Fhkl=0
实际晶体的倒易点阵
• 体心立方点阵
第二种方法：正点阵的基矢取成原胞的三条棱
a、b、c ，如图。
故倒易基矢为： 由于原胞内只有一个原子(0,0,0)，故在原胞基矢坐标系下的任何晶面都有相应的倒易结点 FCC原胞的基矢应为： 比较两式得，BCC的倒易点阵就是一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
实际晶体的倒易点阵
由此得到： hx+ky+lz=n（n=0, 1, 2, 3,……………..）
这就是(x,y,z)原子位于第n层(h k l)面上的条件
实际晶体的倒易点阵
• 简单立方点阵
倒易基矢为：
由此可见，
；长度恰为倒数。
简单立方晶体的倒易点阵仍为简单立方，晶胞边长为1/a。
实际晶体的倒易点阵
• 体心立方点阵
例如：BCC和FCC的（002）平行晶面族包含了全部原子
（001）平行晶面族只包含了一半原子 所以：在BCC和FCC的倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
倒易点阵中出现节点的条件的另一种表述：
倒易点阵中出现（hkl）节点的条件是，晶体中的任意一个原子必须 位于（hkl）平行晶面族的某一晶面上。
第一种方法：正点阵基矢仍取立方晶胞的三条正交棱 a、b、c ；但由于 体心原子的(1/2,1/2,1/2)的存在，只有满足下述条件的(h,k,l)倒易结点才能出 现： (h+k+l)/2=n。 这表明，(h+k+l)必须为偶数的倒易结 点才能在BCC的倒易点阵中存在。
从图看出，BCC的倒易点阵就是 一个FCC点阵，晶胞的边长为2/a。
bc bc a = V a bc
*
* ca b= V 同样： c* a b V
V 为正点阵晶胞的体积。 根据 a*、b*、c* 即可作出倒易晶胞（或倒易原胞）
倒易点阵的基本性质
（1）正点阵和倒易点阵的同名基矢的点积为1，不同名基矢的点积为0， 即：
a a bb bb 1
• 面心立方点阵
仿照上述体心立方点阵不难证明，FCC的倒易点阵就是一个体心立方 点阵，晶胞的边长为2/a。
实际晶体的倒易点阵
• 简单六方点阵
对简单六方点阵来说，由于原胞中只有一个原子(0,0,0)， 故对任何一组h，k，l值，均可作出相应的倒易结点。 由投影图可以看出，简单六方点阵的倒易点阵仍然是简 单六方点阵。
a * b* c= V*
（4）任意倒易矢量 面。
g=ha* kb* lc*
必然垂直于正点阵中的（hkl）
（5）任意倒易矢量 的长度与晶面间距有如下关系
g =1/d(hkl)
实际晶体的倒易点阵
倒易点阵中出现节点的条件： 正点阵中相互平行的（hkl）面的全体包含（通过）所有的正点阵节 点。
* * *
a b =a b=b c =b c=c a =c a=0
* * * * * *
（2）正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系，即：
1 V= * V
倒易点阵的基本性质
（3）正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易即：
b* c* a= V*
c* a * b= V*
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 电子衍射基本公式
因θ角非常小，ghkl矢量接近和入射电子束垂直； △OO*G∽△OO’G’，已知样品到底片的距离L
因为
g hkl
1 1 ,k d hkl
1 R L Lg d
所以： R∥ghkl
R g hkl L k
式中K=λL称为电子衍射的相机常数，而L称为相机长度。
OP 1/d (hkl)
• 我们将实际晶体中一切可能的的{hkl}面所对应的倒易点都 画出来，由这些倒易点组成的点阵称为倒易点阵。
倒易点阵的确定方法
倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中的a、b、c、、、 六个点阵常数用三个基矢 a、b、c 来代替， 那么 a、b、c 就可以确定一个正点阵。 同样倒易点阵也可以用三个矢量来确定， * * * a 、 b 、 c 即由 三个矢量确定倒易点阵。
a
*
应平行于（100）面的法线方向
a //(b c)
*
（100）
即： 长度：
a*
1 d(100)
a
*
b c
b c d (100)

1
（1）
倒易点阵的确定方法
• 如何确定倒易基矢？
b c d =a 通过正点阵，可以得到： (100) b c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
倒易点阵的应用——推导晶体学公试
• 晶面间距公式：
(h k l)晶面的间距dhkl为
所以：
倒易点阵的应用——推导晶体学公试
• 晶面间距公式：
对于立方晶系：
对于四方晶系：
对于正交晶系：
倒易点阵的应用——推导晶体学公试
• 晶面夹角
(h1 k1 l1)晶面和(h2 k2 l2)晶面之间的夹角（也即这两个晶面法线之间的
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 爱尔瓦德球
爱瓦尔德将布拉格方程 2dsinθ＝λ改写 为：
并用作图的方法表达了这个方程 和赋予其中一些项以新的含义。 以一晶体为中心（O 点），以1/为半 径，在空间画一个球，这个球即为爱瓦 尔德球。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 爱尔瓦德球
如图令电子束沿直径 AO*的方向入射，经过晶体 O 点亦到达 O*点，取 O*G 的长度为1/dhkl ，若 直角三角形ΔAO*G 中,AO*与 AG 的夹角为θ， 则ΔAO*G 满足布拉格方程，即此时电子束波长λ ，晶面间距 dhkl 及取向关系θ hkl 之间可用直角三 角形表示出来即：
• 布拉格方程
当一波长为λ的单色平面电子波 以入射角 θ照射到晶面间距为 d 的平行晶面组时（如图）， 相 邻晶面的散射电子束的波程差 为： δ＝SR＋RT＝2dsinθ 各晶面的散射波干涉加强的条件是， 波程差为波长的整数倍，即：2d sinθ＝nλ 这就是布拉格方程，式中 n＝0，1， 2，3……,称为衍射级数，考虑到 dhkl /n = dnhnknl ,则可以把任意(h k l)晶面组的 n 级衍射都看成是与之平行，但晶面 间距小于 n 倍的(nh nk nl)晶面组的一级衍射，这样便使布拉格方程成为更一般的 表达式： 2dhkl sinθhkl = λ 或直接写为 2d sinθ = λ
沿 AO*方向入射的电子束照射在 O 点处的晶体，一部份电子束透射过去，一部份 使晶面间距为 dhkl 的(h k l)晶面发生衍射，在 OG 方向产生衍射束。若入射波矢量 用 （矢量OO*）表示，衍射波矢量用 表示，令矢量 O*G＝ ，其方向平行 于（hkl）晶面的法线，则有 这即为布拉格方程的矢量形式。
倒易点阵
• 人们在研究晶体对X射线或对电子束的衍射 效应时，某晶面{hkl}能否产生衍射的重要条 件就是该晶面相对于入射束的取向以及晶 面间距d(hkl)。 • 为了研究衍射波的特性，1921年德国物理 学家厄瓦尔德(P．P．Ewald)引入了倒易点 阵的概念。
倒易点阵的定义
• 新点阵中的每一个结点都对应着正点阵的一定晶面，该结 点既反映该晶面的取向也反映该晶面的面间距。 • 具体条件： a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易点）的矢量OP 正好沿正点阵中{hkl}面的法线方向。 b. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl)的距离等于正点阵中 {hkl}面的面间距的倒数，
夹角，即为 晶面之间的夹角），故
倒易点阵的应用——推导晶体学公试
• 晶面夹角
对于立方晶系：
对于四方晶系：
对于正交晶系：
倒易点阵的应用——推导晶体学公试
• 求晶带轴
指数为(h1 k1 l1) 和(h2 k2 l2)两晶面的晶带轴即为这两个晶面的交线方向， 若此交线平行于某一（正）矢量 故求晶带轴即求[u v w]三数即可。 (h1 k1 l1) 和(h2 k2 l2)晶面的法线是平行于 ，此时
a*、b*、c*
即倒易基矢
倒易点阵的确定方法
a、根据正点阵的基矢 易点阵的基矢 a*、b*、c*
a、b、c
确定倒
b、对于一切允许的整数h、k、l作向量( )，这些向量的终点就是倒易点阵的结点 ha* kb* lc*
c、结点的集合就构成倒易点阵
倒易点阵的确定方法
• 如何确定倒易基矢？
假定正点阵中晶胞（原胞）的基为 a、b、c 根据倒易点阵与正点阵的对应条件： 。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 零层倒易面
零层倒易面：属于［uvw］
晶面的倒易点均在同一 平面上，用(uvw)*0 表 示。 (uvw)*0的法线正好和正 空间中的晶带轴[uvw]重 合。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 结构因子（消光条件）
2 I | F | hkl hkl 衍射束的强度: 其中 Fhkl叫做(hkL)晶面组的结构因子或结构
• „ 布拉格父子
老布拉格在1912年夏得知这个消息，与他儿子小布拉格一道尝试用X射线 的粒子性解释它，并由小布拉格在剑桥大学重复这个实验。根据衍射斑点 的椭圆形状和从Pope那里学到的晶格理论（由此得知ZnS具有面心立方晶 格），小布拉格将X射线在晶体中的衍射看作是X射线从一些晶格平面的反 射，从而推导出著名的布拉格方程。
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
a(cosα-cosα0) = Hλ
b(cosβ-cosβ0) = Kλ c(cosγ-cosγ0) = Lλ
劳厄（Laue）方程
式中λ为波长，H, K, L 均为 整数，称为衍射指标，H，K， L，＝ 0 ，±1，±2，……
H,K,L衍射指标和h,k,l晶面指标不同。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
实际晶体的倒易点阵
• 如何判断某原子(x,y,z)是否在(h k l)面上？
假定坐标为(x,y,z)的A原子位于第n层 (h k l)面上。若倒易矢量 g=OH=ha*+kb*+lc*，与第n层(h k l) 面交于B点，那么有OB=nd(h k l)，根 据图的几何关系有： OB=nd(h k l)=OA· g/|g| =(xa+yb+zc)· (ha*+kb*+lc*)/(1/d(h k l)) =(hx+ky+lz) d(h k l)